广东省广州市2020-2021学年高二上学期学业水平测模拟C卷数学试题

【全国市级联考】广东省广州市2020-2021学年高二上学期

学业水平测模拟C 卷数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}230A x R x =∈-≥，集合{}2320B x R x x =∈-+<，则A B =

( )

A ．32x x ??

≥????

B ．3

22x x ?

?≤

C ．{}12x x <<

D ．3

22x x ?

?<

2．已知2log 3a =，12log 3b =，1

23c -=，则

A ．c b a >>

B ．c a b >>

C ．a b c >>

D ．a c b >> 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A B C D 4．已知过()8(),1,,a A B a -两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为( ).

A ．－10

B ．17

C ．5

D ．2

5．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值为（ ）

A ．9

B ．10

C ．45

D ．55

6．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )

A ．28

B ．32

C ．40

D ．64

7．如图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)( 00A ω>>，， 2π

?≤)图像的一部分.为了得到这个

函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点( )

A ．向左平移

3

π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B ．向左平移3

π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. C ．向左平移6

π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. 8．已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则AB AC ?等于（）

A ．-2

B ．-6

C ．2

D ．3

9．在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a =,b+c=7,cosB=14

-

,则c =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

10．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若231

n n S n T n =+，则n n a b =（ ） A ．23 B ．2131n n ++ C ．2131n n -- D ．2134

n n -+

二、填空题

11．若函数2()ln(1)f x x x

=+-的零点在区间(,1)()k k k Z +∈上,则k 的值为 . 12．若圆221:1O x y +=与圆2222:(3)(0)O x y r r -+=>外切，则r 的值为

__________．

13．已知向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若OA OB ⊥，则m = .

14．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是________

三、解答题

15

．已知3cos()(,)41024

x x π

ππ-=∈. （1）求sin x 的值；

（2）求sin(2)3

x π+的值.

16．某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.

(1)求a ，b ，n 的值；

(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．

17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD DC =， 4,3,AB BC E ==是PC 的中点， F 为PB 的中点.

（1）证明： //PA 平面;EDB

（2）若Q 为直线AP 上任意一点，求几何体Q BDE -的体积；

18．已知⊙C 经过点(2,4)A 、(3,5)B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上.

（1）求⊙C 的方程；

（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围.

19．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足0.008kg/m k =且a 2＝b 1，a 5＝b 2

（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式：

（Ⅱ）设T n 为数列{S n }的前n 项和，求T n ．

20．已知函数2

()23f x x x =--.

（1）作出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间；以及在各单调区间上的增减性.

（2）求函数()f x 当[2,4]x ∈-时的最大值与最小值.

参考答案

1．B

【解析】

由题意可得：{}3|,|122A x x B x x ?

?=≥=<

， 结合交集的定义可得：3|22A B x x ???=≤

. 本题选择B 选项.

2．D

【解析】

由题意可得：()12212log 31,log 30,3

0,1a b c -=>=<=∈，

则：a c b >>.

本题选择D 选项.

3．A

【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥所得的几何体， 其中三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2，

三棱锥底面是边长为2的正三角形，高为1，

该几何体的体积：

1112221232??-???= ?. 本题选择A 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观

图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；

(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

4．D

【详解】

由题意结合直线平行的充要条件可得：2AB k =，

结合斜率公式有：()

821a a -=--， 解得：2a =.

故选：D.

5．D

【解析】

阅读流程图可得该流程图的功能是计算：12310S =++++的值， 结合等差数列前n 项和公式可得：输出的值为

11010552

+?=. 本题选择D 选项. 点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．

6．D

【解析】

试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论．

解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，

∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为

，

故选D ．

点评：本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．

7．A

【解析】很明显()

1112A --==，

结合函数的图象可得： 566T πππ??=

--= ???，则22T πω==， 当6x π

=-时， ()2,233x k k k Z π

π

ω??π?π+=-+=∴=+∈，

令0k =可得： 3π

?=，

故三角函数的解析式为： sin 23y x π??=+

???

， 据此可知，要得到此函数的图象， 只需将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点向左平移

3π个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的

12

，纵坐标不变. 本题选择A 选项. 点睛对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数

名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成x ?ωω??+ ??

?，最后确定平移的单位并根据?ω的符号确定平移的方向．

8．A

【解析】

由题意可得：()()2,1,2,2AB AC =--=-，

利用平面向量数量积的坐标运算法则有：422AB AC ?=-+=-.

本题选择A 选项.

9．A

【解析】 由题意结合余弦定理222

cos 2a c b B ac

+-=可得：224144c b c +-=-，① 由7b c +=可知：7b c =-，②

代入①式可得：()

2247144

c c c +--=-，

求解关于边长的方程可得：3c =.

本题选择A 选项.

10．C

【解析】

由题意结合等差数列的性质有：

()()()()121121211211212121221212321131

212

n n n n n n n n a a n n a a a S n b b b b b T n n n ------+?--+-=====++-+-?-. 本题选择C 选项.

11．1

【解析】

由函数的解析式可得函数的定义域为：{}|1x x >-

导函数：()212'01f x x x

=+>+，则函数()f x 在定义域内单调递增， 且：()()1ln 220,2ln310f f =-=-，

结合函数零点存在定理可得1k =.

点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 12．2

【解析】

1(0,0)O ，G gR

， 1231O O r ==+，

∴2r

． 13．32

【解析】

由题意可得：()()()1,23,4,2BA OA OB m m =-=--=--

由向量垂直的充要条件结合向量的坐标运算法则可得：

()4220OA BA m ?=+-=，

求解关于实数m 的方程可得：4m =.

14．6

【解析】

试题分析: 3a +3b ≥=，当且仅当a+b=2且a=b 时，等号成立，3a +3b 的最小值是6.

考点 :本题主要考查基本不等式的应用，指数运算．

点评：注意到a+b=2，出现了“定值”，所以易于想到利用基本不等式求函数最值，要注意的是“一正，二定，三相等”．

15．(1)45

；

(2). 【详解】

试题分析：（1）先判断4x π

-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出

sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44

x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.

试题解析：（1）因为3(,)24x ππ

∈，所以(,)442x πππ

-∈，于是

sin()4x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444

x x x x ππππππ

=-+=-+-

41021025=?+=

（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5

x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-

=-=-

所以中sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x π

π

π

+=+=考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.

16．（1）100n =，35a =，0.2b =；（2）0.8.

【解析】

试题分析：（1）依题意，得50.05n =，0.35a n =，20b n

=，即可求解a 、b 、n 的值；（2）由第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组的人数，设出第三组的3名学生记为1a 、2a 、3a ，第四组的2名学生记为1b 、2b ，第五组的1名学生记为1c ，即可利用古典概型求解其概率.

试题解析：（1）依题意，得50.05n =，0.35a n =，20b n

=， 解得100n =，35a =，0.2b =；

（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360?=名，206260?=名，106160

?=名. 第三组的3名学生记为1a 、2a 、3a ，第四组的2名学生记为1b 、2b ，第五组的1名学生记为1c ，

则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c ，其中第三组的3名学生1a 、2a 、3a 没有一名学生被抽取的情况有3种，具体如下：{}12,b b 、{}11,b c 、{}21,b c ，

故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815

-

=. 考点：分层抽样；古典概型及其概率的计算.

17．（1）证明见解析；（2）4

【解析】试题分析： (1)由题意结合几何关系可得PA EO ，利用线面平行的判断定理可得//PA 平面;EDB

(2)由题意结合(1)的结论有： 4Q BDE A BDE V V --==.

试题解析：

（1）连结交与，连结.

∵底面是正方形，∴点是的中点.

又∵是的中点∴在△中，为中位线 ∴∥.

而平面，平面，∴∥平面.

（2）∥平面，

18．（1）2268240x y x y +--+=（2）304

k ≤≤ 【解析】

试题分析：

(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.

(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k 的不等式，求解不等式可得304

k ≤≤. 解法2：联立直线与圆的方程，结合()()22623610k k ?=+-+≥可得304

k ≤≤. 试题解析：

（1）解法1：设圆的方程为22

0x y Dx Ey F ++++=， 则22222424063535082422022D E F D D E F E F D E ??++++==-????++++=?=-????=??????----= ? ??????

?，

所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=.

解法2：由于AB 的中点为59,22D ?? ???

，1AB k =， 则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+

而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，

由7220y x x y =-+??--=?解得34x y =??=?

，即圆心()3,4C ，又半径为

1CA ==，

故⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.

（2）解法1：因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，

则圆心()3,4C 到直线3y kx =+

1≤， 将其变形得2430k k -≤， 解得304

k ≤≤. 解法2：由()()()

()2222341162903x y k x k x y kx ?-+-=??+-++=?=+??， 因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则()()22623610k k

?=+-+≥， 解得304

k ≤≤. 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

19．（Ⅰ）a n ＝2n ﹣1，3n n b = ； （Ⅱ）()

213694n n +--. 【分析】

（Ⅰ）先用数列中,n n a S 之间的关系求得n b ，然后求得25,a a ，利用等差数列求出通项即可； （Ⅱ）先由题求得n S ，再将n S 看成通项，利用分组求和求得n T .

【详解】

（Ⅰ）由S n ＝()312n b -得，S n ﹣1＝32

（b n ﹣1﹣1）（n≥2）， ∴b n ＝s n ﹣s n ﹣1＝32

（b n ﹣b n ﹣1），即b n ＝3b n ﹣1， 又b 1＝3，故b n ＝3n （n∈N *）．

∴a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2＝9， ∴d＝9352

--＝2， ∴a n ＝2n ﹣1．

（Ⅱ）S n ＝()()3313122

n n b -=-， 所以()()

1223133336924n n n T n n +=+++-=--.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式以及求和，掌握,n n a S 之间的关系是解题的关键，以及求和中的分组求和，属于较为基础题.

20．(Ⅰ)单调区间(],1-∞-，(]1,0-，(]0,1，()1,+∞，在区间(],1-∞-，(]0,1上单调递减，在区间(]1,0-，()1,+∞上单调递增．(Ⅱ) 最小值4-最大值5

【分析】

(1)由题意结合函数的解析式绘制函数图象，然后结合图象可得函数的单调区间和函数的单调性；

(2)结合函数图象可得函数的最小值为4-，最大值为5.

【详解】

(1)当0x ≥时()2

23f x x x =--，增区间为()1,+∞，减区间为(]0,1，当0x <时()223f x x x =+-，增区间为(]1,0-，减区间为(],1-∞-

（2）结合图像可知最小值()()114f f =-=-，最大值()45f =