第二章(矩阵变换和计算).

第二章 矩阵变换和计算

一、内容提要

本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。基本思想为将计算复杂的一般矩阵分解为较容易计算的三角形矩阵. 要求掌握Gauss （列主元）消去法、矩阵的（带列主元的）LU 分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR 分解、Shur 分解、Jordan 分解和奇异值分解.

(一) 矩阵的三角分解及其应用

1．矩阵的三角分解及其应用

考虑一个n 阶线性方程组b Ax =的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩阵D ，下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，这时方程的求解将会变得简单.

???????

?

?=n d d d D

2

1, ??????? ??=nn n n l l l l l l L

2

1

2221

11, ???

?

?

?

?

??=nn n n u u u u u u U 22212111

.

对于b Dx =，可得解为i i i d b x /=,n i ,,2,1 =. 对于b Lx =，可得解为1111/l b x =,ii i k k ik

i i l x l

b x /)(1

1∑-=-

=,n i ,,3,2 =.

对于b Ux =，可得解为nn n n l b x /=,ii n

i k k ik

i i l x l

b x /)(1

∑+=-

=,1,,2,1 --=n n i .

虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因此较为普适的方法是对矩阵进行三角分解.

1）．Gauss 消去法

只通过一系列的初等行变换将增广矩阵)|(b A 化成上三角矩阵)|(c U ，然后通过回代求与b Ax =同解的上三角方程组c Ux =的解．其中第k 步消元过程中，在第1-k 步得到的矩阵)

1(-k A

的主对角元素)

1(-k kk

a

称为主元.从)

1(-k A

的第j 行减去第k 行的倍数)1()

1(--=

k kk

k jk jk a a l （n j k ≤<）称为行乘数（子）.

2）．矩阵A 的LU 分解

对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶单位下三角矩阵L 和n 阶上三角矩阵U ，使得LU A =, 则称其为矩阵A 的LU 分解，也称为Doolittle 分解．Gauss 消去法对应的矩阵形式即为LU 分

解, 其中L 为所有行乘子组成的单位下三角矩阵, U 为Gauss 消去法结束后得到的上三角矩阵. 原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组??

?==y

Ux b

Ly .

3）．矩阵LU 分解的的存在和唯一性

如果n 阶矩阵A 的各阶顺序主子式),,2,1(n k k =D 均不为零, 则必有单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，使得LU A =, 而且L 和U 是唯一存在的．

4）．Gauss 列主元消去法

矩阵每一列主对角元以下（含主对角元）的元素中, 绝对值最大的数称为列主元. 为避免小主元作除数、或0作分母，在消元过程中，每一步都按列选主元的Guass 消去法称为Gauss 列主元消去法．由于选取列主元使得每一个行乘子均为模不超过1的数，因此它避免了出现大的行乘子而引起的有效数字的损失.

5）．带列主元的LU 分解

Gauss 列主元消去法对应的矩阵形式即为带列主元的LU 分解,选主元的过程即为矩阵的行置换. 因此, 对任意n 阶矩阵A ，均存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，使得LU PA =．由于选列主元的方式不唯一, 因此置换矩阵P 也是不唯一的. 原方程组

b Ax =两边同时乘以矩阵P 得到Pb PAx =, 再分解为两个三角形方程组???==y

Ux Pb

Ly .

5）．平方根法(对称矩阵的Cholesky 分解)

对任意n 阶对称正定矩阵A ，均存在下三角矩阵L 使T

LL A =，称其为对称正定矩阵A 的Cholesky 分解. 进一步地, 如果规定L 的对角元为正数，则L 是唯一确定的．原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组??

?==y

x L b

Ly T

. 利用矩阵乘法规则和L 的下三角结构可得

2

1

1

12?

??

? ??-=∑-=j k jk jj jj l a l , jj j k jk ik ij ij l l l a l /1

1???? ??-=∑-=, i=j +1, j +2,…,n , j =1,2,…,n . 计算次序为nn n n l l l l l l l ,,,,,,,,,2322212111 ．由于jj jk a l ≤，k =1,2,…,j ．因此在分解

过程中L 的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元．

6）．求解三对角矩阵的追赶法

对于三对角矩阵???

??

??

?

??=---n n n n n b a c b a c b a c b 11122211 A , 它的LU 分解可以得到两个只有两条对

角元素非零的三角形矩阵

???

?????

??=???????? ??=--n n n n u d u d u d u l l l 112

21132,1111

U L . 其中???????=-====-==--n

i c l b u n i u a l b u n i c d i i i i i i i i i ,,3,2,,,3,2,/1,,2,1,111

1

计算次序是n n u l u l u l u →→→→→→→ 33221. 原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组??

?==y

Ux b

Ly . 计算公式为

n i y l b y b y i i i i ,,3,2,,111 =-==-,

.

1,,2,1,/)(,/1 --=-==+n n i u x c y x u y x i i i i i n

n n

该计算公式称为求解三对角形方程组的追赶法．当A 严格对角占优时，方程组b Ax =可用追赶法求解, 解存在唯一且数值稳定．

7）．矩阵的条件数

设A 为非奇异矩阵，?为矩阵的算子范数，称1

)(cond -=A A A 为矩阵A 的条件

数．矩阵的条件数是线性方程组b Ax =, 当A 或b 的元素发生微小变化，引起方程组解的变化的定量描述, 因此是刻画矩阵和方程组性态的量. 条件数越大, 矩阵和方程组越为病态, 反之越小为良态.常用的矩阵条件数为

∞-条件数: ∞

-∞∞=1

)(cond A A A ，

1-条件数: 11

11)(cond -=A A A ，

2-条件数: )

()()(cond min max 2

1

2

2A A A A A

A

A H H λλ==-．

矩阵的条件数具有如下的性质： (1) 1)(cond ≥A ;

(2) )(cond )(cond 1

-=A A ;

(3) )(cond )(cond A A =α，0≠α，R ∈α;

(4) 如果U 为正交矩阵，则1)(cond 2=U ，)(cond )(cond )(cond 222A AU UA ==.

一般情况下，系数矩阵和右端项的扰动对解的影响为

定理2.5 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，b 为非零向量且A 和b 均有扰动．若A 的扰

动δA 非常小,使得11

<-A A δ，则

)(

)

(cond 1)(cond b

δb

A δA A

A

A A x

δx

+-≤δ. 关于近似解的余量与它的相对误差间的关系有

定理2.6 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，b 为非零向量，则方程组近似解x ~

的事后估计式为

b

x A b A x x x b x A b A ~)

cond(~~)cond(1

-≤-≤-. 其中称x A b ~-为近似解x ~

的余量，简称余量。 8）．矩阵的QR 分解

利用正交变换保条件数的性质, 将满秩矩阵化为主对角元都大于零的上三角矩阵, 保持矩阵条件数不变.

设A 是n 阶可逆实矩阵, 则存在正交阵Q 和对角元都大于零的上三角阵R ，使得

QR A =, 称其为矩阵A 的QR 分解, 并且)(cond )(cond 22R A =.

为实现矩阵一般的QR 分解，我们引入Householder 矩阵T T

-

=ωωω

ωI ωH 2

)(, 其中0,≠∈ωωn R . 该矩阵具有如下性质：

（1） 特征值为：)(2

1))((T T

H ωωλω

ωωλ-

= 即，12

1-=-

ωωω

ωT T

，

个

11,,1-n ；

（2） )()(ωH ωH =T

, 即H 阵为对称阵； （3） n I ωH ωH =T

)()(，即H 阵为正交阵； （4） 如果y x ωH =)(，则22

x y

= (不变长度，镜面反射)；

（5） 设n n x x x R ∈=T ),,,(21 x 且0x ≠，取12e x x ω-=，则

（6） .00)()(12212e x x x e x x H ωH =????

??

? ??=-= x 提示：Householder 变换并不是直接变换n 阶矩阵A , 而是通过重复变换矩阵的下三角部分

的列向量得到上三角矩阵, 因此, 每次变换的

Householder

矩阵

)(,),(),(1-n 21ωH ωH ωH 在逐渐降阶, 然后将它们分别“嵌入”n 阶单位矩阵得到相应的

n 阶正交阵1-n 21Q Q Q ,,, , 最后得到正交阵1-n 21Q Q Q Q ,,, =.具体变换过程见例子.

(二) 特殊矩阵的特征系统

特征系统即为矩阵的特征值和特征向量, 本节主要介绍与其计算相关的Schur 分解. 矩阵变换的思想主要为两点: 一是三角矩阵的主对角元素即为其所有特征值, 二是矩阵的特征多项式和特征值在相似变换下是不变的. 因此, 理论上获得矩阵特征值的方法就是通过相似变换将其变为一个三角矩阵.

Schur

定理

:

设

n

n A ?∈C ，则存在酉阵

n n U ?∈C 使得

H URU A =, 其中n n R ?∈C 为上三角矩阵．

由于实矩阵的特征值可能是复数, 因此通常在复数域中考虑Schur 分解. 复数域中相应的矩阵名称及记号为:

U 的共轭转置: T H U U =, 它在实数域即为转置矩阵. U 为酉阵: 若I UU U U H H ==, 它在实数域即为正交阵.

A 为正规矩阵: 若H H AA A A =.常见的Hermite 阵（A A =H ）、实对称矩阵

（A A =T

）、斜Hermite 阵（A A -=H

）、实反对称矩阵（A A -=T

）、酉阵（I AA A A ==H

H

）和正交矩阵（I AA A A ==T

T

）等均为正规矩阵． Schur 分解的一些特殊情况如下:

● 上三角矩阵R 为正规矩阵当且仅当R 为对角矩阵.

● n 阶方阵A 为正规矩阵当且仅当存在酉阵U 使得H

UDU A =,D 为n 阶对角阵. ● n 阶方阵A 为Hermite 阵当且仅当存在酉阵U 使得H UDU A =,D 为n 阶实对角阵. ● n 阶方阵A 为酉阵当且仅当存在酉阵U 使得H

UDU A =,D 为n 阶对角阵,且对角元的

模均为1.

(三) 矩阵的Jordan 分解介绍

矩阵的每一个特征值有两个重要的指标: 代数重数和几何重数. 一个特征值作为矩阵多项式的根个重数称为代数重数; 它对应的特征子空间的维数称为几何重数. 它们分别刻画了特征值在矩阵特征系统中的代数和几何的性质. 一般有, 代数重数≥几何重数. 当一个特征值的代数重数=几何重数, 称它为半单的; 而当代数重数>几何重数时称它为亏损的.

n 阶方阵A 可对角化当且仅当它的所有特征值都是半单的, 此时称A 为单纯矩阵; 否则, A 不可对角化当且仅当它有亏损的特征值, 此时称A 为亏损矩阵.

对于亏损矩阵, 只能将其经过相似变换为一个三角矩阵, 即为其Jordan 标准型. Jordan 标准型是一个块对角矩阵，每一个块称为Jordan 块, 其对角元便为矩阵的特征值．所谓矩阵A 的Jordan 分解即为通过可逆变换矩阵T 化为与之相似的Jordan 标准型J , 使得

1-=T J T A .

1. 关于Jordan 标准型J ．对于特征值i λ, 它的代数重复度就是Jordan 标准型中以i λ为特征值的Jordan 块阶数的和，而其几何重复度（即与i λ相对应的线性无关的特征向量的个数）恰为以i λ为特征值的Jordan 块的个数．J 中以i λ为特征值、阶数为l 的Jordan 块的个数为l l l r r r 211

-+-+,其中l i l I r )(rank A -=λ, n I I r i ==-=)(rank )(rank 00A λ．

2. 关于变换矩阵T 可以通过Jordan 链得到． 将T 按J 的对角线上的Jordan 块相应地分块为()k T T T T ,,,21 =, 其中T i 为n ×n i 型矩阵．记()

i

n i

i

i i t t t T ,,,21 =, 则

???????+=+==-i n i n i i n i i i i i

i i i i i

112211t t At t t At t At λλλ n

i j C t ∈, k i ,,2,1 =, i n j ,,2,1 =

我们称向量i

n i

i

i t t t ,,,21 为关于特征值i λ的长度为i n 的Jordan 链．显然该Jordan 链的第一个向量就是矩阵A 的关于特征值i λ的特征向量，称其为链首．而链中的第j 个向量则可由等价的方程

()i i

j i

j n i n j ,,3,2,

1 ==--t t I A λ （2-45）

求出．

但是应当注意:

1) Jordan 链的链首i

1t 不仅要求是一个特征向量，而且还要求利用（2-45）可以求出Jordan 链中的其它向量i n i

i t t ,,2 (即不是任何一个特征向量都可作为Jordan 链的链首).

2) 对应于某个特征值i λ 的Jordan 链虽然一定存在，但当与i λ 相对应的线性无关的特征向量的个数大于或等于2时，关于特征值i λ的特征向量中的任何一个有可能都不能作

为链首.

因此我们必须从i λ的特征子空间中选取适当的向量作为Jordan 链的链首．

(四) 矩阵的奇异值分解

对于方阵,利用其特征值和特征向量可以刻画矩阵的结构.对非方阵情形,这些方法已经不适用.而推广的特征值--矩阵的奇异值分解理论能改善这种情况. 利用奇异值和奇异向量不仅可以刻画矩阵的本身结构,而且还可以进一步刻画线代数方程组的解的结构,是构造性的研究线代数问题的有利的工具.

设n

m ?∈C A , Hermite 半正定矩阵A A H

的特征值为021≥≥≥≥n λλλ , 称非负实

数i i λσ=

)(A (n i ,,2,1 =)为矩阵A 的奇异值．

奇异值分解: 设A n

m ?∈C

, 且其秩rank(A )=r , 则存在m 阶、n 阶酉阵U 、V 使得

H V ΣU A ???

? ??=00

0, 其中),,,(diag 21r σσσ =Σ，),,2,1(r i i =σ为矩阵A 的非零奇异值．U 与V 的列向量m u u u ,,,21 和n v v v ,,,21 分别称为矩阵A 的与奇异值i σ对应的左奇异向量和右奇异向量．

利用矩阵的奇异值讨论矩阵的性质:

(1) 矩阵A 的非零奇异值的个数恰为矩阵A 的秩．

(2) },,,{span )(21r u u u A =R , )(A N },,,{span 21n r r v v v ++=，其中n

m R

A ?∈?,

},|{)(n m R x y Ax R y ∈?=∈=A R 为由A 的列向量生成的子空间，称为A 的值域或

像空间，即},,,{span )(21n a a a A =R 。)(A N }{0x |=∈=A R x n

称为A 的零空间或核，即}{)(0Ax x A ==N 。

(3) 设021>≥≥≥r σσσ ，则12σ=A , F A =2

2221r σσσ+++ ．

(4) 如果A 为Hermite 矩阵，则A 的奇异值即为A 的特征值的绝对值． (5) 如果A 为n 阶方阵，则 ∏==n

i i

1

)det(σ

A ．

(6) 秩为

r 的

m×n

矩阵A 可以表示为

r 个秩为

1

的矩阵的和

H r r r H

H v u v u v u A σσσ+++= 222111.

(7) n

n C

A ?∈?为正规阵, λ是A 的特征值, x 是相应于λ的特征向量, 则λ是H

A 的特征

值, 相应于λ的特征向量仍为x .

(8) n

n C

A ?∈?为正规阵, μλ,是A 的特征值, y x ,是相应的特征向量, 如果μλ≠, 则 x

与y 正交.

2.2典型例题分析

例 1 证明在对矩阵n n j i a ?=)(,A 进行Gauss 消去法的过程中, 主元)

1(,-k k k a (n k ,,2,1 =)

均不为零的充要条件是A 的各阶顺序主子式k D (n k ,,2,1 =) 均不为零.

证明 利用归纳法, 当1=k 时, )0(1,11,11a a D ==, 结论显然成立. 假设结论直到1-k 成立,

则Gauss 消去法可以进行到1-k 步, 即存在1-k 个Gauss 变换11,,-k L L , 使得

???

?

??==-----)1(2,2)1(2,1)

1(1

,111)

1(k k k

k k A 0

A A A L L A

, 其中)

1(1

,1-k A 是对角元为)1(,-i i i a (1,,2,1-=k i )的上三角阵, 于是)

1(-k A

的k 阶顺序主子阵为

k

k k k k k

k k

a ?---???? ??=)1(,)

1(1

,1)

1(*0A A

. 另一方面, 将)1(111)(---=k k A L L A 的两端在第k 行k 列处分块有

???

?

?????? ??==----****)()

1(*2*

1

)

1(111k k k k A L 0L A

L L A , 其中*

1L 为k 阶单位下三角阵. 因此A 的k 阶顺序主子式

)

1(,)0(1,1)1()1(*1)det()det()det(---===k k k k k k k k a a D A A L ,

由归纳假设知, 主元0)

1(,≠-k k

k a 当且仅当0≠k D , 即结论对k 成立. 故由归纳法, 0)

1(,≠-k k

k a (n k ,,2,1 =)当且仅当0≠k D (n k ,,2,1 =) .

例2 证明: 若n n j i a ?=)(,A 为可逆矩阵, 则A 可进行LU 分解的充要条件是A 的各阶顺序主子式k D (n k ,,2,1 =) 均不为零.

证明 充分性. 由例1结论知如果k D (n k ,,2,1 =) 均不为零, 则主元0)

1(,≠-k k k a , 于是可

对A 进行Gauss 消去法, 从而得到A 的LU 分解.

必要性. 若存在单位下三角阵L 和上三角阵U 使得LU A =, 则

)

1(,)0(1,1)det()det()det()det(-===n n n a a U U L A ,

由A 可逆知主元0)

1(,≠-k k

k a (n k ,,2,1 =), 再由例1可得A 的各阶顺序主子式0≠k D (n k ,,2,1 =).

例3 证明, 若可逆矩阵A 可进行LU 分解, 则分解必唯一.

证明 如果A 存在两个LU 分解, 即2211U L U L A ==, 其中21,L L 皆为单位下三角阵,

21,U U 皆为上三角阵. 由A 可逆知21,U U 也可逆, 于是有112112--=U U L L . 不难验证, 单

位下三角阵的逆矩阵为单位下三角阵, 而上三角阵的逆也为上三角阵. 进一步, 单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵, 而上三角阵的乘积也为上三角阵. 因此上式左端为一个单位下三角阵, 而右端为一个上三角阵. 显然, 等式成立当且仅当两端皆为单位矩阵

I U U L L ==--112112, 故可得2121,U U L L ==, 即分解唯一.

例4 n 阶Hilbert 矩阵为?

??

??????

??

-++=12111111312

1

1211n n n n n n

H , 计算3H 的条件数. 解 ,514

13

1413121

312113???????

?

??=H .180180301801923630369

1

3????? ??----=-H (1) 计算3H 的条件数, 容易得到6

113

1

3=

=∞

H H , 4081

31

1

3==∞

--H H ,

40832.12

3

=H ,

115.3722

1

3=-H , 于是748)()(313==∞H H c o n d c o n d ,

057.524)(23=H cond . 同样可计算76109.2)(?=∞H cond , 871085.9)(?=∞H cond .

当n 越大, n H 矩阵病态越严重. (2) 考虑方程组b x H ==T

)60

47,1213,611(

3, 设3H 和b 有微小误差（取3位有效数字）有 ?

???

? ??=??

??? ??+++????? ??783.008.183.1200.0250.0333.0250.0333.0500.0333.0500.000.1332211x x x x x x δδδ，

简记为

b

b x x H H δδδ+=++))((33，其解为

T )491002798.1,487967062.0,089512538.1()(=+x x δ. 而方程组b x H =3的精确解为T

)1,1,1(=x . 于是T

)4910.0,5120.0,0895.0(-=x δ,

%02.01018.033

3

∞H H δ,

%182.0≈∞

∞b

b

δ,

%2.51≈∞

∞x

x

δ. 这就是说3H 和b 的相对误差不超过%3.0, 而引起解

的相对误差超过%50.

例 5 n 阶复Householder 矩阵定义为H ωωI ωH 2)(-=, 其中12

=ω. 证明)(ωH 为

Hermite 矩阵, 也是酉矩阵, 并求它的特征值.

证明 )(2)2()(ωH ωωI ωωI ωH =-=-=H H H H ,

I ωωωωI ωωI ωH ωH ωH ωH =+-=-==22)(44)2()()()()(H H H H , 即)

(ωH 为Hermite 矩阵, 也是酉矩阵. 由

矩

阵

特

征

值

的

性

质

知

,

)

(21))((H ωωωH λλ-=, 而

个

个

110,,0,10,,0),()(--==n n H H ωωωωλλ, 因此)(ωH 的特征值为 个

11,,1,1--n .

例6 已知T )4,0,3(=x , 求Householder 矩阵H , 使得12e x Ηx =.

解 由52

=x

, 取???

?

?

??-=????? ??-????? ??=-=40200540312e x x ω, 则

??

????

?

??-=????? ??---????? ??=-=530540105405316080008042021000100012

)(H H ωωωωI ωH ,

使得T

)0,0,5(12==e x Ηx .

例7 设A 为n 阶正规矩阵, 证明若0A =k

, 则0A =.

证明 根据Shur 定理, 正规矩阵A 存在分解H

UDU A =, 其中U 为n 阶酉阵, D 为n 阶对

角矩阵????

??

?

?

?=n λλλ

2

1D , C ∈i λ, n i ,,2,1 =. 于是 由0U U U

UD A =??????

?

?

?==H

k n k k

H

k k λλλ 2

1, 当且仅当0=i λ, n i ,,2,1 =, 即0A =.

例8 求矩阵????

??

?

?

?-=200

022001121

0002

A 的Jordan 分解. 解 4)2()det(-=-λλA I , 于是A 的特征值为2=λ, 代数重数为4, 故以2=λ为特征值的Jordan 块阶数之和为4. 而2=λ的几何重数为2)(4=--A I λrank , 故以2=λ为特征值的Jordan 块的个数为2. 注意到

,2)2()(1=-=-=A I A I rank rank r λ

,1)2()(222=-=-=A I A I rank rank r λ

故以2=λ为特征值的阶数为1的Jordan 块的个数为122412102=?-+=-+r r r . 因此

A 的Jordan 标准型为??????

?

?

?=20

0012000120

0002J . 下面求矩阵A 化Jordan 标准型的变换矩阵T . 首先求出2=λ所对应的线性无关的特征向量为T

)0,1,0,1(1-=x , T

)0,0,1,0(2=x . 其次确定长度为3的Jordan 链的链首, 令

22111x x t k k +=, 由??

?

?

?

?

?

?

?--=-0000

020001101

0000)|(1211k k k t I A λ, 为使1)(t y I A =-λ有解,

只需取01=k 即可. 再取22=k , 此时T

)0,0,2,0(1=t 为链首, 解得T

)0,2,1,0(1=y ,

T )0,1,0,1(2=y . 令22112y y t c c +=, 由??

??

?

?

?

?

?+-=-0000

022*******

0000)|(21122c c c c t I A λ, 为使2)(t z I A =-λ有解, 只需取02=c 即可. 再取11=c , 此时T )0,2,1,0(2=t , 解得链尾

T )1,1,0,1(13==z t 或者T )1,2,1,0(23==z t . 于是可得

???????

?

?-=10

0120101201001

T 或者??????

? ?

?-=10

0022011120000

1T , 故有A 的Jordan 分解为1

-=TJT A .

例9 证明若n 阶方阵A 的奇异值满足021>≥≥≥n σσσ , 则A 可逆, 而且12σ=A ,

1

2

1

--=n σA .

证明 由奇异值的定义,

0)det()det(2

22212

≠==n H σσσ A A A , 知

0)det(21≠=n σσσ A , 则A 可逆, 且1max 2)(σλ==A A A H .

于是, A A H

也可逆, 且1

)(-A A H 的特征值为

1

1

111----≥≥≥σσσ n n , 注意到111)()(---=H H AA A A 的特征值与1)(-A A H 的特征值相同, 因此

1

1m a x

2

1

)(----==n H σλA A A .

例10 设n

m ?∈R

B A ,, 如果存在m 阶和n 阶的正交矩阵U 和V , 使得

1

-==U A V U A V B T , 则称A 和B 正交相抵. 证明正交相抵的矩阵有相同的奇异值.

证明 由1-==UAV UAV

B T

,

1)()()()(-====V A A V V A A V AV U U VA UAV UAV B B T T T T T T T T T T , 知B B T 与

A A T 相似, 从而它们由相同的特征值, 故A 和

B 有相同的奇异值.

注: 不难验证, 正交相抵具有自反性、对称性和传递性. 因此正交相抵是等价关系. 它所形成的等价类称为正交相抵等价类. 此例说明, 正交相抵等价类中的矩阵都有相同的奇异值, 所

以对此类中任一矩阵A , 所作的奇异值分解T

UDV A =中的对角矩阵D 相同, 并由它们的奇异值组成. 即D 是该矩阵类中的标准型矩阵.

2.3 习题 1. 填空题

(1) ????

?

?+=1221a A ,当a 满足条件 时，A 可作LU 分解. (2)?

??

?

??--=a 222A , 当a 满足条件 时，A 可作T

LL 分解，其中L 是对角元素为正的下三角阵，则???

?

?

?=L . (3) ???

?

?

??----=210121012A ，则)(cond 2A = .

(4) 设n

n ?∈C

A ,其Schur 分解为H URU A =，其中n

n ?∈C

U 为酉矩阵，n

n ?∈C

R 为

上三角矩阵．特别地，当A 为正规矩阵时，R 为 矩阵，A 的特征值为 ，A

的特征向量为 ；当A 为Hermite 矩阵时，R 为 矩阵；当A 为斜Hermite 矩阵时，R 为 阵.

2．利用①Gauss 消去法，②Gauss 列主元法解方程组

?????

?

??????-=??

?????????????????

??

???----01743231

5322235221214321x x x x

3．用Gauss 列主元法求解方程组，并求出系数矩阵A 的行列式det （A ）的值．

??

?

??=++-=-+-=+-6

315318153312321321321x x x x x x x x x 4．设??

???

?

?

??

???----=32315322235

22121

A , 利用1题消元过程求出L 和U 矩阵，并验证 A =LU 5．下述矩阵能否作Doolittle 分解，若能分解，分解式是否唯一？

??

??

?

?????=??

??

?

?????=??????????=461561552621,133122111,764142321C B A

6．利用Doolittle 分解法，Cholesky 法和三对角追赶法三种方法求解线性方程组：

????

?

?????=????????????????????10858225114321x x x 7．设????

?

?????-=340233114A ，求A 的QR 分解. 8．证明

（1）1)(cond ≥A ；

（2）)(cond )(cond A A =k （k 为非零常数）． 9．设A 、B 都是n 阶非奇异方阵，试证

)(cond )(cond )(cond B A AB ?≤

10．证明上三角矩阵R 为正规阵的充分必要条件为R 为对角矩阵． 11．证明Schur 不等式：

∑∑∑===≤n i n

j ij n i i a 11

2

1

2

λ，其中i λ为()n n ij a ?=A 的特征值，并证明

Schur 不等式等号成立的充分必要条件是A 为正规矩阵．

12．求矩阵????

??

?

??---=16000

20002040114A 的Jordan 分解． 13．证明定理2.15.

14．证明 正规矩阵的奇异值是其特征值的模，Hermite 半正定矩阵的奇异值为其特征值． 15.设4

4?∈C

M ,特征值2=λ的代数重数为4, 已知21=r ，02=r ,其中

l l r )2(r a n k I M -=，求M 的Jordan 标准型.

16.设A 的奇异值分解为

??

??

?

?????--????????????????????-=10004530354200060008100053405453A

求2A ，)(ond 2A c ，F A ．

17.设?

??

?

??--=2442A , 求A 的奇异值分解,并据此计算 2A ，)(cond 2A .

2.4 习题解答

1. (1) 当1-≠a 时, A 可作LU 分解. 注: 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零只是A 可作LU 分解的一个充分条件. 当3-=a 时, ???

?

??=1224A , 虽然A 的行列式(2阶顺序主子式)为零, 但经第一步消元可得???

?

??0024, 这已是一个上三角矩阵, 说明此时A 也可作LU 分解. (2) 当2>a 时, A 正定, 可作T

LL 分解, ????

?

?--=220

2a L . (3) 223)(2+=A cond . (4) 设n

n ?∈C

A ,其Schur 分解为H URU A =，其中n

n ?∈C

U 为酉矩阵，n

n ?∈C

R 为上三

角矩阵．特别地，当A 为正规矩阵时，R 为 对角 矩阵，A 的特征值为 R 的对角元素 ，A 的特征向量为 U 的列向量 ；当A 为Hermite 矩阵时，R 为 实对角 矩阵；当A 为斜Hermite 矩阵时，R 为 对角元素为纯虚数或零的对角 阵.

2．解 (1) Gauss 消元法:

??

??

?

?

?

?

?----?→????????

?

?--?→????????

?

?-----3300

093300

12110

4212

1

4511

071520

12110

4212

1

032311532272352

42121

21L L

其中???????

?

?--=10

010*******

0001

1L , ????

???

?

?-=10

100120001000

012L , 所求解为 ??????

?-==-==1

212

432

1x x x x . (2) 带列主元的Gauss 消元法:

???

???

? ??-----?→???

?

??

??

??-----?→????????

?

?-----272

121

21

21

2

140636

301072

35

203231153224212

172

352

032311532272352

42

121

11L P

??????

?

??---?→???????

? ?

?----?→????????

?

?-----?→?33

000063

630

72352

000

0636

30

7235

2401063

630723

52232121292

72

1232

12

1272

121

212

12

1

322

L L P 其中

??????

?

?

?=10

00010000010010

1P ,

??

?

??

?

?

??-=10001010010001

212

11L ,

??????

?

?

?=10

00001001000001

2P ,

???????

?

?-=10

00100010000

161

61

2L , ????

??? ?

?=

11

000100001000

13L , 所求解为 ???????-==-==1

212

432

1x x x x . 3. 解

????? ??----?→??????

??----?→?

????? ??----63118536737

05101513186311153312151318631115131815331211L P ?????

??---?→?????? ??----?→?76621102

631

18536737631185367000151318510015131822L P , 其中

?

??

??

??=1000010101

P ,????? ??=100100118

1321L ,???

??

??=010*******P ,????

? ??=10010001762L , 解为

?????=-==17

333821711

1x x x . 由????? ?

?--==21102

1853

6711220001318U A P L P L , 102)det(/)det(

)det(1122-==P L P L U A .

4. 解: 由第2题中Gauss 消元过程可知

U A L L =???????

?

?--=300

033002110

2121

12, ??????

?

??-==-1011122121)(1

12L L L , 容易验证LU A =.

5. 解???

?? ??--???→?????? ??=52050

032

1764142321第一次消元A 不能继续消元, 因此不能进行LU 分解. ??

??

? ??-=?→?????? ??--=?→?????? ??=0001001112001001111331221112121U U B L L , 其中

?

???

? ??--=1030120011L , ???

?? ??-=1200100012L . 经过第一次消元得到一个上三角矩阵B L U 11=,

由于第2列主对角线以下的元素已经是0, 还可以利用2L 把最后一行消去, 也得到一个上三

角矩阵B L L U 122=. 因此得到了矩阵B 两个不同的LU 分解211211

1)(U L L U L B --==. 这说

明在某些情况下, 即使矩阵的各阶顺序主子式不为0, 也能进行LU 分解, 但分解不唯一.

对于矩阵C , 其各阶顺序主子式为1,1,1. 可得唯一的LU 分解???

?

?

??????? ??=131621136012001C .

6. 解 (1) Doolittle 分解

???

?

? ?

?????→????

?? ?

????→?????? ??=?????

?

??-????

? ??-191364

19

100100014

19

100010010

020

01

4

82

020

01

4

820251014198

1A , 则A 的Doolittle 分解为

????

?

??????? ?

?==191364

19

19

84

1

2001

41001

001

LU A . 按

b

LUx =得

??

?==y

Ux b Ly , 由

????? ??=????? ??????? ?

?10851001

00132119

841y y y 解得???

??===19136

34

27215y y y , 再由????

? ??=????? ??????? ?

?19136427321191364

19

50

02001

4x x x 解得???

??===111321x x x .

(2) Cholesky 分解

由???

?

?

??=?????

??????? ??=8202510140

00000

333222

31211133323122

2111l l l l l l l l l

l l l LL T

解得????

?

? ?

?=1913619

421921

0000

2L .按

b x LL T

=得???==y x L b Ly T , 由????? ??=????? ???????? ?

?10850000

23211913619

4191

y y y 解得??

?

??===19136319

2272251y y y , 再由?????

? ?

?=????? ?????

??? ?

?19

1361922725

321191361942

19210

0002

x x x 解得???

??===111321x x x . (3) 追赶法

利用三对角矩阵的LU 分解公式可得与Doolittle 分解一致的结果.

7. 解:????? ??-=340233114A , 记???

?

? ??=0341a ,

51=a , ????? ??-=????? ??-????? ??=0310050341

ω, ????

?

?

?-=-==100002)(5

4

535354

111

111T T I H Q ωωωωω, ??

?

?

? ??--=34013021

5)(1A H ω. 记

???

?

??--=34131A ,

?

??

? ??-=43~1a ,

5~1

=a ,

?

??

?

??-=???? ??-???? ??-=4805432ω,

???

? ??-=-=5

35

4

545

3

2

22

222

)(T T I H ωωωωω, ?

??

?

??=1035)(12A H ω,

?

?

??? ?

?-=???? ??=5354

54

5

3

220000

1)(001ωH Q , 则有R A Q Q =?????

??=??10035021512, 得到分解QR A =, 其中????

? ?

?-

-=?=34

251625

12

532512

2595

4

210T

T Q Q Q .

8. 证明: (1) 根据矩阵范数的相容性和单位矩阵的算子范数为1的性质有

1)(11==≥=--I AA A A A cond .

(2) 当0≠k , 根据矩阵范数的齐次性和逆矩阵的性质有

)()()(1111A c o n d A A A k A k kA kA kA cond ==???==----.

9. 证明: 由矩阵范数的相容性

)()()()(111B c o n d

A c

o n d B A B A AB AB AB cond ?=???≤?=---.

10. 证明: 由定义, 上三角阵??

?

?

?

?

?

??=-n n n n n r r r r r r ,,12,2,12

,11

,1000

R 是正规矩阵当且仅当

??????

? ????????? ??=

??????? ????????? ??----n n n

n n

n n n n n n n n n n n n n

n n

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ,,1,12

,22

,11

,1,,12,2,12,11,1,,12,2,12,11,1,,1,12,22,11,1000000000000

分别比较等式两端乘积矩阵的主对角元素即可得知0,=j i r , 1,,2,1-=n i ; i j >, 即R 为对角矩阵.

11． 证明: 设矩阵A 的Shur 分解为H

URU A =, 其中??

??

?

?

?

??=-n n n n n r r r r r r ,,12,2,12

,11

,1000

R , 由相似变换保持矩阵的特征值不变可知R 的主对角元为A 的所有特征值, 即i i i r λ=,,

n

i ,,2,1 =. 再

由矩阵的

迹

等于特

征值

之和

,

因

此

∑∑∑∑∑=====≥====n

i i n

i n

i

j j i H

H

H

H

n

i n

j j i r t r a c e t r a c e t r a

c e a 1

2

12

,11

2

,)()()(λR R RU UR A A . 其中等号成立的充要条件是R 的非主对角元素为0, 即R 为对角矩阵. 由上题结论可知等价于A 为正规矩阵.

12. 解: 由3

)2)(1(--=-λλλA I 得矩阵A 的特征值为1和2 (3重). 当2=λ时, 矩阵

A I -λ的秩为2, 则2=λ的几何重数224=-=. 因此由特征值的代数重数和几何重数的意义可知矩阵A 的Jordan 标准型为??????

?

?

?=200012000020

0001J .

下面计算变换矩阵T . 对11=λ求得对应特征向量为T }1,0,0,0{, 对22=λ求得对应两

个线性无关的特征向量为T }0,0,2,1{和T }6,1,0,{2

1. 对应22=λ在Jordan 标准型中的2阶Jordan 块需要计算长度为2的Jordan

链. 以T }0,0,2,1{为链首, 由

???????

??=??????? ????????? ??-----=-00

211600000002240112)2(4321x x x x x I A 可解得链尾为T

}0,0,1,1{. 因此可得变换矩阵??????

? ??=00610

010********T , 则矩阵A 的Jordan 分解为1

-=TJT A .

13. 证明: 由定义矩阵A 的奇异值为半正定矩阵A A H

的特征值的平方根, 则A 的非零奇异值的个数等于A A H

的非零特征值的个数即为A A H

的秩. 因此只要证明A 与A A H

的秩相

等即可. 事实上, 方程组O Ax =的任意解x 显然满足方程组O Ax A =H

. 反过来, 方程组

O Ax A =H 的任意解x 满足O Ax A x =H H , 则O Ax A x Ax ==H H 2

2于是满足O Ax =.

这说明两个方程组O Ax =和O Ax A =H

是同解方程组, 故系数矩阵A 与A A H 的秩相等.

14. 证明: 由Shur 分解的性质, 正规矩阵n

n ?∈C

A 酉相似于对角矩阵, 即存在酉阵

n

n ?∈C

U 和对角矩阵n n n d d d ?∈????

??

?

?

?=C D

2

1使得H UDU A =. 则H H H DU UD A A =, 于是A 的奇异值为矩阵D D H 的特征值的平方根i d , 即为A 的特征

值的模. 特别, 当A 为Hermite 半正定矩阵时, 其特征值为非负的实数i i d d =, 即A 的奇异值为其特征值.

15. 解: 由2=λ的代数重数为4知矩阵M 的Jordan 标准型中以2为特征值的Jordan 块的