利用等差规律计算
利用等差规律计算
奥数知识
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
精讲精练
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【练习1】
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=
2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
【练习2】
1.一等差数列，首项=3.公差=
2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
【思路】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
【练习3】计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
【练习4】计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
【思路】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
【练习5】用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)
（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
七级新题型规律问题之等差数列
七年级新题型等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法: 通过日常生活中实际问题分析，引导学生观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念； 由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中。 通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳转化为数学问题的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 （四）教学设想 [创设情景] 在以前的学习中我们了解了数列的相关知识。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： 在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
等差等比数列基础练习题
针对练习A1：等差数列 一、填空题 1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 一架飞机起飞时，第一秒滑跑 2.3米，以后每秒比前一秒多滑跑4.6米，离地的前一秒滑跑66.7米， 则滑跑的时间一共是（ ） A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ c ） A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（A ） A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列
等差数列求和教案
等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重
要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法.
六年级奥数第4-6讲(等差数列-等比数列-找规律填数)
知识导航： 把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的差（常数）记为d ，则有d a a +=12；d a d a a 2123+=+=；d a d a d a a 321234+=+=+=；……d n a a n )1(1-+= 2)1(2)(11321÷-?+?=÷+?=+???+++=d n n a n a a n a a a a s n n n 1、在???、、、、、14 5114835221这一列数中的第8个数是 2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、 、 。 3、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。 4、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？ 5、梯子的最高一级宽32cm ，最低一级宽110cm ，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算当中一级的宽。
知识导航： 把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的比记为q ，则有q a a 12=；2123q a q a a ==；3134q a q a a ==；……11-=n n q a a q q a q a q a a a a a s n n n n --=-?-=+???+++=1)1(111321 1、根据规律填空：3、5、9、17、 、65。 2、观察算式，填入括号内 19=1×9+（1+9）；29=2×9+（2+9）；39=3×9+（3+9）； 那么1289= =N ×9+（N+9） 3、在一列数2，2，4，8，2，…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。按这个规律，这列数中的第2004个数是 。 4、根据下列数字排列规律写出第6个数：2，3，29，4 27，…。 找规律填数
二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列；
四年级下册数学试题-奥数培优：利用等差规律计算(含答案)全国通用
课 题 利用等差规律计算【精品】 教学内容 在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算 得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律． 1+2+3+---+98+99+100 50101 =1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（） = 101×50, 即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050. 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫 第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如： 1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ； l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5． 由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律： 项数=（末项首项）÷公差+1 第几项=首项+（项-1）×公差 总和=（首项十末项）×项数÷2 本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式 计算下面各题： (1) 2+5+8+…+23+26+29; (2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99) 解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，
原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155. (2)解法一 原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2 =2550 - 2500=50, 解法二 原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99） =l×50= 50. 两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好 计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010 如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列： 1，2，3，4，…，2008，2009，2010. 所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商 解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010 = (1- 2010)×2010÷2÷2010 =1000. 5 此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。 计算： （1）1+3+5+…+197+199 （2）81+79+---+13+11; （3）1- 2+3 - 4+5 - 6+…+ 2009 - 2010 +2011. 你做对了吗？ 答案：（1）10000 （2）1656 （3）1006
(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（） A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（） A. B. C. D. 3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（） A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则 a2+a1007+a2012=（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______． 4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______． 5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ． 6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ． 7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．
证明或判断等差(等比)数列的常用方法
证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来． 一、利用等差（等比）数列的定义 在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 ， 记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…． （Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+， 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，， 猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ， 所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
小学奥数计算专题之等差数列
小学奥数计算专题之等差数列习题 一、下面一列数是按照下列规律排列的：3,12,21,30,39,48，... （1）第23个数是多少？（2）912是第几个数？ 二、数列3,6,9,12,15,18，...，300,303是一个等差数列，153是第几个数？这个等差数列中所有数的和是？ 三、1到100各数，所有不能被6整除的自然数的和是？ 四、求2+3+7+9+12+15+17+21+22+27+27+33+32+39+37+45为多少？ 五、一串数按下述规律排列：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4，5,6，... 从左边第一个数起到第180个数，这180个数的和是多少？
参考答案 一、（1）3+（23-1）×9=201 （2）（912-3）÷9+1=102 二、（1）（153-3）÷3+1=51 （2）项数：（303-3）÷3+1=151 和：（3+303）×151 ÷2=23103 三、1+2+3+...+100=（1+100）×100÷2=5050 能被6整除：6+12+...+96 项数：（96-6）÷6+1=16 6+12+...+96=（6+96）×16÷2=816 不能被6整除的：5050-816=4234 四、分成两个数列： 2+7+12+17+22+27+32+37=（2+37）×8÷2=156 3+9+15+21+27+33+39+45=（3+45）×8÷2=192 所以结果为156+192=348 五、每三个数为一组，称为一个等差数列 180÷3=60，所以最后一组三个数为：60,61,62 新的等差数列为：6,9,12，...，183 和为：（6+183）×60÷2=5670
等差等比数列基础练习题一
等差数列练习题 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、 -101 C、101 D、-89 2．等差数列{a n}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为（） A、4 B、5 C、 6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1+a7=42， a10-a3=21，则前10项的S10等于（） A、 720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（） A、 B、 C、或 1 D、 6、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数 列{C n}，其通项公式为（） A、 C n=4n-3 B、 C n=8n-1 C、C n=4n-5 D、C n=8n-9 7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（） A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列{a n+b n}的前100项和为（） A、 0 B、 100 C、10000 D、505000
二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n=m，a n+m=0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。 11．在等差数列{a n}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到 a30的和是 ______ 。 12．已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各 项之和为 ______ 。 三、解答题 13．已知等差数列{a n}的公差d=，前100项的和S100=145 求： a1+a3+a5+……+a99的值。 14．已知等差数列{a n}的首项为a，记 (1)求证：{b n}是等差数列 (2)已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为 3 ：2，求{b n}的公差。
等差数列求和公式的
等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考
问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2
等差数列及规律性问题
等差数列公式： 一、求和 1．(首项＋尾项)×项数÷2 2．中间数×项数→仅限项数是单数 二、求项数 (尾项－首项)÷公差＋1 三、求任意项(尾项) 尾项＝首项＋(项数－1)×公差 四、求任意两项之差 a m －a n ＝(m －n )×d 1＋4＋7＋ (301) 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个，第二只摘2个，第三只摘3个，依此类推后面的小猴比都它前面那只多摘1个野果，最后它们平均每只小猴分得9个野果，这群小猴共有多少只？ (2006年第四届“小机灵杯”四年级第6题)工作9天后，农民王伯伯共挣得135元，其中每一天所挣得都比前一天多3元，他最后一天挣了多少元？ 在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609，东东发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列。请问：东东正确的分数是多少？ 例4 例3 例2 例1 等差数列及规律性问题
例5 请你观察下图的规律求出1所在的那一行第2011个数是几。 10 …… 5 11 …… 2 6 12 …… 1 3 7 13 …… 4 8 14 …… 9 15 …… 16 …… 例6 请你观察下图的规律指出这个表格第15行第2个数是几。1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 ………………
测试题 1．计算：2＋6＋10＋…＋398的结果等于( ) A．19996 B．20000 C．20004 D．200000 2．小红有个十分有趣的习惯——撕日历，每天早上起床她都要把前一天的日历撕掉，今年八月妈妈带她出去旅游了5天，回来后她迫不及待地撕掉了连续的5页日历，这五页上面的日期和是100.小朋友们你知道她是几号旅游归来的吗？ A．22 B．23 C．21 D．20 3．王芳大学毕业找工作，她找了两家公司，都要求签订工作5年的合同，年薪开始都是1万元，但两个公司加薪方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司承诺每半年加薪300元。以5年计算，王芳应聘哪家公司收入更高？( ) A．甲B．乙C．一样高 D．无法比较 4．请你观察下图的规律，1所在的那一行第2008个数是( )。 10 …… 5 11 …… 2 6 12 …… 1 3 7 13 …… 4 8 14 …… 9 15 …… 16 …… A．4034073 B．4036081 C．4030056 D．4030057 5．请你观察下图的规律指出这个表格第20行第2个数是几。 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 ……………… A．400 B．364 C．404 D．362 6．下面数列的规律是什么？请你找到规律后指出第20个数是( )。 1，203，202，1，201，200，1，199，198…… A．189 B．190 C．191 D．192
等差数列、等比数列基础题
等差、等比数列 一、选择题： 1.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.12 D.2 2、在等比数列{n a }中，44a =，则26a a ?等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3、在等比数列{n a }中，333S a =，则其公比q 的值为（ ） A. 12- B. 12 C. 1或12- D.1-或12 4.已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 5、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（ ） A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 6、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{}n a 的前7项的和为（ ） A.63 B.64 C.127 D.128 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 53 C.- 2 D 3 8、设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S 等于（ ） A.2 B.4 C.215 D.2 17 9、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( ) A. 52 B. 7 C. 6 D. 42 二、填空题： 11、已知{}n a 是等比数列，22=a ，434=-a a ，则此数列的公比=q _________； 12、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则=k _________； 13、若数列{}n a 的前n 项和n S a n -=3，数列{}n a 为等比数列，则实数a 的值是_________；
(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案.doc
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1， ，若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 2013 ） ，则 S 的值为（ A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1= ， a 1= ，则 a 2017=（ ） A. B. C. D. 3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4. 已知正项数列 { a n } 满足 ，若 a 1=1，则 a 10= （ ） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5. 若数列 {a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（ ） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6. 已知等差数列 { a n n 6 3 7 ） } 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（ A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2 -10x+16=0 两根，则 a 2+a 1007+a 2012=（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5， 则 k=（） A.2 B.3 C.4 D.5
9.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______． 4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n =______． 5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n = } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N ______ ． 6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ． 7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
计算等差数列混合练习题
周一 类型一：（直接利用乘法分配律） 76.3×27－76.3×17 15×23＋35×23 63×43＋57×63 93×72＋93×7 5 325×113－325×13 2.8×48－8×2.8 177171123?+? 215 2-52101?? 类型二：（提示：把102看作100＋2；81看作80＋1，再用乘法分配律） 69×102 56×101 52×102 125×81 25×42 类型三：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律） 31×99 42×98 85×98 125×79 25×39
类型四：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律） 83＋83×99 5.6＋5.6×99 75×101－75 91×31－91 65-6531? 359 5 95?+ 周二 计算：① 3.2×（1.5+2.5）÷1.6 ② 6.5×（4.8-1.2×4） ③ 120-36×4÷18+35 ④（3.2×1.5+2.5）÷1.6 ⑤ 0.12×4.8÷0.12×48 ⑥（58+37）÷（64-9×5）
⑦ 21111-229÷ ⑧ 138 10313713813735?+? ⑧ 5600÷（28÷6） ⑨ 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6) 周三 类型一：连除等于除以它们的积A ÷B ÷C=A ÷(B ×C) 例：420÷35=420÷7÷5=60÷5=12 1. 根据规律填空使等式成立① 2000÷125÷8=2000÷（___×___） ② 500÷25÷0.4=500÷(___×___) ③ 360÷24=360÷____÷____ ④ 860÷(86×0.4)=860÷____÷____ 2.计算 (126×56)÷(7×18) 84.5÷12.5÷8 8.376÷ 3.2÷2.5 类型二：除以一个数等于乘以这个数的倒数 3.计算 5 9 5491474371353251÷+÷+÷ 765×213÷27＋765×327÷27
等差、等比数列证明(补差1)
1. 等差、等比数列证明 例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。 解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 例2： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列； 证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。
例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。 注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。 例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。 证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。） 又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-