反比例函数易错题汇编及答案解析

反比例函数易错题汇编及答案解析

一、选择题

1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y k

x

=（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为25，则k 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

【答案】C 【解析】 【分析】

过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值． 【详解】

过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，

∵A ，B 两点在反比例函数y k

x

=（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （

4

k

，4），B （2k ，2），

∴AE ＝2，BE 12=k 14

-k 1

4=k ，

∵菱形ABCD 的面积为5 ∴BC×AE ＝5BC 5=

∴AB ＝BC 5=

在Rt△AEB中，BE22

AB AE

=-=1

∴1

4

k＝1，

∴k＝4．

故选：C．

【点睛】

本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．

2．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝k

x

的图象在第一象限

相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）

A．6 B．9 C．12 D．18

【答案】C

【解析】

【分析】

设OB＝a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k．【详解】

作CD⊥x轴于D，

设OB＝a，(a＞0)

∵△AOB的面积为3，

∴1

2

OA?OB＝3，

∴OA＝6

a

，

∵CD∥OB，

∴OD＝OA＝6

a

，CD＝2OB＝2a，

∴C(6

a

，2a)，

∵反比例函数y＝k

x

经过点C，

∴k＝6

a

×2a＝12，

故选C．

【点睛】

本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．

3．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数k

y

x

(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为

A．12 B．20 C．24 D．32

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.

∴根据勾股定理，得：OC=5.

∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.

∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，∴.

故选D.

4．如图，点A是反比例函数y＝k

x

（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形

ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（）

A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4

【答案】B

【解析】

【分析】

作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|．

【详解】

解：作AE⊥BC于E，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥x轴，

∴四边形ADOE为矩形，

∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，

而S矩形ADOE=|k|，

∴|k|=8，

而k＜0

∴k=-8．

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数y=k

x

（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=

k

x

（k≠0）图象

上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

5．如图直线y＝mx与双曲线y=k

x

交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若

S△AMB＝2，则k的值是()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．

【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝1

2

|k|＝1，

则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y＝k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

6．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线

k

y

x

=过点F，交

AB于点E，连接EF．若BF2

OA3

=，S△BEF＝4，则k的值为（）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】A 【解析】【分析】

由于

2

3

BF

OA

=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4

m

，然后即可

求出E（3m，n-4

m

），依据mn=3m（n-

4

m

）可求mn=6，即求出k的值．

【详解】

如图，过F作FC⊥OA于C，

∵

2

3 BF

OA

=，

∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4

∴BE=4 m

则E（3m，n-4

m

）

∵E在双曲线y=k

x

上

∴mn=3m（n-4

m

）

∴mn=6

即k=6．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．

7．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与

函数

1

y

x

=-、

2

y

x

=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）

A ．逐渐变小

B ．逐渐变大

C ．时大时小

D ．保持不变

【答案】D 【解析】 【分析】

如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到

BE OE OF AF =；设B 为（a ，1

a

-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a

-，OF=b ，AF=2

b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关

键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=2

2

为定值，即可解决问题． 【详解】

解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ， 则△BEO ∽△OFA ， ∴

BE OE

OF AF

=， 设点B 为（a ，1a

-），A 为（b ，2

b ），

则OE=-a ，EB=1a

-

，OF=b ，AF=2

b ，

可代入比例式求得222a b =，即2

2

2

a b =

， 根据勾股定理可得：22221OE EB a a +=+

222

2

4OF AF b b +=+ ∴tan ∠OAB=22

2

2

222

2

1

224

4b a OB a b OA b b b

b

++==++222214()24b b b b ++22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变. 故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．

8．使关于x 的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=

图象过第一、三象

限时满足条件的所有整数k 的和为（ ）.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】B 【解析】

试题分析：分别根据题意确定k 的值，然后相加即可．∵关于x 的分式方程=2的解为

非负数，∴x=

≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=

图象过第一、三象限，∴3﹣k ＞

0，解得：k ＜3，∴-1≤k ＜3，整数为-1,0,1，2，∵x ≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B ． 考点：反比例函数的性质．

9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线

k

y x =

上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3倍，则k 的值为:（ ）

A ．6-

B ．4-

C ．3-

D ．12-

【答案】A 【解析】 【分析】

过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明

,DCF ABO ???利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3

倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ． 【详解】

解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ， 则,CF DF ⊥

ABDC QY ，

,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC = CDF BAO ∴∠=∠， 90,DFC BOA ∠=∠=?Q ,DCF ABO ∴??? ,,CF BO DF AO ∴==

设(,

),k C m m

由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,

3)k

D m m

++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3倍，

11

()322BD BE DE CA h h BE ∴+=??， ,,BD BE h h AC BD ==Q

3DE AC BE ∴+=， 4,DE BD BE BE ∴++=

2,DB BE ∴=

(1,

3),(1,0),0,E k

D m B x m

++=Q ∴ 由中点坐标公式知：

11

0,2

m ++= 2m ∴=- ，

(1,)1k

D m m ++Q ，

3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=- 故选A ．

【点睛】

本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．

10．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1

y x

=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010

B ．

011

C ．01

1

32

D ．

01

【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1

y x

=

的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围．

【详解】

解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2

y x 2=+与1

y x

=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．

当x=14时，2

1y x 2216=+=，1y 4x

==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，2

1229y x =+=，1y 3x

==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=

12时，2

1224y x =+=，1y 2x

==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2

y x 23=+=，1

y 1x

=

=，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011

． 故选C ． 【点睛】

此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

11．函数y =1-k

x

与y =2x 的图象没有交点,则k 的取值范围是( ) A ．k<0 B ．k<1

C ．k>0

D ．k>1

【答案】D 【解析】 【分析】

由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k 的取值范围． 【详解】

令

1-k x =2x ，化简得：x 2=1-2k ；由于两函数无交点，因此1-2k

＜0，即k ＞1． 故选D ． 【点睛】

函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函

数解析式所得的方程（组）无解．

12．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k

y x x

=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．2524

k ≤≤ B ．26k ≤≤ C ．24k ≤≤ D ．46k ≤≤

【答案】A 【解析】 【分析】

由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论． 【详解】

解：令y ＝?x ＋5中x ＝1，则y ＝4， ∴B （1，4）；

令y ＝?x ＋5中y ＝2，则x ＝3， ∴A （3，2）， 当反比例函数k y x

=（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ，

解得：k ＝2，

将y ＝?x ＋5代入k

y x

=中，整理得：x 2?5x ＋k ＝0， ∵△＝（?5）2?4k≥0，

∴k ≤254

，

当k ＝25

4时，解得：x ＝52， ∵1＜

5

2

＜3， ∴若反比例函数k y x

=

（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254，

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．

13．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数

y=k

x

(x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k

的值为 ()

A．1

3

B．1 C．2 D．3

【答案】D 【解析】【分析】

连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC=1

2

S△OAB=

3

2

，再根据反比例函数系数k的

几何意义得到1

2

|k|=

3

2

，然后利用反比例函数的性质确定k的值．

【详解】

连接OC，如图，

∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，

∴S△AOC=1

2

S△OAB=

3

2

，

而S△AOC=1

2

|k|，

∴1

2

|k|=

3

2

，

∴k=3． 故选：D ． 【点睛】

此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于掌握在反比例函数y=

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

14．反比例函数k

y x

=

在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．8

【答案】B 【解析】 【分析】

根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案. 【详解】

∵点（1，3）在反比例函数图象下方， ∴k>3，

∵点（3，2）在反比例函数图象上方，

∴

3

k

<2，即k<6， ∴3

本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.

15．如图，在平面直角坐标系中，函数 y = kx 与 y = -2

x

的图象交于 A 、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数4

y x

=

的图象于点 C ，连接 BC ，则△ABC 的面积为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.

【详解】

连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，

如图，

∵反比例函数y=-2

x

为对称图形，

∴O为AB 的中点，∴S△AOC=S△COB，

∵由题意得A点在y=-2

x

上，B点在y=

4

x

上，

∴S△AOD=1

2

×OD×AD=

1

2

xy=1；

S△COD=1

2

×OC×OD=

1

2

xy=2；

S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，

∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.

故答案选C.

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.

16．如图，点A，B是双曲线

18

y

x

=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点

C为双曲线

k

y

x

=在第二象限的分支上一点，当ABC

V满足AC BC

=且:13:24

AC AB=时，k的值为（）．

A．

25

16

-B．

25

8

-C．

25

4

-D．25

-

【答案】B

【解析】

【分析】

如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出

2

()

COF

AOE

S OC

S OA

?

?

=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2

()

COF

AOE

S OC

S OA

?

?

=＝

25

144

，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝

25

16

，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．

【详解】

解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．

∵A、B关于原点对称，

∴OA＝OB，

∵AC＝BC，OA＝OB，

∴OC⊥AB，

∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，

∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，

∴∠COF＝∠OAE，

∴△CFO∽△OEA，

∴

2

()COF AOE S OC S OA

??=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ， ∴CA ：OA ＝13：12， ∴CO ：OA ＝5：12， ∴

2()COF AOE S OC S OA ??=＝25144

， ∵S △AOE ＝9， ∴S △COF ＝25

16

， ∴

||25

216

k =， ∵k ＜0， ∴258

k =-

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

17．若反比例函数()2

2

21m y m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）

A ．-1或1

B ．小于

1

2

的任意实数 C ．-1 D ．不能确定

【答案】C 【解析】 【分析】

根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可． 【详解】

解：2

2

(21)m

y m x -=-Q 是反比例函数，

∴221m -=-，210m -≠，

解之得1m =±．

又因为图象在第二，四象限， 所以210m -<， 解得1

2

m <

，即m 的值是1-． 故选：C ． 【点睛】

对于反比例函数()0k

y k x

=

≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．

18．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=

k

x

在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】D 【解析】

【分析】依据抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k ＜0，进而得出一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=k

x

的图象在第二四象限，据此即可作出判断.

【详解】∵抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点， ∴△=4﹣4（k+1）＞0， 解得k ＜0，

∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限， 反比例函数y=k

x

的图象在第二四象限， 故选D ．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.

19．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k

y x

=在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，3

4

AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）

A ．1

B ．3

2

C ．2

D ．23【答案】B 【解析】

【分析】

设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长. 【详解】 设OA=4a

根据

2CE BE =，3

4AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a) 将这两点代入解析得；

3444k a a

k a a ?=???

?=

?+?

解得：a=

1

2 ∴BC=AD=32

故选：B 【点睛】

本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.

20．若函数2

m y x

+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2 B ．m ＜﹣2 C ．m ＞2 D ．m ＜2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】

∵函数2

m y x

+=

的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m ＜-2． 故选B ．