量子力学考研模拟题参考答案[1]1
量子力学考研模拟题参考答案
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -⋅=
ψ
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的
取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=
。
4、)ˆˆ(22x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2
=+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(2
2x x p x x p i -是厄密算符。
5、设F
ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F
ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有
42
2
2
k )G ˆ()F
ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。 坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系为：2ˆ
≥∆⋅∆x p
x
二、解1、由于1ˆ2=A
，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A
ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121
12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，
21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01
12
12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
=010*
12
*12b b *12121b b =∴
令δ
i e b =12，其中δ为任意实常数，得B
ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-00)(ˆδδi i e
e A B
2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A
在B 表象中算符A ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e ，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e
⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00
λβαβλαδ
δi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0
=---λ
λδ
δi i e
e ⇒ 012
=-λ 1±=∴λ
对1=λ有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
121δϕi A
e ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
121δϕi A e 所以，在B 表象中算符A
ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121δi e 3、类似地，在A 表象中算符B
ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121δi e 从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B
ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-1121δδ
i i e e S
三、解： 已知氢原子的本征解为：
)
3,2,1(1
22
02 =-
=n n a e E s n
),()(),,(ϕθϕθφlm nl nlm Y r R r =，将)0,(r ψ向氢原子的本征态展开， 1、)0,(r ψ=∑nlm
nlm nlm
r c
)
,,()0(ϕθφ，不为零的展开系数只有三个，即
21)0(210=
c ，
21)0(310-=c ，21)0(1
21=-c ，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54
，于是归一化的展开系数为：
51
5421)0(210=
=
c ，
525421)0(310-=-=c ， 52
5421
)0(121==-c
（1）能量的取值几率
535251)0,(2=+=
E W ，52
)0,(3=E W ，
平均值为：
3
252
53E E E += （2）2L ˆ取值几率只有：
1)0,2(2= W ，平均值222ˆ =L
（3）z L ˆ
的取值几率为：
535251)0,0(=+=
W ，52)0,(=- W ，平均值
52ˆ-=z L 2、0>t 时体系的波函数为：),(t r ψ=∑-
nlm
n nlm nlm t E i
r c )ex p(),,()0( ϕθφ
)exp(),,()0()exp()],,()0(),,()0([33103102121121210210t E i
r c t E i r c r c
-+-
+=--ϕθφϕθφϕθφ)
ex p(),,(52)ex p()],,(52),,(51[33102121210t E i
r t E i r r ---+=-ϕθφϕθφϕθφ 由于E 、2L
ˆ和z L ˆ皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与0=t 时的结果是一样的。
四、解：（1）H ˆ的本征值是方程0)ˆdet(=-I H λ的根
)
34)(2(20
030
1022C C C C C -+---=----=λλλλ
λλ
结果：2-=C λ，212C +±=λ，这是H
ˆ的精确解。 （2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：)
2()1()0(n n n n E E E E ++=
由题设可知：能量的一级修正为：011='H ，022
='H ，C H ='33
对于二级修正，有：
2)2(103122)
0(3)0(13113)0(2)0(12112)
2(1C C E E H H E E H H E -=--+-=-''+-''= 2
)2(301322)
0(3)0(23223)0(1)0(21221)
2(2C C E E H H E E H H E =--+-=-''+-''=0)
0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3=-''+-''=E E H H E E H H E 所以，2121C E -=，
2322C E +=，C E +-=23 将2
12C +±=λ展开：)
2
1
1(21222 ++±=+±=C C λ
=⇒1λ2213C +，=2λ2211C -，
)1(2
< 五、解：0 21)2(212212121=-+-=+++=++ i i iS S S y x ， 2121)2(212212121+=+-++=-+-=- + i i iS S S y x 2121)2(212212121- =---=+-+=+- i i iS S S y x 021)2(212212121=+--+=---=- - i i iS S S y x 所以+S 和-S 分别作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+012 1和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果是 021=+ +S ，2121+=-+ S ，2121-=+- S ，021 =--S 结果表明：称+S 为自旋升算符是合理的，因为它将z 方向的自旋从2 -增加到 2 。同样，称-S 为自旋降算符，因为它将z 方向的自旋从2 降到2 -。+S 和-S 容许我们从z S 的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。 561 模拟试题 试题1 一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()?θ?θ?θ?θψ,Y R 2 1,Y R 21,Y R 21 ,,112110311021 ---= r r r r 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。 二. （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ 2??2 0时，能级是0 n E ，如果哈密顿算符变成μαp H H ?? ?0+=（α为实参数），求变化后 的能级n E 。 三. （20分）质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中， ()???>≤=0 ,0 ,01 0x V x x V 且 0>c ，01>V , 求其负的能量本征值。 四.（20分）已知在2L 与z L 的共同表象中，算符y L ?的矩阵形式为 562 ???? ? ? ?--=0i 0i 0i 0i 02? y L 求y L ?的本征值和归一化的本征矢。 五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为μ，角频率皆为ω， 加上微扰项2 1 ?x x W λ-=（2 1 ,x x 分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 试题2 一.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于 ()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量 p ?与动能T ?的取值几率分布及平均值。 二. （20分）质量为m 的粒子处于如下一维势阱中 ()?????>>≤≤<∞=a x V a x x x V )0(0 ,00 .0 若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20 V E =的状态，试确定此势 阱的宽度a 。 三. （20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢1u 、2 u 和3u 构成的，以其为基矢的两个算符H ?和B ?的矩阵形式如下 考研物理化学（量子力学基础、统计热力学初步）模拟试卷1 (总分：66.00，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：11，分数：22.00) 1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.所谓的品优波函数的特点是______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 3.在立方势箱中，某平动能级的n x2 +n y2 +n z2 =45，则该能级的多重度为______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 4.设有6个可辨粒子，分配在三个能级ε1，ε2，ε3中，其中n 1 =3，n 2 =2，n 3 =1。(1)若不考虑能级的简并度，则可能的微观状态数为______。(2)若各能级的简并度分别为g 1 =4，g 2 =3，g 3 =1，则可能的微观状态数为______。若粒子不可区分，问题(1)的答案是______，问题(2)的答案是______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 5.通常情况下，分子的平动、转动和振动的能级间隔△εt，△εr，△εv分别约为10 －16 kT，10 －2 kT和10kT，则相应的Boltzmann因子 2.00） __________________________________________________________________________________________ 6.当热力学体系的熵值增加0．5 J.K －1时，体系的微观状态数 2.00） __________________________________________________________________________________________ 7.应用Boltzmann分布定律，25℃时，在两个非简并的、不同能级上的粒子分配数之比为______。(设两个能级的能量差为8．314 kJ.mol －1 )（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 8.理想气体平衡态时的微观状态数为______；晶体中最可几分布的微观状态数为______。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.三维平动子基态能级的简并度为______，第一激发态能级的简并度为______ 2.00） __________________________________________________________________________________________ 10.CO 2分子的平动自由度为______，转动自由度为______，振动自由度为______，分子的对称数为______，转动配分函数为______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 11.系综可以分为______系综、______系综和______系综三类。正则系综的配分函数Z定义为______，粒子配分函数q的定义为______。对定域子独立子体系，Z和q的关系为______；对离域子独立子体系，Z和q 的关系为______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 二、单项选择题(总题数：15，分数：30.00) 12.单项选择题下列各题的备选答案中，只有一个是符合题意的。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 13.2sinx是算符二阶导数的本征函数，其本征值为( )（分数：2.00） A.一1 B.一2 C.1 D.2 14.ψ(3，2，1)代表简并轨道中的( )（分数：2.00） 量子力学考研模拟试题(1)答案 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？ 解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。 （2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2 (,) r t ψ 的 物理意义是什么？ 解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2 (,) r t ψ 表示在ｔ时刻r 附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。 （3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解 当粒 束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。 （5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p 是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 解 对易关系为[]ˆ,x x p i = 不确定关系为Δx ·Δ2 x p ≥ 。 （6）厄米算符ˆF 的本值n f 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。 二（20分）设氢原子处于 2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-= -的状态上， 求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均 值。 解 选{} 2 ,,Z H L L 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 2 241 2n e E n μ- = 量子力学考研题库 量子力学考研题库 量子力学是现代物理学中的一门重要学科，对于理解微观世界的奇妙现象具有重要意义。考研是许多学子迈向科研之路的重要阶段，因此掌握量子力学的知识对于考研生来说尤为重要。在这篇文章中，我们将建立一个量子力学考研题库，帮助考生更好地复习和巩固所学知识。 1. 简答题 (1) 什么是波粒二象性？ 答：波粒二象性是指微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质的特点。根据波粒二象性，微观粒子既可以像波一样传播，表现出干涉和衍射现象，也可以像粒子一样具有确定的位置和动量。 (2) 什么是量子力学的基本假设？ 答：量子力学的基本假设包括波函数的存在和波函数演化的规律。波函数是描述微观粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。根据波函数演化的规律，波函数会随着时间的推移而发生变化，可以通过薛定谔方程进行描述。 2. 计算题 (1) 一个自旋为1/2的粒子处于自旋向上和自旋向下的叠加态，其波函数为 |ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β为复数，满足|α|^2+|β|^2=1。求该粒子自旋向上和自旋向下的概率分别是多少？ 答：自旋向上的概率为|α|^2，自旋向下的概率为|β|^2。 (2) 一个处于束缚态的氢原子的波函数可以表示为|ψ⟩=R(r)Y(θ, φ)，其中R(r)为 径向波函数，Y(θ, φ)为角向波函数。求氢原子的波函数的归一化条件。 答：归一化条件要求波函数的模方在整个空间上积分等于1，即∫|ψ|^2dV=1。对于氢原子的波函数，归一化条件可以写为∫|R(r)|^2r^2sinθdrdθdφ=1。 3. 应用题 (1) 请简要介绍量子力学在材料科学中的应用。 答：量子力学在材料科学中有着广泛的应用。例如，通过量子力学的理论计算 和模拟，可以研究材料的电子结构、能带结构和光学性质，为材料的设计和合 成提供理论指导。此外，量子力学还可以用于研究材料的磁性、超导性等性质，以及纳米材料和量子点等微观结构的特性。 (2) 请简要介绍量子力学在量子计算中的应用。 答：量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新兴计算方式。量子计算 利用量子比特的叠加和纠缠等特性，可以在某些情况下比传统计算方式更高效。例如，量子计算可以在一次计算中同时处理多个可能性，从而加快计算速度。 此外，量子计算还可以用于解决一些传统计算方式难以处理的问题，如因子分 解和优化问题等。 通过以上题目的练习，考生可以更好地理解和掌握量子力学的基本概念和计算 方法。希望这个量子力学考研题库能够对考生复习和备考有所帮助。祝愿大家 在考试中取得好成绩！ 量子力学考研模拟题参考答案 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -⋅= ψ 2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的 取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-= 。 4、)ˆˆ(22x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2 =+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(2 2x x p x x p i -是厄密算符。 5、设F ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有 42 2 2 k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。 坐标x 和动量x p ˆ之间的测不准关系为：2ˆ ≥∆⋅∆x p x 二、解1、由于1ˆ2=A ，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ， 21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01 12 12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =010* 12 *12b b *12121b b =∴ 令δ i e b =12，其中δ为任意实常数，得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=-00)(ˆδδi i e e A B 2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A 一、填空题 1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】 2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数 【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067 （2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为 （2）A 【解析】取x为原点，则有波函数为 所求概率即 4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性 5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。 【答案】 6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。 【答案】 二、选择题 7．__________。 【答案】 8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的 取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。 【答案】 9．（1）_____；（2）_____。 【答案】 量子力学考研模拟题(2) 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确农业环境保护值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明交 换算符12 ˆP 是一个守恒量。 2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπϕθψϕ+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ˆ的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，ϕθπ i e Y ±±=sin 8311 。 五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，απαψx n n sin 2 =， （n=1，2，3…） 量子力学考研真题 量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。 本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。 首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。量子力学是物理学的基础，它不 仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。 其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。下面关于波函数的哪种 说法是正确的？ A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。 B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。 C. 波函数只能用来描述电子的行为。 D. 波函数的实部表示粒子的动量。 这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。正确答案是B。波 函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。这道题目考察了考生对波函数的基本 概念的掌握程度。 除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。以下是一道典型的 计算题： 题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？ A. 1/2 B. 1/4 C. 0 D. 1 这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。正确答案是C。根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。 除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。这些内容需要考生有较强的数学基础和物理直觉，才能够进行深入的理解和分析。 综上所述，量子力学在考研中是一个重要的考点，对于物理学专业的考生尤为重要。通过掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具，考生可以更好地应对考试中的相关题目。同时，深入理解量子力学的原理和应用也有助于考生在物理学领域的研究和发展。希望本文对考生们在量子力学的学习和考试中有所帮助。 周世勋量子力学考研题库 周世勋量子力学考研题库 周世勋是一位备受尊敬的量子力学教授，他对量子力学的研究和教学成果卓著。他的贡献不仅体现在他的学术论文和著作中，还体现在他编写的量子力学考研 题库中。这个题库成为了许多考生备战考研的必备资料。本文将介绍周世勋量 子力学考研题库的特点和优势。 首先，周世勋量子力学考研题库的特点在于题目的多样性和难度的递进性。这 个题库涵盖了量子力学的各个方面，包括基本原理、波函数、算符、测量等等。题目的难度从简单到复杂逐渐增加，考生可以根据自己的水平选择适合的题目 进行练习。这种递进性的设计有助于考生逐步提高自己的理论水平和解题能力。其次，周世勋量子力学考研题库的优势在于题目的质量和解析的详细性。每个 题目都经过周世勋教授的精心设计和筛选，确保题目的准确性和科学性。同时，每个题目都附有详细的解析，包括解题思路、关键步骤和计算过程。这种详细 的解析有助于考生理解和掌握解题方法，提高解题的准确性和效率。 第三，周世勋量子力学考研题库的独特之处在于注重实践和应用。除了基础理 论题目，这个题库还包括了一些实践和应用题目，例如实验设计、数据分析和 问题解决等。这些题目能够帮助考生将理论知识与实际问题相结合，培养他们 的实践能力和创新思维。 此外，周世勋量子力学考研题库还提供了一些辅助学习资料，例如复习笔记、 参考书目和学习指导等。这些资料能够帮助考生更好地理解和掌握量子力学的 知识，提高他们的学习效果和考试成绩。 总之，周世勋量子力学考研题库是一份优秀的学习资料，它的多样性、难度递 进性、题目质量和解析详细性都是其特点和优势所在。考生通过使用这个题库，可以提高自己的理论水平和解题能力，为考研的成功打下坚实的基础。无论是 准备考研还是深入研究量子力学，这个题库都是一份不可或缺的学习资料。 ⎨ ⎩ = , = 2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业： 理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理 考试科目： 量子力学科目代码： 661 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、简答题（每小题 10 分，共 50 分） 1. 写出波粒二象性的德布罗意公式。 2. 什么样的状态是定态? 3. 全同费米子的波函数具有什么特点? 4. 简述坐标和动量的测不准关系的主要内容。 5. 为什么量子力学的力学量算符是厄密算符？ 二、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1. 证明 [L ˆx , L ˆy ] = i h L ˆz 。 2. 设算符a ˆ 具有性质a ˆ2 = 0, {a ˆ,a ˆ+} = 1, 定义算符 N ˆ ≡ a ˆ+a ˆ ，证明 N ˆ 2 =N ˆ 。 三、 计算题（每小题 20 分，共 80 分） 1. 一粒子在一维势场 ⎧∞, x < 0， U (x ) = ⎪0, 0 ≤ x ≤ a ⎪∞, x > a , 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2. 一维运动粒子的状态是 ⎧ Axe -λx , ψ (x ) = ⎨ x ≥ 0 ⎩ 0, x < 0 其中λ > 0 ，求 (1) 粒子动量的概率分布函数； (15 分) (2) 粒子动量的期望值。 (5 分) 3. 设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E 01 , E 02 。现在受到微扰 H ˆ ' 的作用，微扰矩阵元为 H 1'2 = H 2'1 = a , H 1'1 = H 2'2 = b , a , b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 4. 求电子自旋角动量算符 S ˆx h ⎛ 0 1 ⎫ 2 1 0 ⎪ S ˆy h ⎛ 0 2 i -i ⎫ 0 ⎪ 的本征值和所属的本征函数。 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 第- 1 -页，共- 1 -页 目录 第二章波函数和薛定谔方程 (2) 一、简答题 (2) 二、证明题 (6) 三、计算题 (7) 第二章 波函数和薛定谔方程 一、简答题 1.何谓微观粒子的波粒二象性？ 2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？ 3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。 4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？ 5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？ 6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。 7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？ 8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？ 9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。 10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(t r 描述，波函数应满足什么样的标准条件？ 波函数的物理意义是什么？ 11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。 12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？ 13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。 14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。 17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的 华中师范大学20××年研究生入学考试试题解答 一．设氢原子处于状态 ),(Y )r (R 2 3),(Y )r (R 21),,r (11211021ϕθ-ϕθ= ϕθψ- 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均 值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22s 222s 28e n 2e E μ-=μ-= )2n (= 角动量平方有确定值为 2222)1(L =+= )1(= 角动量Z 分量的可能值为 0L 1Z = -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 43 L Z 的平均值为 4 3 43041L Z -=⨯-⨯= 二．计算：（1）分别在x S ˆ和y S ˆ表象中，求出x S ˆ、y S ˆ和z S ˆ的矩阵表示。（2）粒子受到势能为⎩⎨ ⎧>≤-=a r ,0a r ,U )r (U 0的场散射，U 0>0,用玻恩近似计算微分散射截面。 解：（1）考虑到σ= 2 S ,我们先求x ˆσ 、x ˆσ和z ˆσ的矩阵表示。 在x σ表象中x ˆσ应为对角矩阵，对角元为的本征值，由12x =σ知x σ的本征值为±1，故 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=σ1001ˆx 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σd c b a ˆy ，因x ˆσ是厄米算符，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d b c a ** **，所以 a *=a,d *=d,即a,d 为实数，b=c *,b *=c 所以：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=σd b b a ˆ* y 由0ˆˆˆˆx y y x =σσ+σσ，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001d b b a d b b a 1001** 中科院量子力学考研真题及答案详解第一题:有两种题型，一种是考察一维势，即我们常说的一维无限深势阱，阱宽有两种，[0，a]和[-a,a]，我们要牢记这两种类型的波函数及能量通式。题目中可能给出在阱中的一自由粒子在某一时刻的波函数，让你求t时刻的波函数，处于基态的几率，粒子的位置动量能量的平均值，动量分布及动量能量的均方差。最新的一种考察动向是，当阱宽扩大时，让你求新基态的几率等。另一种是考察一维势散射，求反射系数和透射系数，这种题目是基本题目。 第二题:考察谐振子，可能是一维也可能是多维，结合微扰考察的几率较大.一般题目中给出哈密顿量，不是标准的谐振子，而是含有x,y和他们的多次幂，让你用微扰求能谱，这里用到一些公式和一些常见的变换。还有一种可能考察电荷受到某一方向的电场的作用(看成微扰)求能量本征值。 第三题:定域电子受(或有磁矩的其他粒子)磁场作用，题目中告诉你t=0时刻粒子具有某方向自旋角动量的取值(可以写出此时刻的波函数)，让求以后任意时刻粒子某方向自旋角动量为某一定植的几率。这种题目屡次考察，应引起重视。 第四题:考察自旋为1/2的两个粒子组成的系统，告诉你波函数，让你求某一态(经常考察纠缠态)中两粒子自旋平行，反平行，为零或一个粒子自旋朝上另一个粒子自旋朝下的几率，或一个粒子自旋朝上另一个粒子处于什么状态。 第五题:有两种可能，一种考察自旋轨道耦合结合微扰。另一种可能考察dirac 符号，因为你以后要学高量，高量中使用dirac符号比较频繁，这也是考察的重点。 (只是江湖行侠个人意见，仅共参考) 当然，我们学量子力学不仅仅是为了考试，量子力学是人类发展史上最伟大的理论，没有一门理论像他那样博大精深，他是自然科学王冠上最璀璨的宝石。没有量子力学就没有人类的现代文明，我们物理人更要把他发扬光大。 “我们可以没有相对论，但我们不能没有量子力学” 分析中科大中科院量子力学普通物理考研试题命题规律 一维势:06年第一题[—a,a]型.05年第三题[0，a]型.04第一题年[—a,a] 型.00年[0，a]型.99年第三题.98年第一题. 一维势散射:03年第二题.05年第一题.01年二题. 定域电子受磁场作用:03年第五题.99年第四题.98年第二题.97年第二题.96年第三题. 泡利距阵结合δn : 06年第四题.03年第四题.00年第四题.99年(实验型)第四题. 97 年(实验型)第五题 . 谐振子类谐振子结合微扰:05年第二题第四题.04第二题第四题.01年第五题第六题.00年第五题.99年第二题第五题.98年第三题.97年第四题. 下面总的分析一下普通物理，就近几年的试题来看: (1)力学一般3个题目，60分左右，占总分的40%。 (2)电磁学3个题目，60分左右，占总分的40%。 (3)原子物理2个题目，30分左右，占总分的20%。 下面分3部分分析一下普通物理: (一) 力学(三个题目) 第一个题目一般考察简单物体的运动，运用运动学和牛顿运动定律就能解决，此题属于送分题目，地球人都会做。 中科院量子力学考研真题及答案详解 中科院量子力学考研真题及答案详解 量子力学是现代物理学的重要分支，它揭示了微观世界的基本规律，对许多学科领域具有广泛的应用价值。中科院作为我国最重要的科研机构之一，其量子力学考研真题及答案详解备受关注。本文将结合历年考研真题，深入剖析量子力学的核心概念和解题方法，以期为考生提供有益的参考。 一、考研真题回顾 1、单摆小角度近似条件是什么？ 2、描述一个粒子在势能场V中的运动，并求其概率密度。 3、请解释量子力学中的“测不准原理”，并给出其数学表达式。 4、如何利用密度矩阵描述一个纯态？ 二、答案详解 1、单摆小角度近似条件是什么？答案：单摆小角度近似条件是摆角小于10°，此时可以忽略摆线的弯曲和空气阻力，简化为一个理想的单摆运动。 2、描述一个粒子在势能场V中的运动，并求其概率密度。答案：粒 子在势能场V中的运动满足薛定谔方程，其中势能V与位置x有关。通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数和概率密度。具体求解过程可参考量子力学教材。 3、请解释量子力学中的“测不准原理”，并给出其数学表达式。答案：量子力学中的“测不准原理”是指，对于微观领域的粒子，其位置和动量的测量精度受到一定的限制，即不可能同时精确测量粒子的位置和动量。这个限制是由海森伯提出，表现为以下数学表达式：ΔxΔp≥hbar/2，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的测量误差，hbar 是约化普朗克常数。 4、如何利用密度矩阵描述一个纯态？答案：密度矩阵是一种描述量子态的方法，特别适用于描述纯态和混合态。对于一个纯态，其密度矩阵是一个单一的矩阵，表示为|ψ⟩⟩ψ|，其中|ψ⟩是该纯态的波函数。而对于混合态，其密度矩阵由多个矩阵组成，表示为ρ=∑Wi|i⟩⟩i|，其中|i⟩是不同的量子态，Wi是对应量子态的概率权重。 三、解题方法总结 1、对于单摆小角度近似条件这类问题，需要理解理想化模型的条件和适用范围。 2、对于粒子在势能场中的运动问题，需要掌握薛定谔方程的求解方法。 量子力学山东大学考研题库 量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观领域的粒子行为和物质的性质。在山东大学考研题库中，量子力学是一个必考的科目，考察学生对于量子 力学的理论基础和应用能力。本文将从量子力学的基本原理、波粒二象性、量 子力学的数学描述以及一些常见的量子力学应用等方面进行探讨。 量子力学的基本原理是以波尔的量子化假设为基础的。根据波尔的理论，原子 中的电子只能存在于特定的能级上，电子在能级之间跃迁时会吸收或者释放能量，这解释了原子光谱的现象。波尔的量子化假设为量子力学的发展奠定了基础，它引入了能量量子化的概念，打破了经典物理学中连续性的观念。 波粒二象性是量子力学的核心概念之一。根据波尔的量子化假设，光的能量是 以量子的形式存在的，被称为光子。这表明光既可以被看作是波动的电磁辐射，也可以被看作是粒子的光子。类似地，电子和其他微观粒子也具有波粒二象性。这一概念的提出对于解释物质的微观行为和波动性质起到了重要的作用。 量子力学的数学描述是通过波函数来实现的。波函数是描述量子系统状态的数 学函数，它包含了有关粒子位置、动量、能量等信息。根据薛定谔方程，波函 数的演化可以用来预测量子系统的行为。波函数的模的平方给出了粒子在空间 中的概率分布，这与经典物理学中的粒子轨迹有所不同。波函数的演化过程中，会出现量子叠加和量子纠缠等现象，这些都是量子力学的独特之处。 在量子力学的应用方面，有许多重要的研究领域。其中一个重要的应用是量子 计算。量子计算利用量子叠加和量子纠缠的性质，可以进行更快速和更高效的 计算。量子计算机的研究已经取得了一些重要的进展，但仍然面临着许多挑战。另一个重要的应用是量子通信。量子通信利用量子纠缠的特性，可以实现更加 习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几 率为。 6．波函数的标准条件 为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质 是。 10．厄密算符的本征函数具 有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为 。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。 1 中国科学技术大学 2003年硕士学位研究生入学考试试题解析 考试科目：量子力学 一．【解答】 对于一些定义性的题目,首先一定要结合自己的知识深刻把握题目中给出的定义, 然后按照其定义来解答题目就行。 对于本题来说,你要明确什么是厄密算符,厄密算符是满足一定关系的算符即 (,)(,)A A φϕφϕ= 或A A += , 所以只要证明算符A a a =满足上述关系就能证明 其是厄密的,然后再根据正定算符的定义来证明其是正定算符, 则题目解答完毕. 证明如下： 1．设有任意矢量u ,v 则 * * * u A v a a v a v u a a a u v A u ==== 厄密 2 0u A u a a u u a ==≥ 正定 2．因为 ()()A A A A A A ++++++ == ,即A A + 满足厄密算符的定义,故其为厄密的。 再证明其正定性, 取A u w =, 则0u A A u w w +=≥, 即其也为正定算符！ 设n 为一表象的正交完备态集, 则有 ()n Tr A A n A A n + + = ∑, 再利用态的封 闭性 1n n n =∑, 得 ()n m Tr A A n A m m A n ++=∑∑ 2 ,2 ,0 m n m n n A m m A n n A m +==≥∑∑ 当且仅当矩阵元0m A n =时等号才会成立, 这等价于算符关系式0A =。 3．对于这一类型的题目没有什么诀窍可言，只是我们平时遇到的多了，自然而然就知道该如何着手去解答了，通常情况下这种类型的题目都是简单的数学推导，只不过中间再加点量子力学的算符特点而已。 令函数()Ax Bx f x e e =， 并对x 求微分得： Ax Bx Ax Bx f Ae e e Be x ∂=+∂ ()() Ax Bx Ax Ax Ax Bx Ax Ax Ae e e Be e e A e Be f x --=+=+ 利用公式 2 [,][,[,]]...2! xA xA x e Be B x A B A A B -=+++ ,由于题目中已经给出 [[,],][[,],]0A B A A B B == ，故 [,]xA xA e Be B x A B -=+ 所以 {}()[,]()f A B x A B f x x ∂=++∂ 2 1ln ()()[,]2 f x A B x x A B c =++ +， c 为常数。 根据 (0)1f = 得，0c =, 2 2 ()[,][] ()2 2 ()x x A B x A B A B A B x f x e e e ++ ++== 令 1x =得 1x =1 [,] 2 A B A B A B e e e e += 。 4．本题目主要考查力学量平均值的求法，以及对薛定谔方程的运用 力学量的平均值 ,A A ψψ= 薛定谔方程 i H t ψ ψ∂=∂ 证： 设ψ是归一化的，则有 ,A A ψψ=(完整word版)量子力学12套内部模拟试题(word文档良心出品)
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