微积分2习题答案

一、填空题

1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23

=-∞→x

x x P x ，3)(lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞→))(arcsin(lim 2

x x x x 6

π x x x 32623++↑

3．=???

?

?-∞→3

21lim x x x 32

-e

4．设A x x ax x x =-+--→1

4

lim

31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x

x

x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2

6．=?+→2

32031

sin

sin lim

x x x x x 31 7．函数)

2)(1(1+-+=x x x

y 的间断点是 1=x

8．为使函数()x x x f tan 1

?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1

9．设函数?????=≠-=00)1(3

x K

x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0

10

)(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2

二、单项选择题

1．设0>n x ，且n n x ∞

→lim 存在，则n n x ∞

→lim ②

①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=→11

lim e

x ③

①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→-

→x

x x x x

x 1

sin

lim )

1(lim 10 ④

①e ； ②1e -； ③1e +； ④1

1e -+

4．()()

213

++-=

x x x y 的连续区间是__________________ ②

①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3

③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11,

5．函数1

2

111

11+----=x x x x y 的不连续点有 ③

①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上

6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②

①x cos 1- ②2

x x + ③

x ④x 2sin

7．当+

→0x 时，x sin 与||x 相比是 ②

①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量

8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量

③低阶无穷小量 ④等价无穷小量

9．设()??

???=≠-=00

,3sin x k x x

x x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3

10．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件

③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件

11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ②

①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin

+ ②x x 1sin ? ③x x sin 1+ ④x x

sin 1

? 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③

①x x 1sin

+ ②x x 1sin ? ③x x sin 1+ ④x x

sin 1

? 14．设在某个极限过程中函数()x f 与()x g 均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷

大量 ③ ① ()()x g x f + ② ()()x g x f - ③ ()()x g x f ? ④

()()

x g x f 15．设()a x f =0，()b x f x x =-→0

lim ，()c x f x x =+

→0

lim ，则函数()x f 在点0x 处连续的充分必要条件是 ④

①b a = ②c a = ③c b = ④c b a ==

16．1=x 是??

?

??=≠--=-1

0111)(11

2x x e

x x x f x 的 ④ ①连续点 ②跳跃间断点 ③可去间断点 ④无穷间断点

三、求下列极限

1．)1(lim 2

x x x -++∞

→011lim

2

=++=+∞

→x

x x

2．)1(lim 2x x x -+-∞

→+∞=

3．)2222(lim 22

+--

+++∞

→x x x x x

22

212214

lim

2

2224lim

222

2

=+-+++

=+-+++=+∞

→+∞

→x

x x x x x x x x

x x

4．??

? ??

?∞

→x x x 1arcsin arctan lim 0=

5．)

111)(110()110()13()12()1(lim 2

222--++++++++∞→x x x x x x x （27=）

6．)21(lim 222

n

n n

n n n n n ++++++∞→ [解] 记n n n

n n n n x n ++++++=22221 因为 222222

n n

n n n n x n n n n n n n n n n +++≤≤++++++ 即

11≤≤+n x n n ，由于11

lim =+∞→n n n ，所以由夹逼定理，得1lim =∞→n n x 7．设2006)1(lim =--∞→β

βα

n n n n ，求βα,

[解] 原式左端????????? ??-+-=???

???????? ??--=∞

→∞

→n o n n n n n n n n 1111lim

111lim

ββα

β

β

α

βββα1

1lim 1=?

????

????? ??-=-∞→n n o n n n （1-=βα）

由于极限存在，故1-=βα。

20061=β

∴20061=

β，200620051200611-=-=-=βα 四、分析题

1．讨论极限x x x |

sin |lim 0→

[解] 因为1|sin |lim 0=+→x x x ，

1|

sin |lim 0-=-→x x x ，故原极限不存在。 2．求2

31

22+--=x x x y 的间断点，并判别间断点的类型。

[解] 因为)2)(1(232

--=+-x x x x ，而2231lim 2

21-=+--→x x x x ，∞=+--→2

31lim 222x x x x 因此有间断点：1=x 为可去间断点，2=x 为无穷间断点。.

3．求函数x

x y 1

6+=的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。

[解] 函数的连续区间为),0()0,(+∞-∞ ，点0=x 为函数的第二类无穷间断点。

4．讨论函数t

x t x t t x x f -→??

?

??--=11lim )(的连续性。

[解] ()1)1(011lim 11lim 11lim )(--+→--=-→-→=+??? ?

?

--+=??? ??--==x x

x y y x y t t

x y t

x t x t t

x t x t e y t t x t x x f 令 在点1=x 处没有定义，是间断点，故)(x f 的连续区间为),1()1,(+∞-∞ ，点1=x 为)(x f 的第二类无穷间断点。

5．讨论函数??

?<+≥=010

cos )(x x x x x f 在点0=x 处的连续性。

[解] 1cos lim )(lim 0

==++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0

=+=-

-→→x x f x x ∴ )(x f 在点0=x 处连续性。

6．设函数()???????≥+<--==02

cos 0x x x x x x

a a x f y （0>a ）

（1）当a 取何值时，点0=x 是函数()x f 的间断点？是何种间断点？ （2）当a 取何值时，函数()x f 在()∞+∞-，上连续？为什么？

[解]（1）在点0=x 处，21)0(=f ，2

1

2cos lim )(lim 00=+=+

+→→x x x f x x ， a

x a a x x a a x f x x x 21

1lim lim )(lim 000=-+=--=-

--→→→ 当0>a 且1≠a 时，由于)(lim )(lim 0

x f x f x x -

+→→≠，所以点0=x 是()x f 的跳跃间断点。

（2）当1=a 时，由于)0()(lim )(lim 0

f x f x f x x ==-

+→→，则()x f 在点0=x 处连续。 又因为在)0,(-∞或),0(∞+上，()x f 为初等函数，所以连续。 故当1=a 时，函数()x f 在()∞+∞-，上连续。

7．设函数()????

?

????<≤<≤<+==4110011

x a x x

x x x f y （1）求函数()x f 的定义域；

（2）讨论函数()x f 在点0=x 处的极限是否存在？为什么？

（3）a 为何值时，函数()x f 在点1=x 处连续？并求函数()x f 的连续区间；

（4）画出函数()x f y =的图形。 [解]（1）]4,1()1,(---∞= f D

（2）因为11

1

lim )(lim 00=+=-

-→→x x f x x ，0lim )(lim

00==-+→→x x f x x ，所以)(lim 0x f x →不存在 （3）在点1=x 处，a f =)1(，1lim )(lim 1

1

==--→→x x f x x ，a a x f x x ==++→→1

1

lim )(lim ， 所以，当1=a 时，)1()(lim )(lim 11

f x f x f x x ==-

+→→，即函数()x f 在点1=x 处连续。 此时，()x f 的连续区间为：]4,1()1,(---∞

（4）略 五、证明题

1．证明方程475

=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。

[证] 设47)(5

--=x x x f ，)(x f 在]2,1[上连续，

又010)1(<-=f ，014)2(>=f ，由零点定理知，在)2,1(内至少存在一点ξ，

使得0)(=ξf ，即0475=--ξξ，故方程475

=-x x 在区间)2,1(内至少有一

个实根。

2．证明：方程k x x =-sin 2（0>k ）至少有一个正根。 [证] 设),0[sin 2)(∞+∈--=C k x x x f

因为0)0(<-=k f ，0)3sin(23)3(>+-=+k k f

故由零点定理知，)3,0(+∈?k ξ，使得0)(=ξf ，所以方程k x x =-sin 2至少有一正根。

3．证明方程2sin +=x a x （0>a ）至少有一个正根，并且不超过2+a 。 [证] 设2sin )(--=x a x x f ，下面分两种情形来讨论：

情形1 若 1)2sin(=+a ，则因为0>a ，故2+a 是方程2sin +=x a x （0>a ）的正根，并且不超过2+a 。

情形2 若1)2sin(≠+a ，则因0>a ，故0)]2sin(1[)2(>+-=+a a a f ，

02)0(<-=f ，又因)(x f 在]2,0[+a 上连续，故由零点定理知，

)2,0(+∈?a ξ，使得0)(=ξf ，因此ξ是方程2sin +=x a x （0>a ）的正根，并且不超过2+a 。

4．设n 为正整数，函数)(x f 在],0[n 上连续，且)()0(n f f =，证明存在数],0[1,n a a ∈+，使得)1()(+=a f a f 。

[证] 若1=n ，即)1()0(f f =，取0=a ，]1,0[11∈=+a ，结论成立。

若2≥n ，作辅助函数)()1()(x f x f x F -+=，易知)(x F 在]1,0[-n 上连续，因为

)0()()]1()([)]2()3([)]1()2([)]0()1([)

1()1()0(=-=--++-+-+-=-+++f n f n f n f f f f f f f n F F F

则n 个实数)1(,),1(),0(-n F F F 全部为零或同时有正数与负数，

（1）若这些数全部为零，即0)1()1()0(=-===n F F F ，则结论成立。

（2）若这些数中有正数与负数，即有某个)1,0,(,0)(,0)(-≤≤≠>

0)(=a F ，即 )1()(+=a f a f ###