运筹学与系统分析 复习资料答案

运筹学与系统分析复习资料

一单选题

1在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，那么解中非零变量的个数【 C 】

A.等于(m+n-1)

B.不能小于(m+n-1)

C. 不能大于(m+n-1)

D.不确定

2 在单纯形表的终表中，若非基变量的检验数有0，那么最优解【 B 】

A.不存在

B.唯一

C. 无穷多

D.无穷大

3.在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【 D 】

A.b列元素不小于零

B.检验数都大于零

C.检验数都不小于零

D.检验数都不大于零

4 在约束方程中引入人工变量的目的是【 D 】

A.体现变量的多样性

B.变不等式为等式

C.使目标函数为最优

D.形成一个单位矩阵

5若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部【 A 】A.大于或等于零 B.大于零 C.小于零 D.小于或等于零

6在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为【 C 】

A.多余变量

B.松弛变量

C.自由变量

D.人工变量

7 线性规划问题的最优解对应其可行域的【 B 】

A.内点

B.顶点

C.外点

D.几何点

8对偶问题的对偶是【 D 】

A.基本问题

B.解的问题

C.其它问题

D.原问题

9 原问题与对偶问题具有相同的最优【 B 】

A.解

B.目标值

C.解结构

D.解的分量个数

10在对偶问题中，若原问题与对偶问题均具有可行解，则【 A 】

A.两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等

B.两者均具有最优解，原问题最优解的目标函数值小于对偶问题最优解的目标函数值

C.若原问题有无界解，则对偶问题无最优解

D.若原问题有无穷多个最优解，则对偶问题只有唯一最优解 11 表上作业法中初始方案均为【 A 】

A.可行解

B.非可行解

C.待改进解

D.最优解

12若原问题中x i 为自由变量，那么对偶问题中的第i 个约束一定为【 A 】 A.等式约束 B.“≤”型约束 C.“≥”约束 D.无法确定 13线性规划一般模型中，自由变量可以代换为两个非负变量的【 B 】 A.和 B.差 C.积 D.商 14建立运筹学模型的过程不包括的阶段是【 D 】 A.观察环境 B.数据分析 C.模型设计 D.模型实施

15 使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0≤j

σ

，在

基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题 【 D 】 A.有唯一的最优解 B.有无穷多个最优解 C.为无界解 D.无可行解 16 线性规划模型不包括的要素有【 D 】 A.目标函数 B.约束条件 C.决策变量 D.状态变量 二 填空题

1 线性规划问题的可行解是指满足约束条件和非负条件解。 2若线形规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸 集。 3线性规划问题有可行解，则必有 。 5动态规划模型中，各阶段开始时的客观条件叫做 状态 。

6当线性规划问题的系数矩阵中不存在现成的可行基时，一般可以加入 人工变量 构造可行解。

7在大M 法中，M 表示 人工变量一个绝对值很大的负系数 。

8线形规划问题的标准形式是：目标函授是求 是确定的 ，约束条件全为 线性等式，约束条件右侧常数项全为 非负值 。

9线性规划的右端常数项其对偶问题的 价值系数 ；线性规划的第i 个约束条件其对偶问题 决策变量 。

10在一个基本可行解中，取正数值的变量称为 基变量 ；取零值的变量称为 非基变量 。

11在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 自由变量 。

12为求解需要量大于供应量的运输问题，可虚设一个供应点，该点的供应量等于 需求量与供应量的差值 。

13线性规划问题可分为目标函数求 极大值 和 极小值 两类。 14若线性规划为最大化问题，则对偶问题为 极小化 问题。

15用运筹学解决问题的核心是建立 数学模型 ，并对 数学模型 求解。 16在将线性规划问题的一般形式化为标准形式时，引入的松弛变量在目标函数中的系数为 零 。

17动态规划模型的构成要素有 阶段 、 状态 、 决策和策略 、 状态转移 和 目标函数 。 三计算题

1用大M 法求解线性规划问题

MinZ = －3X1 + X2+ X3 s.t X1－2X2 + X3≤ 11

－4X1+ X2 + 2X3≥ 3 －2X1＋X3＝1 X1 , X2,X3≥ 0

解：（1）将线性规划化为标准型。引入松弛变量4x ，剩余变量5x ，并令'Z Z =-;

得：123

123412351312345max Z'=3x 211423..21,,,,0

x x x x x x x x x x s t x x x x x x x ---++=??-++-=??

-+=??≥?

约束方程系数矩阵A 为：

1 -

2 1 1 0-4 1 2 0 -1-2 0 1 0 0A ??

??=??????

A 中只有一个单位列向量，故对第二、第三个约束条件引入人工变量6x ，7x 对模

型整理得：

12367123412356137max Z'=3x 211

423..210; 1,2,3.....7j x x Mx Mx x x x x x x x x x s t x x x x j -----++=??-++-+=??

-++=??≥=?

改造后的系数矩阵A 为：

1 -

2 1 1 0 0 0-4 1 2 0 -1 1 0-2 0 1 0 0 0 1A ????=??????

以467,,x x x 为初始基变量进行单纯形法求解如下表。

故，当1234,1,9x x x ===时，取得最优解。'2Z Z =-=-。 2用单纯形法求解下列线性规划,解出最优解。

MaxZ = 3X1 + 4X2 s.t X1 + X2 ≤ 4

2X1+ 3X2 ≤ 6 X1 , X2 ≥ 0

解：将线性规划化成标准型，引入松弛变量3x 和4x ：

121231241

234

max Z=3x 44

..236,,,0x x x x s t x x x x x x x +++=??

++=??≥? 系数矩阵A 为： 1 1 1 02 3 0 1A ??

=??

??，以3x 和4x 为初始基变量计算，单纯性计算表如下表。

故，当123,0x x ==时，线性规划取得最大值9Z =。 3已知：运输问题的单价表。

（1） 用最小元素法找出初始可行解； （2） 用位势法求出初始可行解相应的检验数； （3） 求最优方案。

单位：万元

解：（1）用最小元素法求初始可行解。

设供应地A 、B 、C 到甲、乙、丙三地的运价分别为ij c ；运量分别为ij x 。由于总的供给量为40，需求量为35，为供给量大于需求量的不平衡运输问题，增设一个假想需求地丁，需求量为5，A 、B 、C 到给地的运价均为零。运价表变更为：

先不考虑丁地的需求，由表格可知32x 的运价最小，C 全部供应乙地，乙地需求还剩15；依次找出最小运价，首先满足其需求，重复此过程，可以得出初始可行解，如下表所示：

（2）用位势法求检验数。

设120,0u u ==；可知11142223323;0;4;6;2;u v u v u v u v u v +=+=+=+=+= 代入，可解：12312340;0;2;3;4; 6.0u u u v v v v ===-====；计算如下表：

成本表 i j u v + 根据()ij ij i j c u v σ=-+计算如下表：

ij c i j u v +

-

ij σ

=

故，所有检验数均为非负值，得到最优解：112223325,15;5;10x x x x ==== 最小运价min 5315410256125Z =?+?+?+?= 4将下述线性规划模型化为标准型

MinZ = X1－X2+3 X3 s.t X1＋X2 + X3＝ 10

5X1－7X2 + 3X3≤－8 X1＋X2≥2 X3≤18

X1≥0, X2≤0,X3无符号限制

解，引入松弛变量4x ，6x ，剩余变量5x ，两个非负变量3'x 和3''x ，且333'''x x x =-。 令'Z Z =-，则线性规划的标准型为：

()1233123312334125336

1233456max Z'=x 3''''''10

573'3''8

..2'''18

,,','',,,0

x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x -+--++-=??-+-+-=??

+-=??-+=?≥?? 5有四项工作要甲，乙，丙，丁四个人去完成，每一项工作只许一个人去完成，四项工作要四个不同的人去完成；问：应指派每个人完成哪一项工作，使得总的消耗时间为最短？用匈牙利法求解。

解：（1）以各员工完成各项工作的时间构造矩阵一，如下：

矩阵一 15 18 21 2421 23 22 1826 17 16 1923 21 19 17??

??

?

???????

（2）对矩阵一进行行约减，即每一行数据减去本行数据中的最小数，得矩阵二。

矩阵二 0 3 6 93 5 4 010 1 0 36 4 2 0??

??

?

???????

（3）检查矩阵二，若矩阵二各行各列均有“0”，则跳过此步，否则进行列约减，即每一列数据减去本列数据中的最小数，得矩阵三。

矩阵三 0 2 6 93 4 4 010 0 0 36 3 2 0??

??

?

???????

（4） 画“盖0”线。即画最少的线将矩阵三中的0全部覆盖住

0 2 6 93 4 4 010 0 0 36 3 2 0????????????

（5）．数据转换。若“盖0”线的数目等于矩阵的维数则跳过此步，若“盖0”线得数目小于矩阵得维数则进行数据转换，本题属于后一种情况，应进行转换，操作步骤如下：

A 、找出未被“盖0”线覆盖的数中的最小值λ，例中λ＝2。

B 、将未被“盖0”线覆盖住的数减去λ。

C 、将“盖0”线交叉点的数加上λ。

可得矩阵四 0 2 6 111 2 2 010 0 0 54 1 0 0????

?

???????

（6）重复步骤（4）、（5）直到“盖0”线的数目等于矩阵的维数，计算过程如

下。

0 2 6 111 2 2 010 0 0 54 1 0 0????????????

得到矩阵五 0 2 6 111 2 2 010 0 0 54 1 0 0????

?

???????

（7）求最优解。对n 维矩阵，找出不同行、不同列的n 个“0”，每个“0”的位置代表一对配置关系，具体步骤如下：

A 、先找只含有一个“0”的行（或列），将该行（或列）中的“0”打“√”。

B 、将带“√”的“0”所在列（或行）中的“0”打“?”。

C 、重复（1）步和（2）步至结束。若所有行列均含有多个“0”，则从“0”的数目最少的行或列中任选一个“0”打“√”。

0√ 2? 6? 11? 1? 2? 2? 0√ 10? 0√ 0? 5? 4?

1?

0√

0?

故，工作分配关系结果如下表。即甲完成工作1，乙完成工作4，丙完成工作2，丁完成工作3。

6写出下列线形规划问题的对偶问题

MaxZ=X1+2X2+3X3

s.t 3X1+ 3X2+ X3 ≥ 12

2X1+ X2 + 4X3 ≤ 18 2X1+ 2X2 + 3X3 = 20 X1, X2 , X3 ≥ 0

解：将线性规划化成一般对称形式。

123

123123123123

123max 2333122418..2232022320

,,0Z x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++---≤-??++≤??++≤??---≤-??≥? 写出其对偶问题：

()()()()12331233123312331233

min =12y'1820'''3'22'''13'2'''2..'43'''3,,',''0W y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y -++--++-≥??

-++-≥??

-++-≥??≥?

令11333','''y y y y y =-=-代入

123123123

123123min =12y 182********

..433

0,0,W y y y y y y y y s t y y y y y y ++++≥??++≥??

++≥??≤≥?无约束