2020年10月浙江自考试题及答案解析近世代数

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浙江省2018年10月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共15分)

1. 设Z 是整数集，σ(a)=?????+为奇数时当为偶数时

当a ,2

1a a ,2a 则σ是R 的( ). A. 满射变换

B. 单射变换

C. 一一变换

D. 不是R 的变换

2. 下列法则，哪个是集A 的代数运算( ).

A. A=N, a οb=a+b-2

B. A=Z,a οb=b

a C. A=Q, a οb=a

b D. A=R, a οb=a+b+ab

3. 设A={所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).

A. x →-x

B. x →x 1

C. x →x 1-

D. x →5x

4. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

5. 剩余类环Z 6的子环有( ).

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

二、填空题(每小题3分，共27分)

6. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.

7. 整数加群Z 有__________个生成元.

8. 在4次对称群S 4中，(123)(1324)-1=__________.

2 9. 每一个有限群都与一个__________群同构.

10. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.

11. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.

12. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________.

13. 设Q 是有理数域，则Q(32)=__________.

14. 2+i 在实数域R 上的极小多项式是__________.

三、解答题(第15小题10分，第16，17小题各12分，共34分)

15. 在实数集R 中定义二元运算“O ”如下：aOb=a+b-2(?a,b ∈R)，问R 对运算“O ”是否作成群?试说明理由.

16. 找出模16的剩余类加群Z 16的所有子群，并找出Z 16的全部生成元.

17. 设Z 是整数环，p 、q 是两个不同的素数，(p)∩(q)、(p,q)是Z 的怎样一个理想?(p)∪(q)是Z 的理想吗?为什么?

四、证明题(每小题8分，共24分)

18. 设G=??

????????≠∈???? ??0r ,Q s ,r 10s r ，于是G 对于方阵的乘法作成群.令 H=??

????????∈???? ??Q t 10t 1，证明：H 是G 的不变子群. 19. 设R 是实数域，f(x)∈R ［x ］,f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ,令?:f(x)|→a 0. 证明：?是R ［x ］到R 的满同态，ker ?=?

20. 设A=??

????????∈???? ??Z c ,b ,a c 0b a 关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明： U=??

????????∈???? ??Z x 00x 20是A 的理想，商环A/U 由哪些元组成?