分式方程增根练习题
与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）
使关于x的方程a
x
x
a
x
2
2
24
2
2
2
-
+
-
=
-
产生增根的a的值是（）
A. 2
B. －2
C. ±2
D. 与a无关例2. （1997年山东省）
若解分式方程
2
1
11
2
x
x
m
x x
x
x
+
-
+
+
=
+
产生增根，则m的值是（）
A. －1或－2
B. －1或2
C. 1或2
D. 1或－2 例3. （2001年重庆市）
若关于x的方程ax
x
+
-
-=
1
1
10有增根，则a的值为__________。
例4. （2001年鄂州市）
关于x的方程
x
x
k
x
-
=+
-
3
2
3
会产生增根，求k的值。
例5. 当k为何值时，解关于x的方程：
()()()
1 15
1
1
1
2
x x
k
x x
k x
x
-
+
-
+
=
-
-
只有增根
x=1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6. （2002年荆门市）
当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程
x
x
k x
x x
-
=
-
-
1
2
2
只有一个实
数根。
例7. （2002年孝感市）
当m为何值时，关于x的方程2
1
1
1
2
x
x m
x x x
-
-
-
=+
-
无实根？
例8. （2003年南昌市）
已知关于x 的方程11
x m x m --=有实数根，求m 的取值范围。
评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围
例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：()()
x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？
评注：解答此类问题的基本思路是：
（1）将已知方程化为整式方程；
（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围
例9. 已知关于x 的方程x a x +-=-2
1的根大于0，求a 的取值范围。
例10. 已知关于x 的方程x k x +-=2
2的根小于0，求k 的取值范围 评注：解答此类题的基本思路是：
（1）求出已知方程的根；
（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
说明：注意例9与例10的区别，例9有12
2-≠a ，而例10无k +≠42这一不等式？请读者思考。
解分式方程及增根-无解的典型问题含答案
解分式方程及增根-无解的典型问题含答案 优博辅导中心 当堂检测 1. 解方程 1x?2?1?x2?x?3 答案：x?2是增根原方程无解。 2. 关于x的方程a1?2x?4?1?x4?x有增根，则a=-------答案：7 3. 解关于x 的方程 mx?5?1下列说法正确的是（C ） A.方程的解为x?m?5 B.当m??5时，方程的解 为正数 C.当m??5时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 x?ax?1?a无解，则a的值为-----------答案：1或-1 5. 若 分式方程 m?xx?1=1有增根，则m的值为-------------答案：-1 6.分 式方程1x?2?mx?1有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x的方程1x?2?1?kx?2有增根，则k的值为-----------答 案：1 8. 若分式方程x?aa?a无解，则a的值是----------答 案：0 9.若分式方程2m?m?x1x?1?0无解,则m的取值是------答案：-1或-2 10. 若关于x的方程 m(x?1)?52x?1?m?3无解，则m的值为-------答案：6，10 11. 若关于x的方程
x?mx?1?3x?1无解，求m的值为-------答案： 12.解方程1162-x?x?2??x3x?12答案x??627 13．解方程 2x-1?4x2?1?0 14. 解方程 2x2x?5?22x?5?1 15. 解方程x?22x2x?3?3??13x2?9 x?1m216. 关于x的方程x?3?2x?6有增根，则m的值-----答案：m=2或-2 17.当a为何值时，关于x的分式方程 x?ax?1?3x?1无解。答案:-2或1 1
分式方程的增根专题练习
分式方程的增根专题练习 一、选择题（共10小题） 1．若分式方程有增根，则增根可能是（） A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 2．如果方程有增根，那么k的值（） A．1B．﹣1 C．±1 D．7 3．若关于x的方程=产生增根，则m是（） A．1B．2C．3D．4 4．若关于x的方程有增根，则m的值是（） A．﹣2 B．2C．5D．3 5．若方程=7有增根，则k=（） A．﹣1 B．0C．1D．6 6．解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（） A．﹣1 B．﹣2 C．1D．2 7．若分式方程有增根，则m的值为（） A．1B．﹣1 C．3D．﹣3 8．若关于x的方程产生增根，则m的值是（） A．m=﹣1 B．m=1 C．m=﹣2 D．m=2 9．（2005?宿迁）若关于x的方程有增根，则m的值是（） A．3B．2C．1D．﹣1 10．若分式方程有增根，则m的值是（） A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．1或﹣2 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．使分式方程产生增根，m的值为_________． 12．分式方程+1=有增根，则m=_________．13．若分式方程+3=有增根，则增根为x= _________．
14．若去分母解方程=2﹣时，出现增根，则增根为_________． 15．解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于_________． 16．若有增根，则增根为_________． 17．若关于x的方程﹣1=0有增根，则a的值为_________． 18．若方程=2+有增根，则增根为x=_________． 19．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_________． 20．当m=_________时，方程会产生增根． 三、解答填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 21．已知关于x的方程有增根，则k=_________． 22．若关于x的方程有增根，则k=_________． 23．a=_________时，方程=2+会产生增根． 24．a为_________时，关于x的方程会产生增根． 25．若关于x的方程有增根，那么关于y的不等式5（y﹣2）≤28+k+2y的解集是_________．26．已知关于x的方程有增根，那么m=_________． 27．当m=_________时，去分母解方程=1﹣会产生增根． 28．分式方程+3=有增根．（1）这个增根是_________；（2）m的值为_________． 29．若解关于x的分式方程会产生增根，则m=_________． 30．若分式方程﹣=有增根，则k=_________，增根是_________．
关于分式方程增根问题
关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3 9．若分式方程51 56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113 -=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程244 21 2+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程a 1 =1x 2-+有增根，则a= .
13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程 244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程 x-3x －2=x-3 m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题 26．已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值 27．已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值
分式方程增根与无解专题
分式方程的增根和无解专题讲义 题型一：解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分 式方程必须检验. x 1 4 x 1 x 2 1 专练一、解分式方程 （每题5分共50 分） 题型二：关于增根：将分式方程变形为整式方程 ，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式 ，并越去分母，有 时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根? …、 1 x 4 例2、若方程」 7 有增根，则增根为 . x 3 3 x 有增根，则增根是多少？产生增根的m 值又是多少？ (1) X 2 3 4x x 2 3 (2) 1200 1200 x 2 x 30 (4) 空 5 =1 ⑸ 2x 5 5x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 2 1 7 4 6 x 2 x x 2 x x 2 1 (7) (8) x 2x 5 5 5 2x (9) 1 1 x 2 5x 6 x 2 x 6 例1.解方程⑴ 例3 ?若关于x 的方程 m x 2 9
x 3 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是:
(1) (2) (3) 专练习二: 将所给方程化为整式方程； 由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） 将增根代入变形后的整式方程，求出 字母系数的值。 3 —有增根，则增根为 3 1、已知关于x 的方程-―m m 无解，求m 的值. 1.若方程 2、 使关于x 的方程 a 2 2x 4 产生增根的a 的值是（ 2 x A. 2 B. C. 2 D.与a 无关 2x 3、若解分式方程二 x 1 A. — 1 或一2 B. m ~~2 x 产生增根，则m 的值是（ C. 1 或 2 D. 1 或一2 4.当m 为何值时，解方程 m -会产生增根？ 1 5、关于x 的方程 k 2 ——会产生增根，求k 的值。 x 3 6、当k 为何值时，解关于 x 的方程: k 1 x 2 只有增根X =1。 x 1 7、当a 取何值时，解关于 x 的方程: 2x 2 ax x 2 x 1 无增根? 题型三：分式方程无解 ①转化成整式方程来解 ,产生了增根；②转化的整式方程无解 例4、 无解，求m 的值. 2 x
分式方程及其增根问题
分式方程及其增根问题 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .
解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.
解分式方程及增根无解的典型问题含答案
分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简 公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程 214111 x x x +-=-- 例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少？ 方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。 当堂检测 1. 解方程 11322x x x -=---答案：2x =是增根原方程无解。 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =-------答案：7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是（C ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 1 x a a x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-1 5. 若分式方程=11 m x x +-有增根，则m 的值为-------------答案：-1 6.分式方程121 m x x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x 的方程1122k x x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：
分式方程无解增根专题精选.
分式方程专题 一：知识梳理 如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。 二：例题精讲 例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x=±1， 分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1， 把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3； 把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解， 综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3． 反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=． （3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．
例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是． 【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数， ∴m+2＞0，且m+2≠2， 解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0． 反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是． 例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为． 【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a 移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a， 系数化为1，得x=， ∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1， ∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1． 反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为． （2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．
分式方程中的增根问题
2.4-2 分式方程中的增根问题 【学习目标】 1.知道分式方程的增根及产生增根的原因. 2.已知增根会求待定系数的值. 【核心知识】分式方程产生增根的原因；知识核心：已知增根会求待定系数的值.学习过程 一、知识链接 1.什么是分式方程?解分式方程的关键是什么？应该注意哪些问题 2.解方程: （1） 105 2 2112 x x += --（2）2 2 1 2 2 2 + - = + + x x x 二、新课学习 探究一分式方程产生增根的原因 1.看书39页议一议，思考问题： (1)产生增根的原因是什么？ （2）什么是原方程的增根？（在书上画出、小组讨论） （3）如何检验？ 点拨:（1）产生增根的原因：我们在方程两边乘以一个不为零的整式，扩大了值域. （2）解分式方程去分母时，方程两边都乘以各分母的最简公分母，检验时可代入最简公分母看是否为零. 2.课本例2，（学生尝试在练习本上做，不会可参考课本上的过程） 3.练习：做课本40页的随堂练习（找学生板演，其他学生做课堂练习本上） 探究二已知增根求待定系数的值. 1．若方程 x x－3 －2＝ k x－3 有增根，试求k的值. （学生先独立做，讨论解题思路） 点拨:解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程（2）令最简公分母为0，求出求出x的值（3）把x的值代入整式方程，求出字母系数的值. 2.练习：若方程 2 2 2 2 = - + + -x m x x有增根，试求m的值。
三、课堂达标 1.若方程 的解是非正数，求a 的取值范围. 2.若方程x x －3 －2＝k x －3 有增根，试求k 的值. 四、课堂小结，回顾思考 1.解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根 2.原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 3.产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了一个不为零的整式，扩大了值域. 4.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根. 5.解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程. （2）令公分母为0，求出求出x 的值. （3）把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值. 课外训练 【基础达标】 1.当m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 2.如果分式方程11(2)a x x x -=-有增根x=0.求a 的值. 3.若方程有 918332-=--+x x x x x 增根，求增根x.
2017年中考数学专题训练 分式方程(含解析)
分式方程 一、选择题 1．下列各式中，是分式方程的是（） A．x+y=5 B．C． =0 D． 2．关于x的方程的解为x=1，则a=（） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 3．分式方程=1的解为（） A．x=2 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=﹣2 4．下列关于分式方程增根的说法正确的是（） A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为零就是增根 C．使分子的值为零的解就是增根 D．使最简公分母的值为零的解是增根 5．方程+=0可能产生的增根是（） A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 6．解分式方程，去分母后的结果是（） A．x=2+3 B．x=2（x﹣2）+3 C．x（x﹣2）=2+3（x﹣2）D．x=3（x﹣2）+2 7．要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（） A．2x（x﹣2）B．x C．x﹣2 D．2x﹣4 8．河边两地距离s km，船在静水中的速度是a km/h，水流的速度是b km/h，船往返一次所需要的时间是（） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 9．若关于x的方程有增根，则m的值是（） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 10．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000㎏和15000㎏．已知第一块试验田每公顷的
产量比第二块少3000㎏，若设第一块试验田每公顷的产量为x ㎏，根据题意，可得方程（ ） A ． = B ． = C ． = D ． = 二．填空题 11．方程： 的解是 ． 12．若关于x 的方程 的解是x=1，则m= ． 13．若方程 有增根x=5，则m= ． 14．如果分式方程无解，则m= ． 15．当m= 时，关于x 的方程=2+ 有增根． 16．用换元法解方程 ，若设，则可得关于的整式方程 ． 17．已知x=3是方程一个根，求k 的值= ． 18．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程 ． 三．解答题 19．解分式方程（1）；（2）． 20．甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？ 21．某服装厂准备加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服？ 22．为了过一个有意义的“六、一”儿童节，实验小学发起了向某希望小学捐赠图书的活动．在活动中，五年级一班捐赠图书100册，五年级二班捐赠图书180册，二班的人数是一班人数的1.2倍，二班平均每人比一班多捐1本书，求两个班各有多少名同学？ 23．请你编一道可化为一元一次方程的分式方程（且不含常数项）的应用题，并予以解答．
分式方程及其增根问题
分式方程及其增根问题 文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .
解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.
分式方程增根与无解专题讲义
分式方程的增根和无解专题讲义 班级： 姓名： 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一、解分式方程 （每题5分共50分） （1） 223433 x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--x x （4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- (9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程 x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程 3 13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 专练习二： 1.若方程3 323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x 22 24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关 3、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 4.当m 为何值时,解方程 115122-=-++x m x x 会产生增根? 5、关于x 的方程 x x k x -=+-323 会产生增根，求k 的值。 6、当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()115111 2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。 7、当a 取何值时，解关于x 的方程：()() x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程 x m x x -=--223无解,求m 的值.
八下分式方程的增根与无解
八下分式方程的增根与无 解 The pony was revised in January 2021
八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习 分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；（注意是分母为0的x 值不一定都是增根） 分式方程无解：是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 练习1：1、当k 为何值时，方程 x x k x --=-133会出现增根？ 2、已知分式方程 3312x ax x +++=有增根，求a 的值。 3、分式方程x x m x x x -+-=+111 有增根x =1，则m 的值为多少？ 4、a 为何值时，关于x 的方程4121x x x a x x -+=+-() 有解？ 5、求使分式方程x x m x --=-323 2 产生增根的m 的值。 6、已知关于x 的方程2 x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。
7、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根。 练习2：1、若方程4 412212--=--+x x x k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2C 、k=－2D 、k 为任何实数 2、若解分式方程 21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（） A.－1或－2B.－1或2C.1或2 D.1或－2 3、若方程)1)(1(6-+x x -1 -x m =1有增根，则它的增根是（） A 、0B 、1C 、-1D 、1或-1 4、若方程有增根，则a ＝（）. 5、已知 有增根，则k ＝（）． 6、若分式方程1x ?2+3=3?x a +x 有增根，则a 的值是（） 7、关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =（） 8、若分式方程=11 m x x +-有增根，则m 的值为（） 9、分式方程121 m x x =-+有增根，则增根为（） 10、关于x 的方程 1122k x x +=--有增根，则k 的值为（） 11、关于x 的方程2 1326 x m x x -=--有增根，则m 的值（）
分式方程解法和增根
分式方程（一） 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 例题2 解下列分式方程 （1 （2 （3 （4 （5 （6 （7 （8 （9） （10 （11 例题3：解分式方程： （1 （ 2 （3 （4 并求当x=1时,该代数式的值 （5）若关于x x=4, 则a的值是多少？ （6） 例4： 1． 2． 值。 例5． 1.若关于x x=-1,求a
2、关于x x=-2， 则k= . 家庭作业 1.解方程： （1 （2 1 （3 （4 （5 （6 2. . 3 m的 值是（） D. 4. m为何值时，关于x 增根？ 5. m? 6.若m等于它的倒数， 7.m 为何值时，关于x x=1, 求a的值 分式方程（二） 例1 . 1 解为非负数. 2.当k为何值时，关于x 解是正数？ 例2 .m为何值时，关于x 1.m为何值时，关于x 2.关于x m的值 例3:已知x2+4y2-4x+4y+5=0 2的值. 2: 值.
例题4: . 1． . 2． . 3、 4. 于 ． 5. 求（1 （2值. 自我检测: 1. 2、 若实 最大值 是 ． 3的值是 4= 5 6 = . 7．已知，则x 2= ． 8 ） A 、-2 B 、-3 C 、-4 D 、-5 9、已知关于x m 的取值 范围为 . 10m 的值是 （ ） A. —2 B. 2 C. 3 D. —3 11.已知关于x a 的取值范围为 12. .
分式方程的增根
初二数学 《分式方程的增根》教学设计 黄旗堡初级中学 周金玉 钟大庆 一、教学目标（明确目标、把握方向） 1、能熟练地解分式方程。（重点） 2、知道增根的意义，了解产生增根的原因并会运用增根的有关知识解决问题。（难点） （师：让学生齐读本节课的教学目标，以了解本节课的学习任务） 二、教学过程 （一）前提测评（独立完成、相信自己） 师：上节课我们学习了解分式方程，请同学们思考： 1、解分式方程的基本思路是什么？一般步骤是什么？（学生思考） 生：基本思路是把分式方程去分母转化为整式方程，一般步骤是：①去分母转化为整式方程②解整式方程③检验 2、解方程 （1）x x x x 1211+=++ （2）2 12423=---x x x （师：让2名同学到黑板上板演，其余同学在下面做，然后结合黑板上同学做的情况，查漏补缺，找出易错点，给出准确地步骤和答案） （二）课中探究（海阔凭鱼跃，天高任鸟飞，相信自己，你能行） 解方程：87178=----x x x （师：让三名同学到黑板板演，让学生发现和上节课的解方程有什么不一样？ 生：检验的时候，出现了分母为0） 思考：由上题得到：①在将分式方程变形为整式方程时，产生不合适原方程的根叫做方程 的 ，把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程 的一个 是0，那么这个根就是方程的增根，应当 。 (师：生自学课本后，独立完成) （师：先个人思考，再合作交流完成）： ②增根产生的原因是？ ③分式方程如何检验？ （师：②③小题学生刚开始在叙述的时候，描述不到位，可让多个同学补充） 1、（小试牛刀）解方程：14 16222=--+-x x x （师：每个小组安排一名同学到黑板板演，师生共同纠正出现错误的地方，特别要强调不要忘记验根） 反思：解分式方程要注意什么问题？ （师：先让学生思考，再小组合作，让每个小组发言） 师：同学们现在对增根已经有了一定的理解，下面我们利用增根的有关的知识解决下列问题） 2、变式训练-----求字母的取值。（众人齐心，其力断金） （1）已知分式方程的解，求字母系数的值 若关于x 的方程8x 1mx =+的解为x=1，则m 的值是 。 （2）利用分式方程的增根求未知字母的值
分式方程增根问题专题
专题——分式方程中增根问题 一、学习目标:(1分钟) 1.巩固解分式方程的方法； 2.掌握增根有关题型的解题方法； 3.利用分式方程根求参数问题。 二、自学指导1:(6分钟) 根据分式方程解的情况确定字母系数 问题：有增根的方程关于为何值时当23 422 ,2+=-+-x x mx x x m 变式1、无解的方程关于为何值时当23 422,2+=-+-x x mx x x m 自学检测1:(6分钟) 根据分式方程解的情况确定字母系数 1.解关于x 的方程 113-=--x m x x 产生增根,则常数m 的值等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.使分式方程 3232 -=--x m x x 产生增根，m 的值为______ 3、当k=____时,分式方程 有增根. 0111=+--+-x x x k x x
三、自学指导2:(4分钟) 已知分式方程根的符号，求字母的取值范围 例题1.若分式方程 的解是正数，求a 的取值范围 方法总结： 1.化整式方程求根。但是不能是增根 2.根据题意列不等式组. 自学检测2:(8分钟) 1.若关于x 的分式方程 的解为正数，求a 的取值范围。 变式1：已知关于x 的分式方程 的解是非正数，求a 的取值范围 变式2：若关于x 的分式方程 的解为负数，求a 的取值范围。 1 -=x 有增根 那么k 的值为=______ 122-=-+x a x 11x a 2x =-+112-=++x a )3)(2(3 21+-+=+--+x x a x x x x x 4.若分式方程 x x k x x x k +-=----2225111
分式与分式方程专题练习
1.分式22212121x x x x x x x +---++，，的最简公分母是（ ） A.2()(1)x x x -+ B.22(1)(1)x x -+ C.2(1)(1)x x x -+ D.2(1)x x + 2.如果把分式y x x 232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍 3.将分式2 x x y +中的x 、y 的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A.扩大2倍 B.缩小到原来的 21 C.保持不变 D.无法确定 4.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A 21≤x B 21
八年级数学上册 专题突破讲练 巧用分式方程的增根解决问题试题 (新版)青岛版
巧用分式方程的增根解决问题 一、解分式方程的步骤： 二、分式方程增根的概念： 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。 三、产生增根的原因： 增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的。因为等号两边同乘以的最简公分母有可能是0，因此就有可能产生满足整式方程，但是不满足分式方程的根。 注意：1. 解分式方程必须要验根； 2. 验根时只需要把求出的x的值代入最简公分母中，看是否为0。 四、常见的题型： 1. 求增根问题： 方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母，若为零是增根，若不为零是原方程的根。 2. 根据增根求待定系数问题： 步骤：①去分母，化分式方程为整式方程；
②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。 例题1 若关于x 的方程ax x +--=11 10有增根，则a 的值为__________。 解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a , 答案：原方程可化为：()021=+-x a ① 又原方程的增根是x =1，把x =1代入①，得：a =-1 故应填“-1”。 点拨：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值。 例题2 当a 取何值时，解关于x 的方程：()() x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a ,最后从保证整式方程有实根的a 的取值范围中把产生增根的a 的值去掉。 答案：原方程可化为： 0322=-+ax x ① 又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入①得： a =-52 或a =-1 又由?=+>a 2240知，a 可以取任何实数。 所以，当a ≠-52 且a ≠-1时，解所给方程无增根。 点拨：解答此类问题的基本思路是： （1）将已知方程化为整式方程； （2）由所得整式方程，求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围； （3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。 例题3 当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x x x -=--122只有一个实数根。
分式方程增根问题八年级数学
分式方程增根问题八年 级数学 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程 =有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+ 11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1 无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2 321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111 +-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244 x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程 11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11 x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3
9．若分式方程5156-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程1 13-=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程2 44212+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程 a 1=1x 2-+有增根，则a= . 13．方程133 m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程 2221+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4 x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程8 128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程 131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ．
分式方程增根练习题
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。 1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义： （1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。 例1. （2000年潜江市） 使关于x的方程a x x a x 2 2 24 2 2 2 - + - = - 产生增根的a的值是（） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a无关例2. （1997年山东省） 若解分式方程2 1 11 2 x x m x x x x +- + + = +产生增根，则m的值是（） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 例3. （2001年重庆市） 若关于x的方程ax x + - -= 1 1 10有增根，则a的值为__________。 例4. （2001年鄂州市） 关于x的方程x x k x - =+ - 3 2 3 会产生增根，求k的值。
例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程： ()()()115111 2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 例6. （2002年荆门市） 当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程 x x k x x x -=--122只有一个实数根。 例7. （2002年孝感市） 当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x - --=+-无实根？ 例8. （2003年南昌市） 已知关于x 的方程1 1x m x m --=有实数根，求m 的取值范围。 评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。 3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围