高中物理竞赛讲义--微积分初步

高中物理竞赛讲义--微积分初步

高中物理竞赛讲义——微积分初步

一：引入

【例】分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体, 原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U2 ；

②立方体角点的电势与什么有关呢? 电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状；

K Q

根据点电荷的电势公式及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为

r U=

CKQ 2

ρa ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，a

3

2

ρ是电荷密度；其中Q=ρa

a 2CK ρa

③ 大立方体的角点电势：U 0= Ckρa ；小立方体的角点电势：U 2= Ckρ（）=24

2

大立方体的中心点电势：U 1=8U2=2 Ckρa

2

1

；即U 01

2

【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

二：导数

㈠物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可以得出加速度

a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

△v △t

【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2, 试求其t 时刻的速

度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

△s

分析：我们知道，公式v=△t 一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。

2 2

s(t)=3t+2ts(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)

222

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) -3t-2t =3△t+4t△t+2△t

3△t+4t△t+2△t

v= = =3+4t+2△t △t △t

当△t 取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t 时刻的瞬时速度。

△s

2

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3, 求感应电动势随时间t 的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z 的步骤：

①写出t 时刻y 0=f(t)的函数表达式；

②写出t+△t 时刻y 1=f(t+△t) 的函数表达式；③求出△y=y1- y0=f(t+△t)-

f(t)；

④求出z=

△y △t

f(t+△t)- f(t)

；

△t

⑤注意△t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡无穷小

当△t 取很小时，可以用V=

△s △t

求瞬时速度，也可用i=

△Q

N △φ

求瞬时电流, 用ε=求△t △t

瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t ：

△t 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t 大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t ，我们进行如下操作：

t

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t= ；

2t

第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t= ；

3t