电动力学复习提纲及复习习题参考答案
2011级电动力学复习提纲
数学准备
理解散度、旋度、梯度的意义，熟悉矢量的梯度、散度、旋度在直角、球、圆柱坐标系中的运算，以及散度定理（高斯定理）、旋度定理（斯托克斯定理）。章后练习1、2。
第1章
理解全章内容，会推导本章全部公式。重点推导麦克斯韦方程组，以及用积分形式的麦克斯韦方程组推出边值关系。章后练习1、2、5、9、10、12
第2章
能推导能量转化与守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。能认识电磁场动量及动量转化和守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。了解电磁场的角动量，理解电磁场有角动量且角动量转化和守恒的意义。P35例题，书后练习2、3
第3章
理解静电场和静磁场的势函数，为什么可以提出，在求解静电磁场时有什么意义。势的方程和边值关系及推导。深入理解唯一性定理，能应用其解释电磁现象，比如静电屏蔽现象。熟悉电磁能量势函数表达式及意义。会独立完成P48例题1,，P55例1、例2，P57例5,。练习1、3、6、7
第4章
掌握静像法、简单情形下的分离变量法；理解多极矩法，掌握电偶极矩的势、场，以及能量、受力等；知道电四极矩的表示，计算。了解磁偶极矩的表示、能量。熟悉超导的基本电磁性质及经典电磁理论的解释。会独立熟练计算P62例题1、P64例2及相关讨论；P69例1、P72例3；P74例1、例2。练习3、4、5、7、10、12
第5章
1、理解如何由麦克斯韦方程推导自由空间的波动方程，理解其意义。
2、能推出电场和磁场的定态方程（亥姆霍兹方程），熟练掌握自由空间平面电磁波表达式，并且能应用其证明平面电磁波性质；
3、能推导反射、折射定律、费涅尔公式，并且能应用其讨论布儒斯特定律、半波损失等常见现象；
4、理解全反射现象，知道什么情形下发生全反射，折射波表示，透射深度；
5、熟悉电磁波在导体空间表达式，理解其物理意义、理解良导体条件及物理意义；能推导导体中电荷密度；知道导体内电场和磁场的关系；理解趋肤效应，计算趋肤深度；理想导体的边值关系；
6、理解波导管中电磁波的求解过程和结果，知道结构。能计算截止频率。了解谐振腔中的电磁场解，理解且求解共振频率。
7、独立计算P103，P111，P120例1、P121的例2、例3。练习5、7、
8、9，10
第6章
1、熟悉并且理解时变电磁场的电磁势及与电磁场的关系；
2、什么是规范变换和规范不变性，熟悉库仑规范和洛仑兹规范；
3、熟悉达朗贝尔方程，理解什么是近区、感应区、辐射区及特点；了解多极展开方法的应用；理解什么是推迟势，物理意义和表达式；
4、熟悉电偶极辐射的电磁场及性质特点、偶极辐射的功率特点。
5、独立完成练习2
第7章
1、了解狭义相对论的产生过程，对电磁学发展的意义；
2、熟练掌握狭义相对论的原理；洛仑兹变换式、间隔的概念及表示；
3、熟悉物理量按变换性质分类；理解如何得到协变物理量、判断物理规律的协变性、熟悉教材给出的四维物理量、洛伦兹变换矩阵；
4、熟练掌握相对论的多普勒效应及特点；
5、了解协变的电动力学规律；
6、熟悉如何求解以匀速运动的带电粒子的势函数、电磁场及特点；
7、独立完成P159例4、P162例1、P164例2，P165例3、例4，练习2、8，9，11,12
第8章
1、理解相对论的时空效应，能用洛仑兹变换式推出同时的相对性，长度收缩，动钟变慢，因果律及光速极限，并且能够应用计算；
2、理解相对论的时空结构；熟悉速度变换式并且能应用计算；
3、熟悉质能关系式并且理解怎么提出的，深入理解静能、动能的概念。
4、独立完成P171例1，P173例2，P177例3，P180例1，P181例2，P182例3. 练习1、2、
5、7、8、10、11
第9章
了解运动带电粒子的电磁场，什么时候能产生辐射；了解经典电动力学的适用范围。
注：1、课堂上的补充例题及课堂练习要求掌握；
2、考题形式有填空22分，选择填空18分，证明10分，计算50分；
3、总成绩100分，平时作业20％（包括作业和课堂练习），考勤10％，期末70％。 部分习题答案
习题一（1、2、12自己证明）
1．用静电场的高斯定理说明电力线总是从正电荷发出，止于负电荷，且静电场线不可能是闭合的。 2．用磁场的高斯定理说明磁力线总是闭合的。
5．试证明：在均匀介质内部，极化电荷密度P ρ与自由电荷密度ρ的关系为ρεερ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=10
P ，其中ε是介质的电容率．
证明：因为E D ε=，电容率ε与坐标无关，由P E D
+=0ε，和f D ρ=⋅∇ ，得
一般介质0εε>，因此P ρ与f ρ符号相反。
9．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1ε和2ε．今在两极板间接上电动势为E 的电池，求
⑴ 电容器两板上的自由电荷面密度； ⑵ 介质分界面上的自由电荷面密度．
若分界面是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？ 解 （1）求两板上自由电荷面密度1f σ和2
f σ
，在介质绝缘情况下，电容器内不出现电流.
22
2
11
1
22110D l D l l E l E V εε+
=
+= (1)
边值关系为 σ=-⋅)(21D D n , (2) 在两种绝缘介质的分界面上，没有自由电荷分布，03
=f σ
∴ 0)(12=-⋅D D
n 12D D = (3)
因为两极板中（导体中）电场为0，; 在导体和介质的分界面2处有 得 2
2f D σ
=-
在另一导体与介质的分界面1处有
f σ=-⋅-)(12D D n （4） 联立解得
可见，整个电容器保持0321=++f f f σσσ（电中性）
（2）当介质略为漏电，并达到稳恒时，要保持电流连续性条件成立
0)(12=-⋅J J n 即 n n 21J J =21J J =
在两介质界面上有自由电荷积累，此时21D D ≠，应有
J J J ==21 ∴ J E E ==2211σσ
∵ 极板的电导率远大于1σ和2σ，故极板中电场近似为0
∴ )(2
2
2
1
1
1
22110σσf l f l l E l E V +=+=
∴ 2
2
1
1
0σσl l J J +
=
根据边值关系最后得出,各交界面上自由电荷面密度为
21120211σσσεσl l V f +=
, 21120122σσσεσl l V f +-= ,2
1120
21123)(σσσεσεσl l V f +-=
10．试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表
面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面．
证明：因为 t t E E 21=，导体内（1）电场为0，所以导体外（2）电场的切向分量为0，电场线总是垂直于导体表面。
在恒定电流情况下，0=⋅∇J ，则有0=n J ，又由欧姆定律E J
σ=
故导体中0=n E ，所以电场仅有切向分量，电场线平行于导体表面。 12.用静电场的环路定理说明，电力线不可能是闭合曲线。 习题二
２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非铁磁物质．
⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场． ⑵求f λ随时间的衰减规律．
⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度．
⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率．
解：⑴由高斯定理可得r f e r D ˆ2πλ= ，则.ˆ2r f
e r
D E πελε==
由欧姆定律微分形式.ˆ2r f
f e r E J πεσλσ=
= 而位移电流密度.ˆ21r f
D e t
r t D J ∂∂=∂∂=
λπ ，对其两边求散度 又由
f D ρ=⋅∇ ，0=∂∂+⋅∇t
J f
f ρ 得
f f t
λε
σ
λ-
=∂∂，所以 0=∂∂+t
D
J f 。
因为介质是非铁磁性的，即H B
μ=，故任意一点，任意时刻有
⑵由
f f
t λε
σ
λ-
=∂∂，解这个微分方程得
⑶功率密度()2
22/r E E J p f f πελσσ==⋅=
⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为
能量密度()2
2/,21r t
w D E w f πελσ-=∂∂⋅=
长度为l 的一段介质内能量减少率为
３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在外力矩的作用下，
从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示．
⑴试求筒内的磁感应强度B
； ⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E
和玻印廷矢量S ； ⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2022B l R dt d μπ．
解：⑴单位面电流ωσσ
πR lT
Rl i ==
2 ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r 由法拉第定律，得 因为 所以
考虑到方向，则有 在筒内接近表面处， 该处的能流密度为
负号表明，S 垂直于筒表面指向筒内。 ⑶进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为 而
所以
讨论：此结果表明，筒内磁场增加的能量等于S 流入的能量。由于筒未转动时，筒内磁场为零，磁场能
量为零，磁场能都是经过玻印廷矢量由表面输入的。 习题三
１．试证明，在两种导电介质的分界面上，
.01122=∂∂-∂∂n n ϕσϕσ ()21指向由n
． 证明：因为
0=⋅⎰⎰
S
S d j
所以，n n j j 21= 又， n
E j n n ∂∂==ϕσ
σ
即 .01122
=∂∂-∂∂n
n ϕ
σϕσ 3. 试论证：在没有电荷的地方，电势既不能达到极大值，也不能达到极小值． （提示：分真空和均匀介质空间，用泊松方程证明．）
证明：由0
2
ερ
ϕ-=∇ （1） 没有电荷的地方
022222
2=∂∂+∂∂+∂∂z
y x ϕ
ϕϕ （2） 如果ϕ为极大，则022<∂∂x ϕ，02
2<∂∂y
ϕ，022<∂∂z ϕ，这不满足（2）式，可见没有电荷处，ϕ不能为极大。同理可以证明ϕ不能为极小。
在均匀介质中，有ρερ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=r
p 11，若没有自由电荷，也就没有极化电荷。方程（2）仍然成立，证明和
前面一样。
6．三个同心薄金属球壳形成一个静电系统，内球半径为1R ，中间球半径为2R ,外球半径为 3R ，球壳之间为真空，内外球壳接地，电荷Q 置于中间球壳上，试求： （1）内球壳上的感应电荷1Q 值;’ (2) 外球面上的感应电荷3Q 的值.
解 在所研究场域内无电荷分布，故场域满足0=⋅∇D .因为电场具有球对称的特点，故选用球坐标，且0==φθE E ，于是
0=⋅∇D )(21R r R << 或在球坐标系中 0)(112
2=D r d d r
(1) 积分得 21r A
D = (2) 同理得 22r
B
D = )(32R r R << (3)
根据边界条件确定常数A 、B.
由
⎰
⎰=⋅-⋅Q dS D dS 1
n D n 2, 得
π
4Q
B A =
+ (4) 由
⎰⎰⋅=⋅1
23
221R R R R r r d E d E 得
B R R R R R R A )
()
(123231--=
（5）
联立（4）、（5）式，得
)()(4132231R R R R R R Q A --⋅=
π ; )
()
(4132123R R R R R R Q B --⋅=π
因此，球壳之间电场分布为
)()
(1322310124R R R R R R Q E r
--⋅
=
πε; 内球壳上感应电荷分布 总电荷Q R R R R R R Q )
()
(1322311---
=
外球壳内表面感应电荷分布为 20203E E n εεσ-== 总电荷
Q
R R R R R R Q )
()(1
3
2
1
2
3
2
---
= .
7.（1）根据电荷守恒定律证明稳恒电流情况下的边界条件：电流密度的法向分量连续. （2）证明导体表面电位移的法向分量σ=n D (σ为面电流密度），但 D 不在导体表面的法线方向.
解（1）在两种导电媒质的分界面上，作一扁圆柱体（高0→∆h ），把连续性方程⎰=⋅0S j d 用于这个圆柱面上，则0)(12=-⋅j j n 或n n 21j j =，法向单位基矢n 由媒质1指向媒质2，因此电流密度在界面法线n 上的分量连续.
（2）由于介质中各点02=j ，故导电媒质与非导电媒质交界面上边界条件为
01=E σ 2t
1t
E E =t
∵ σ=-⋅)(12D D n ,σ=n D 2
因为电场有切向分量，所以D 不在导体表面法线方向。
分析 （1）在稳流场中，两种导电媒质界面上n j 连续，而n E 不连续是由于界面上存在面电荷.面电荷密度为
界面上积累电荷密度激发的电场将影响整个空间的电场分布.
（2）两种导电媒质的交界面不是等势面，当交界面上各点切向分量0=t E ，界面才是等势面.
（3）对理想导体∞→1σ ，其内部电流密度有限，故01=E ，整个理想导体为等势体..在稳流场中，一般把供电电极作为理想导体使用，而不论其电导率的值为多大.
习题四
３．接地的空心导体球内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为()1R a a <处置一点电荷q ，求空间的电势分布．导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？
答案：()()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+=
θθ
πεϕcos /2//cos 241212
2121220a R R a R R a
qR Ra a R q
q q -='，分布在内表面．感应电荷不等于像电荷． 提示：该题的解法与例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。
４．上题的导体球壳不接地，而是带电荷0q ，或使其有确定的电势0ϕ，试求这两种情况的电势．又问0q 和
0ϕ是何种关系时，两情况的解相等？
解：由叠加原理，本题可以看作3题再叠加一个半径为2R 的均匀带电球面，球面带电为q q +0。若题给条
件是导体球壳电势为0ϕ，则在3题基础上叠加一电势为0ϕ球面。所以
或者，
当 2
0004R q q πεϕ+=
时，两种情况的结果相等．
５．在0=x 处和0=y 处有两个互相垂直的无限大导体面，设有一点电荷从无限远处准静态地移至a x =，
b y =，z=0处，试求电荷在这位置上所受的电场力及移动中外力所做的功．
解：用电像法求点电荷所受电场力，即像电荷给点电荷的力，再求力的功。 设点电荷电量为q ，有三个像点电荷，如图示， q 受到的力为3个像电荷的力 外力的功为
q qU W = q U 为q 所在点感应电荷电势，也即
所以⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-+-=
222
1118b a b a q W πε
７．在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸起，半球的球心在导体平面上，点电荷q 位于系统的对称轴上，
并与平面相距为()a b b >，如题图４．１．求空间的电势． 题图４．１ 解：有三个像电荷，如图示
位置分别为b b
a b a --,,2
2 空间的电势是q 及三个像电荷电势的叠加
10．均匀外电场0E
中置入半径为0R
⑴ 导体球上接有电池，使球与地保持电势0Φ; ⑵ 导体球上带电荷0q
解: 以球心为坐标原点，设原点处原来电势为0ϕ，问题具有轴对称性. 所以满足拉普拉斯方程
02
=∇ϕ （0R R >） ①
满足的边界条件有
00cos ϕθϕ+-→∞→R E R ， ② 00,Φ==ϕR R ③ 由轴对称情形拉普拉斯方程通解
q 1
q 3
再由边界条件②
)1,0(0,,0100≠=-==n a E a a n ϕ．
则有 ()θϕθϕcos cos 100n
n
n n
P R b R E ∑+++-= 再由③得
即，)1,0(0,,)(3
0010000≠==-Φ=n b R E b R b n ϕ
所以有
⑵解拉普拉斯方程 边界条件：
1、00cos ϕθϕ+-→∞→R E R ，
2、 为常数ϕ,0R R =
3、0
00
04,πεϕεQ
b ds R Q R R s
=→∂∂-==⎰，()1,00≠=b b 12. 在均匀外电场0E
中置入一带均匀自由电荷0ρ的绝缘介质球（介电常数ε），求空间各点的电势。 解：设球外电势为1ϕ，球内电势为2ϕ，则有 由迭加原理
ϕϕϕ''+'=， ϕ'是拉普拉斯方程解，ϕ''是均匀带电球解．
R R 03
013ερϕ=''， 2002002
6216R R ερεερϕ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''． 故 R R P R b R d n n n n n
n 0
3
0113)(cos )(ερθϕ++=∑+，
2003
00126)2
1(6)(cos )(R R P R c R a n n
n n n
n ερεερθϕ-+++=∑+．
由边界条件 ①θϕϕcos R E 001－＝，∞→R
得 )1,0(00100≠=-==n d E d d n ，，ϕ ②R ＝0，1ϕ有限0=→n C
③，，210ϕϕ==R R 0
21
R R R
R
∂∂=∂∂ϕε
ϕε
所以 R
R R R E R E 03
02
300000013cos 2cos ερθεεεεθϕϕ++-+-=．
2
002
00000026216cos 23R R R E ερεερθεεεϕϕ-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++
+-=．
习题五
5．试用菲涅尔公式说明，当()1212n n >>εε
时，反射波电矢量与入射波电矢量反相，即半波损失现象。
提示：直接用菲涅尔公式即可得到。
7．有一个可见平面光波由水入射到空气，入射角为
60．证明这时将会发生全反射，并求折射波的透入深度．设该波在空气中的波长为cm 5
01028.6-⨯=λ，水的折射率为33.1=n ． 解：全反射临界角为 '4549arcsin
1
2
==n n c θ＜ 60，故会发生全反射． 透入深度为 52
21
20
107.1sin 2-⨯=-=
n θπλδcm ．
8.已知海水的1
.1,1-==m S r σμ，试计算频率ν为Hz Hz Hz 9
6
10,10,50的三种电磁波在海水中的透入深度． 解：ωμσ
α
δ2
1
≈
=
则透入深度分别为
9．频率为Hz 10
103⨯的电磁波，在cm b cm a 6.0,7.0==的矩形波导中可能传播哪些波型？ 解：对一组n m , 截止频率为
只有当截止频率小于Hz f 10
103⨯=，相应的波模才能在波导管内传播，计算得
因为TM 波的最低波型（波模）为TM 11，而现在()f f c >11，所以TM 波都不可能传播。所以可以传播TE 01和TE 10波型。
10．试证明矩形波导中不存在mo TM 波或n TM 0波．但可以有0m TE 波和n TE 0波。 证：因为 电场解为 磁场解为 有
所以可以有0m TE 波和n TE 0波。 而TM 波有
所以不存在mo TM 波或n TM 0波．因为这样会仅有x H 或y H ，Ｈ线为直线，从波导管的一个侧面到另一侧面，这与0=⋅∇B
矛盾．
习题六
2. （1）两圆形极板构成的平板电容器板间距为d 。其中的介质是有损耗的，电导率为σ，介电常数为ε。假设平板间电场均匀并不计边缘效应，板间加电压U=U m sin ωt ，求电容器中任一点的磁场。
z
ik y x z z ik y x y z
ik y x x z z z ye k x k A E ye k x k A E ye k x k A E sin sin cos sin sin cos 321===()()()z
ik y x y x
z z
ik y x x z y z ik y x z
y x z z z ye
k x k k A k
A i H ye k x k k A k iA i H ye k x k k iA k A i H cos cos sin cos cos sin 120
310
230--
=--=+-=ωμωμωμ,21b n A a m A ππ-=y x E E A n E E A m ==→===→=,0,0,0,012
（2） 试求与空间磁场H =A 1z x y βt-ωsin x cos A y βt-ωcos x sin e e )(4+)(42相应的位移电流。
解 （1）平板间电场均匀，且为E=t ωsin d
U d U m
=
因此，传导电流密度为 位移电流密度
根据电流分布可知距圆形极板的中心轴等远处磁场H 数值相等，磁力线分布是一系列圆心在中心轴上的同心圆，设某点离轴r 远，由安培环路定律
∮H ·d l=)(2D f +j j r π
∴ H=
)+(2D f j j r
, B=)+(2
D f j j r μ （1） 根据D t
D
J H ==×∇∂∂ （因为此空间没有传导电流）
相应的位移电流为
j D =―A 2βz y x y t-x A y t-x A y t-x e e e )(sin 4sin )(sin 4sin 4)(cos 4cos 12βωββωβω-+
习题七
2．用洛仑兹变换式和四维坐标矢量，导出洛仑兹变换矩阵。 解：洛仑兹变换式为
.
/1/',',
',
/1'2
2
22
2
c
v c vx t t z z y y c v vt
x x --=
==--=
（1）
令，ict x z x y x x x ====4321,,,，按矢量的变换性质，则 νμνμx L x =' （2）
μνL 为洛仑兹变换矩阵，设为
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4443
42
41
3433323124232221
14131211a a a a a a a a a a a a a a a a L （3）
由（2）式矩阵计算为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43214443
42
41
343332312423222114131211432
1''''x x x x a a a a a a a a a a a a
a a a a x x x x （4） （4）式计算结果为
44434324214114
3433323213114
2432322212114
143132121111''''x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x +++=+++=+++=+++= (5)
将（5）式和（1）式比较，不难得出
其中
c v =β，.1122c v
-=γ
L 中其余各量为0. 所以
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=γβγβγγ000100001000i i L . 8．某星球发出的H a 线在其静止参考系中波长为o 0A 6563=λ.若地球上的观察者测得该星球的运动速度为
s km 300,试计算下列情况下地球上的观察者看到从该星球发出的H a 线的波长.该星球的运动方向与辐射方向所夹角为o o o 901800,,.
解 由多普勒效应
设波源对'∑系静止，故多普勒效应的波长表示为
其中 o
0A 6563=λ c=3.0×108s m 2211
=c v γ- v=3.0×105s m
①o 0=θ表示星球逆着观察者视方向，迎观察者而来，此时1=θcos 故 o 0220A 6556≈+11=11=c v c v λc v
c v λλ-
--
（紫移） ②o 180=θ表示星球顺着观察者的视方向，离观察者而去 o 0A 6570≈1+
1=c
v c v λλ-（红移） ③o 90=θ表示星球的运动方向与观察者的视方向垂直；由(1)式
o
A 6563≈1=c v
λλ- （横向红移） 9．设有一发光原子，当其静止时，辐射的光波波长为0λ，现此原子以速度v 相对于惯性系S 运动，试求在该惯性系中顺v 的方向和垂直v 的方向传播的光波频率 。
解 按Lorentz 变换关系，设v 沿S 系中x 轴正方向，则S 中观察光的频率ω与原子静止坐标系中光频率ω′有如下关系
设光波传播方向在S 系中与x 轴夹角为θ，则
其中 c v -11
=γ
沿着v 方向光频率为 )1(20c
-v c
γλπ=ω 垂直v 方向光频率为 γλπ=
ω02c 。 11．（1）计算μμU U ，其中μU 为四维速度矢量。（2）证明
μ
x ∂∂为四维矢量. 解（1）)(=321c ,,,γU u μi u u u ∴ μμU U =[])()(+)()(44u γu γu γu γi i u
是不变量。
（2） y v μμx a x =′，λ
τλτ'=x a x 故μ
x ∂∂是四维协变矢量算符。 12．证明：如果在一个惯性系中B E ⊥，则在其他惯性系中必然有B E ⊥。
解 根据电磁场变换关系，若∑系中有E 、B, '∑（相对∑以v 沿x 轴运动）中有E '、B '，则有变换关系如是所以
显然，若在∑中B E ⊥,在'∑中亦有B E '⊥'。
习题八
1．设两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为0l ，它们以相同的速率v 相对于某一参考系∑运动，但是运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。
解：设1尺()'∑系沿∑系x 轴正向以速度v 运动，则2尺"∑系相对于∑系的速度为v -，因此在1尺上测得2尺的速度及其长度分别为
两尺看对方长度一样。
5．火箭A 和B 分别以c .80和c .60的速度相对于地球向右和向左飞行。由火箭B 的观察者测得火箭A 的速度是多少？
解 方法一：取如下对应关系：地球←→∑; 火箭B ←→′∑; 火箭A ←→运动物体P 。
这样一来问题变得十分明确和简单（如图所示）：求?=′x u
已知 c v .60=- c u .
x 80=
方法二：取火箭A ←→∑；火箭B ←→′∑；地球←→运动物体P ，地球有两个速度 c u .x 80=-，c u .
x 60=′，实际上是求′)(∑B 相对于∑)(A 的运动速度。 即2
)0(10=60c c v v c c ...8---8- 解得 c v .9460=- 这里的结果与方法一差一个符号，这只能说明速度的相对意义，因为只讲“一个物体的速度”，而不讲“谁相对于谁的速度”是毫无意义的。
7．写出能量动量矢量在Lorentz 变换下的变换式。（写出各个分量的变换显示式）
解: 能量与动量构成四维矢量),(W c i
p 由此得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-γ='='='-γ='⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧+β-γ='='
='-γ=')
p (p p p p )(p p )p (p p p p )(p p 13322211213322211v W W W c i W c i i W c i W c i 9．两个相等质量m 的物体由一个压缩弹簧连在一起，该组合体静止时，质量为M (见图)。突然弹簧断开，每一部分都以速度u 相反的方向飞去，问如何用两个物体的质量m 表示复合质量M 。
解: 在这种情况下，动量是守恒的。弹簧断开前后的总动量为零。而能量
2Mc W =前,222
12c u mc W -=后能量守恒要求 2212c u m M -=
从上式可知，复合质量不恰好等于总质量m 2，因为这不是经典的情形。在这过程中质量不守恒。原来的静能2Mc 的一部分转变成为动能。小于与之相对应的静能22mc 。另外，还可以这样理解：开始能量部分地存在于两个质量m 的静能中，还有一部分能量存在于压缩弹簧的势能中，但注意到所有这些能量都在质量M 中反映出来。即U mc Mc +=222。其中U 为弹簧的势能。显然弹簧的势能使复合质量增加。有了这样形象的例子，普遍地某一A 粒子裂变为B 粒子的情形就不难理解了。
10．静质量为0m 的相对论的粒子的动能为202c m 碰撞并粘在静止的质量为02m 的静止粒子上，求：（a ）两粒子结合物的静止质量（b ）结合物的速度。
解: 碰撞前体系的总能量为
2020202020201215222c m c m c m c m c m c m T W W W =++=++=+= (1)
212011β-=c m W 且2020212021c m c m c m =--β (2)
从（2）解得31121=-β c v 321= 设碰撞后结合物的静止质量为M 0，速度为2v ,则根据能量守恒 20222051c m c M W =-=β (3) 根据动量守恒222
02121011ββ-=-v M v m (4) 由(4)可得 c m v M 0222
021=-β 即 302222021c m v c M =-β (5)
(3)式代入(5)式得c v 52
2=
将2v 代入(3)0021m M =。
电动力学第四章习题答案
电动力学第四章习题答案 电动力学第四章习题答案 电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电场、电流和磁场、电磁感应等现象。在学习电动力学的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。本文将为大家提供电动力学第四章的一些习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。 1. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。求球壳上任意一点的电场强度。 解答：由于球壳是均匀带电的，所以球壳上的电荷分布是均匀的。根据库仑定律，球壳上任意一点的电场强度与该点到球心的距离r有关。当r
仑定律，球壳外部的电场强度为： E = k * Q / r^2 其中，k为电场常量，r为球壳上任意一点到球心的距离。 4. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。求球壳内部和外部的 电势。 解答：球壳内部的电势为0，因为电场强度为0。球壳外部的电势可以通过积分求解。根据电势的定义，电势差为从参考点到某一点的电场强度在该段距离上 的积分。所以球壳外部的电势为： V = ∫E·dr 其中，E为球壳外部的电场强度，r为从参考点到某一点的距离。 5. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。求球壳上的电势。 解答：球壳上的电势可以通过积分求解。根据电势的定义，电势差为从参考点 到某一点的电场强度在该段距离上的积分。所以球壳上的电势为： V = ∫E·dr 其中，E为球壳上的电场强度，r为从参考点到某一点的距离。 以上是电动力学第四章的一些习题答案。通过解答这些习题，我们可以加深对 电动力学理论知识的理解，并提高应用能力。希望本文对大家的学习有所帮助。
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
第二章 静 电 场 一、 填空题 1、假设一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为。 答案：02a R ε 2、假设一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数， 球外为真空，则球面上的电荷密度为. 球外电场强度为. 答案：003cos E εθ ,3 03[cos (1)sin ]=-+-r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是；介质分界面上电势的边值关系是和；有导体时的边值关系是和。 答案：σφ εφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=- =∇n c n n ,,,,1122212 4、设*一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。 答案：z y x e b e ax e axy +--22 5、真空中静场中的导体外表电荷密度_______。 答案：0n ϕ σε∂=-∂ 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。 答案： -〔1- ε ε0 〕 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()() 8x x W dv dv r ρρπε '' = ⎰⎰的适用于情形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。 答案： 3 4qR R πε 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于.
答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势极值.(填写"有〞或"无〞) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：212014() R q a R a a πε- 二、 选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =∇2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C 2、以下标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B.222532z y x -+ C.32285z y x ++ D.2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ⋅21; C. ρφ D. E D ⋅ 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B.1,倍 C. 1,4倍 D.1 ,16倍 答案： A 6、电导率分别为 12,σσ,电容率为12,εε的均匀导电介质中有稳恒电流,则在两导
郭硕鸿《电动力学》课后习题答案
电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 21??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(21??-??=??? 即 A A A A )()(221??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+ ??+??=d d d d d d u u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ? ?=??+??+???++= （3）u A u A u A z u y u x u u u z y x z y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A z x y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (??-??+??-??+??-??= z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([]) ()([??-??+??-??+??-??= )(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从
电动力学习题解答1
电动力学习题解答 若干运算公式的证明 ?ψψ??ψψ??ψψ??ψ?+?=?+?=?+?=?c c c c )()()( f f f f f f f ??+??=??+??=??+??=?????????)()()()()(c c c c f f f f f f f ??+??=??+??=??+??=?????????)()()()()(c c c c )()()( g f g f g f ???+???=???c c )()(g f f g ???-???=c c )()(g f g f ???-???= )()()(g f g f g f ???+???=???c c g f f g g f f g )()()()(??-??+??-??=c c c c g f f g g f f g )()()()(??-??+??-??= )()()(c c g f g f g f ??+??=??)()(c c g f f g ??+??= （利用公式b a c b a c c b a )()()(?+??=?得） f g f g g f g f )()()()(??+???+??+???=c c c c f g f g g f g f )()()()(??+???+??+???= 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 21??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(21??-??=??? 即 A A A A )()(221??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播 一、 填空题 1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ 2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。答案：S wv = 3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。答案：0x E e α-? 。 6、 7、 9、 的贡 10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足 ( )时，该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为 ( )。 答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπ ω，ω＜n m c ,,ω，με πb ，01TE
11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全 偏振波.答案：201 n i arctg n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σ ερρ-= 1、 ） ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. A ．6、 平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（ ） A ． B E ?沿矢量k 方向 B. E B ?沿矢量k 方向 C.B E ?的方向垂直于k D. k E ?的方向沿矢量B 的方向 答案：A 7、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ）
A ．μεπa B. με πb C. b a 11+μεπ D. a 2μεπ 答案：A 8、 亥姆霍兹方程 220,(0)E k E E ?+=??=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波 C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波 D. 介质中的一般电磁波 答案：C 9、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ） 1、 21E E →?- 21B B →?-表明：电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在； 22 2210E E B B v t ?-?-?=? 一般随ω变化，存在色散（3）亥姆霍兹方程：(220,0 E k E k E i B E ωεμ ω ?+==??==-?? 表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波 模。
电动力学试题及参考答案
电动力学试题及参考答案 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该 点散度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ） 10、电磁波的波动方程012222 =??-?E t v E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符 的矢量性和微分性，证明 0)(=????φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0ωω -=，求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0ωω-=
最新福师1203考试批次《电动力学》复习题及参考答案
福师《电动力学》一 、判断概念是否正确，若不正确，请写出正确答案（共15分，每小题3分）1、磁场强度H是个辅助物理量，它与磁感应强度B的普遍关系为: B = %(H M ) 参考答案： 2、静电场总能量可表示为，则其能量密度为 W dV w = 1■- 2 ' 2 参考答案： 3、在研究辐射问题时，我们用小区域展开，所谓小区域是指它的线度| ,波长为.， 以及观察点与源点距离r之间满足关系：“< 1、多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率??与它的 静止角频率-.0的关系为：-.0，其中----------- 2 2. ；v为光源运动 国= --------------\Y = W'1 - V2 /C2）」 1 cos J .C 速度。 参考答案：（仅包含主要解题步骤，仅供参考）设运动光源的波矢为k，静止光源的波矢为k' 光源的相位不随参考系而变， =k x - t = k' x'—0t' k'.ix'」.-k.x.二常数 四、综合题（共55分，前三每题题15分，最后一题10分）仁有一内外半径分别为n和辺的空心介质球，介质的介电常数为带静止自由电荷匚，求：（1）空间各点的电 场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布 f 可得 k ,i.= k,i- l c丿 i 设设波矢量k与X轴方向的夹角为71，；'与X轴方向的夹角为 1 -V cos c 其中 二（.1「V2 /c2）' ；，使介质内均匀根据洛伦兹变换有 可解出 ■ .0 = ■ -V co^ 即 c 1. 根据算符?的微分性与矢量性 推导下列公式 ?(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar × (?× Br) + (Ar ??)Br Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2 ? (Ar ??)Ar 2 解 1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av) + (Bv ??)Av + Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv 首先 算符?是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ?将作用于 Av 和Bv 又?是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 cv × (av ×bv) = av ?(cv ?bv) ? (cv ?av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ?作用于 v v A 后两项是?作用于 B v v 2 根据第一个公式 令 A B 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 ?f (u) = df ?u du ?? Ar(u) = ?u ? dAr du r ?× Ar(u) = ?u × . dA du 证明 1 ?f (u) = ?f (u) er x + ?f (u) er y + ?f (u) er z = df du ? e x + r ?u er y + df ?ur ? ? e z = df ?u ?u ?x ?y ?z du ?y du ?z du 2 ?Ar y (u) ?y dAr y (u) du ?Ar x (u) + ?x + ?Ar z z(u) = dAr x (u) ? ?u + ? ?u + dAr z (u) ? ?u r ?z = ?u ? du ?? Ar(u) = dA ?z du ?x ?y dz 3 r r r e z ? e e ?Ar y )er x + (?Ar ? ?z ?Ar ?Ar x )er z = ?y r r x y ?× Ar(u) = = (? x ? ? )e y + ( y ? ?x ? ? A A r z z ?x ?y A y (u) A z (u) ?z ?y ?z ?x r r r A x(u) 第二章 静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r K r P =，电容率为ε。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ?-?=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σ R K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 2 00)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内 （3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2 002 00)(4d εεεεπερ ε-= = = ?外 外 r KR r )(d 00εεεε?-=?=?∞ r E 外外 )(ln d d 0 εεεε?+-= ?+ ?= ? ? ∞r R K R R r r E r E 外内内 （4）? ? ?∞ -+ -= ?= R R r r r R K r r r K V W 4 2 2 0022 2 2 2 2 02 d 4) (21 d 4) (21d 2 1 πεεεεπεεεE D 2 ))( 1(2εεεεπε-+ =K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势： （1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。 当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑ ++ = n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 01 01000)(c o s )(c o s Φ=+-∑ +n n n n P R b P R E θθ ? 即： 002 010000/,/R E R b R b =Φ=+? 习题四参考答案 1．一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r r K P ，电容率为 ．计算 ⑴ 束缚电荷的体密度和面密度； ⑵ 自由电荷体密度； ⑶ 球外和球内的电势； ⑷ 该带电介质球产生的静电场的总能量． 答案：⑴ 2 r K p ，R K p ⑵ 2 0r K f ⑶ r KR 002 R r 00 1ln r K K R r ⑷ 2 0012 K R W 提示：⑴2r K P p ， R K P e R r r p ? ⑵ 因为f P 10 ，所以 2 r K f ⑶ 因为电荷分布具有球对称性，所以可以由高斯定理求电场强度E ，再求 ⑷ 两种方法都可以求解 v dV W 2 1 ，V 是电荷分布的球区间。 或者， dV D E W 21，这里V 是电场分布的全空间 ２．导体内有一半径为R 的球形空腔，腔内充满电容率为 的均匀电介质，现将电荷量为q 的点电荷放在腔内离球为)(R a a 处，如图所示，已知导体的电势为零，试求：①腔内任一点),( r p 的电势 ；②腔壁上感应电荷量的面密度；③介质极化电荷量的密度和面密度． 解：用电像法求解 ①设导体不存在，整个空间都充满了 电容率为 的均匀介质，像电荷q 使腔壁电势为0． 041 s q s q 解之得 a R b 2 q a R q 由此得介质内任一点),( r p 的电势为 cos 2cos 2412222br b r q ar a r q ． ②腔壁上感应电荷量的面密度为 2 /32222)cos 2(4)(?)(? aR a R R q a R r e E e D n R r r ③介质内极化电荷量的密度为 200)()( E P P )1())((00 ． q q p )1(0 ． 介质表面极化电荷面密度 R r p r E e p n ))(()(?00 2 /322220) cos 2(4))(( aR a R R q a R ． ３．接地的空心导体球内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为 1R a a 处置一点电荷 q ，求空间的电势分布．导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？ 答案： cos /2//cos 241212 2121220a R R a R R a qR Ra a R q q q '，分布在内表面．感应电荷不等于像电荷． 第三章稳恒磁场 一、填空题 1、已知半径为圆柱形空间的磁矢势(柱坐标,该区域的磁感应强度为（）. 答案： 2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）.答案： 3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理中矢势的环流表示（）. 答案：或求解区是无电流的单连通区域 4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势 的解析表达式（）.答案： 5、磁偶极子的矢势等于（）；标势等于（）. 答案： 6、在量子物理中,矢势具有更加明确的地位,其中 是能够完全恰当地描述磁场物理量的（）. 答案：相因子, 7、磁偶极子在外磁场中受的力为（）,受的力矩（）. 答案：, 8、电流体系的磁矩等于（）.答案： 9、无界空间充满磁导率为均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势 的解析表达式（）.答案： 二、选择题 1、线性介质中磁场的能量密度为 A. B. C. D. 答案：A 2、稳恒磁场的泊松方程成立的条件是 A．介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且 答案：D 3、引入磁场的矢势的依据是 A.; B.; C. ; D. 答案：D 4、电流处于电流产生的外磁场中,外磁场的矢势为,则它们 的相互作用能为 A. B. C. D. 答案：A 5、对于一个稳恒磁场，矢势有多种选择性是因为 A.的旋度的散度始终为零; B.在定义时只确定了其旋度而没有定义散度; C. 的散度始终为零; 答案： B 6、磁偶极子的矢势和标势分别等于 A. B. C. D. 答案：C 7、用磁标势解决静磁场问题的前提是 A.该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足 D. 该区域每一点满足. 答案：B 三、问答题 1、在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？ 答：稳恒电流请况下，因稳恒电流是闭合的，则有，由电荷 守恒定律：，知：，即：。 所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于处ρ值 大小由介质形状、大小等决定。若是均匀导电介质,由得, ,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处. 2、判定下述说法的正确性，并说明理由： （1）不同的矢势，描述不同的磁场； （2）不同的矢势，可以描述同一磁场； （3）的区域，也为零。 答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数φ的梯度的旋度恒为零，则：，说明：不同的矢 势，可以描述同一磁场。B=0的区域，若可以表为某一函数的梯度，即，则亦满足，所以矢势可以不为零。 《电动力学》简答题参考答案 1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。 电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。 2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。解答: (1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源; (2)B E t ∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场; (4)f D H J t ∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。 3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么? 解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。 4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定? 解答:由矢量场的唯一性定理: (1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域 边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定; (2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其 散度和旋度唯一确定。 5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。 6. 简述公式d d d d d V V w V f V S t σ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。解答:d d d V w V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流 出该区域的能量。所以,此公式的物理意义为:单位时间区域V 内电磁场能量的减少,等于单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功与流出该区域的能量之和。它实际上就是区域V 内电磁场能量守恒的表达式。 7. 简述介质中静电场的唯一性定理。 简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 2 12εεθθ=tan tan ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：22 0221A A j c t μ∂∇-=-∂ 22 22 1c t ϕρϕε∂∇-=-∂ 推迟势的解：()()00 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμϕπ π ⎛ ⎫⎛⎫ ''-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭''= =⎰ ⎰ 2 、由于电磁辐射的平均能流密度为2 22 32 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2sin θ，反比于 2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3、能量：2W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ⎛⎫ = = ⎪⎝⎭ ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε1 E 第一章电磁现象的普遍规律 一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 第五章 电磁波的辐射 一、 填空题 1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ 2、 若一电流J =40ωcos x 't z e ，则它激发的矢势的一般表示式为A = （ ） 答案： ⎰''-'=v Z r v d e c r t x A )(cos 4040 ωπμ 3、 变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、ϕ）的关系是E =（ ），B = （ ） 答案： t A E ∂∂--∇= φ ,A B ⨯∇= 4、 真空中电荷只有做（ ）运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极 矩振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的p 变为（ ）答案：加速，81P 0 5、 势的规范变换为='A （ ），='φ（ ） 答案：ψ∇+='A A ，t ∂∂-='ψ φφ 6、 洛仑兹规范辅助条件是（ ）；在此规范下，真空中迅变电磁场的 势ϕ满足的微分方程是（ ）. 答案： 012=∂∂+⋅∇t c A φ ，02222 1ερφφ-=∂∂-∇t c ， 7、 真空中一点电荷电量 t q q ωsin 0=，它在空间激发的电磁标势为 （ ）.答案： r c r t q 004) (sin πεωφ-= 8、 一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为λ,绕圆环的轴线以角速度ω匀 速转动,它产生的辐射场的电场强度为（ ）.答案： 零 9、 真空中某处有点电荷 t i e q q ω-=0那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电 荷电量等于（ ）.答案： ) (0),(c r t i e q t r q --=ω 10、 已知自由空间中电磁场矢势为A ，波矢为K ，则电磁场的标势φ = （ ）答案：A K c ⋅=ω φ2, 11、 真空中电荷）（t Q 距场点m 6 109⨯,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷 在（ ）秒时刻激发的. 答案： 0.17s 12、 电偶极子在（ ）方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面 13、 稳恒的电流（ ）(填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会 14、 已知体系的电流密度(,)J x t ',则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 （ ）答案： (,)v J x t dv '⎰ 15、 短天线的辐射能力是由（ ）来表征的,它正比于（ ） 答案：辐射电阻， 2()l λ 16、 真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了1 R 的高次项)之间的关系 是（ ）答案： E cB n =⨯ 17、 电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 （ ）答案： 辐射压力 二、 选择题 总复习试卷 一．填空题（30分，每空2分) 1.麦克斯韦电磁场理论的两个基本假设是（）和（）。 2.电磁波(电矢量和磁矢量分别为和)在真空中传播,空间某点处的能流密度 （）。 3.在矩形波导管（a, b）内，且，能够传播TE10型波的最长波长为（）；能够 传播TM型波的最低波模为（）. 4.静止μ子的平均寿命是s. 在实验室中,从高能加速器出来的μ子以0.6c（c为真空中光 速）运动。在实验室中观察,(1）这些μ子的平均寿命是（)(2）它们在衰变前飞行的平均距离是（）. 5.设导体表面所带电荷面密度为，它外面的介质电容率为ε，导体表面的外法线方向为。 在导体静电条件下，电势φ在导体表面的边界条件是（）和( )。 6.如图所示，真空中有一半径为a的接地导体球，距球心为d（d>a）处有一点电荷q,则 其镜像电荷的大小为（），距球心的距离大小为（)。 7.阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov-Bohm）效应的存在表明了（）。 8.若一平面电磁波垂直入射到理想导体表面上，则该电磁波的穿透深度δ为（)。 9.利用格林函数法求解静电场时，通常根据已知边界条件选取适当的格林函数。若为源点 到场点的距离，则真空中无界空间的格林函数可以表示为（）。 10.高速运动粒子寿命的测定，可以证实相对论的( ）效应。 二．判断题（20分，每小题2分）(说法正确的打“√”，不正确的打“ ”） 1.无论稳恒电流磁场还是变化的磁场,磁感应强度都是无源场。（) 2.亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况,是电磁波的基本方程，它在任何 情况下都成立。（） 3.无限长矩形波导管中不能传播TEM波。（） 4.电介质中,电位移矢量的散度仅由自由电荷密度决定，而电场的散度则由自由电荷密度和 束缚电荷密度共同决定。（） 5.静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即，由此可见的物理意义是表示空 间区域的电场能量密度。（） 6.趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。（） 7.若物体在系中的速度为，相对S的速度为，当二者方向相同时，则物体相对于S的速度 为1.4c. （） 8.推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度. （） 9.介质的电磁性质方程和,反映介质的宏观电磁性质,对于任何介质都适用。 ( ） 10.电四极矩有两个定义式 和，郭硕鸿电动力学习题解答完全版(1_6章)
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