电动力学复习总结第六章 狭义相对论2012答案

第六章 狭义相对论

一、 问答题

1、简述经典力学中的相对性原理和狭义相对论中的相对性原理。 答:经典力学中的相对性原理：力学的基本运动定律对所有惯性系成立。 狭义相对论中的相对性原理：包括电磁现象和其他物理现象在内，所有参照系都是等价的。不存在特殊的参照系.

2、用光速不变原理说明迈克耳孙—莫雷实验不可能出现干涉条纹的移动。 答：光速不变原理告诉我们，真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ，并于光源运动无关。因此在迈克尔逊——莫雷实验中，若使两臂长度调整至有效光程MM 1=MM 2，则在目镜中，两束光同时到达，没有光程差，因此不产生干涉效应。

3、如何校准同一参考系中不同地点的两个钟? 答:设A,B 两个钟相距L ，把钟B 调到c

L

t B =（不动），0=A t 时送出一光讯号，B 钟接到讯号后开动。

4、如图6-4所示，当'

∑和∑的原点重合时，从一原点发出一球形闪光，当∑观

察者看到t 时刻波前到达P 点(),,x y z 时，也看到'∑中固定的点()'''',,x y z P 和

P 点重合，情况有如在0t =时看到两原点重合一样，换句话说，∑观察者在

t 时确定了一个重合点'P 的空间坐标()''',,x y z 。问'∑观察者看本参考系的球面光波到达'P 的时刻't

（1）是不是本参考系时钟指示的读数为'

'

r t c

=，

'r =

（2）是不是用洛仑兹变换计算得的时刻为

'2

v t t x c

γ⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

？

(,,,)x y z t P

提示：同一光讯号事件的两个时空坐标为(),,,x y z t ，()'''',,,x y z t ，满足 '2'2'22'2222220x y z c t x y z c t ++-=++-=，是通过指定点(),,x y z 和()''',,x y z 的球面，半径分别为'ct 和ct 。

解：（1）是.由于光速不变原理，任何惯性系下，光速时一样的，因此在∑’系下，时钟读数为'

'=

r t c

，r ’为P ’到O ’的距离，即222''''z y x r ++=. (2) 是.整个物理过程是同一事件在不同参考系∑和∑’上观察，给时空坐标之间的关系，因此只要知道两个参考系间的关系，就可以由洛仑兹变换来表达。所以

'2

v t t x c

γ⎛

⎫

=- ⎪⎝⎭

，这里v 为∑’相对∑系得速度，'x oo =。 5、一质点在惯性系'∑中作匀速圆周运动,其轨迹方程为222x y a ''+=, 惯性系∑相对于'∑以速度v 沿x 方向运动,则在∑中观察, 质点的运动轨迹为

222()x vt y a -+= , 对吗?为什么?

答: '∑中作匀速圆周运动222x y a ''+= , 则在∑中观察, 质点的运动轨迹一定不是222()x vt y a -+= .这是经典时空观伽利略变换的结果. 根据洛伦兹变换

()x x vt γ'=

=- . ,y y z z ''== , 2

()v t t t c γ'=-

代入得∑中观察质点的运动轨迹为: 2222()x vt y a γ-+=

6、当两坐标系原点重合的时刻，在∑系的x 轴上取1x =的P 点，P 点在'∑中的坐标是多少？若先在'∑系在'x 轴上取'1x =的P 点，P 点在∑中的坐标是多少？

解：(1)

由洛仑兹变换'x =

t=0）,当1x =,

t=0时

,x γ'==

(2)根据相对性原理，P 在∑中的坐标依然为2

2

)(1'c v vt x x --+=

=

2

2

11c v -=γ

7、在参考系∑，真空中电磁波波动方程为

2222210x c t

ψψ

∂∂-⋅=∂∂ 利用洛仑兹变换（微分变换）证明方程在'∑中具有相同的形式

22'2

2'210x c t ψψ

∂∂-⋅=∂∂

解：由洛仑兹变换：2'(),'()vx x x vt t t c γγ=-=-

，同时11

,''x t x x v γγ

∂∂==-∂∂， 22

2222222224222222222

2222222

2''''12''''v v x x c t x c t v v c t c x c t x c t ψψγψγψγψγψγψγψ

∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+

∂∂∂∂∂，222

24222'22'211()0x c t x c t ψψψψγ∂∂∂∂-⋅=-⋅=∂∂∂∂， 从而有：22'22'210x c t

ψψ

∂∂-⋅=∂∂，即形式不变。

8、在时空结构光锥中，事件1取o ，事件2若在上或下半个光锥面内，各代表着什么？

答:在上半个光锥面内，事件2是事件1的绝对的未来。 在下半个光锥面内，事件2是事件1的绝对的过去。

9、同时的相对性是什么意思？如果光速无限大，是否还会有同时的相对性？ 答:在一个惯性系中同时不同地发生的两个事件，在另一个惯性系中观察可能不同时；在一个惯性系中不同时但间隔类空的两个事件在另一个惯性系中观察，可能同时。

光速无限大，则不会有同时的相对性。 10、

在∑′系中同时同地发生的两事件，在否也同时发生?

答:根据Lorentz 变换, 2'(),,,'()vx

x x vt y y z z t t c

γγ''=-===-

,若1212'',''x x t t ==,

在∑系中必有1212,x x t t ==,∑系中是同时发生。 11、

说明运动的尺缩短与运动时钟延缓的关系,并举例.

答: 运动的尺缩短与运动时钟延缓密切联系。

如μ子穿过大气层。μ子是在大气层上部产生的,若不是相对论效应,静止μ子的寿命只有62.19710s -⨯,即使以接近光速运动,也只能飞越660m,不可能穿越大气层,但实际上大部分μ子都能穿透大气层到达底部.以地球为参考系，可以说μ子相对于大气层以很高的速度运动，寿命变长，因而可以通过大气层。以μ子本身为参考系，大气层相对于μ子以很高速度运动，大气层变薄，因此可以通过大气层。 12、

在两坐标系原点重合时，'∑中观察到'∑的各时钟指示0t =，但看对方∑

的O 钟指示为零，x 处的C 钟指示为2

v

t x c =

，如图6-12（a ）所示正确否？这是发生在'∑中的两个异地同时事件，∑观察者则观察到非同时发生。在两坐标系原点重合的瞬间看对方'O 钟指示为零，而在经过2v

t x c

=的时间后，这时本参考系的∑钟均指示2

v t x c =，才看到对方'C 钟指示'

0t =，如图6-12（b ）所示,这种说法正确吗？

提示：'O 钟慢效应，'C 对'O 的时间差。

答：两种说法均正确。前者正是钟慢效应的原理，由运动的相对性可知后者也是正确

的。

∑

x

(a) ’

’

13、 在相对论中，在垂直于两个参照系的相对速度方向的长度的量度与参照

系无关，

而为什么在这方向上的速度分量却又和参照系有关。 答: 因为速度定义式：dt dx u x =

，dt

dy u y =，虽然垂直于相对速度方向y 方向的长度量度与参考系无关，但时间与参考系有关，因而，y 方向的速度分量就和参考系有关。 14、

双生子佯谬。有一对孪生兄弟A 和B ，B 以很高的速度飞离地球。从A

的观点看来，B 的所有的钟都变慢了，因而B 回来时，B 将比A 年轻。从B 的观点看来，A 的所有的钟都变慢了，因B 而回来时，A 将比B 年轻。试问重逢时究竟谁年轻了？为什么

答:B 年轻了。因为A 是在惯性系中，B 不在惯性系中，而是加速运动的参考系。在有加速运动的情形下，导致了A 的所有钟都变慢了的绝对的物理效应。 15、

在111Ox y z 坐标系中静止质量为0m 的物体的速度u 平行于1x 轴，有一速度

函数为

()f u =

； 2

2

1u dx dt ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

试证明当坐标系转动成Oxyz 时，速度函数式不变。证明时要注意一般公式

()

()()()()()

2

22222

111dx dy dz dx dy dz ++=++

解：坐标发生旋转时，设

''

x oy 在xoy 基础上旋转了θ角,则有：

'cos sin x x y θθ=+ ① 'sin cos y x y θθ=-+ ②

'z 和z 重合未变,∴速度矢量u 在xoy 坐标系下为

dr dx dy dz u i j k dt dt dt dt

==++

(设r 在z 轴上分量为z)

2

2

22222⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dz dt dy dt dx u dt dz dt dy dt dx u

思考题6-15

'u 在''oy x 坐标系下为:

''''dr dx dy dz u i j k dt dt dt dt

'==++

2

222

''''⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dz dt dy dt dx u

将①,②式代入,则：

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2'cos sin 2sin sin sin 2cos dx dx dy dy dx u dt dt dt dt dt dx dy dy dz dx dy dz dt dt dt dt dt dt dt θθθθθ

θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+++ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即2

2

2

2

2

2

''''⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==dt dz dt dy dt dx dt dz dt dy dt dx u u

16、 如何区分标量、矢量、二阶张量？

答:① 在坐标旋转下按u u ='变换的量是标量。 ② 在坐标旋转下按j ij i v a v ='变换的量是矢量。 ③ 在坐标旋转下按kl jl ik ij T a a T ='变换的量是二阶张量。

17、

已经证明∇算符是矢量。i i i i e e A x ∂∇==∂

，i i

A x ∂=

∂ （1）写出三维空间矢量

B 的梯度∇ B （张量）的表示式。

（2）证明()⋅∇⋅∇

A B =A B

答案：（1）j

i j i

B =e e x ∂∇∂ B

提示：（2）∇

B 可看成矢量∇与矢量B 的并矢，再注意到∇算符的微分性即可。 解：⑴ i i i

i

A e x e =∂∂

=∇ 则j j i i

B e

B e x ∂∇=∂ ，写作张量式：

j i j i

B B e e x ∂∇=∂ ，3,2,1,=j i .

（2）j j i i i j i

j i i

B B A B Ae e e A e x x ∂∂⋅∇=⋅=∂∂ ，()()()j k k i j k k i i j j i i

B B e A B Ae e B e A A e A B x x x ∂∂∂⋅∇=⋅===⋅∇∂∂∂

18、

四维电流密度矢量为()123,,,J J J J ic μρ=，连续性方程可写成协变形式

0J x μμ

∂=∂

若把四维电流密度矢量的第四个分量定义为24J ic ρ=，结果怎样？又违反了什么？

解：连续性方程为0ρ

∂∇⋅+=∂ J t

， 写作四维形式时ρic J ict x ==44,(321321,,,,J J J x x x 照旧), 则有

0=∂∂u

u

x J ① 若把四维电流密度中4J 写为2ρic ,则①式不成立, 违反了电荷守恒定律，其次也

违反了量纲:4ρ=∴

J v J 不可写作2ρic 。 19、

在求多普勒效应公式0

1cos v c ωωγθ=

⎛⎫- ⎪⎝⎭

时，若先写出波矢量的逆变换式

''112v k k c γω⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

，'22k k =，'33k k =，()''1vk ωγω=+

和1cos k c

ω

θ=

， '

'1

c o s k c

ωθ=

，能否求得此式？

解：将()1''vk ωγω=+中'1k 代为'cos '

'1θωc

k =

则

'

'cos ''1cos 'v v

c c ωωγωθωγθ⎛

⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

对该式求逆运算,在∑系下'k 与x 轴夹角为'θ,'∑系相对于∑速度为ν,则在'∑系

下k 与x 轴夹角为θ,∑系相对'∑系速度为v -．

'1cos v c ωωγθ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭即得：,若'∑系中, 0'ωω=,则01cos v c ωωγθ=

⎛⎫- ⎪⎝⎭ 20、

在'∑参考系中有一个沿z 轴方向放置的无限长螺线管，单位长度的匝数

为'n ，每匝电流为'I ，

∑参考系的观察者看到螺线管内外均有磁场和电场吗？ 解：在'∑参考系下,无限长螺线管相当与无限长条形磁铁,螺线管外无电场,无磁

场。0,0E B ''==

,其内部亦无电场,但有均匀磁场0''''z B n I B μ==，当在∑系下观察时，设'∑沿∑的x 轴正方向运动,根据电磁场的变换关系

()()x x

y y z z z

y E E E E vB E E vB γγ'=''=+''=- 22()()

x x y y z z z y B B v B B E c v

B B E c

γγ'

=''

=-

''=+ (1) 管外: 0,0E B ''==

,因此0,0E B == (2) 管内:

00,()()0x x

y y z z z

y E E E E vB v n I E E vB γγμγ'==''''=+=-''=-=2020,

()0

()x x y y z z z y B B v B B E c v

B B E n I c

γγγμ'==''

=-

=''''

=+= 即在∑系下观察螺线管外无电场和磁场; 螺线管内存在电场和磁场 20. 用质量速度关系说明为什么有质量的物体的速度不能超过光速？

答

: m =

，物体不断加速时，它的惯性质量也不断增大，当逼近光

速时，惯性质量将变成无穷大，要使速度接近光速所需的能量将是无穷大,即外力将难以再增加它的速度。这样把一个接近光速的物体加速成超光速的物体是不可能的。

21．静止质量为0m 、速率为v 的粒子的动能能否表示为

2

12

mv ?其中

m =

.

答:不能.由于在经典力学中粒子静止0v =,没有能量, 粒子运动时才具有能量

2

12

mv .而在相对论中,即便粒子静止也具有能量200W m c =，称为静止能量，这在经典力学中不存在。

当0≠v 时，物体具有的能量为2W mc =,T W W +=0，所以动能应为

()222000T W W m c m m c =-=

=-

与经典动能不同，但在v c <<，

1

2222

00[(1)1]T W W m c v c -

=-=-- 借助二项式定理展开:

12

2

2

024

20242

2200220[(1)

1]

13[]

2813281

2

T m c v

v v m c c c

v

m v m v c m v -

=--=++=++≈ 22. 已知质量为m ，动量为p

的粒子衰变为两个粒子。其中一个粒子质量为2m ，

动量为2p ，p

与2p 的夹角θ已知，求另一粒子质量1m 。 解:根据能量守恒定律: 12W W W =+

根据动量守恒定律:222121222p p p p p p p p =+=+-⋅

，，

2221222W W W WW =+-

22212212222222W W W WW p p p p p c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=-+--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

()2

221232W p m c m m m c

-=- 由于为不变量，，，均为静止质量

2222221222cos m c m c m c pp θ⎛

-=--- ⎝

所以

(

222221222

2c o s m m m p p c c

θ=++ ()1212120m m m m m m m m m m ≠++∆=+-<注意：这里，〉， 23．在什么条件下, W cP =成立,其中P 是动量.

答: 根据能量动量关系W =

,显然, 00m =时, W cP =,即此式对像

光子这类静止质量为零的粒子成立.

W =

22220W W p c =+ ,如果质点的能量远远大于其静止

能量, 即0W W ,能量动量关系可近似写为: W cP ≈

二、 计算与证明

1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。

证明：根据题意，不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两

坐标系对应轴重合，计时开始后，'∑系沿Σ系的x 轴以速度v 作直线运动，根据伽利略变换有：

vt x x -='，y y ='，z z ='，t t ='

1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的

以牛顿第二定律22dt d m x F =为例，在Σ系下，22dt

d m x

F =

vt x x -='，y y ='，z z ='，t t ='

∴''

']',','[],,[22222222F x x F ==+===dt

d m dt z y vt x d m dt z y x d m

dt d m 可见在'∑系中牛顿定律有相同的形式22'

'dt

d m x F =，所以牛顿定律在伽利略

变换下是协变的。

2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的

以真空中的麦氏方程t ∂-∂=⨯∇/B E 为例，设有一正电荷q 位于O 点并随'∑系运动，在'∑系中q 是静止的，故:

r r q

e E 2

0'4'πε=， （1）

0'=B （2）

于是方程'/'''t ∂-∂=⨯∇B E 成立，将（1）写成直角分量形式：

])

'''('

)'''(')'''('[

4''23

222'23222'2

32220z y x z y x z z y x y z y x x q e e e E +++

+++

++=

πε 由伽利略变换关系，在∑中有：

y x z y vt x y z y vt x vt x q e e E 2

3

2222

32220])[(])[({4++-+++--=πε }]

)[(2

3

222z z y vt x z

e ++-+ ])()()[(])[(3

42

3

2220z y x y vt x vt x z z y z y vt x q e e e E --++-+-++--=⨯∇∴πε

可见E ⨯∇不恒为零。又在Σ系中观察，q 以速度x v e 运动，故产生电流x qv e J =，于是有磁场R qv πμ2/0=B ，（R 是场点到x 轴的距离）此时，有0/=∂∂-t B ，于是t ∂-∂≠⨯∇/B E 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。

2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。

解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是

)/1/(2'22c v v v +=

（1） ∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为

220/'1c v l l -= （2）

将（1）代入（2）即得：

)/1/()/1(22220c v c v l l +-=

（3） 此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。

3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S’，于是相对于地面参考系S ，车

长为220/1c v l l -=， （1）

车速为v ，球速为

)/1/()(200c v u v u u ++= （2）

所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁

l t v t u +∆=∆

所以

)/(v u l t -=∆ （3）

将（1）（2）代入（3）得：

2

2

0200/1)/1(c

v u c v u l t -+=∆ （4）

4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避

雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。

解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。

取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。

在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为

)

/1(/1/1'2

20

220c v c v l c v vt l x --=--=右 )/1(/1/1'2

20

220c v c

v l c v vt l x +--=---=左

即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'2

20

c v c

v l d +--=左

时间差为

2220

/12''c

v c vl c d c d t -=

-=∆右左 5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。

（1）液体介质相对于S-R 装置静止； （2）体沿着S-R 连线方向以速度v 运动； （3）液体垂直于S-R 连线方向以速度v 运动。 解：（1）液体介质相对于S-R 装置静止时，

c

nl t 01=∆

（2）液体沿着S-R 连线方向以速度v 运动时，取固着于介质的参考系为'∑，'

∑系沿x 轴以速度v 运动,在'∑系中测得光速在各个方向上均是c/n,由速度变换关系得在∑系中沿介质运动方向的光速为：

cn

v v n c v /1/'++=

∴R 接收到讯号的时间为 v

n c l cn v t ++=∆/)/1(02

（3）液体垂直于S-R 连线方向以速度v 运动，

取相对于S-R 装置静止的参考系为Σ系,相对于介质静止的系为'∑系,建立坐标系如图。在'∑ 系中 v u x -='

22)/(v n c u y -=

' ∴在Σ系中测得y 方向上的速度为：

2

2

222

2

22222

2/1)/(/)(1/1)/(/1/1c

v v n c c v v c v v n c c v u c v u u x

y y --=

-+--='+-'=

O

y

03y l t u ∆==

6. 在坐标系∑中，有两个物体都以速度u 沿x 轴运动，在∑系看来，它们一直保

持距离l 不变，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？

解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为'∑系,又取固着于A B 两物体的参

考系为"∑系.在∑中,A B 以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l ；在"∑系中,A B 静止相距为l 0，有：

220/1c u l l -=

∴ 2

20/1c

u l

l -=

又'∑系相对于∑以速度v 沿 x 轴运动，"∑系相对于∑系以速度u 沿x 轴运动，

由速度合成公式"∑系相对于'∑系以速度

2

/1'c uv v u v --=

沿'x 轴运动，所以，在'∑系中看到两物体相距

2

2

22

2

0/1/1/'1'c uv c v l c v l l --=

-= 7. 一把直尺相对于Σ坐标系静止，直尺与x 轴交角θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴交角θ'有何变化？ 解：取固着于观察者上的参考系为'∑

在∑系中 θcos l l x =，θsin l l y =

在'∑系中 2222/1cos /1'c v l c v l l x x -=-=θ

θsin 'l l l y y ==

22/1/'/''c v tg l l tg x y -==∴θθ

8. 两个惯性系∑和'∑中各放置若干时钟，同一惯性系的诸时钟同步。'∑相对于∑

以速度v 沿x 轴方向运动。设两系原点相遇时，00

0='=t t 。问处于∑系中某点(x ,y ,z )处的时钟与'∑系中何处时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少?

解：设∑系中),,(z y x P 点与'∑系中的

)',','(z y x Q 点相遇时,两系的钟读数分别为

t 和't 。首先,要相遇必定满足：

y y ='，z z ='；其次，在∑系看来，相遇时：

x =

（1）

在'∑系看来，相遇时：

'x -=

（2） 并且

t t =' （3）

O

y

由（1）、（2）、（3）

可得：

(')(10

x x +-

= （4）

由式（4）显然可得：'x x =-

将'x x =-用于（1）或（2）得P 、Q 相遇的时刻为：)/11)(/('22c v v x t t -+

==

9. 火箭由静止状态加速到c v 9999.0=，设瞬时惯性系上加速度为2s m 20||-v ⋅= ,问按照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间?

解：(1)在静止系中加速火箭,令静止系为∑系,瞬时惯性系为'∑系,且'∑相对于∑

系的速度为u ，由题意可知u v

v ,, 同向,令此方向为x 轴方向,由x 方向上的速度合成得到火箭相对于∑系的速度为：

2

/'1'c

uv u v v ++= 其中'v 是火箭相对于'∑系的速度。所以在∑系中火箭的加速度为

2223

22)/'1()/1('d /d -+-==c uv c u a t v a （1） 'd /'d 't v a =

本题中-2s m 20'⋅=a ，而'∑系相对于火箭瞬时静止，即v u =，0'=v ，代入（1）

得

23

22)/1('d /d c v a t v -= （2）

⎰⎰=-∴-t

v

t a v c v 0

2

3

22

d 'd )

/1( （3）

t a c

v v

'/12

2

=-

56.47209999.0100/1'22==-=c

c

v a v t 年

在'∑系看来，火箭相对于∑系的加速度为

)/1(')/'1)(/1(''d /d 222222c v a c uv c u a t v -=+-=- （4）

⎰⎰=-∴-'

1

22

'd 'd )/1(t v

t a v c v （5）

''ln 2t a v

c v

c c =-+ 52.29999

.019999.01ln '2ln '2'=-+=-+=a c v c v c a c t 年

10. 一平面镜以速度v 自左向右运动，一束频率为0ω，与水平线成0θ夹角的平面

光波自右向左入射到镜面上，求反射光波的频率ω及反射角θ。垂直入射的情况如何？

解：取相对于平面镜静止的参考系为'∑系,取静止

系为∑系并令入射光线在平面xoy 内，则 0cos θk k ix -=，0sin θk k iy -=，

0=iz k ，0ωω=i 脚标i 代表入射光。由变换关系得'∑系中：

)cos (020ωθγc

v

k k ix

--='； 0sin θk k k iy iy -=='；

0=='iz iz

k k ；)]cos ([00θωγωk v i --=' ○

1若平面镜水平放置，在'∑系中平面镜静止，由反射定律可得波矢'k 的y 分量改变方向，其它分量及频率均不变，即： )cos (020ωθγc

v

k k k ix rx --='='；

0sin θk k k iy ry

='-='； 0='='iz rz k k ； )c o s (00θωγωωvk i r +='=' 脚标r 代表反射光。由变换关系得∑系中：

02cos )(θωγk c

v

k k r rx

rx -='+'=；0sin θk k k ry ry ='=； 0='=rz

rz k k ； 0)(ωωγω='+'=rx r r k v 所以，在∑系中观察，反射角等于入射角，0ωωω==r i ；如果垂直入射，

2/0πθ=，结论不变。

○

2若平面镜竖直放置，在'∑系中由反射定律可得波矢'k 的x 分量改变方向，其它分量及频率均不变，即：)cos (020ωθγc

v

k k k ix rx

+='-='； 0s i n θk k k iy ry -='='；

0='='iz rz k k ； )c o s (00θωγωωvk i r +='=' 代入逆变换关系，得Σ系中的反射光线满足：

)]cos ()cos ([)(0020202θωγωθγγωγvk c

v c v k c v k k r rx

rx ++'+='+'= )cos cos (022020202

θωωθγk c

v c v c v k +++=；

0sin θk k k ry

ry -='=；0='=rz rz k k ； )]cos ()cos ([)(02

000ωθγθωγγωγωc v

k v vk k v rx

r r +++='+'= )cos cos (022

0002

ωθθωγc

v vk vk +++=

将c k /0ω=及c v /=β用于以上各式，可得

)](cos )cos 1[(0002βθβθβωγω+++=r

)]cos 1()cos [(002θββθβγ+++=k k rx

)]

cos 1()cos [(sin tan 002

θββθβγθθ+++==

∴rx ry

k k 当10<<θ时，00sin θθ≈，1cos 0≈θ，由此可得

220)

1(βγθ

θ+≈， 220)1(βγωω+≈r

如果垂直入射，00=θ，于是∑系中观察到：0==i r θθ；220)1(βγωω+=r 11. 在洛仑兹变换中，若定义快度y 为β=y tanh ，(1) 证明洛仑兹变换矩阵可写为

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛-=y y y y a ch 00ish 01000010ish 00ch μν

对应的速度合成公式βββββ'

''+'

'+'=1可用快度表示为y y y ''+='.

证明：(1)洛仑兹变换矩阵为

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=γβγβγγ

μν

00i 01000010i 00a 据定义，y y y y y y y ch )

sh ()ch (ch )

ch /sh (11)

tanh (11

112

2

2

2

2

=-=

-=

-=

-=

β

γ，

y y y sh ch tanh =⋅=βγ，将它们代入（1）式即得

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=y y y y

a ch 00ish 01000010ish 00ch μν (2)速度合成公式βββββ'

''+'

'+'=1可改写为

)'tanh(tanh 'tanh 1tanh 'tanh tanh y y y

y y y y ''+=''⋅+'

'+=

所以 y y y ''+='

12. 电偶极子0p 以速度v 作匀速运动，求它产生得电磁势和场ϕ，A ，E ，B 。 解：选随着电偶极子一起运动的参考系为'∑系,在'∑系上观察时，0p 静止，因而

只有静电场，其电磁势为：

300~~

41R

R p ⋅='πεϕ，0=A

电磁场为：]~~

~

)~(3[41'30

500R

R p R R p E -⋅=πε，0=B 由四维势的逆变换ννμμA a A =得，∑系中电磁势：

300~~

4R

R

p ⋅='=πεγϕγϕ，

22///'c c v c A x x x x ϕϕβγϕv e e e A ====

∑系中电磁场为：

//

//E E '=， ⊥⊥⊥=⨯-=')''(E B v E E γγ 0//

//='=B B ， 222/)/'()/''(c c c ⊥⊥⊥⊥⨯=⨯=⨯+=E v E v E v B B γγ 其中R ~为'∑系中场点的位矢，),,()',','(~

z y x z y x γ==R ，∑系中为),,(z y x =R ，所以有

2222222222222)/()/('''~

c r c vx r z y x z y x R x v ⋅+=+=++=++=γγγ

13.在参考系∑系中E ⊥B ，∑'系沿E ⨯B 的方向运动，问∑'系应以什么速度相对∑'系运动才能使其中只有电场或只有磁场？

解：因为 ////E E '= ////B B '=，

又 ()

⊥⊥⨯+='B v E E γ， ()

⊥

⊥⨯-='2

/c

E v B B γ，

由题意： 0E E ////='= 0B B ////='=， 若只有磁场，则 0E ='⊥， 0B v E =⨯+∴

又 )B v //(E ⨯， 0vB -E =∴， 2B EB B E v ==，2

B

B E v

⨯= 显然有 B C E

〈〈，

同理 0B =⊥时， 0c

vE

-

B 2=， 分成矢量式 B E E

c v 22

⨯=，B c E 〉

14.做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生“压缩”，这时在电荷的运动方向上的电场E 与库仑场相比较会发生减弱，如何理解这一减弱与变换公

式//E ='

//E 的关系？

解：这两者之间并不矛盾，谈//E ='

//E 时候，参考系不同，而减弱是对某参

考系而言。

15.有一沿z 方向螺旋进动的静磁场B=()0m x m y B cosk ze sink ze +

，其中

m m 2k λπ

=，m λ为磁场周期长度。现有一沿z 轴以速度v=βc 运动的惯性系，

求在该惯性系中观察的电磁场。证明当β≈1时该电磁场类似于一列频率为

m ck βγ⋅的圆偏振光电磁波。

解：由P220（5.23）得到

11

E E =' 11B B ='， ()322vB E E -='γ ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+='3222E c v B B γ，

()233vB E E +='γ ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-='2233E c v B B γ， 现在 0E =

，

惯性系变换到∑'系中，()

()x 0m x 0m 0m B x B B cosk Ee B cosk z vt B cos k z vt γγγγγ''===-'=-⎡⎤⎣⎦

， m m k r ck ωγγβ==，

()y y 0m B B B sin k z vt γγγ''==-⎡⎤⎣⎦

，

可见m m ck r k γβγω==的圆偏振。

16.有意无限长带电直线，在其静止参考系中线电荷密度为λ。该线电荷以速度v=βc 沿自身长度方向移动，在与直线距离为d 的地方有一同样速度平行于直线运动的点电荷e ，分别用下列两种方法求出作用在电荷上的力：

（a ）在直线静止系中确定力，然后用四维力变换公式； （b ）直接计算线电荷和线电流作用在运动电荷的电磁力。

解：在∑'系中：

（1） Q 点场强 r 0e d 2E

πελ=

'， r 0e d

2e F

πελ='∴， 由力的变换公式 2x x x x

c vu 1F F F --='， γ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-='

2x y y c vu 1F F ，γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-='2x z c vu 1Fz F 所以 γ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=

2

x

y

y c vu 1F F

又 0u x ='，

所以 r 0e d

2r e F

πελ=

，

（2）在∑系中直接换成线电荷， γ

λλβλ=

-='21， 所以 r 0r 0e dr

2e e d 2e F

πελπελ='=

17.质量为M 的静止粒子衰变为两个粒子1m 和2m ，求粒子1m 的动量和能量。

解：由动量能量守恒定律 0P P 21=+ ， p p p 21 ==⇒， W=W 1+W 2=M 0c 2

42

122

11c m c p W += 42

222

22c m c p W += 可得 [][]

22122212

1)m m (M )m m (M

2M

c p --+-=

)m m (M 2M

c E 2

221221--= 18.已知某粒子m 衰变成两个质量为1m 和2m ，动量为1p 和2p （两者方向 夹角θ）的两个粒子，求该粒子的质量m 。

解：由能量动量守恒： 设衰变前静质量M 0，运动速度为v ，

222211200c m c m c m γγγ+= 0021v m p p γ

=+ 可得到 v )r m r m (cos p p p p 2211212

22

1+=-+θ

注意到421221c m c R W +='， 42

2222c m c R W +='，

可以得到θcos p p c

2c W 2W m m m 2

124212

2

2120-''++= ()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-+++

+=θcos p p p c m p c m c 2m m 212

24222142122

22

1

19.（1）设E 和p 是粒子体系在实验室参考系∑系中的总能量和总动量（其动量与x 方向夹角为θ）。证明在另一参考系∑'系（相对∑系以速度v 沿x 轴运动）中的粒子体系总能量和总动量满足：

()c /E p p x x βγ-=，()x cp E E βγ-='，()

cp /E cos sin tg βθγθ

θ-=

'

（2）某光源发出的光束在两个惯性系中与x 夹角分别为θ和θ'证明 θββθθcos 1cos cos --=

' γ

θβθ

θ)cos (1sin sin -='

（3）考虑在∑系立体角φθd dcos d =Ω的光束，证明在变换到另一惯性系∑'系时，立体角变为 ()

2

2

cos -1d d θβγΩ

=

Ω'

解：（1） ⎪⎭

⎫

⎝⎛=ωμc i ,p p

对洛仑兹变换： r r p a p μμ='

()c /E p p x x βγ-=' ()x cp E E βγ-='

()

x y p sin tg cos E /cp p θ

θγθβ''==

'- （2）由⎪⎭⎫ ⎝⎛ωc i ,k 变换式： ()⎪⎩

⎪⎨⎧'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x 2

x x k v c v k k ωγωωγ

22v w

v k cos cos kcos cos c c c

c ωθθγθωγθω'

⎛⎫⎛⎫'''⇒==

=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又 ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=''c v cos cos θγωθω ⎪⎭⎫

⎝⎛-='θωωγωcos c v

可得：θθθcos c

v 1c v

cos cos --

=' γθβθθ)cos (1sin sin -='

（3）由上面推导：

()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛

--=

'θθθθθθβθβθθd sin c v c v cos d sin -cos -1cos -11

d sin -2

()

()

2

2

cos -1-1d sin θββθ

θ-=

θϕe e e r

⨯= 垂直于x 轴运动，ϕ∴不受影响，

()()

()22

2

2

2

2

2

v 1-c d sin d d sin d d 1-cos 1-d d 1-cos 1-cos θθϕθθϕβθββθβθγ''''Ω==Ω

=

Ω=

20.考虑一个质量为1m 和能量为1E 的粒子射向另一质量为2m 的静止粒子体系，通常在高能物理中，选择质心参考系有许多方便之处，在该参考系中，总动量为零。

（1）求质心系相对于实验室系得速度c β;