2013届高三数学综合试卷

2013届高三数学综合试卷（三）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

1.若集合{

}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ）

A.{}1,2

B.{}1x x ≤

C.{}1,0,1-

D.R 2. 若复数z 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ）

A 3+5i

B 3-5i

C -3+5i

D -3-5i

3.设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1cos 5x α=

,则tan α=（ ）

A.43

B.34

C.34-

D.43- 4.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若,,//m l m l αα⊥⊥则； ②若,,,.l m l m αβαββ⊥=⊥⊥ 则

③若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； ④若//,//,,//l m l m αβαβ?则. 其中正确命题的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

5已知点F 、A 分别为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=?AB FB ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.231+ D.2

51+ 6.设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间（ ）

A.（0，1）

B.（1，2） C .（2，3） D.（3，4）

7.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ） A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 8.设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2

上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

A.12

B.23

C.34

D.45

9.若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥??+≥??≤?

则z =3x +2y 的最小值是( )

A.0

B. 1

C.3

D. 9

10.直线032=--y x 与圆()()22

239x y -++=交于E ，F 两点，则△EOF （O 是原点）的面积为（ ） A.

23 B.43 C.52 D.5

56 11. [2012·课标全国卷]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边

长为的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）

12.一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的外接球的表面积为（ ）

A. B. 8π3 C. D. 16π3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为 .

14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若3230S S +=，则公比q =_______.

15.在△ABC 中，已知a ,b ,c 分别为角A ， B ， C 所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量

p =(),,4222c b a -+q =()

S ,3满足p ∥q ,则∠C = . 16. [2012·辽宁卷]已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知函数()2sin cos f x x x =()2

2cos x x -∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）当π0,2

x ??∈????

时，求函数()f x 的取值范围.

18.（本小题满分12分）

[2012·课标全国卷]如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12

AA 1， D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .

（1）证明：DC 1⊥BC ；

（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小.

19.（本小题满分12分） 已知各项都不相等的等差数列

{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n *+-=∈N ，且1b =项和n T .

20. （本小题满分12分） [2012·安徽卷]如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）已知△AF

1B 的面积为403，求a ，b 的值.

21. （本小题满分12分）已知()()2,ln 2

3+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;

(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;

(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'

+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，

过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交

半圆于点E ，1DE =．

(Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠；

(Ⅱ)求BC 的长．

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=.

(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.

24.（本小题满分10分）选修4－5《不等式选讲》．

(1)设a ，b

是非负实数，求证：22).a b a b +≥+

(2)设1≤a ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ，证明：4

5

)(≤x f

参考答案：

一、AADA DCAC BDAD

二、 13. -3或2 14.-2 15.60度 16. 14 三、

21. (Ⅰ)(),10,0,1ln )(''e

x x f x x f <<<+=解得令 ();1,0??

? ??∴e x f 的单调递减区间是……2分 (),1,0'e x x f >>解得令().,e 1??

? ??+∞∴的单调递减区间是x f ……4分 (Ⅱ)(ⅰ)0

e

1，t 无解；……5分 (ⅱ)0

e f x f 1)1()(min -==；……7分 (ⅲ)e 12+<≤t t ，即e t 1≥时，单调递增在]2,[)(+t t x f ， tlnt )t ()(min ==f x f ……9分

e

t e t x f 110tlnt e 1-)(min ≥<

+-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立 即123ln 22

++≤ax x x x 可得x x x a 2123ln --≥……11分 设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()2

2'213121231x x x x x x h +--=+-=……12分 令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍) 当10<x h ;当1>x 时, ()0'

∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2……13分 2-≥∴a .a ∴的取值范围是[)+∞-,2.……14分