中考抛物线综合题

2020中考复习题型一：面积问题

例.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

解：（1）∵点A(－2，0)与点B关于直线x＝1对称，

∴B(4，0)，

将点A，B，C的坐标代入函数解析式，

得

?

?

?4a－2b＋c＝0

16a＋4b＋c＝0

c＝4

，解得

??

?

??a＝－

1

2

b＝1

c＝4

，

∴抛物线的解析式为y＝－

1

2x

2＋x＋4；

（2）不存在点F使四边形ABFC的面积为17，理由如下：

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴BC的解析式为y＝－x＋4，

如解图，过点F作x轴垂线，交BC于G，

设F点的坐标为(m，－

1

2m

2＋m＋4)，则G(m，－m＋4)，

∴FG＝(－1

2m

2＋m＋4)－(－m＋4)＝－

1

2m

2＋2m，

∴S

四边形ABFC ＝S△ABC＋S△BCF＝

1

2AB·y C＋

1

2FG·(x B－x C)＝

1

2×6×4＋

1

2×4×(－

1

2m

2＋2m)＝17，

整理得m2－4m＋5＝0，

∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在；

（3）当x＝1时，－1

2x

2＋x＋4＝

9

2，即D(1，

9

2)．

当x＝1时，－x＋4＝3，

即E(1，3)，∴DE＝9

2－3＝

3

2.

设Q点坐标为(m，－1

2m

2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)．

∴|PQ|＝|(－1

2m

2＋m＋4)－(－m＋4)|＝|－

1

2m

2＋2m|.

由PQ∥DE，PQ＝DE得|－1

2m

2＋2m|＝

3

2，

∴－1

2m

2＋2m＝

3

2或－

1

2m

2＋2m＝－

3

2，

解得m1＝1(PQ与DE重合，舍去)，m2＝3，m3＝2＋7，m4＝2－7. ∴P点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．

变式练习

1如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .

（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．

图1

3.如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、

B 、

C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点

D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点

E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

能力提升：

如图，抛物线223y ax x =+-与x 轴交于A 、B 两点，且(1,0)B （1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）如图1，点P 是直线y x =上的动点，当直线y x =平分APB ∠时，求点P 的坐标；（3）如图2，已知直线2439

y x =-分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点

Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，

过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰QDE ?的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

题型二：构造直角三角形 例：如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A ，顶点D 的坐标分别为A （－1，0），D （1，m ）．

（1）当OB =OC 时，求抛物线的解析式；

（2）直线CD 必经过某一定点，请你分析理由并求出该定点坐标；

（3）点P 为直线CD 上一点，当以点P ，A ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求m 的值．

第5题图 解：（1）∵点A ，顶点D 的坐标分别为A （－1，0），D （1，m ），

∴B （3，0），

∴OB =3，

∵OB =OC ，

∴C （0，3），

设抛物线解析式为y =a （x +1）（x －3），

把点C （0，3）代入得，∴a ×1×（－3）=3，

∴a =－1，

∴抛物线的解析式为y =－(x +1)(x －3)=－x 2+2x +3；

（2）∵抛物线顶点D 的坐标分别为（1，m ），

∴－a

b 2=1， ∴b =－2a ，

∴抛物线的解析式为y =ax 2－2ax +c ，

∵A （－1，0）在抛物线上，

∴a +2a +c =0，

∴c =－3a ，

∴抛物线的解析式为y =ax 2－2ax －3a =a （x －1）2－4a ，

∴m =－4a ，

∴D （1，－4a ），C （0，－3a ），

设直线CD 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，

把D 、C 点的坐标代入得，

???-=-=+a n a n k 34，解得???-=-=a

n a k 3， ∴直线CD 的解析式为y =－ax －3a =－a （x +3），

令x +3=0，

即：x =－3时，y =0，

变式练习

1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点P的坐标．

E

2.如图，抛物线y =与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴

交于点C．

（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l 上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

3.

题型三：构造等腰三角形

例：在平面直角坐标系中，抛物线y =ax

2+bx －3（a ≠0）与x 轴交于点A （－

2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．点P 、Q 分别是AB 、BC 上的动点，当点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度如图向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设P 、Q 同时运动的时间为t 秒（0＜t ＜2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设△PBQ 的面积为S ，当t 为何值时，△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？

（3）当t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？

解：（1）把A （－2，0）、B （4，0）代入抛物线解析式得，

???=-+=--034160324b a b a ，解得???

????-==4383b a ， ∴抛物线的解析式为y =83x 2－4

3x －3. （2）如解图①，过点Q 作QD ⊥AB 于点D .

由题意可知：AP =3t ，BQ =t ．

∴PB =6－3t ．

由题意得，点C 的坐标为（0，－3），

∴OC =3.

在Rt △BOC 中，BC =2243+=5，

∵DQ ∥OC ，

∴△BDQ ∽△BOC ，

∴BC BQ ＝OC DQ ,即3

5DQ t =，

∴DQ

=5

3t . ∴S △PBQ =21PB ×DQ =21（6－3t ）×53t =－109(t ?1)2+10

9， ∴当t =1，△PBQ 的面积最大，最大面积是10

9. （3）当BQ =PQ ，如解图②，

∵BQ =PQ ，DQ ⊥PB ，

∴PD =DB =2

1（6－3t ）， ∵DQ ∥OC ，∴△BDQ ∽△BOC ，

∴OC DQ =OB DB ，即4

)36(21353t t -=，∴t =2330. 当BP =BQ 即6－3t =t ，

∴t =2

3， 当BP =PQ ，如解图③，过点Q 作QD ⊥x 轴于点D ，

第4题解图③

∵PQ =BP ，

∴PB =PQ =6－3t .

∵DQ ∥OC ， ∴△BDQ ∽△BOC ，

∴OC DQ =OB DB ，即4

353BD t =， ∵BD =5

4t ， ∴DP =DB －PB =54t －（6－3t ）=5

19t ?6，

在Rt △DPQ 中，DP 2+DQ 2=PQ 2，

∴(519t ?6)2+(5

3t ) 2＝(6?3t )2， ∴解得t =29

48. ∴当t =2330或23或29

48时，△PBQ 是等腰三角形.

变式练习

1．如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．

①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．

3.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．（1）写出A ,B ,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

题型四：构造相似三角形

例;如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =－4

1x 2+bx +c 经过点A （－2，0），B （8，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，连接BC ，设点P 是抛物线上①是否存在点P ，使线段PD 的长度最大？若存在，请求出点P 的在第一象限内的点，PD ⊥A C

B y

x 0 1 1

BC，垂足为点D．

坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．

变式练习

1.如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴2. 如图，二次函数的图象经过点D(0，3

9

上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使P A+PD最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

能力提升.

1.如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，

且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

2.如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相

交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：

①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H 的坐标；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

题型五：构造平行四边形

例：如图，抛物线y=ax2+bx－

2

5

经过A（－1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC的值最小时，求△ABP的面积；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把A（－1，0），B（5，0）代入抛物线解析式得，

?

?

?

??

?

?

=

-

+

=

-

-

2

5

5

25

2

5

b

a

b

a

，解

得

??

?

?

?

-

=

=

2

2

1

b

a

，

∴抛物线的解析式为y=

2

1

x2－2x－

2

5

；

（2）∵抛物线的解析式为y=

2

1

x2－2x－

2

5

，

∴对称轴为直线x=－

a

b

2

=2，

连接BC交对称轴于点P，此时点P满足使得PA+PC的值最小，如解图①，

第10题解图①

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

把B（5，0），C（0，－

2

5

）代入得，

??

?

?

?

-

=

=

+

2

5

5

b

b

k

，解得

?

?

?

??

?

?

-

=

=

2

5

2

1

b

k

，

∴直线BC的解析式为y=

2

1

x－

2

5

，

当x=2时，y=1－

2

5

=－

2

3

，

∴P（2，－

2

3

），此时S△ABP=

2

1

×6×

2

3

=

2

9

；

（3）存在，

如解图②，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，－

2

5

），

∴N1（4，－

2

5

）；

第10题解图②

②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，

∵四边形ACMN 是平行四边形， ∴AN =CM ，AN ∥CM ，

∴∠NAD =∠AMC ，

在△AND 和△MCO 中，

??

???∠=∠=∠=∠MCO AND CM

AN CMO NAD ， ∴△AND ≌△MCO （AAS ），

∴ND =OC =25，即N 点的纵坐标为2

5， ∴21x 2－2x －25=2

5， 解得x =2±14，

∴N 2（2+14，

25），N 3（2－14，2

5）， 综上，符合条件的点N 的坐标为（4，－25）、（2+14，25）或（2－14，2

5）．

变式练习

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54

y x m =+（m 为常数）的图象与x 轴交于点A （﹣3，0），与y 轴交于点C ．以直线x =1

为对称轴的抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）经过A ，

C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．

（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E

的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

3.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4,0)、B (0,－4)、C (2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△MAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

例：已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334

y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32

y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．

（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一