数学百大经典例题-棱锥(新)
典型例题一
例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为
60，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．
分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量． 解：正六棱锥的底面周长为24． ∴正六棱锥的底面边长为4． 在正棱锥ABCDEF S -中，
取BC 中点H ，连SH ，BC SH ⊥， O 是正六边形ABCDEF 的中心． 连SO ，则⊥SO 底面ABCDEF ∴BC OH ⊥．
∴SHO ∠是侧面与底面所成二面角的平面角，即
60=∠SHO ．
（1）在Rt △SOH 中，322
3
==BC OH ， 60=∠SHO ， ∴660tan ==
OH SO ．
（2）同样在△SOH 中，斜高342==OH SH ， （3）Rt △SOH 中，6=SO ，4==BC OB ． ∴13222=+=
OB SO SB ．
（4）∵⊥SO 底面ABCDEF ，∴SBO ∠是侧棱与底面所成角， 同样在△SOB 中，23tan ==
∠BO SO SBO ，∴2
3
arctan =∠SBO ， 说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两
上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为a ，相邻两侧面所成二面角为
120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用
这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为
a 2
3
，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为
a 2
1
，斜高为a 22． 典型例题二
例2 如图所示，正四棱锥ABCD P -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且
85：：：==ND BN MA PM ．
（1）求证：直线//MN 平面PBC ；
（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦． 分析：（1）要证明//MN 平面PBC ，只需证明MN 与平面PBC
内某一条直线平行．为此连AN 并延长交BC 于E ，连PE ．
可考虑证明PE MN //．（2）若能证明PE MN //，则PEO ∠即
为直线MN 与
底面所成的角．
解：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ． ∵AD BE //，∴ND BN AN EN ：：=， 又MA PM ND BN ：：=， ∴MA PM AN EN ：：=， ∴MN PE //，
又?PE 平面PBC ，?MN 平面PBC ，∴//MN 平面PBC ．
（2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则⊥PO 平面ABCD ．又PE MN //，则PEO ∠为直线MN 与平面ABC 所成的角．
由85：：：==ND BN AD BE 及13=AD ，得8
65=
BE ，在△PBE 中，
60=∠PBE ，13=PB ，865=
BE ，由余弦定理，得891=PE ．在Rt △POE 中，2213=PO ，8
91
=PE ，则
7
2
4sin ==
∠PE PO PEP ． 说明：本题（2）若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE 与底面所
成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．
典型例题三
例3 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形，
90=∠C ，侧棱与底面成
60角，点1
B 在底面的射影D 为B
C 的中点，cm 2=BC ．
（1）求证11BC AB ⊥；
（2）若C BB A --1为
30的二面角，求四棱锥11-BCC B A 的体积．
分析：证11BC AB ⊥关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得．
解：如图所示，
（1）∵⊥D B 1平面ABC ，
?AC 底面ABC ，
∴D B AC 1⊥． ∵BC AC ⊥， ∴⊥AC 平面BC B 1， ∴1BC AC ⊥．
∵1B 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，侧棱与底面成
60角，
∴∴∴（2∵∴∴∴∴在可得
=AC ∴S ∴ACE B ACE B BC B A V V V ---11+=
EB S E B S ACE ACE ?+?=
??31
311 ()EB E B S ACE +=?131
13
1
BB S ACE ?=?
22331??=
3
3=
． ∴ 33
2
2111--=
=BC B A BCC B A V V （体积单位）
． 说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．
典型例题四
例4如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC =，D 、G 分别是PA 和AB 的中点，
E 为PB 上一点，且PB BE 3
1
=，21：：=AB AP ．
（1）求证：⊥EG 平面CDG ；
（2）求截面CDE 分棱锥ABC P -所成两部分的体积之比． 分析：由⊥PA 底面ABC ，可以判定平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于
AB ，因为G 是AB 的中点，且AC BC =，所以AB CG ⊥，于是有⊥CG 平面PAB ，EG CG ⊥．
若证⊥EG 平面CDG ，只需EG 与平面CDG 中的另一条直线
垂直就可以了．为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关
系．
平面CDE 把三棱锥ABC P -分成两部分，显然这两部分具有相
同的高线
CG ．所以，只要找到△PDE 和四边形ABED 的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了．
证明：
（1）∵⊥PA 平面ABC ，且?PA 平面PAB ∴平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB
在△ABC 中，∵BC AC =，CG 是AB 边上的中线 ∴AB CG ⊥．∴⊥CG 平面PAB ∵?EG 平面PAB ，∴CG EG ⊥
利用两个平面垂直的性质定理可以证明⊥CG 平面PAB 在Rt PAB GEB 设x PA =，则x AB 2=
，x PB 3=，x BE 33=
，x BG 2
2= ∵61322
==x x
PB BG ，6
1
233==x x AB BE ∵PBA GBE ∠=∠，∴△PAB ～△GEB
∵ 90=∠PAB ，∴
90=∠GEB ∴PB EG ⊥．∵PB DG //
利用相似三角形的性质，得到
90=∠GEB ∴DG EG ⊥
∵G CG DG = ，∴⊥EG 平面CDG ． 解：（2）∵APB PD PE S PDE ∠???=
?sin 2
1
APB PB PA S PAB ∠???=
?sin 21
∵PA PD 21=，PB PE 32
=
∴1
3sin 2
1sin 21
=∠???∠???=??APB PE PD APB
PB PA S S PDE PAB ∴1
33131
--=????=??PDE
PAB PDE C PAB C S CG S CG V V 三棱锥三棱锥 ∴
1
2---=
-PDE
C PDE
C PAB C V V V 三棱锥三棱锥三棱锥 ∴截面CDE 分棱锥ABC P -为两部分，三棱锥PDE C -与四棱锥ABE
D C -的体积之比为1：2．
典型例题五
例5四棱锥ABCD P -，侧面PCD 是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD 是面积为32的菱形，ADC ∠为菱形的锐角．（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角D AB P --的大小；（3）求棱锥ABCD P -的侧面积与体积．
分析：取CD 中点H ，侧面⊥PCD 底面ABCD ，从而CD PA ⊥D
AB P --可利用三垂线定理转化为证明CD HA ⊥，线面垂直也为二面角性来
解决．
证明：（1）取CD 中点H ，连PH 、AH ， ∵△PCD 是等边三角形，∴CD PH ⊥，
∵面⊥PCD 底面ABCD ，∴⊥PH 底面ABCD ， ∵等边△PCD 的边长为2，∴2=CD
∴菱形ABCD 的边长为2，又菱形的面积是32，
∴32sin 22=∠?ADC ，∴2
3
sin =
∠ADC ，又ADC ∠是锐角， ∴
60=∠ADC ，∴△ADC 是等边三角形，
∴CD AH ⊥，PA 在平面AC 上射影为HA ，∴CD PA ⊥． 解：（2）∵AB CD //，由（1）HA CD ⊥，PA CD ⊥， ∴AH AB ⊥，PA AB ⊥．
∴PAH ∠是二面角D AB P --的平面角，
在∴（3在∴S ∵所成角为与
VDA 都与底面垂直得到VD 垂直于底面，利用⊥VD 底面ABCD ，一方面落实了棱锥的高为1=VD ，另
一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为()
2233
2
+．
典型例题六
例6 已知三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等，
90=∠CAB ，
a PB AB AC ===，D 为BC 中点，E 点在PB 上且//PC 截面EAD ，（1）求AE 与底面ABC 所成角；（2）求PC 到平面EAD 的
距离．
分析：由PA 、PB 、PC 与底面所成角相等可得P 点在面ABC 上射
⊥
PD 面影为△ABC 的外心，由于△ABC 是直角三角形，可以得到ABC ，//PC 面EAD 可转化为DE PC //，E 是PB 中点，找出E 到面ABC 的垂线落实EA 与面ABC 所成角．C 到面EAD 的距离可从两方面得到，一方面直接找C 到面EAD 的垂线，另一方面，用等积法
可求点到面的距离．
解：（1）∵PA 、PB 、PC 与底面ABC 成相等的角，设P 在面
ABC 上射影为O ，则有PCO PBD PAO ∠=∠=∠，
∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ，
∴PC PB PA ==且OC OB OA ==， ∴O 是△ABC 的外心．
∵△ABC 是直角三角形，且O 是斜边BC 的中点， ∴O 点和D 点重合，即⊥PD 面ABC ，
∵//PC 截面EAD ，过PC 的平面PBC 与平面EAD 交于ED ， ∴ED PC //，∵D 是BC 中点，∴E 是PB 中点， 取BD 中点F ，则PD EF //，∴⊥EF 平面ABC ， ∴EAF ∠为EA 与底面ABC 所成角．
∵a PB PA AB ===，∴a AE 2
3
=
， ∵a AC AB ==且
90=∠BAC ，∴a BC 2=
．
又a PC PB ==，∴△BPC 也是等腰直角三角形， ∴a BC PD 2221==
，∴a EF 4
2=， 在Rt △AEF 中，6
6
2342sin =÷=
∠a a EAF ， ∴66arcsin
=∠EAF ，即AE 与平面ABC 所成角为6
6
arcsin ． （2）方法一：∵⊥PD 平面ABC ，∴AD PD ⊥．
又∵BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，∴PB AD ⊥． 由（1）△PBC 是直角三角形，
90=∠BPC ，∴PC PB ⊥， ∵PC ED ⊥，∴ED PB ⊥，∴⊥PB 平面EAD ． ∵a AB PB ==，∴a PE 2
1=
．
即PC 到平面EAD 的距离为a 2
1
． 方法二：∵PD AD ⊥，BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，
∴DE AD ⊥，又a BC AD 2221==
，a PB DE 2
121==． ∴2
8
2212221a a a S ADE =??=
?， ∵24
1
21a S S ABC ACD ==
??，a PD EF 4221=
=， 设C 到面EAD 的距离为h ， ∴EF S h S ACD ADE ?=???，∴
a a h a 4
2418222?=． a h 21=
，即PC 到平面EAD 的距离为a 2
1
．
典型例题七
例7 如图所示，在三棱锥ABC S -中，SA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，DE 垂直平分SC ，且分别
交AC 、SC 于D 、E ，又AB SA =，BC SB =．求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的度数．
分析：从寻找二面角的平面角入手．二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自己作出，有时平面角在图形中已经存在，只需要将其找出来．
解：∵SA ⊥平面ABC ，BD ?平面ABC ，∴BD SA ⊥． ∵DE 是SC 的垂直平分线，∴SC DE ⊥，且E 是SC 的中点． 又BC SB =，∴SC BE ⊥．
又E DE BE = ，∴SC ⊥平面BDE ，∴BD SC ⊥．
又S SA SC = ，∴BD ⊥平面SAC ，∴CD BD ⊥，DE BD ⊥．
从而EDC ∠为二面角C BD E --的平面角． 设a SA =，则a AB =．
∵SA ⊥平面ABC ，∴AB SA ⊥，AC SA ⊥，从而a SB BC 2==．
又BC AB ⊥，∴a AC 3=
．
在SAC Rt ?中，33
3tan =
==
∠a
a AC SA SCA ，∴?=∠30SCA ， 又SC DE ⊥，∴?=∠60EDC ．
因此所求的二面角的度数为?60．
说明：本题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并考查了空间想像能力和逻辑推理能力．解答本题的关键是认定EDC ∠是二面角C BD E --的平面角．这需要具有一定的观察能力和判断能力，而且要给出严格的证明．学生很可能发现不了EDC ∠即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使问题复杂化．本题所给条件较多，所以恰当地选择所需条件进行论证和计算也是解决本题的一个难点．
典型例题八
例8 P 是ABC ?所在平面外的一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ．求P 到平面ABC 的距离．
分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解．
解法一：∵3===PC PB PA ，∴P 在底面ABC 内的射影O 是ABC ?的外心．又PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∴ABC ?是等边三角形，∴O 是ABC ?的重心．
如图，在POA ?中，3=PA ，
62
3233260sin 32=??=???=
AB AO ∴3)6(32222=-=-=
AO PA PO ．
解法二：设P 点到平面ABC 的距离为h ．
∵PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ， ∴2
93332131=????=
-PBC A V ， 23===AC BC AB ， 32
9)23(432==
?ABC S ． 又ABC P PBC A V V --=， ∴
h ??=32
93129，∴3=h ．
∴P 到平面ABC 的距离为3．
解法三：取BC 的中点D ，连PD 、AD ．
∵PC PB =，AC AB =，∴BC AD ⊥，BC PD ⊥， ∴BC ⊥平面PAD ，BC ?平面ABC ，
ABC .
ABC 平面于交作过平面平面平面平面⊥???
?
??⊥=⊥∴PO O AD AD PO P AD PAD ABC PAD ， ∴PO 就是P 到平面ABC 的距离． 在PAD ?中，3=PA ，2
2
3=
PD ， 2
63232323=?==
AB AD ． 又∵?=∠90APD ，
∴362
32
23
3sin =?=?=∠?=AD PD PA PAD PA PO ．
说明：本题难度并不大．但是这里所给出的三种方法非常典型．方法一利用PC PB PA ==确定P 在底面内射影为ABC ?的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三利用面面垂直的性质定理进行垂足定位．
典型例题九
例9 如图所示，在三棱锥ABC P -中，底面为直角三角形，两直角边3=AC ，4=BC 三棱锥侧面与底面所成二面角都为?60．求此三棱锥的侧面积．
分析：本题可利用面积射影定理求解．若一棱锥各侧面与底面所成二面角都为α，且已知底S ，则由面积射影定理知：α
cos 底
侧S S =
． 解法一：过P 作底面ABC 的垂线，垂足为I ，过I 在底面ABC ?内作AB 的垂线，垂足为D ，连结PD ．由三垂线定理知AB PD ⊥，∴PDI ∠为侧面PAB 与底面ABC 所成二面角的平面角，即
?
=
∠60
PDI．又可知I为ABC
Rt?的内心．∵3
=
AC，4
=
BC，5
=
AB，从而1
2
5
4
3
=
-
+
=
ID．在PID
Rt?中，由?
=
∠60
PDI，得2
=
PD，从而各侧面三角形的高均为2．
∴12
2
)3
4
5(
2
1
=
?
+
+
=
+
+
=
?
?
?PCA
PBC
PAB
S
S
S
S
侧
．
解法二：
PCA
PBC
PAB
S
S
S
S
?
?
?
+
+
=
侧
12
2
1
4
3
2
1
60
cos
60
cos
60
cos
60
cos
=
?
?
=
?
=
?
+
?
+
?
=?
?
?底
S
S
S
S
ICA
IBC
IAB．
说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质．在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题．解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理．
典型例题十
例10三棱锥ABC
P-中，AC
AP=，2
=
PB．将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形A
P
P
P
3
2
1
．如图所示．
(1)求证：侧棱AC
PB⊥；
(2)求侧面PAC与底面ABC所成的角θ的余弦值．
分析：(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，B
P
A
P
1
1
⊥，B
P
C
P
2
2
⊥的关系不变，于是在三棱锥ABC
P-中有PA
PB⊥，PC
PB⊥故PAC
PB平面
⊥，从而AC
PB⊥．
(2)由(1)可知PAC
PB平面
⊥，∴在平面PAC内作AC
PD⊥于D，连BD，则PDB
∠即是所求二PBD
??
Rt
证明：(1)见上述思路分析．
解：(2)作AC
PD⊥，则由三垂线定理知AC
BD⊥，于是PDB
∠是二面角B
AC
P-
-的平面角，即θ
=
∠PDB．再作
3
CP
AE⊥于E，则4
=
AE，且E是
3
CP的中点，设x
AC
A
P
A
P=
=
=
3
1
，y
EP
CE=
=
3
．在ACE
Rt?中，2
2
24
=
-y
x．且由C
P
C
P
3
2
=，得y
y
x2
=
-，解得2
3
=
x，2
=
y．由AE
C
P
AC
D
P?
=
?
3
3
，得
3
8
2
3
2
2
4
3
=
?
=
=D
P
PD．
由2=PB ，38=
PD ，310=BD ，知5
4cos ==BD PD θ． ∴所求二面角的余弦值为5
4
．
说明：折与展是一对互逆的过程．在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变．一般来说，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变．位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化．这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线．
典型例题十二
例12 下列命题中，真命题的个数是（ ）． (1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥． (2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
分析：有些同学错解的原因在于未能很好地理解正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质可以由其定义结合有关知识推导得到． 对照定义，构造反例．
如图所示，ABC S -是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在SB 、SC 上分别取异于B 、C 的点1B 、1C ，连1AB 、1AC ，则三棱锥11C AB S -均满足命题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、(2)为假命题．命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心．外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题．在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题． 综上可知应选D ．
典型例题十三
例13 .如图，已知三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，P 在底面ABC 上的射影为O ． 求证：O 为ABC ?的外心．
证明：连结PO 、OA 、OB 、OC ，则⊥PO 底面ABC ∵PC PB PA ==（斜线相等）， ∴CO BO AO ==（射影相等）， ∴O 为ABC ?的外心．
说明：(1)同理可证，如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影也是底面三角形的外心．
(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心．
典型例题十四
例14 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心．
如图，已知三棱锥ABC P -，三侧面PAB 、PAC 、PBC 与底面所成二面角都相等，P 点在底面上的射影为O ．求证：O 为ABC ?的内心．
证明：连结PO ，则⊥PO 平面ABC ．
在底面上作AB OD ⊥、BC OE ⊥、AC OF ⊥，垂足分别为D 、E 、F ． 连结PD 、PE 、PF ．
由三垂线定理可得AB PD ⊥、BC PE ⊥、AC PF ⊥．
∴PDO ∠、PEO ∠、PFO ∠分别为二面角C AB P --，A BC P --，B AC P --的平面角． 又∵PFO PEO PDO ∠=∠=∠，PO PO PO ==，
∴PDO Rt ?≌PEO Rt ?≌PFO Rt ?，∴OF OE OD ==， ∴O 为ABC ?的内心．
说明：(1)同理可证，如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心（若射影点在多边形内部的话）．
(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成之角均相等或棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内切圆的圆心（射影在多边形内部）．
(3)不要误论为棱锥顶点在底面上的射影一定在底面多边形的内部，顶点在底面的射影可以在底面多边形的外部，也可以在多边形的一边上．
典型例题十五
例15 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心． 已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，O 为P 在底面ABC 上的射影． 求证：O 为底面三角形ABC 的垂心．
证明：如图，连结PO 、AO 、BO ．
∵PB PA ⊥，PC PA ⊥，且P PC PB = ，
∴⊥PA 平面PBC ． ∴BC PA ⊥．
又⊥PO 平面ABC ，
由三垂线定理的逆定理知，BC AO ⊥． 同理，AC BO ⊥．
∴O 点为ABC ?的垂心．
说明：同理可证：如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心．
典型例题十六
例16 三棱锥ABC V -的各面积分别为3=VAB S ，4=VBC S ，5=VAC S ，6=ABC S ，且各侧面与底面所成的二面角都相等，求侧面与底面所成二面角的平面角．
分析：首先找出二面角的平面角α，转化到平面中去，然后利用已知条件列有关α的等式．
解：如图，作⊥VO 平面ABC 于O ，连结AO 、BO 、CO ． ∵侧面与底面所成的角都相等，设者为α， ∴O 为底面ABC ?的内心，
∴过O 在底面ABC ?内作AB OD ⊥，BC OE ⊥，AC OF ⊥， 垂足分别为D 、E 、F ；连结VD 、VE 、VF ．
由三垂线定理可得AB VD ⊥，BC VE ⊥，AC VF ⊥． ∴α=∠=∠=∠VFO VEO VDO ． ∵AB OD S AOB ??=
?21，AB VD S VAB ??=?21，而αcos =VD
OD ，
∴
αcos ==??VD
OD
S S VAB AOB ，∴αcos ?=??VAB AOB S S ． 同理αcos ?=??VBC BOC S S ，αcos ?=??VAC AOC S S ， ∴αcos )(VAC VBC VAB AOC BOC AOB S S S S S S ??????++=++， 即αcos ?=?侧底面S S ABC ． ∴αcos )543(6++=， ∴21cos =
α，∴3
πα=． ∴侧面与底面所成的二面角为
3
π
． 说明：(1)根据本题的推导过程不难得出如下结论：如果三棱锥的三个侧面与底面成等角θ，三棱锥的底面积为底S ，侧面积为侧S ，那么θcos ?=侧底S S ．
(2)可以进一步证明：如果棱锥的各个侧面与底面成等角θ，那么θcos ?=侧底S S ．
典型例题十七
例17 如图，已知正三棱锥ABC S -的高h SO =，斜高l SM =．求经过SO 的中点平行于底面的截面'
''C B A ?的面积．
分析：求出底面正三角形的边可得其面积，再利用棱锥截面性质，得截面面积． 解：连结OM 、OA ．
在SOM Rt ?中，22h l OM -=．
因为棱锥ABC S -是正棱锥，所以点O 是正三角形ABC 的中心．
223260tan 22h l OM AM AB -=???==，
)(33)(344
34322222h l h l AB S ABC -=-??==
?． 据一般棱锥截面的性质，有
4
1
22
''''==??h h S S ABC
C B A ．∴)(43322'''h l S C B A -=?． 说明：过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面．
典型例题十八
例18 如图，已知棱锥ABC V -的底面积是2
64cm ，平行于底面的截面面积是2
4cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过O O 1的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．
分析：顶点到已知截面的距离1h 与原棱锥高h 的关系，可由已知截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系可以求出，再运用一般棱锥截面性质可以求得各截面面积．
解：设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11h VO =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，
由已知得64422
1=h h ，∴411=h h ，∴h h 4
1
1=
∴h h h VO VO O O 4
3
4111=-
=-=， 而O O O O O O 33221==，则h h O O O O O O 4
1
433133221=?===． ∴241412h h h VO =+=，h h h h VO 4
3
4141413=++=．
设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则
222)21(h h S S ∶∶=，∴1641
2==S S (2cm )．
223)43(h h S S ∶∶=，∴366416
9
3=?=S (2cm )．
∴两截面的面积分别为2
16cm 和2
36cm ．
说明：本题还可以求得以V 为顶点，分别以过1O 的截面、过2O 的截面、过3O 的截面为底面的棱锥，以及原棱锥的侧面积之比，这四个棱锥的侧面积之比依次为
1694164361644321∶∶∶∶∶∶∶∶∶锥锥锥锥==S S S S ．
典型例题十九
例19 正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形．求内接三棱柱的全面积．
分析：如图所示．三棱柱的上底面'''F E D ?与正三棱锥的底面ABC ?相似，它们的相似比等于
PO PO ∶'．设三棱柱的棱长为x ，则有
4
44x
x -=
，得出2=x ，侧全S S S F E D +='''2．
解：设三棱柱的棱长为x ，由于三棱柱的上底面'
'
'
F E D ?∽ABC ?，则有PA PD AB E D '''=，即4
44x
x -=，∴2=x ，360sin 2
12
'''=?=
x S F E D ，1232==x S 三棱柱侧， ∴12322'''+=+=三棱柱侧全S S S F E D ．
典型例题二十
例20 如图(1)设正三棱锥ABC P -的底面边长a ，侧棱长为a 2，过A 作与PB 、PC 分别交于D 和E 的截面，当截面ADE ?的周长最小时，求截面的面积．
分析：因为截面ADE ?的三个顶点都在正三棱锥的侧面上，现若沿侧棱PA 将棱锥展开，则截面
ADE ?的周长为最小时，就是线段'AA 的长，如图(2)所示．
解：将正三棱锥ABC P -沿侧棱PA 展开，当截面ADE ?的周长为最小值时，其周长即是展开图中
线段'AA 之长．
在侧面展开图中，∵'
CA BC AB ==，且CB A ABC '
∠=∠．
∴四边形'
ABCA 是等腰梯形，BC AA //'，∴PAB BDA PBC ∠=∠=∠， ∴BD A '?∽'PBA ?，PB B A BA BD ∶∶''=．∵'2BA PB =，∴BD BA 2'=．
∵a BD PB PD 23=
-=，又PB PD BC DE ∶∶=，∴a DE 4
3
=． ∴a EA DE D A AA 4
11'
'=++=．
在三棱锥中，取截面ADE ?的边DE 的中点为H ，
∵AE AD =，∴DE AH ⊥，∴a a a HD AD AH 8
55)83(
2222=-=-=
， ∴2
64
55321a AH DE S ADE =?=
． 说明：本例中，求侧面展开图中'AA 之长时运用了平面几何知识，过程较为简明．若在三角形'PAA 中，由a PA PA 2'
==，计算出'APA ∠的余弦后，再用余弦定理求'AA 之长，就麻烦得多了．
典型例题二十一
例21 已知正三棱锥ABC P -的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，且此截面
与底面成?30的二面角，求此正三棱锥的侧面积． 分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱锥的一些线面关系，把要求的斜高转化到直角三角形中，解直角三角形．
解：如图，作⊥PO 底面ABC 于O ． ∵ABC P -为正三棱锥，
∴O 为底面正三角形ABC 的中心，连结AO 交BC 于M ，连结PM ， 则BC AM ⊥，BC PM ⊥，
∴BC ⊥平面APM ，DM BC ⊥，
∴AMD ∠为截面DBC 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴?=∠30AMD ．
∵⊥
PA平面DBC，∴DM
PA⊥，?
=
∠60
PAM．
∵正三角形ABC的边长为a，∴a
AO
3
3
=，a
MO
6
3
=．
在PAO
Rt?中，a
a
AO
PO3
3
3
60
tan?
=
?
?
=．
在POM
Rt?中，∵a
a
a
OM
PO
PM=
=
+
=
+
=
6
39
)
6
3
(2
2
2
2，
∴2
4
39
6
39
3
2
1
a
a
a
S=
?
?
=
侧
．
说明：(1)在多面体中，求边长、侧棱长、高和斜高等长度以及距离、角等等，要充分注意各多面体的概念，在多面体中首先画出所求元素，其次根据不同情况作出辅助线（注意经常用到三垂线定理），然后加以解决．
典型例题二十二
例22棱锥的底面是等腰三角形，这等腰三角形的底边长为cm
12，腰长为cm
10，棱锥的侧面与底面所成的二面角都是?
45，求这个棱锥的侧面积．
已知三棱锥ABC
V-的底边是等腰三角形，cm
AC
AB10
=
=，cm
BC12
=，侧面VAB、VBC、VCA 与底面ABC所成的二面角都是?
45．
求棱锥ABC
V-的侧面积．
解法1：作点V在底面ABC
?上的射影O，如图，
则O是底面ABC
?的内心，作AB
OE⊥于E点，连接VE，
则AB
VE⊥（三垂线定理），故VEO
∠是侧面与底面所成的二面角的平面角，?
=
∠45
VEO，∵ABC
?内切圆半径3
)
10
10
12
(
2
1
6
10
12
2
12
2
=
+
+
-
?
?
=
=?
l
S
OE，
其中)
(
2
1
CA
BC
AB
l+
+
=，
?
S是ABC
?的面积．
∴斜高2
3
2=
=OE
VE，
∴2
48
)
(
2
1
=
+
+
?
?
=CA
BC
AB
VE
S
侧
．
即棱锥ABC V
-的侧面积为248cm ．
解法2：还可用面积射影定理：由于棱锥的侧面与底面所成的二面角均为?45，
故2482
2
610122145cos 22=-??=?=底
侧S S
说明：(1)求棱锥侧面积，关键是求各个侧面三角形的高，即斜高，要熟悉三角形的面积公式．如
ah S 21=?；C ab S sin 21=?；lr S 21=?，)(2
1
c b a l ++=．
(2)在棱锥中，若侧棱相等或侧棱与底面的夹角相等，则该点在底面的射影是底面多边形的外心；若斜高相等或侧面与底面的夹角相等，则该点在底面的射影为底面多边形的内心．
典型例题二十三
例23 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，取四棱锥ABCD A -1，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．
∴应选D ．
说明：本题对给出的四棱锥没有带任何附加条件，只给出了思考、探索的方向，即思考、探索侧面为直角三角形的四棱锥应是怎样的模型，让人们展开充分的想象空间，让人们去思考、探索问题，确实是一道好题，也是今后命题的方向，对培养学生的能力大有裨益．
(完整版)函数图象变换及经典例题练习
函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A
例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
小升初数学训练典型例题分析-找规律篇
名校真题 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。
(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。
综合题：高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =
6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
小升初数学测试题经典十套题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* （人教版）小升初入学考试数学试卷(一) 班级______姓名______得分______ 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。 A、15点 B、17点 C、19点 D、21点 2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。 A、10 B、12 C、14 D、16 3、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。 A、提高了50% B、提高40% C、提高了30% D、与原来一样 4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。 A、18 B、19.2 C、20 D、32 二、填空题：（每小题4分，共32分） 1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。 2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。 3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。 4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。
5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。 6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。 7、前30个数的和为（）。 8、如图已知直角三角形的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（）。 三、计算：（每小题5分，共10分）
高中数学函数经典复习题含答案
《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
小升初数学典型题数与代数
小升初数学典型题数与 代数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
第一章 数与代数 第一节 数与代数 1.某一个数十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上最小的质数，其余各位上都是0，则这个数写作（ ），读作（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）。 2.用三个8和三个0组成的六位数中，一个零都不读出的最小六位数是（ ），只读出一个零的最大六位数是（ ），读出两个零的六位数是（ ）。 3.填空。（1）如果向东走20米记作+20米，那么向西走15米应该记作（ ）。（2）如果把零下℃ 记作℃，那么零下℃ 记作（ ），零上24℃ 记作（ ）。（3）如果足球比赛负一场记作-1，那么负两场记作（ ），胜三场记作（ ）。 4.判断。（1）3· 是纯循环小数。（ ） （2）一个自然数不是质数，就是合数。（ ） （3）33 100米可以记作33%米。（ ） （4）小数点的后面添上0或去掉0，小数点的大小不变。（ ） 5.一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。 6.庆“六一”，六年级同学买来336枝红花，252枝黄花，210枝粉花。用这些花最多可以扎成多少束同样的花束在每束花中，红、黄、粉三种花各有几枝 7.有一堆苹果，3个3个地数余2个，4个4个地数余3个，5个5个地数余4个，这堆苹果最少有多少个 8.要比较9 10和1112的大小，你能用哪些方法 9. （ ） （ ） = =（ ）：（ ）=（ ）% = （ ）折 第二节 数的运算
1. 计算（1）9 4×8 5 ÷1.7（2）0.5×[51 5 ÷(3?2.5×7 8 )] 2. 如果83 5?1.5÷[12 3 ×( +11 3 )]=82 5 ，那么□=（） 3. 解答下面各题。（1）有一个减法算式，被减数、减数和差的和是71 5 ，差是减数的2倍。请写出这个减法算式。 （2）有一个除法算式，被除数、除数、商和余数的和是100，已知商是12，余数是5。请你求出被除数。 4. 选择。a是大于0的数，（a+a）÷a+(a?a)×a的结果是（） A. a B. 2 C. 2-a 5. 下面各题怎样简便就怎样算。 （1）4 7×3 5 +3 7 ÷5 3 （2）4 9 +2.28?5 9 （3）（4）×4.6+6.4×3.7?3.7 6.计算下面各题 （1）16 27×[3 4 ?(7 16 ?1 4 )] （2）1 2 +1 6 +1 12 +1 20 +1 30 +1 42 第三节常见的量 1. 45000平方米=（）公顷小时=（）分钟 20升20毫升=（）升 4小时15分钟=（）小时=（）分钟千克=（）千克（）克=（）克 2. 王军每天早上7:45到校，中午11:05放学；下午2:20到校，5:00放学。王军一天的在校时间是多少
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式， 找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数 是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 小升初数学：应用题综合训练1 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 总棵数是900＋1250＝2150棵，每天可以植树24＋30＋32＝86棵 需要种的天数是2150÷86＝25天 甲25天完成24×25＝600棵 那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去帮丙 即做了300÷30＝10天之后即第11天从A地转到B地。 2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作1份。 因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份 因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份 所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份 所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份 所以，每亩面积每天长24÷15＝份 所以，每亩原有草量60－30×＝12份 第三块地面积是24亩，所以每天要长×24＝份，原有草就有24×12＝288份 新生长的每天就要用头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝头牛 所以，一共需要＋＝42头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=每亩原有草量为*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24**80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头） 解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：（180/80+24）*（24/15）=42头 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 升中典型题 1、一种商品按定价的75折出售，仍可获利20%，若按定价出售可获利（）%。 2、圆柱体和圆锥体的底面半径的比是2：3，高的比是4：3，则圆柱与圆锥的体积比是（）： （）。 3、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它是长、宽、高都是质数，那么 这个长方体的体积是（）。 4、小芳骑车从甲地到乙地每小时行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为40千 米，则返回时每小时应行（）千米。 5、一个半圆形，半径是r，它的周长是（）。 6﹑水结成冰后体积增了1 11 , 冰融化成水后,体积减少( ) 7.冰化成水后，体积比原来减少1 12，水结成冰后，体积比原来增加了（）. 8、甲数为a，比乙数的3 4多b，表示乙数的式子是（）。 9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等。已知圆柱的高是圆锥高的 2 3，圆柱的底面积和圆锥底 面积的比是（） .10、甲种商品降价20％后与乙商品涨价20％后的价格相等，甲乙两种商品的原价的比是（）。 11.甲数比乙数少20％，乙数比甲数多（）％。 12.甲乙两个数最大公因数是3，最小公倍数是45，若甲数是9，那么乙数是（）。 13. 相同的小正方形拼成一个大正方形，至少要（）个。相同的小正方体拼成一个大正方体，至少要（）个。 二、解决问题。 1﹑用同一种方砖铺一间长8米,宽6米的乒乓球室的地板,先用200块方砖就铺了32平方米,余下的还要多少方砖(用比例解) 2﹑小明读一本书,第一天读了这本书的1 4 多6页,第二天读了这本书的 2 5 少2页,第三天读完剩 下的17页,这本书共有多少页 3、一筐梨，先拿走30kg，又拿出余下的70%，这时剩下的梨正好是原来的1 10。这筐梨原来 多少kg *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 通用版小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(含答案)
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