2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(一)理科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（一）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合{}2

20M x x x =-≤，(){}

2log 1N x y x ==-，则M N ?=（ ）

A.{}

12x x ≤≤ B.{}12x x <≤ C.{}

1x x >

D.{}

0x x ≥

2.设函数()f x =()31

1log 2,1

{

3,1

x x x x -+-<≥,求()()37log 12f f -+=

A.7

B.8

C.15

D.16

3.函数()2

2, 0,4,02,

x x f x x x -≤?=?-<≤??，则()2

2f x dx -?的值为 （ ） A.

6π+ B.2π- C.2π D. 8

4.设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，

时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ）

A.4x +

B.2x -

C.31x -+

D.21x -+

5.下列四个结论中正确的个数为（ ）

①命题“若21x < ，则11x -<< ”的逆否命题是“若1x > 或1x <- ，则21x > ”； ②已知p ： x R ?∈ ， sin 1x ≤ ， q ：若a b < ，则22am bm < ，则p q ∧ 为真命题；

③命题“x R ?∈ ， 20x x -> ”的否定是“x R ?∈， 20x x -≤ ”； ④“2x > ”是24x > 的必要不充分条件.

A ．0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( )．

A.c >b >a

B.b >c >a

C.a >c >b

D.a >b >c 7.函数)0,2

2(cos 1)

1()(≠<<-+=x x x x x x f π

π 的图象可能为（ ）

A. B. C.

D.

8.函数2cos 3y x x =+-0,2π??

????

上的最大值是（ ）

A.

32

π

- B.

6

π C.23

D.13-9.已知函数()2

1

x f x x =-，则（ ）

A.()f x 在()0,1单调递增

B.()f x 的最小值为4

C.()y f x =的图象关于直线1x =对称

D.()y f x =的图象关于点()1,2对称

10.已知定义域为R 函数f(x)满足21=）（f ，6)(')(f 2>+x xf x （)('x f 是()f x 的导函数），

)1(-=x f y 的图象关于直线1=x 对称，则不等式2

1

3)(x x f -

>的解集为（ ） A.

B.

C.

D.

11.已知函数3()2f x x ax a =++.过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线，这两条切线与y 轴

分别交于A ，B 两点，若||||MA MB =，则()f x 的极大值点为（ ） A.32

4

-

B.32

4

-

C.6-

6 12.已知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ??????

上只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）

A.{

1k k =或}1k e >-

B.1

11k k e

?≤≤+

??

或}1k e >- C.{}1k k ≥ D.{

1k k =或111k e e ?+<≤-??

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分， 共20分）

13.若函数αx m x f )1()(-= 是幂函数，则函数()log ()a g x x m =-（其中10a ≠>a 且）的图象过定点A 的坐标为__________．

14.已知函数()()2

1F x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，若()12F -=，则

()0f =_____________.

15.已知可导函数3()32sin f x x x =+，函数()g x 满足()()20g x g x +-=，若函数

()()()1h x f x g x =--恰有2019个零点，则所有这些零点之和为__________．

16.关于函数x

x x f 1

lg )(2+=（x 不为0，x ∈R ），下列命题正确的是________.（填序号）

①函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称； ②在区间（－∞，0）上，函数y ＝f （x ）是减函数；

③函数y ＝f （x ）的最小值为lg2； ④在区间（1，＋∞）上，函数y ＝f （x ）是增函数.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（10分）设函数(

)2

12

f x cos x x R =--∈，．

（1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）若02x π??

∈ ??

?

，，求函数()f x 的值域．

18.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ?

?

=+??=+?，（?为参数），

过原点O

且倾斜角为α的直线l 交曲线M 于A 、B 两点．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求l 和M 的极坐标方程； （2）当0,4a π??

∈ ???

时，求||||OA OB +的取值范围．

19.（12分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 过点)1,0(-P ，其参数方程为???+-==t

y t

x 31（t 为

参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方

程为.2

cos 4cos 0ρθθρ+-=

（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，求PB

PA 11+的值.

20.（12分）已知函数()2

ln 2(0)f x a x a x

=

+->. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；

（2）若对()0,x ?∈+∞都有()()21f x a >-成立，试求实数a 的取值范围；

21.（12分）已知椭圆：

的右焦点为

，左顶点到点

的距离

为

.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点

，斜率为的直线与椭圆

交于

两点，且与短轴交于点

.若

与

的面积相等，求直线的方程

22.（12分）已知函数13

()ln 22f x x m x x

=++-，()m R ∈. (Ⅰ)当1

2

m =

时，求函数()f x 在区间[]1,4上的最值； (Ⅱ)若1x ，2x 是函数()()g x xf x =的两个极值点，且12x x <，求证：121x x <.

数学答案（理科)

一、选择题1-4、DAAC 5-8、BDAB 9-12、DDAD

二、填空题13、（3，0） 14、-3 15、2019 16、①③④ 三、解答题17、解（1）∵()2

132

f x sinxcosx cos x x R =--∈，．

=

3

sin2x -212cos x +-12=sin （2x -6π）-1，…………………………3分 ∴T =

22

π

π=．…………………………5分 （2）∵02x π??

∈ ??

?，， ∴2x -

6π∈（-6π，56

π）， ∴sin （2x -6π）∈（-12，1]， ∴f （x ）∈（-3

2

，0]．…………………………10分 18、解（1）直线l 过原点且倾斜角为α

∴直线l 的极坐标方程为：()R θαρ=∈…………………………3分 曲线M 的普通方程为：()()2

2

111x y -+-=

∴曲线M 的极坐标方程为：()22cos sin 10ρθθρ-++=…………………………6分

（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数

将θα=代入()2

2cos sin 10ρθθρ-++=得：()2

2cos sin 10ρααρ-++=

当0,

4πα??∈ ???时，28sin 404πα???=+-> ??

? ()122cos sin ρραα∴+=+…………………………8分

根据极坐标的几何意义知：OA ，OB 分别是点A ，B 的极径

()122cos sin 22sin 4OA OB πρρααα?

?∴+=+=+=+ ??

?

当0,

4πα??∈ ???

时，,442πππα??+∈ ??? 2sin ,142πα???

?∴+∈ ? ? ????…………………10分 OA OB ∴+的取值范围是(

2,22??…………………………12分

19、解：（1）由（为参数），

可得

的普通方程为

，…………………………3分

又的极坐标方程为，即

，

所以

的直角坐标方程为

．…………………………6分

（2）的参数方程可化为（为参数），…………………………8分

代入得：

， ，

，所以

，

，…………………………10分

所以．…………………………12分

20、解（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()22'a

f x x x

=-

+，………………2分 所以()2

2'1111

a

f =-+=-，解得1a =.…………………………4分 所以 ()2

2

'x f x x -=

.由()'0f x >解得2x >；由()'0f x <解得02x <<， 所以()f x 的单调增区间是()2,+∞，单调减区间是()0,2.…………………………6分 （2）()2222'a ax f x x x x -=-

+=，由()'0f x >解得2x a >；由()'0f x <解得

2

0x a <<. 所以()f x 在区间2,a

??+∞ ???

上单调递增，在区间20a ?? ???

，上单调递减， 所以当2x a =

时，函数()f x 取得最小值， min 2y f a ??

= ???

，…………………………9分 因为对于()0,x ?∈+∞都有()()21f x a >-成立，所以只须()221f a a ??

>- ???即可，

即2ln

a a a >，解得2

0a e

<<.…………………………12分 21、解（1）依题意，

，∴

，

.…………2分

∴所求椭圆

的方程为

.…………………………4分

（2）解法一：设直线的方程为

，点

.

由消去得：，…………………………6分

，

设

，

，则.…………………………7分 与

的面积相等

线段

的中点与线段

的中点重合.

∴

，，…………………………10分

∴所求直线的方程为，即.…………………………12分

解法二：设直线的方程为，点.

由消去得：，…………………………6分

，

设

，

，则.…………………………7分 与

的面积相等线段

的中点与线段

的中点重合.

∴

，

，…………………………10分

∴所求直线的方程为或

.…………………………12分

22．解(Ⅰ)当12m =时，()113

ln 222f x x x x

=++

-，函数()f x 的定义域为()0,+∞， 所以()()()2213131222x x f x x x x

+-=

--='，…………………………1分 当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；…………………………2分 当()3,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.…………………………3分 所以函数()f x 在区间[]

1,4上的最小值为()5

3ln32

f =-， 又()11351ln12222f =

++-=，()2342ln28

f =-

显然()()14f f >

所以函数()f x 在区间[]

1,4上的最小值为5ln32-，最大值为5

2

. ……………………5分 (Ⅱ)因为()()213

ln 22

g x xf x x mx x x ==

++- 所以()()1ln g x x m x -'=++，因为函数()g x 有两个不同的极值点，

所以()()1ln 0g x x m x =+-+='有两个不同的零点. …………………………6分 因此()1ln 0x m x +-+=，即 1m x lnx =-+有两个不同的实数根, 设()1ln p x x x =-+，则()1x

p x x

'-=

, 当()0,1x ∈时，()0p x '>，函数()p x 单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0p x '<，函数()p x 单调递减； 所以函数()p x 的最大值为()11110p ln =-+= 。

所以当直线y m =与函数图像有两个不同的交点时，0m <，且1201.x x <<<………8分 要证121x x <，只要证21

1x x <

， 易知函数()()1ln q x g x x m x ==+--'在()1,+∞上单调递增， 所以只需证()211q x q x ??

<

???

,而()()210q x q x ==，所以111ln m x x =-+………………9分 即证()111111

1111111111

1ln 1ln 1ln 2ln 0q m x x x x x x x x x x ??=+--=+-+--=-+>

???， 记()12ln h x x x x =-+，则()()2

22

11210x h x x x x -=--+=-<'恒成立，…………10分 所以函数()h x 在()0,1x ∈上单调递减，所以当()0,1x ∈时()()1110h x h >=-= 所以110q x ??

> ???

，因此121x x <.…………………………12分