2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）

数学试题（理科）

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（满分60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.

1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}A

B x x =>

D. A

B =?

【答案】A 【解析】

∵集合{|31}x

B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<

∴{}|0A B x x ?=<，{}|1A B x x ?=< 故选A

2.已知函数1()3()3

x x

f x =-，则()f x

A. 是奇函数，且在R 上是增函数

B. 是偶函数，且在R 上是增函数

C. 是奇函数，且在R 上是减函数

D. 是偶函数，且在R 上是减函数

【答案】A 【解析】

分析：讨论函数()133x

x

f x ??=- ???

的性质，可得答案. 详解：函数()133x

x f x ??=- ???的定义域为R ，且()()111333,333x

x x

x x x

f x f x --????

????-=-=-+=--=-?? ?

? ???

????????

即函数()f x 是奇函数，

又1y 3,3x

x y ??==- ???

在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．

故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.

3.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i --

C. 1i -+

D. 1i -

【答案】D 【解析】

【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．

【易错点晴】在复数四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.

4.已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的

取值范围是

A. (0,1])?+∞

B. (0,1][3,)?+∞

C. )?+∞

D. [3,)?+∞

【答案】B 【解析】

当01m <≤时，

1

1m

≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，

且[,1]y m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m

<< ，2

(1)y mx =-在1[,1]m 上

单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2

(1)13m m m -≥+?≥ 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A. sin y x = B. ln y x =

C. x

y e =

D. 3

y x =

【答案】A 【解析】 【分析】

若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1

x

=

＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件；

故选A ．

考点：导数及其性质.

6.若3

cos()45

π

α-=，则sin 2α=（ ） A. 7

25 B. 15

C. 1

5

-

D. 725

-

【答案】D 【解析】

试题分析：2

237cos 22cos 12144525ππαα????????

-=--=?-=- ? ? ???????????，

且cos 2cos 2sin 242ππααα??????

-=-= ??????

?????，故选D. 【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

7.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是( ) A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线C 2

B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度，得到曲线C 2

C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到

曲线C 2 【答案】D 【解析】

把C 1上各点的横坐标缩短到原来的

12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度，得到函数y=cos2（x+

π

12

）=cos

（2x+

π

6

）=sin（2x+

2π

3

）的图象，即曲线C2，

故选D．

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数sin()()

y A x x R

ω?

=+∈是奇函数π()

k k Z

?

?=∈；函数sin()()

y A x x R

ω?

=+∈是偶函数

π

π+()

2

k k Z

?

?=∈；函数cos()()

y A x x R

ω?

=+∈是奇函数

π

π+()

2

k k Z

?

?=∈；函数cos()()

y A x x R

ω?

=+∈是偶函数π()

k k Z

?

?=∈.

8.设x，y满足约束条件

2330

2330

30

x y

x y

y

+-≤

?

?

-+≥

?

?+≥

?

则z＝2x＋y的最小值是（）

A. －15

B. －9

C. 1

D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.

【详解】作出不等式组表示的可行域，

结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值

z min＝－12－3＝－15.

故选：A

【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.

9.已知F为抛物线2

:4

C y x

=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,l l，直线1l与C交于A B、两点，直线2

l与C交于D E

、两点，则|||||

AB DE

+的最小值为（）

A. 16

B. 14

C. 12

D. 10

【答案】A 【解析】 【分析】

根据12l l ⊥，要使|||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1时，取得最小值.

【详解】解法一：如图所示

因为12l l ⊥，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，

要使||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1， 又直线2l 过点()1,0，所以直线2l 的方程为1y x =-，

联立方程组241

y x y x ?=?=-?，得2440y y --=，

12124,4y y y y +==-，

所以()

2

12121222111148DE y y y y y y k k

=+

-=++-=，

所以|||||AB DE +的最小值为16. 故选：A

解法二：设AB 为(1)y k x =-，DE 为1

(1)y x k

=--．分别代入抛物线方程得：2222(24)0k x k k -++=?（1），

22(24)10x k x -++=?（2）．由于2123424

2()2()44482416AB DE x x x x k k

+=+++++=+++>=+?=．此时2

24

4k k

=，1k =或1k =-，

故选：A ．

【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系，弦长公式等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A. 1- B. 32e -- C. 35e - D. 1

【答案】A 【解析】

由题可得()()()

()1

2121

2121x x x f x x a e

x ax e x a x a e ---??=+++-=+++-??

'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()

211x f x x x e -=--，故()()

21

2x f x x x e --'=+，

令()0f x '>，解得2x <-或1x >，

所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()11

11111f e

-=--=-，故选A ．

【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；

（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

11.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 1

2

-

B.

13

C.

12

D. 1

【答案】C 【解析】

函数()f x 的零点满足()

211

2e e x x x x a --+-=-+，

设()1

1

e

e

x x g x --+=+，则()()211

1

1

1

1

1e 1

e

e

e

e e

x x x x x x g x ---+----'=-=-

=，

当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.

设()2

2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，

若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；

若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -?=-，解得1

2

a =

.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

12.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A. 3 B. 22

C. 5

D. 2

【答案】A 【解析】

如图所示，建立平面直角坐标系.

设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆半径5r =

，即圆C 的方程是()22

425

x y -+=，

()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，

则21x y μλ

=??

-=-? ，,12x y μλ==-，所以12x

y λμ+=-+，

设12x z y =

-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()2

2425

x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102x

y z -+-=的距离d r ≤

≤，解得13z ≤≤，

所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.

【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=

，则cos()αβ-=___________.

【答案】79

- 【解析】

试题分析：因为α和

β

关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3

βα==

，cos cos αβ=-=

cos cos βα=-=， 所以()2

2

2

7

cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19

αβαβαβααα-=+=-+=-=- 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式

【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β

的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .

14.已知函数f （x ）＝23,1

2

,1

x x x x x x ?-+≤?

?+>??

，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)2x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__ 【答案】﹣47

16

≤a ≤2 【解析】 【分析】

先求画出函数()f x 的图像，然后对2y x a =+的图像进行分类讨论，使得2y x a =+的图像在函数()f x 的图像下方，由此求得a 的取值范围.

【详解】画出函数()f x 的图像如下图所示，而,22

222

x

a x a x y a x a a ?+≥-??=+=????-+<- ?????，是两条射线组成，且零点

为2x a =-.将2x y a =+向左平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程2

2

x y a y x x ?

=+????=+??

消去y 并化

简得2240x ax -+=，令判别式24160a ?=-=，解得2a =.将2

x

y a =

+向右平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程223

x y a y x x ???=-+? ???

??=-+?

消去y 并化简得2

302x x a -++=，令判别式()14304a ?=

-+=，解得4716a =-.根据图像可知47,216a ??

∈-????

【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如y ax b =+函数的图像，是,0b a ??

-

???

引出的两条射线. 15.设抛物线2

2{2x pt y pt

==（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设

7

(,0)2

C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||CF AF =，且ACE ?的面积为32则p 的值为__________． 6 【解析】

试题分析：抛物线的普通方程为2

2y px =，(

,0)2p F ，7322

p

CF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得3

2

AB p =，所以A x p =，则2A y =，

由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CF

EA AF

==， 所以262CEF

CEA

S S

==92ACF

AEC

CFE

S

S

S

=+=

所以

1

32922

p ?=6p =

【考点】抛物线定义

【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理． 2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋

2

p

；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

16.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则

1

2

V V 的值是_____

【答案】32

【解析】

设球半径为r ，则213223

423

V r r V r π?==

π．故答案为32

． 点睛:空间几何体体积问题的

常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数()()2

2

f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈

（I ）求2f 3

π??

???

的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z π

π

ππ??

∈????

，.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ， ＝﹣226sin x π?

?

+ ??

?

， 则f （

23π）＝﹣2sin （

436

ππ

+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6

f x x π

=-+．

所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得

3222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ+≤+

≤

+∈， 解得

2,6

3

k x k k Z π

π

ππ+≤≤

+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,

]63

k k k ππ

+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，

属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函

数

的性质求解．

18. 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为3

.4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为11.12

【解析】

试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白

球，根据古典概型公式得到结果

试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；

满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，

∴概率为．

（2）由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；

满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，

∴概率为．

即取出的1球是红球或黑球的概率为；

取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．

考点：等可能事件的概率

19.（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，

∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）7 .

【解析】

试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；

（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值7

试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠?. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.

又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .

（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，

OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()

()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.

由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的

1

2

，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1

2，即E 为DB 的中点，得312E ?? ? ???. 故()()311,0,1,2,0,0,2AD AC AE ??=-=-=- ? ???

. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ??=??=?，，即0,31

0.2x z x y z -+=?

?

?-+=??

可取3??

= ? ???

n .

设m是平面AEC的法向量，则

m AC

m AE

??=

?

?=

?

，

，

同理可取()

0,1,3

=-

m.

则

7

cos,

?

==

n m

n m

n m

.

所以二面角D-AE-C的余弦值为

7

.

【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.

（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,

m n互补或相等，故有cos cos,

m n

m n

m n

θ

?

==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

20.如图，已知抛物线2x y

=.点A

1139

-

2424

B

????

? ?

????

，，，，抛物线上的点P（x,y）

13

-x

22

??

?

??

＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；

（II）求PA?PQ的最大值

【答案】（I）（-1，1）；（II）

27

16

.

【解析】

试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分．

（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为

1

2

x-，再由

13

22

x

-<<，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达||

PA与||

PQ的长度，通过函数3

()(1)(1)

f k k k

=--+求解||||

PA PQ

?的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，

21

14122x k x x -

=

=-+， 因为13

22

x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．

（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程

110,24

930,

42kx y k x ky k ?-++=???

?+--=??

解得点Q 的横坐标是22432(1)

Q k k x k -++=+．

因为|PA

1)2

x +

1)k +， |PQ

2

)Q x x -=

所以3

(1)(1)k k PA PQ ?--+=． 令3

()(1)(1)f k k k =--+， 因为2

'()(42)(1)f k k k =--+，

所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2

上单调递减， 因此当k =

1

2时，||||PA PQ ?取得最大值2716

． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3

()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ?的最大值．

21.已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；

（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21a

x x n

<

+- 【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析. 【解析】

（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：

令()0f x '=，解得1x =或1x =-，

当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，

当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.

所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.

（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则1

10

n x n -=，2

0()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程

为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即

，则0()()()F x f x f x -'''=

由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.

（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20

()g x n n

x x =--，设方程()g x a =的根为2

x

'，可得

202

.a x x n n

'=

+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '

≥==可得22x x '

≤.

类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，

()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <

设方程()h x a =的根为1x '

，可得1a

x n

'

=

，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.

由此可得212101a

x x x x x n

''

-<-=+-. 因为2n ≥，所以1

1

11

2(11)111n n n C

n n ---=+≥+=+-=，故11

02n n

x -≥=，

所以2121a

x x n

-<

+-. 考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程

22.11,23x t y ?=-????=??

（t 为参数）被曲线cos ,3x y θθ=???=??（θ为参数）所截得的弦长.

【答案】2 【解析】 【分析】

由cos ,x y θθ=???=??消去θ得到直角坐标方程，

然后将11,22x t y t

?=-??

??=??

代入曲线的直角坐标方程，再利用直线参数

方程的几何意义求弦长.

【详解】由cos ,x y θθ

=???=??消去θ得2

213y x +=，

将11,2x t y ?

=-????=??

代入2213y x +=并整理得：220t t -=，

解得120,2t t ==， 所截得的弦长为122t t -=

【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

选修4-5：不等式选讲

23.设0,0x y >>，已知1x y +=，求2223x y +的最小值. 【答案】65

【解析】 【分析】

根据柯西不等式的性质求解.

【详解】由柯西不等式得(

)

()22

2222231x y

x y ??+?+≥=+=??????

所以22

6235x y +≥，当且仅当23x y =，即32,55

x y ==时，取等号.

所以2223x y +的最小值为

6

5

【点睛】本题主要考查柯西不等式的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.