蒙特卡罗算法
蒙特卡罗算法
以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。又称统计模拟法、随机抽样技术。由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼在20世纪40年代为研制核武器而首先提出。它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它们的参数，如概率分布或数学期望等问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，并用算术平均值作为所求解的近似值。对于随机性问题，有时还可以根据实际物理背景的概率法则，用电子计算机直接进行抽样试验，从而求得问题的解答。
蒙特卡罗方法有很强的适应性，问题的几何形状的复杂性对它的影响不大。该方法的收敛性是指概率意义下的收敛，因此问题维数的增加不会影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该方法处理大型复杂问题时的优势。因此，随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛。它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学，可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到成功的应用。
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。蒙特卡罗解题三个主要步骤：构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。建立各种估计量：一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量：于
是，在N次实验后，正品个数为：显然，正品率p为：不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w ? W ,使得这个随机变量的期望值正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：·直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。·采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。·不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。·MC程序结构清晰简单。·研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的任意中间结果，应用灵活性强。· MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。近十年来，蒙特卡罗方法发展很快，从1983年到1988年期刊论文数量增长了五倍，有几本好书是关于电子? 光子蒙特卡罗问题的[注1]，蒙特卡罗方法的代码被认为是黑匣子，它已成为计算数学中不可缺少的组成部分，这主要是因为以下原因：·传统的分析方法受到了问题复杂性的限制。·MC方法直观，对实验者很有吸引力。·计算机变得更快更便宜。·量子理论的发展为我们提供了辐射与物质相互作用的截面数据。[注1]：·I.Lux and L.Koblinger,MONTE CARLO PARTICLE TRANSPORT METHODS:MEUTRON AND PHOTO CALCULATIONS (CRC Press,1991). ·R.L.Morin(Editor),MONTE CARLO SIMULATION IN THE RADIOLOGICAL SCIENCES (CRC Press,1988).[Contributors: H.-P. Chan, K.Doi, J.E.Goin, R.L.Morin, R.Nath, D.E.Raeside,J.C.Widman and J.F.Williamson] · T.M.Jenkins, W.R.Nelson, A.Rindi, A.E.Nahum and D.W.O.Rogers (Editors), MONTE CARLO TRANSPORT OF ELECTRONS AND PHOTOS (Plenum Press,1988). [Contributors: P.Andro, M.J.Berger, A.F.Bielajew, A.Del Guerra, B.Grosswendt, J.Halbleib, A.Ito, T.M.Jenkins, R.Monhan, A.E.Nahum, W.R.Nelson, D.W.O.Rogers, S.Seltzer and R.Wang] 蒙特卡罗方法的计算程序：关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。这些程序大多经过了多年的发展，花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研究中心（CERN）发行的GEANT 主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外，其它程序都深入到低能领域，并被广泛应用。就电子和光子输运的模拟而言，这些程序可被分为两个系列：1．EGS4、FLUKA、GRANT 2．ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于：对于电子输运过程的模拟根据不同的理论采用了不同的算法。EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的核心算法。ET RAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心开发，主要模拟光子和电子，能量范围可从1KeV到1GeV。ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes )是由美国圣地亚哥（Sandia）国家实验室在ET RAN的基础上开发的一系列模拟计算程序，包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等，它们的主要差别在于几何模型的不同。TIGER研究的是一维多层的问题，CYLTRAN研究的是粒子在圆柱形介质中的输运问题，ACCEPT是解决粒子在三维空间输运的通用程序。NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美国橡树林国家实验室(Oak Ridge National Laboratory)开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的通用MC 计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟，只模拟中子和光子，较新的版本（如MCNP4A）则引进了ETRAN，加入了对电子的模拟。FLUKA 是一个可以模拟包括中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序，它把EGS4容纳进来以完成对光子和
电子输运过程的模拟，并且对低能电子的输运算法进行了改进。
蒙特卡洛法在整数规划中的应用
§4 蒙特卡洛法（随机取样法）
前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而有效的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。
然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全可以得出一个满意解。
例7 已知非线性整数规划为：
543212
5242322212328 243Max x x x x x x x x x x z -----++++=
s.t. ?????????≤++≤++≤++++≤++++=≤≤200
520062*********)
5,,1(990543321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x i x i
对该题，目前尚无有效方法求出准确解。如果用显枚举法试探，共需计算10510)100(=个点，其计算量非常之大。然而应用蒙特卡洛去随机计算610个点，便可找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎样呢？
下面就分析随机取样采集610个点计算时，应用概率理论来估计一下可信度。
不失一般性，假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。
假设目标函数落在高值区的概率分别为0.01，0.00001，则当计算610个点后，有任一个点能落在高值区的概率分别为
多位）100(9999.099.011000000 ≈-，
999954602.099999.011000000≈-。
解 （i ）首先编写M 文件mente.m 定义目标函数f 和约束向量函数g ，程序如下： function [f,g]=mengte(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)...
-x(4)-2*x(5);
g(1)=sum(x)-400;
g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800;
g(3)=2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200;
g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;
（ii）编写如下程序求问题的解：rand('state',sum(clock));
p0=0;
tic
for i=1:10^5
x=99*rand(5,1);
x1=floor(x);x2=ceil(x);
[f,g]=mengte(x1);
if sum(g<=0)==4
if p0<=f
x0=x1;p0=f;
end
end
[f,g]=mengte(x2);
if sum(g<=0)==4
if p0<=f
x0=x2;p0=f;
end
end
end
x0,p0
toc
蓝书刘汝佳算法竞赛入门经典勘误
#《算法竞赛入门经典》勘误 关于勘误?下面的勘误很多来自于热心读者，再次向他们表示衷心的感谢！我并不清楚这些错误实际是在哪个版本中改正过来的，所以麻烦大家都看一下。 有发现新错误的欢迎大家在留言中指出，谢谢！ 一些一般性的问题?运算符?已经被废弃，请用min、max代替（代码仓库中的代码已更新，g++ 4.6.2下编译通过） 重大错误?p24. 最后一行，“然后让max=INF,而min=-INF”应该是“然后让max=-INF, 而min=INF”。 (感谢imxivid） p43. 最后，判断s[i..j]是否为回文串的方法也不难写出：int ok = 1; for(k = i; i<=j; i++)应该为for(k = i; k<=j; k++) (感谢imxivid） p45. 第七行和第九行i-j+1应为i+j+1。修改后： 1. { 2. for (j = 0; i - j >= 0 && i + j < m; j++) 3. { 4. if (s[i - j] != s[i + j]) break; 5. if (j*2+1 > max) { max = j*2+1; x = p[i - j]; y = p[i + j];} 6. } 7. for (j = 0; i - j >= 0 && i + j + 1 < m; j++) 8. { 9. if (s[i - j] != s[i + j + 1]) break; 10. if (j*2+2 > max) 11. {max = j*2+2; x = p[i - j]; y = p[i + j + 1]; } 12. } 13. }p53. 例题4-1. 组合数. 输入非负整数n和m，这里的n和m写反了。应是“输入非负整数m和n”。 p54. 举例中的m和n也写反了（真是个悲剧），且C(20,1)=20。 p71. 《周期串》代码的第8行，j++应为i++。 p72. 代码的第7行，“return”改为“break”以和其他地方一致。 p81. k为奇数和偶数的时候，分子和分母的顺序是不一样的。正确代码为： #include
蒙特卡罗算法的简单应用
一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。 已知：K= 1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4P i ，求Pi 。 由1 s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n ， 而s1=4P i ，则Pi=*4m n 程序： /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC++6.0 */ #include x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在 文献综述 信息与计算科学 蒙特卡罗方法的应用 在解决实际问题的时候, 为了模拟某一过程, 产生各种概率分布的随机变量和对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题, 我们应该怎么办? 蒙特·卡罗是一种十分有效的求出数值解的方法. 蒙特卡罗法（ monte-carlo method ）简称M -C 法 通过构造概率模型并对它进行随机试验来解算数学问题的方法. 以计算函数的定积分()()1 0I f x d x =?, ()01f x ≤≤为例, 首先构造一个概率模型: 取一个边长分别为和-的矩形, 并在矩形内随机投点M , 假设随机点均匀地落在整个矩形之内, 当点的掷点数N 充分大时, 则落在图中阴影区内的随机点数与投点总数N 之比M N 就近似等于积分值I . 蒙特卡罗法历史悠久. 1773年法国G.-L.L.von 布丰曾通过随机投针试验来确定圆周率π的近似值, 这就是应用这个方法的最早例子. 蒙特卡罗是摩纳哥著名赌城, 1945年 J.von 诺伊曼等人用它来命名此法, 沿用至今. 数字计算机的发展为大规模的随机试验提供了有效工具, 遂使蒙特卡罗法得到广泛应用. 在连续系统和离散事件系统的仿真中, 通常构造一个和系统特性相近似的概率模型, 并对它进行随机试验, 因此蒙特卡罗法也是系统仿真方法之一. 蒙特卡罗法的步骤是: 构造实际问题的概率模型; ②根据概率模型的特点, 设计和使用降低方差的各类方法, 加速试验的收敛; ③给出概率模型中各种不同分布随机变量的抽样方法; ④统计试验结果, 给出问题的解和精度估计. 概率模型用概率统计的方法对实际问题或系统作出的一种数学描述. 例如对离散事件系统中临时实体的到达时间、永久实体的服务时间的描述（见离散事件系统仿真方法）就是采用概率模型. 虽然由这些模型所确定的到达时间、服务时间可能与具体某一段时间内实际到达时间、服务时间有出入, 但它是通过多次统计获得的结果, 所以从概率分布的规律来说还是相符的. 概率模型不仅可用来描述本身就具有随机特性的问题或系统, 也可用来描述一个确定型问题. 例如参数寻优中的随机搜索法（见动力学系统参数寻优）就是将参数最优化问题构造为一个概率模型, 然后用随机投点、统计分析的方法来进行搜索. 浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求 数据挖掘方法综述 [摘要]数据挖掘（DM，DataMining）又被称为数据库知识发现（KDD,Knowledge Discovery in Databases）,它的主要挖掘方法有分类、聚类、关联规则挖掘和序列模式挖掘等。 [关键词]数据挖掘分类聚类关联规则序列模式 1、数据挖掘的基本概念 数据挖掘从技术上说是从大量的、不完全的、有噪声的、模糊的、随机的数据中提取隐含在其中的、人们事先不知道的、但又是潜在的有用的信息和知识的过程。这个定义包括好几层含义: 数据源必须是真实的、大量的、含噪声的、发现的是用户感兴趣的知识, 发现的知识要可接受、可理解、可运用, 并不要求发现放之四海皆准的知识, 仅支持特定的发现问题, 数据挖掘技术能从中自动分析数据进行归纳性推理从中发掘出潜在的数据模式或进行预测, 建立新的业务模型帮助决策者调整策略做出正确的决策。数据挖掘是是运用统计学、人工智能、机器学习、数据库技术等方法发现数据的模型和结构、发现有价值的关系或知识的一门交叉学科。数据挖掘的主要方法有分类、聚类和关联规则挖掘等 2、分类 分类（Classification）又称监督学习（Supervised Learning）。监 督学习的定义是：给出一个数据集D，监督学习的目标是产生一个联系属性值集合A和类标（一个类属性值称为一个类标）集合C的分类/预测函数，这个函数可以用于预测新的属性集合（数据实例）的类标。这个函数就被称为分类模型（Classification Model），或者是分类器（Classifier）。分类的主要算法有：决策树算法、规则推理、朴素贝叶斯分类、支持向量机等算法。 决策树算法的核心是Divide-and-Conquer的策略，即采用自顶向下的递归方式构造决策树。在每一步中，决策树评估所有的属性然后选择一个属性把数据分为m个不相交的子集，其中m是被选中的属性的不同值的数目。一棵决策树可以被转化成一个规则集，规则集用来分类。 规则推理算法则直接产生规则集合，规则推理算法的核心是Separate-and-Conquer的策略，它评估所有的属性-值对（条件），然后选择一个。因此，在一步中，Divide-and-Conquer策略产生m条规则，而Separate-and-Conquer策略只产生1条规则，效率比决策树要高得多，但就基本的思想而言，两者是相同的。 朴素贝叶斯分类的基本思想是：分类的任务可以被看作是给定一个测试样例d后估计它的后验概率，即Pr（C=c j︱d），然后我们考察哪个类c j对应概率最大，便将那个类别赋予样例d。构造朴素贝叶斯分类器所需要的概率值可以经过一次扫描数据得到，所以算法相对训练样本的数量是线性的，效率很高，就分类的准确性而言，尽管算法做出了很强的条件独立假设，但经过实际检验证明，分类的效果还是 第一章习题1-1 #include 习题1-3 #include 习题1-5 #include 1、蒙特卡罗定位 足球机器人中自定位方法是由Fox提出的蒙特卡罗定位。这是一种概率方法，把足球机器人当前位置看成许多粒子的密度模型。每个粒子可以看成机器人在此位置定位的假设。在多数应用中，蒙特卡罗定位用在带有距离传感器的机器人设备上，如激光扫描声纳传感器。只有一些方法，视觉用于自定位。在足球机器人自定位有些不同，因为机器人占的面积相对比较小，但是机器人所在位置的面积必须相当准确的确定，以便允许同组不同机器人交流有关场地物体信息和遵守比赛规则。这种定位方法分为如下步骤，首先所有粒子按照一起那机器人的活动的运动模型移动。概率pi取决于在感知模型的基础上所有粒子在当前传感器上的读数。基于这些概率，就提出了所谓的重采样，将更多粒子移向很高概率的采样位置。概率平均分布的确定用来表示当前机器人的位置的最优估计。最后返回开始。 2、蒙塔卡罗 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 工作过程 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 20世纪十大算法 本世纪初，美国物理学会(American Institute of Physics)和IEEE计算机社团(IEEE Computer Society)的一本联合刊物《科学与工程中的计算》发表了由田纳西大学的Jack Dongarra和橡树岭国家实验室的Francis Sullivan联名撰写的“世纪十大算法”一文，该 文“试图整理出在20世纪对科学和工程领域的发展产生最大影响力的十大算法”。作者苦于“任何选择都将是充满争议的，因为实在是没有最好的算法”，他们只好用编年顺序依次列出了这十项算法领域人类智慧的巅峰之作——给出了一份没有排名的算法排行榜。有趣的是，该期杂志还专门邀请了这些算法相关领域的“大拿”为这十大算法撰写十篇综述文章，实在是蔚为壮观。本文的目的，便是要带领读者走马观花，一同回顾当年这一算法界的盛举。1946蒙特卡洛方法 在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，呃，能帮我算算这个不规则图形的面积么？蒙特卡洛(Monte Carlo)方法便是解决这个问题的巧妙方法:随机向该正方形内扔N（N是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个:那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。别小看这个数黄豆的笨办法，大到国家的民意测验，小到中子的移动轨迹，从金融市场的风险分析，到军事演习的沙盘推演，蒙特卡洛方法无处不在背后发挥着它的神奇威力。 蒙特卡洛方法由美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann（看清楚了，这位可是冯诺伊曼同志！）,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明。就其本质而言，蒙特卡洛方法是用类似于物理实验的近似方法求解问题，它的魔力在于，对于那些规模极大的问题，求解难度随着问题的维数（自变量个数）的增加呈指数级别增长，出现所谓的“维数的灾难”（Course of Dimensionality）。对此，传统方法无能为力，而蒙特卡洛方法却可以独辟蹊径，基于随机仿真的过程给出近似的结果。 最后八卦一下，Monte Carlo这个名字是怎么来的？它是摩纳哥的一座以博彩业闻名的城市，赌博其实是门概率的高深学问，不是么？ 1947单纯形法 单纯形法是由大名鼎鼎的“预测未来”的兰德公司的Grorge Dantzig发明的，它成为线性规划学科的重要基石。所谓线性规划，简单的说，就是给定一组线性（所有变量都是一次幂）约束条件（例如a1*x1+b1*x2+c1*x3>0)，求一个给定的目标函数的极值。这么说似乎也太太太抽象了，但在现实中能派上用场的例子可不罕见——比如对于一个公司而言，其能够投入生产的人力物力有限（“线性约束条件”），而公司的目标是利润最大化（“目标函数取 最大值”），看，线性规划并不抽象吧！线性规划作为运筹学(operation research)的一部分，成为管理科学领域的一种重要工具。而Dantzig提出的单纯形法便是求解类似线性规划问题的一个极其有效的方法，说来惭愧，本科二年级的时候笔者也学过一学期的运筹学，现在脑子里能想起的居然只剩下单纯形法了——不过这不也正说明了该方法的简单和直观么？ 顺便说句题外话，写过《万历十五年》的黄仁宇曾说中国的传统是“不能从数目字上管理”，我们习惯于“拍脑袋”，而不是基于严格的数据做决定，也许改变这一传统的方法之一就是全民动员学习线性规划喔。 1950Krylov子空间迭代法 1951矩阵计算的分解方法 50年代初的这两个算法都是关于线性代数中的矩阵计算的，看到数学就头大的读者恐怕看到 大师兄教你如何过华为机试 宝典1—内功心法 大华为这个大数据时代土豪金海量式的招聘又要开始了！！！ 近期听说大华为的校招机试马上就要开始了，由于华为软件岗位的招聘只有技术面跟机试是与技术有关的内容，所以机试的地位非常重要。对于机试，除了长期积累的软件基本功以外，还有很多可以短期训练的东西，类似于考试之前的突击，可以迅速提高机试成绩，就像在我西电大杨老师考前最后一堂课一定要去，那个重点就是考点阿。 这篇机试葵花宝典的内容是针对华为软件类上机准备的，如果你认真看了本宝典,如果你是真正通过自己能力考上西电的话,想不过都难。同样想拿高级题的同学，请移步 https://www.360docs.net/doc/e24646002.html,/land/或者https://www.360docs.net/doc/e24646002.html,，刷上200道题，机试不想拿满分都难。 对于机试，首先应该调整好自己的心态，不要觉得写程序很难，机试题很难，也不要去考虑，万一机试考到自己不会的内容怎么办，要相信，机试题永远是考察每个人的基础，基础是不会考的很偏的，会有人恰好做过某个题而做出来那个题，但不会有人恰好没做过一个题而做不出来那个题。 机试之前，应该做的准备有： 1、买一本《算法竞赛入门经典》，这本书不同于普通的算法或者编程语言的书籍，这 本书既讲语言，又讲算法，由浅入深，讲的很好，能看完前几章并且把例题都做 会，想通过机试就很简单了 2、调整好心态，时刻告诉自己，哪些小错误是自己以前经常犯的，最好用笔记本记录 下来，写每道题前再看一遍，如果遇到代码调不出来了，先想想自己是否犯过以 前那些错误。还有就是，看了题目以后，先仔细想清楚细节，在纸上写清楚自己 需要用到的变量，以及代码的基本框架，不要急于动手去写代码 3、不要惧怕任何一道看起来很难的题目，有不会的就去问身边会的人，让别人给自己 讲清楚 4、心中默念10遍C++跟C除了多了两个加号其实没有区别，会C就能上手C++ 5、大量的练习是必要且有效的 6、看完这篇宝典，预过机试、必练此功。 在这里推荐一个帖子，是机试归来的学长写的，写的很不错，里面的例题在后面的攻略 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 题目：蒙特卡洛算法的设计和实现 班别：12accp2班 组员姓名：蔡添来杨善挺 时间：2013.6.28 应用数学二期末考核 项目设计说明书 项目名称：蒙特卡洛算法的设计和实现 人员情况 （注：写上组员的姓名、学号） 蔡添来-010******* 杨善挺-010******* 人员分工情况 （注：写上每个组员完成那个部分的详细情况） N-S图和代码蔡添来负责编写，杨善挺参与讨论，杨善挺负责写摘要问题分析、问题总结以及饼状图的代码编写及处理等等，主要结果及其分析讨论部分由蔡添来写，该部分一些问题杨善挺参与讨论。 蒙特卡洛算法的设计和实现 摘要 （注：请写上你对本项目题目的基本认识和介绍，解决该问题用的的方法和算法的基本思想和原理，以及本问题的主要结论及对结论的简单总结和分析） 本文根据蒙特卡洛算法以实验为基础阐述其算法的设计思路和实现过程，可以通过反复多次的实验，利用数学的的N-S算法，以及MATLAB编程等，并联系实际生活情况，分析蒙特卡洛算法给现实世界带来的各种好处，并提出合理的的建议。 针对本项目问题，首先从抽奖的本质出发，分析该问题到底能让哪方获益，估算抽奖者得到各种结果的概率，以及设奖者受益情况。首先从硬币的分值来分析，列出抽取10枚硬币的总和，再计算每种情况出现的概率，再给予一定的奖罚，这样才能即吸引抽奖者，又可以让设奖者盈利，让抽奖者的损失尽可能少。既可以达到娱乐的效果，又可以得到大家都认可。 最后总结蒙特卡洛算法在数学方面的运用以及对现代社会的经济等方面的推动作用，并给出一些建议。 关键词：模拟概率大量统计 蒙特?卡罗的背景介绍和发展 （注：请介绍你对本项目的背景和发展历史等相关内容） 蒙特?卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。 蒙特卡洛算法对于本身就具有随机性质的问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 蒙特卡罗方法的验证需要次数较多的实验和多次的验证。实验越接近理想状态，所得到的实验结果才越精确。所谓理想的实验次数，就是实验次数尽可能的多和用同样的验证方法验证多次，并取他们的平均值，以便减少误差。而且蒙特卡罗方法每次得到的结果具有随机性，因此，现实生活中该算法又可以为人们的生活娱乐带来乐趣，又可以为商家带来赚钱对的好机会。 当实验对象是某种随机事件出现的概率时，或者是某个随机变量的期望值时，可以进行反复“实验”，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，并计算全部概率的均值，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。以便减少实验误差。 对于本项目的实验对象，利用蒙特卡罗方法以同样的方法反复实验，方便快捷可以得到我们想要的结果，，这是典型的蒙特卡罗方法的运用，而近代也有不少科学家解决同样的问题。例如:1777年，法国数学家布丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。而这被认为是蒙特卡罗方法的起源。 利用蒙特.卡罗方法对该抽签将活动模拟问题分析和数学模型 （注：请介绍你对本项目的解决方法的思路和方法，要求：必须具有对问题解决方法的数学模型(数学模型：数学表达式或算法)的介绍和为什么使用该模型？若问题能求出理论解，在此地方必须给出理论解） 利用N-S图分析思路，再利用MATLAB程序代码运行得到具体结果，结合高中数学的组合运算，因涉及概率等等问题，以及局限于我们的知识，我们只有利用高中的组合运算和大学一年级的N-S图来分析问题，并且利用这几个经典的数学方法，我们可以轻松的解决这个抽奖问题。 信息学奥赛（NOIP）必看经典书目汇总！ 小编整理汇总了一下大神们极力推荐的复习资料！（欢迎大家查漏补缺） 基础篇 1、《全国青少年信息学奥林匹克分区联赛初赛培训教材》（推荐指数：4颗星） 曹文，吴涛编著，知识点大杂烩，部分内容由学生撰写，但是对初赛知识点的覆盖还是做得相当不错的。语言是pascal的。 2、谭浩强老先生写的《C语言程序设计（第三版）》（推荐指数：5颗星） 针对零基础学C语言的筒子，这本书是必推的。 3、《骗分导论》（推荐指数：5颗星） 参加NOIP必看之经典 4、《全国信息学奥林匹克联赛培训教程（一）》（推荐指数：5颗星） 传说中的黄书。吴文虎，王建德著，系统地介绍了计算机的基础知识和利用Pascal语言进行程序设计的方法 5、《全国青少年信息学奥林匹克联赛模拟训练试卷精选》 王建德著，传说中的红书。 6、《算法竞赛入门经典》（推荐指数：5颗星） 刘汝佳著，算法必看经典。 7、《算法竞赛入门经典:训练指南》（推荐指数：5颗星） 刘汝佳著，《算法竞赛入门经典》的重要补充 提高篇 1、《算法导论》（推荐指数：5颗星） 这是OI学习的必备教材。 2、《算法艺术与信息学竞赛》（推荐指数：5颗星） 刘汝佳著，传说中的黑书。 3、《学习指导》（推荐指数：5颗星） 刘汝佳著，《算法艺术与信息学竞赛》的辅导书。（PS：仅可在网上搜到，格式为PDF）。 4、《奥赛经典》（推荐指数：5颗星） 有难度，但是很厚重。 5、《2016版高中信息学竞赛历年真题解析红宝书》（推荐指数：5颗星） 历年真题，这是绝对不能遗失的存在。必须要做！ 三、各种在线题库 1、题库方面首推USACO（美国的赛题），usaco写完了一等基本上就没有问题，如果悟性好的话甚至能在NOI取得不错的成绩. 2、除此之外Vijos也是一个不错的题库，有很多中文题. 3、国内广受NOIP级别选手喜欢的国内OJ（Tyvj、CodeVs、洛谷、RQNOJ） 4、BJOZ拥有上千道省选级别及以上的题目资源，但有一部分题目需要购买权限才能访问。 5、UOZ 举办NOIP难度的UER和省选难度的UR。赛题质量极高，命题人大多为现役集训队选手。 MC方法计算阴影部分面积 计算阴影部分面积。 一个古人要求一个图形的面积，他把图形画在一块方形布上，然后找来一袋豆子，然后将所有豆子洒在布上，落在图形内豆子的重量比上那块布上所有豆子的重量再乘以布的面积就是他所要求的图形的面积。 两种编程思路来计算这个面积： 方法一：将整个坐标轴看成一个边长为12的正方形，然后均匀的这个正方形分成N（N的大小取决于划分的步长）个点，然后找出N个点中有多少个点是属于阴影部分中，假设这个值为k，则阴影部分的面积为：k/N*12^2 方法二：将整个坐标轴看成一个边长为12的正方形，然后在（-6，6）中随机出N（N越大越好，至少超过1000）个点，然后找出这N个点中有多少个点在阴 影区域内，假设这个值为k，则阴影部分的面积为：k/N*12^2。然后重复这个过程100次，求出100次面积计算结果的均值，这个均值为阴影部分面积。 对比分析：以上两个方法都是利用蒙特卡罗方法计算阴影部分面积，只是在处理的细节有一点区别。前者是把豆子均匀分布在布上；后者则是随机把豆子仍在布上。就计算结果的精度而言，前者取决点的分割是否够密，即N是否够大；后者不仅仅通过N来控制精度，因为随机的因素会造成单次计算结果偏高和偏小，所以进行反复多次计算最后以均值来衡量阴影部分面积。 附上MATLAB程序： 方法一： clear x=-6:0.01:6; y=x; s=size(x); zs=s(1,2)^2; k=0; for i=1:s(1,2) for j=1:s(1,2) a1=(x(i)^2)/9+(y(j)^2)/36; a2=(x(i)^2)/36+y(j)^2; a3=(x(i)-2)^2+(y(j)+1)^2; 第三章蒙特卡罗方法简介 3.1 Monte Carlo方法简介 Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。 Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。 3.2 Monte Carlo发展历程 MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。 MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。 424-Integer Inquiry One of the first users of BIT's new supercomputer was Chip Diller.He extended his exploration of powers of3to go from0 to333and he explored taking various sums of those numbers. ``This supercomputer is great,''remarked Chip.``I only wish Timothy were here to see these results.''(Chip moved to a new apartment,once one became available on the third floor of the Lemon Sky apartments on Third Street.) Input The input will consist of at most100lines of text,each of which contains a single VeryLongInteger.Each VeryLongInteger will be100or fewer characters in length,and will only contain digits(no VeryLongInteger will be negative). The final input line will contain a single zero on a line by itself. Output Your program should output the sum of the VeryLongIntegers given in the input. Sample Input 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 Sample Output 370370367037037036703703703670 10106–Product The Problem The problem is to multiply two integers X,Y.(0<=X,Y<10250) The Input The input will consist of a set of pairs of lines.Each line in pair contains one multiplyer. The Output For each input pair of lines the output line should consist one integer the product. Sample Input 12 12 2 222222222222222222222222 Sample Output 144 444444444444444444444444 465–Overflow Write a program that reads an expression consisting of two non-negative integer and an operator.Determine if either integer or the result of the expression is too large to be represented as a``normal''signed integer(type integer if you are working Pascal,type int if you are working in C). Input An unspecified number of lines.Each line will contain an integer,one of the two operators+or*,and another integer. Output For each line of input,print the input followed by0-3lines containing as many of these three messages as are appropriate: ``first number too big'',``second number too big'',``result too big''. Sample Input 300+3 9999999999999999999999+11 Sample Output 300+3 9999999999999999999999+11 first number too big蒙特卡罗方法的应用【文献综述】
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