知识讲解双曲线及其标准方程基础样本
双曲线及其标准方程
编稿: 张林娟 责编: 孙永钊
【学习目标】 1．知识与技能:
从具体情境中抽象出双曲线的模型; 掌握双曲线的定义、 标准方程及几何图形; 能正确推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法:
学生亲自动手尝试画图、 发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、 图像和标准方程．
3．情感态度与价值观:
了解双曲线的实际背景, 感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用, 进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．
【要点梳理】
要点一: 双曲线的定义
把平面内到两定点1F 、 2F 的距离之差的绝对值等于常数( 大于零且小于
12
F F ) 的点的集合叫作双曲线．
定点1F 、 2F 叫双曲线的焦点, 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释:
1． 双曲线的定义中, 常数应当满足的约束条件: 常数=
1212
PF PF F F -<, 这能
够借助于三角形中边的相关性质”两边之差小于第三边”来理解; 2． 若常数分别满足以下约束条件, 则动点的轨迹各不相同: 若 常数=1
212
PF PF F F -<( 常数0>) , 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的
一支; 若 常数=2112
PF PF F F -<( 常数0>) , 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一
支． 若 常数=1212
PF PF F F -=, 则动点轨迹是以F 1、 F 2为端点的两条射线( 包括端
点) ; 若 常数=1212PF PF F F ->, 则动点轨迹不存在;
若 常数=
12=0PF PF -, 则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．
要点二: 双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程
2． 标准方程的推导
如何建立双曲线的方程? 根据求曲线方程的一般步骤, 可分为4步: 建系、 设点、 列式、 化简．
( 1) 建系
取过焦点F 1、 F 2的直线为x 轴, 线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．
22
a b
( 2) 设点
设M (x , y )为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距是2c (c ＞0), 那么F 1、 F 2的坐标分别是(-c , 0)、 (c , 0)． ( 3) 列式
设点M 与F 1、 F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．
由定义可知, 双曲线就是集合: P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|M
F 2|=±2a }．
∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y ++-+
2222()()2x c y x c y a ++-+=±
(4)化简
将这个方程移项, 得
2222()()2x c y x c y a ++=-+
两边平方得:
2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=±-+-+
化简得:
222()cx a a x c y -=±-+
两边再平方, 整理得:
()()22222222c a x a y a c a --=- ①
( 以上推导完全能够仿照椭圆方程的推导) 由于方程①形式较复杂, 继续化简．
由双曲线定义, 22c a ＞ 即c a ＞, 因此220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞,
代入上式得: 222222b x a y a b -=, 两边同除以22a b , 得:
即22
221x y a b
-=(0,0)a b >>, 其中222c a b =+．
这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．
要点诠释: 若在第( 1) 步中以”过焦点F 1、 F 2的直线为y 轴, 线段F 1F 2
的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”, 就能够得到焦点在y 轴的双曲线
方程: 22
221y x a b
-=(0,0)a b >>, 其中222c a b =+．
3． 两种不同双曲线的相同点与不同点
定义
平面内到两定点1F 、 2F 的距离之差的绝对值等于常数( 大于零
且小于12F F ) 的点的集合
不 同 点
图形
标准方程 22
221x y a b
-=(0,0)a b >> 22
221y x a b
-=(0,0)a b >> 焦点坐标
()10F c ， , ()20F c ，
()10F c ， , ()20F c ，
相
a 、
b 、
c 的关系
222c a b =+
同
点
焦点位置的判断哪项为正, 项的未知数就是焦点所在的轴
要点诠释:
1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点, 对称轴是坐标轴, 双曲线的方程才是标准方程形式．此时, 双曲线的焦点在坐标轴上．
2．双曲线标准方程中, a、b、c三个量的大小与坐标系无关, 是由双曲线本身所确定的, 分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长, 均为正数, 且三个量的大小关系为: c＞a, c＞b, 且c2=b2+a2．
3．双曲线的焦点总在实轴上, 因此已知标准方程, 判断焦点位置的方法是: 看x2、y2的系数, 如果x2项的系数是正的, 那么焦点在x轴上; 如果y2项的系数是正的, 那么焦点在y轴上．
4．对于双曲线, a不一定大于b, 因此不能像椭圆那样经过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
要点三: 椭圆、双曲线的区别和联系
1．椭圆、双曲线的标准方程对照表:
椭圆双曲线
图象
定义根据|MF1|+|MF2|=2a根据||MF1|－|MF2||=2a
a、b、c关系a2－c2=b2( a最大)
( a＞c＞0, b＞0)
c2－a2=b2( c最大)
( 0＜a＜c, b＞0)
2． 方程Ax 2+By 2
=C ( A 、 B 、 C 均不为零) 表示双曲线的条件
方程Ax 2
+By 2
=C 可化为
22
1Ax By C C
+=, 即221x y C C A B
+
=, 因此只有A 、 B 异号, 方程表示双曲线． 当0,0C C A B
><时, 双曲线的焦点在x 轴上;
当0,0C C A
B
<>时, 双曲线的焦点在y 轴上．
要点四: 求双曲线的标准方程
①待定系数法: 由题目条件确定焦点的位置, 从而确定方程的类型, 设出标准方程, 再由条件确定方程中的参数a 、 b 、 c 的值． 其主要步骤是”先定型, 再定量”;
②定义法: 由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形, 然后再根据定义确定方程．
要点诠释: 若定义中”差的绝对值”中的绝对值去掉, 点的集合成为双曲线的一支, 先确定方程类型, 再确定参数a 、 b , 即先定型, 再定量． 若两种类型都有可能, 则需分类讨论．
【典型例题】
类型一: 双曲线的定义
例1．已知点F 1(－4, 0)和F 2(4, 0), 曲线上的动点P 到F 1、 F 2距离之差为6, 则曲线方程为( )
A ．22
197
x y +=
B ．22
197x y -=＝1(y >0)
C ． 22197x y -=或22
179x y -=
D ． 22
197
x y -= (x >0)
【答案】 D
【解析】 由双曲线的定义知, 点P 的轨迹是以F 1、 F 2为焦点, 实轴长为6
的双曲线的右支, 其方程为: 22
197
x y -=(x >0)
【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点: 一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数, 二是这个常数要小于12||F F , 若不满足这些条件, 则其轨迹不是双曲线, 而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．
举一反三:
【变式1】已知定点F 1(－2, 0)、 F 2(2, 0), 平面内满足下列条件的动点
P 的轨迹为双曲线的是( )
A ．|PF 1|－|PF 2|=±3
B ．|PF 1|－|PF 2|=±4
C ．|PF 1|－|PF 2|=±5
D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4
【答案】A
【变式2】已知点F 1(0, －13)、 F 2(0, 13), 动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26, 则动点P 的轨迹方程为( )
双曲线知识点复习总结
双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心 率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通 径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
双曲线知识点复习总结
双曲线知识点总结复习 1. 双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线 2. 双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心 率：c e a = ，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：
等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,
双曲线知识点归纳总结
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向
右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一 条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ
双曲线知识点总结 (1)
双曲线知识点 知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且） 的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，， 对称性关于x轴、y轴和原点对称 顶点
轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率 渐近线方 程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线 根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
双曲线的性质A知识讲解
双曲线的性质 编稿：希勇审稿：霞 【学习目标】 1.理解双曲线的对称性、围、定点、离心率、渐近线等简单性质. 2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程. 3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题. 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】 要点一、双曲线的简单几何性质 双曲线 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0）的简单几何性质 围 2 22 2 1 x x a a x a x a 即 或 ≥≥ ∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a. 对称性 对于双曲线标准方程 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。 ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。 ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a ==。 ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c e a = >。 由c 2 =a 2 +b 2 ，可得2222 2()11b c a c e a a a -==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。 渐近线 经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x=±a，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是b y x a =± 。 我们把直线x a b y ± =叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 22= --||b b MN x a x a a
双曲线知识点归纳总结
第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x 标准方程（焦点在y轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离的差的绝对值是常数（小于 12 F F）的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M2 2 1 = -()21 2F F a< 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1 e>时， 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（1 e>）叫做双曲线的离心率。 范围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈ 对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0) O x y P 1 F 2 F x y P x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y P
焦点坐 标 1 (,0) F c- 2 (,0) F c 1 (0,) F c- 2 (0,) F c 焦点在实轴上，22 c a b =+；焦距： 12 2 F F c = 顶点坐 标 （a -,0） (a,0) (0, a -,) (0，a) 离心率e a c e( =>1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： c a2 2 顶点到 准线的 距离 顶点 1 A（ 2 A）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a a 2 - 顶点 1 A（ 2 A）到准线 2 l（ 1 l）的距离为a c a + 2 焦点到 准线的 距离 焦点 1 F（ 2 F）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a c 2 - 焦点 1 F（ 2 F）到准线 2 l（ 1 l）的距离为c c a + 2 渐近线 方程 x a b y± =x b a y± = 共渐近 线的双 曲线系 方程 k b y a x = - 2 2 2 2 （0 k≠）k b x a y = - 2 2 2 2 （0 k≠） ①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当a MF MF2 1 2 = -时，则表示点M在双曲线左支上； ②注意定义中的“（小于 12 F F）”这一限制条件，其根据是“三角形两边 之和之差小于第三边”。 若2a=2c时，即 2 1 2 1 F F MF MF= -,当21 2 1 F F MF MF= -，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当 2 1 1 2 F F MF MF= -时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；
经典双曲线知识点
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点 坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
双曲线方程知识点总结_公式总结
双曲线方程知识点总结_公式总结 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
双曲线知识点归纳总结.
第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标 （a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P
离心率 e a c e (= >1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 2 2 顶点到准线的 距离 顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为c a a 2 - 顶点1 A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2 焦点到准线的 距离 焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为c a c 2 - 焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c a +2 渐近线 方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近 线的双曲线系 方程 k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-22 2 2（0k ≠） 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上， 双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得， 所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。 （5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线 围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，，
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结 一．双曲线的定义及其性质 1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a ④若点P （x 0,y 0)在双曲线122 22=-b y a x 上，则过点P 与双曲线相切的直 线方程为 12020=-b y y a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。 二．双曲线的焦点三角形 （1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ; mn=θcos 122-b ),[2 +∞∈b ;θθcos 1cos 2-= b n m ),[2+∞-∈b ;S?PF 1F 2=2 tan 2θb . 证明如下： ①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ) ? mn=θcos 122 -b ②S?PF 1F 2=21mnsinΘ= 2 tan 2sin 22cos 2 sin 2cos 1sin 2212 222 θθθ θ θθ b b b == - 三．双曲线的中点弦 （1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2 （3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。 双曲线基本知识点 直线和双曲线的位置 双曲线122 22=-b y a x 与直线y kx b =+的位置关系： 利用22 221x y a b y kx b ?- =???=+? 转化为一元二次方程用判别式确定。 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB 的弦长2212121()4AB k x x x x =++- 通径：21AB y y =- 补充知识点： 等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b ，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）； （2）其标准方程为x^2-y^2=C ，其中C≠0； （3）离心率e=√2； （4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； （5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项； （6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分； （7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2； （8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。 所以反比例函数y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。 例题分析： 例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） Ａ．221916x y -= Ｂ．22 1169x y -+= Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22 1(3)169 x y y -+=-≤ 同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为3 4 y x =±，则离心率为（ ） 直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 22 221(0,0) x y a b a b -=>>2 2 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2 要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、双曲线的几何性质 标准方程 22 2 21x y a b -=(0,0)a b >> 22 2 21y x a b -=(0,0)a b >> 图形 性质 焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+ 范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈ 对称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b 离心率 (1)c e e a = > 渐近线方程 x a b y ± = a y x b =± 要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22 221x y a b -=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 高中双曲线知识点总结 进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，xx相信您一定可以提高数学成绩! 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：. ⑵①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 . ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 长加短减原则： 构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号) ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程? 解：令双曲线的方程为代入得. ⑹直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. (2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证： =. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 双曲线知识点总结及经典练习题 圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线?即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距. 1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解； 2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1 ^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若 |^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3?若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）； 若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二?冈珂|，则动点轨迹不存在； 5 ?若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1?当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中 /二F十沪. 2?当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中 r a—沖+护 注意：1 ?只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程； 2?在双曲线的两种标准方程中，都有''-； 3?双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为 正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线性质 1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质 一 f y (1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x, 或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x 2019年高二数学双曲线知识点总结 双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积双曲线知识点归纳与例题分析
A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
高中双曲线知识点总结
双曲线知识点总结及经典练习题
2019年高二数学双曲线知识点总结