高三一轮复习难点突破(2)——抽象函数不等式问题探究

2021届高三一轮复习难点突破（2）

——抽象函数不等式问题探究

以抽象函数为背景、题设条件等考查函数不等式的解法问题是近几年高考的热门问题．抽象函数不等式的的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符号“f ”,转化为一般不等式求解．所以函数的单调性是函数和不等式的纽带，只有利用好这一条性质，问题才能得到有效的解决．而在实际解决抽象函数不等式的过程中，我们还要考虑函数有关的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，并且此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，再利用函数单调性解决.

【典型母题】（2015全国卷Ⅱ，12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当

x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)

(1,)+∞

【解法探究】构造函数()()f x g x x =

，则2

()()

()xf x f x g x x '-'=． 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，

故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减； 又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．

当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．

【方法、技巧、规律】

函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数

求导，然后利用函数单调性解决. 【探源、变式、扩展】

考向1．直接解抽象函数不等式

例1（2017新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足

21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）

A ．[2,2]-

B ． [1,1]-

C ． [0,4]

D ． [1,3]

【点睛】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等．

考向2．构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式

例2．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()()f x f x >'，()01f =，则不等式

__________．

【点睛】对于构造函数求导数问题，常见的构造有：

（1）对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=，更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()ax x f x h -=；

（2）对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=； （3）对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x

=；

（4）对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()x

e x

f x h =； （5）对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =； （6）对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x

x f x h =； （7）对于

()()

0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =； (2)若()0

变式1．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不

________________.

变式2．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()1

20171x f x e ->?+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_______________．

考向3．多次构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式

例3．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为

()f x 的导函数，则（ ）

A. B. C. D.

【点睛】.

变式1．（2015福建理，10）若定义在R 上的函数

()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足

()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）

A ．11

f k k ??<

??? B ．111

f k k ??

>

?-?? C ．1111f k k ??

<

?--??

D ．111

k f k k ??

>

?--??

考向4．构造导函数，结合函数奇偶性求解抽象函数不等式

例4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()10f =，

()0xf x >的解集是__________．

变式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数, ()10f -=，当0x >时， ()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．

变式2．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()1y f x =+为偶函数， ()21f =，则不等式()x

f x e <的解集为________．

考向5．构造导函数，结合函数对称性解抽象不等式的解法

例5．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，

()()()()110x f x x f x '??+++的解集为（ ）

A. ()1,+∞

B. (),1-∞-

C. ()1,1-

D. ()(),11,-∞-?+∞

变式1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()()f x f x '<，且()()12f x f x +=-，

()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________．

考向6．构造导函数，多次求导，求解抽象函数不等式 例6．若函数()f x 满足()(()ln )f x x f x x '=-，且1

1()e e f =，则1(e )()1e

x

ef f '<+

A.

B.

C.

D.

考向7．抽象不等式与大小比较

例7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<与()1f 的大小

关系是（ ）

A.

B.

C. D. 不确定

《抽象函数不等式》试题精选

1．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x

+>，

则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( )

A ．()()af a bf b <

B ．()()af a bf b >

C ．()()af b bf a >

D ．()()af b bf a < 2．设函数

'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使

得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-?+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)(1,)?+∞

3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()2

1

2x f x xf x x

'+=

且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）

A ．

2

e B ．0

C D ．2e

4．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．c b a <<

B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．a b c <<

5．若,,22x y ππ??

∈-

???

?，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x y <

B ．x y >

C ．x y <

D ．x y >

6．已知函数12()(1)x f x e x -=+-（其中e 为自然对数的底数），则使(2)(1)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )

A ．(1,1)-

B ．(,1)

(1,)-∞-+∞ C ．1(,1)(,)3-∞-+∞ D ．11

(,)(,)33

-∞-+∞

7．已知定义在π0,2??

???上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对于任意的π0,2x ??∈ ???

，都有

()()cos sin f x f x x x '<，则（ ）

A 3π4πf ????>

? ????? B π64π????< ? ????? C π64π????< ? ????? D 3π6πf ????< ? ?????

8．已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a c

b a c

==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.

A ．c a b >>

B ．a c b >>

C ．c b a >>

D ．b a c >>

9．定义在()0,+∞上的函数()x 满足()'10xf x +>，()2ln2f =-，则不等式()0x

f e

x +>的解集为（ ）

A ．()0,2ln2

B ．()0,ln2

C ．()ln2,+∞

D ．()ln2,1

10．定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若()()1231f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ）

A ．(],1-∞-

B ．1,3

??-∞ ??

?

C ．[)1,-+∞

D ．1,3??+∞????

11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为

'()f x ，若()'()1f x f x -<，(0)4f =则不等式

()31x f x e >+的解集为（ ）

A ．(,0)

(0,)-∞+∞ B ．(0,)+∞ C ．(3,)+∞ D ．(,0)(3,)-∞?+∞

12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且

(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）

A ．(3,0)(3,)-?+∞

B ．(3,0)(0,3)-?

C ．(,3)(3,)-∞-?+∞

D ．(,3)

(0,3)-∞-

13．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ??

- ???

，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有

()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x

的不等式()cos 4f x x π??

<

? ???

的解集为（ ） A ．,42ππ??

??? B ．,,2442ππππ????--? ? ????? C ．,00,44ππ????-? ? ????? D ．,0,442πππ????

-

? ? ?????

14．已知()'f x 是函数()f x (0x R x ∈≠且)的导函数，当0x >时，()()'0xf x f x -<，记

()()()0.22

2

0.2

2

220.2log 5,,2

0.2

log 5

f f f a b c =

==，则（ ）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

15．设4log 3a =，5log 4b =，0.012c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）

A ．b a c <<

B ．a b c <<

C ．a c b <<

D ．b c a <<

16．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<

A ．c

c b a <

B ．c

c ba ab <

C ．c b c a a b log log <

D ．c c b a log log <

2021届高三一轮复习难点突破（2）

——抽象函数不等式问题探究

例2．

()()'f x f x >，()'0F x ∴<，即函数()F x 在定义域上单调递减， ()01f =，所以不等式

等价为()()0F x F <，解得0x >，

故不等式的解集为

()0,+∞. 变式1，∴()F x 在R 上是减函数．

等价于()()1F x F <，∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，．

变式2．【解析】设g (x )= ()

()()11x x e

f x e -----，则

g ′(x )=? ()1x e --f (x )+ ()1x e --f ′(x )+ ()1x e --=()1

x e --

[f ′(x )?f (x )+1]，∵f (x )?f ′(x )>1,∴f ′(x )?f (x )+1<0，∴g ′(x )<0，∴y =g (x )在定义域上单调递减，g (1)=2017， ∵()1

20171x f x e ->?+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g (1)，得到g (x )>2017=g (1)，∴g (x )>g (1)，得x <1，∴()1

20171x f x e

->?+的解集为()

,1-∞，

例3． ()

0,x ∈+∞，

∵()0,x ?∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<，∴()0f x >， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∴()()12g g <，即()()4

12f f <，

()0,

x ∈+∞，

∵()0,x ?∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<， ()0h x '<， ∴函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴()()12h h >，即

D. 变式1．解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，

故函数()g x 在R 上单调递增，且

101k >-，故()101g g k ??> ?-??

，

所以11f k ??

-

?

-??11

k k >--，1111

f k k ??

> ?

--??，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定； 构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且

1

0k

>，所以()10h h k ??

> ???

，即11

1f k k ??->- ???，11

1f k k

??>- ???，选项A ，B 无法判断．故选C ．

例4．

()()()

2

''0xf x f x g x x

-=

>，

所以()g x 的单调递增区间为()0,+∞，因为()()()()f x f x g x g x x

x

---=

=

=--，

所以()g x 单调递减区间为(),0-∞，因为()10f =，所以()10g =，()10g -=，

所以当1x <-时， ()0g x >；当10x -<<时， ()0g x <； 当01x <<时， ()0g x <；当1x >时，()0g x >．

因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >，因为当1x <-或1x >时，()0g x >， 所以不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >.

变式1．【解析】令()()()()()

2

,0f x xf x f x g x g x x

x -''=

=

<，所以()g x 在()0.+∞上是减函数，又

()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数，因此()()110g g -==，当01x <<时， ()0g x >，所以()0f x >，同理，当1x <-时， ()0g x <，所以()0f x >，综上应填()(),10,1-∞-?.

变式2．【解析】∵()1y f x =+为偶函数，∴()1y f x =+的图象关于0x =对称， ∴()y f x =的图象关于1x =对称，∴()()20f f =，又∵()21f =，∴()01f =， （x R ∈）

又∵()()f x f x '<，∴()()'0f x f x -<，∴()0g x '<，∴()y g x =单调递减，

∵()x

f x e <，∴

，即()1g x <，

，∴()()0g x g <，∴0x >，故答案为()0,+∞.

例5．【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++， 当1x <-时，()()()()11'0x f x x f x ??+++

∴当1x <-时， ()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，

函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，

∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数()1f x -是奇函数，

令()()()11h x g x xf x =-=-，

()h x ∴是R 上的偶函数，且在(),0-∞递增，

由偶函数的性质得：函数()h x 在()0,+∞上递减，

()()10h f = ，∴不等式()()10xf x f ->化为： ()()1h x h >，

，解得11x -<<， ∴不等式解集是()1,1-，故选C. 变式1．【解析】

函数()f x 是偶函数，()()()122f x f x f x ∴+=-=-， ()()3f x f x ∴+=，

即函数()f x 是周期为3的周期函数， ()()()2016367203f f f =?==，

()g x ∴在R 上是单调递减，不等式()3x f x e <等价于

即()(0)g x g <，0x >，∴不等式()3x

f x e <的解集为()0,+∞.

例6．首先从要解的不等式出发，1(e )()1e

x

ef f '<+，两边同除以e ，得111(e )()e e e

x

f f '<

+， 观察，右边是e x

对应的函数值，要是左边能变成某一个变量的函数值，则可以考虑利用函数单调性来解决，观察其结果，对照()(()ln )f x x f x x '=-可知，1

111

()()e e e e

f f '=

+，则原不等式等价于解不等式：

1

(e )()e

x f f <.

下面考虑函数()f x 的单调性，对()(()ln )f x x f x x '=-两边求导，得：

1()()ln (())f x f x x x f x x ''''=-+-，变形得ln 1()x f x x +''=，易知1

()0f e

''=，

所以1

()()f x f e ''≥，由11111()(()ln )f f e e e e e '=

-=，解得1

()0f e

'=， 所以1

()()0f x f e

''≥=，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，

所以1(e )()e

x

f f <等价于1

e e

x

<

，解得1x <-， 所以不等式1

(e )()1e

x

ef f '<+的解集为(,1)-∞-，选A.

例7．【解析】令()()x

g x e f x =，则()()()0x g x e f x f x ??=+?'

'，所以函数()g x 在R 上单调递减. 因为210m m -+>，所以21m m -<，所以()

()21g m m g ->，

即()

()2

211m m

e

f m m e f -->，所以

(

)()2

21

1m

m f m m f e -+->．选A.

一、单选题

1．【答案】B 不妨设h （x ）=xf （x ），则h′（x ）=f （x ）+xf′（x ）．∵当x ＞0，有()()'0f x f x x

+＞，

∴当x ＞0时，xf′（x ）+f （x ）＞0，即h′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增，

则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ），故选B ．

2．【答案】A 构造新函数()()f x g x x

=,()()()2

'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()

f x

g x x

=

单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()

0f x g x x

=

>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞?+∞上的解集为：()(),10,1-∞-?.故选A .

3．【答案】A

()()212x f x xf x x '+=

，令()()2g x x f x =，则()()()2

12g x x f x xf x x

'='+=， ()()1111f g =∴=，， ()()21ln 1ln ,x g x x f x x +∴=+=，()

3

12ln x

f x x --∴'=， ∴当120x e -<<时，()312ln 0x f x x --'=>，当12x e -> 时，()312ln 0x f x x

--'=<， ∴当1

2x e

-

=时，

()112

2

2max 121ln 2e e

f x f e e -

--?? ????? ???

+===

．故选：A ． 4．【答案】C 解：令ln ()()x f x x e x =

≥，21ln ()x f x x

-'=，可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减， ln 4

ln 5

,5ln 44ln 5,45

a b ππππ∴

>

∴>∴>，同理可得：

44ln ln 4

,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4

c a πππ

πππππ

>

∴>∴>∴>∴>，∴b a c <<. 故选：C. 5．【答案】D 设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，则()'sin cos 0f x x x x =+≥在0,

2π??

????

上恒成立. 即函数在0,

2π??

????上单调递增，在,02π??-????

上单调递减. sin sin 0x x y y ->，即()()f x f y >，根据单调性知x y >. 故选：D .

6．【答案】B 解：∵12()(1)x f x e x -=+-，∴1122(1)(11)x x

f x e x e x +-+=++-=+，

11

2(1)(11)x f x e

x ---=+--()2

2(1)x

x

e

x e x f x -=+-=+=+，

∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当1x ≥时，12()(1)x f x e x -=+-，1

()2(1)0x f x e x -'=+-≥，

∴函数()f x 在[

)1,+∞上单调递增，由对称性可知，函数()f x 在(),1-∞上单调递减， ∵(2)(1)f x f x >-，∴2111x x ->--，∴()()2

2

212x x ->-，化简得()()110+->x x ，

解得1x <-，或1x >，故选：B ．

7． 【答案】A 解：构造函数()cos ()g x x f x =?，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,

2x ?

?

∈ ??

?

恒成立， ()g x ∴在π0,2?

?

???

单调递减，所以3ππ4π6g g g ??????>> ? ? ???????

所以cos

cos

cos

6

644ππππππ33f f f ??

??

??>> ? ? ???????

，即12624πππ2

3f f f ??????

>> ? ? ???????

3π4πf ????

>

? ?????，

4π6π????> ? ?????

3π6πf ????> ? ?????，故正确的是A ； 8．【答案】A

30b >，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，

01b ∴<<，01a <<，1c >；320b

b

>>，ln 0b <，232ln ln ln a b b

a b b

∴=<

， 令()()201ln x

f x x x

=<<，则()()()

22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x x

x x x x f x x x ??

?-?- ???'=

=， 当01x <<时，ln 0x <，1

0x

-

<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a b

a b

<

，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 9．【答案】C 设()()ln g x f x x =+，则1'()1

'()'()0xf x g x f x x x

+=+

=>， ∴()g x 在(0,)+∞上是增函数，不等式()0x

f e x +>可化为()ln 0(2)ln 2x

x

f e e f +>=+，即

()(2)x g e g >，∴2x e >，ln 2x >．故选C ．

10．令()()g x f x x =-，()()10g x f x '='-<，故()y g x =单调递减.

()()1221f m m f m m -≥-+-，即()()12g m g m ≥-，12m m ≤-，1

3

m ≤.

因此，m 的取值范围是1,3

??-∞ ??

?

.

11．【答案】B 解：设()()x x g x e f x e --=-，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x ----'=-+'+=--'-， ()()1f x f x -'<，()()10f x f x ∴-'-<，()0g x ∴'>，()y g x ∴=在定义域上单调递增，

()31x f x e >+，()3g x ∴>，00(0)(0)(0)1413g e f e f --=-=-=-=，

()(0)g x g ∴>．0x ∴>，()31x f x e >+∴（其中e 为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞．故选：B ．

12．【答案】D 解：设()()()F x f x g x =,则'''()()()()()F x f x g x f x g x =+，

由当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，则函数()y F x =在(),0-∞为增函数， 又()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()y F x =在R 上为奇函数， 则函数()y F x =在()0,∞+为增函数，又(3)0g -=，所以(3)0F -=，则(3)0F =，

则()0F x <的解集为(,3)(0,3)-∞-，即不等式()()0f x g x <的解集是(,3)(0,3)-∞-，故选：D.

13．【答案】A 根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''

2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x

+=，

又由02

x π

<<

时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，则函数()g x 在0,

2π?

?

??

?

上为减函数， 又由()f x 为定义域为,22ππ??

- ???

的奇函数，则

()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-，则函数()g x 为奇函数， 所以函数()g x 在,22ππ??

- ???

上为减函数，

()()4()cos ()4cos 4cos 4cos 4

f f x f x f x x

g x g x x πππππ?? ?

??????

??

，

所以

4

2

x π

π

<<

，即不等式的解集为,42ππ??

??

?. 故选：A. 14．【答案】C 【解析】令()()

f x

g x x

=，则()()()2

xf x f x g x x '-'=，∵0x >时，()()0xf x f x '-<， ∴()g x 在0,

递减，又0.2222

log 5log 421220.20.04>=<=，＜，， ∴0.2

22

log 520.2>>，∴()()

()

0.222log 520.2g g g <<，∴c a b <<，故选C.

15．【答案】B 【解析】因为1089810

41048576,5390625,51953125,465536,359049=====；

所以9

9

10

10

109554545

log 4log 50.9

8810

10

108554545log 4log 50.8>?>?>=； 8810

10

8

10

444334log 3log 40.8>?

所以54log 4log 3>，即a b <；

设()21,0x

f x x x =--<，则 ()'2ln 21,x

f x =-

由于0x <，所以021x <<；又0ln 21<<，所以02ln 21x <<， 所以()'

2ln 210x f

x =-<；

所以()f x 在(),0-∞上单调递减，所以()()0=0f x f >；

所以当0x <时，21x x >+， 所以0.0120.0110.990.9->-+=>， 所以0.01

5log 40.90.092-<<<；

所以b c <；

综上a b c <<. 故选:B.

（2016·新课标Ⅰ，8）【答案】C 解析：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>?>，A 错误；

由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>?

ln ln a c b

和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln c

a a ，只需ln

b b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此

()()11

0ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>?>>?

<

，

又由01c <<得ln 0c <， ∴

ln ln log log ln ln a b c c

b c a c a a b b

ln ln c a 和ln ln c

b ，

而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>?>>?

<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b

>?>，D 错误；

故选C ．

中山一中2021届高三一轮复习难点突破（2）

——抽象函数不等式问题探究

以抽象函数为背景、题设条件等考查函数不等式的解法问题是近几年高考的热门问题，函数和不等式是高考复习中的两大重点和难点，对于求解抽象函数不等式问题，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域等知识，属于综合性比较强的问题，可难可易，在备考中，要引起我们的重视．

【典型母题】（2015全国卷Ⅱ，12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当

x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)

(1,)+∞

【解法探究】构造函数()()f x g x x =

，则2

()()

()xf x f x g x x '-'=． 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，

故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减； 又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．

当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．

【方法、技巧、规律】

函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数

求导，然后利用函数单调性解决. 【探源、变式、扩展】

考向1．直接解抽象函数不等式

例1（2017新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足

21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）

A ．[2,2]-

B ． [1,1]-

C ． [0,4]

D ． [1,3]

【点睛】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等．本题的关键在于将()121f x -≤-≤，转化成()()()121f f x f ≤-≤-，再利用()f x 在()-∞+∞，单调递减，脱去抽象符合“f ”, 转化为一般不等式121x -≤-≤求解．

考向2．构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式

例2．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()()f x f x >'，()01f =，则不等式

__________．

()()'f x f x >，()'0F x ∴<，即函数()F x 在定义域上单调递减， ()01f =，所以不等式

等价为()()0F x F <，解得0x >，

故不等式的解集为()0,+∞.

【点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心

读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

对于构造函数求导数问题，常见的构造有：

（1）对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=，更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()ax x f x h -=；

（2）对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=； （3）对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x

=；

（4）对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()x

e x

f x h =； （5）对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =； （6）对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x

x f x h =； （7）对于

()()

0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =； (2)若()0

变式1．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20

f x f x '->,则不

___________.

，∴()F x 在R 上是减函数．

等价于()()1F x F <，∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，．

变式2．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()1

20171x f x e

->?+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_____． 【解析】设g (x )= ()

()()11x x e f x e -----，

则g ′(x )=? ()

1x e

--f (x )+ ()

1x e --f ′(x )+ ()

1x e

--=()

1x e

-- [f ′(x )?f (x )+1]，

∵f (x )?f ′(x )>1,∴f ′(x )?f (x )+1<0，∴g ′(x )<0，∴y =g (x )在定义域上单调递减，g (1)=2017， ∵()1

20171x f x e ->?+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g (1)，得到g (x )>2017=g (1)，∴g (x )>g (1)，得x <1，∴()1

20171x f x e

->?+的解集为(),1-∞，

考向3．多次构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式

例3．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为

()f x 的导函数，则（ ）

A. B.

C.

D.

()0,x ∈+∞，

∵()0,x ?∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<，∴()0f x >， ()0g x '>，

∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∴()()12g g <，即()()412f f <，

()0,x ∈+∞，

∵()0,x ?∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<， ()0h x '<， ∴函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴()()12h h >，

D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，即()0f x '>得函数单调递增， ()0f x '<得

函数单调递减，解决该题最大的难点在于构造函数，难度较大； ()

0,x ∈+∞

()0,x ∈+∞，利用导数研究其单调性即可得出结论.

变式1．（2015福建理，10）若定义在R 上的函数

()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足

()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）

A ．11

f k k ??<

??? B ．111

f k k ??

>

?-?? C ．1111f k k ??

< ?

--??

D ．111

k f k k ??

> ?

--?? 解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->， 故函数()g x 在R 上单调递增，且

101k >-，故()101g g k ??> ?-??

， 所以11f k ??

-

?

-??11

k k >--，1111f k k ??

> ?

--??

， 所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；

构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且

1

0k

>，所以()10h h k ??

> ???，即11

1f k k ??->- ???，11

1f k k

??>- ???，选项A ，B 无法判断． 故选C ．

考向4．构造导函数，结合函数奇偶性求解抽象函数不等式

例4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()10f =，

()0xf x >的解集是__________．

()()()

2

''0xf x f x g x x -=

>，

所以()g x 的单调递增区间为()0,+∞，因为()()()()f x f x g x g x x

x

---==

=--，

所以()g x 单调递减区间为(),0-∞， 因为()10f =，所以()10g =，()10g -=，

所以当1x <-时， ()0g x >；当10x -<<时， ()0g x <； 当01x <<时， ()0g x <；当1x >时，()0g x >． 因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >， 因为当1x <-或1x >时，()0g x >，

所以不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >.

变式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数, ()10f -=，当0x >时， ()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________． 【答案】()(),10,1-∞-? 【解析】令()()()()()

2

,0f x xf x f x g x g x x

x -''=

=

<，所以()g x 在()0.+∞上是减函数，又

()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数，因此()()110g g -==，当01x <<时， ()0g x >，所以()0f x >，同理，当1x <-时， ()0g x <，所以()0f x >，综上应填()(),10,1-∞-?.

变式2．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()1y f x =+为偶函数， ()21f =，则不等式()x

f x e <的解集为________．

【解析】∵()1y f x =+为偶函数，∴()1y f x =+的图象关于0x =对称，

∴()y f x =的图象关于1x =对称，∴()()20f f =，又∵()21f =，∴()01f =， （x R ∈）

又∵()()f x f x '<，∴()()'0f x f x -<，∴()0g x '<，∴()y g x =单调递减， ∵()x

f x e <，∴

，即()1g x <，

，∴()()0g x g <，∴0x >，故答案为()0,+∞.

考向5．构造导函数，结合函数对称性解抽象不等式的解法

例5．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，

()()()()110x f x x f x '??+++的解集为（ ）

A. ()1,+∞

B. (),1-∞-

C. ()1,1-

D. ()(),11,-∞-?+∞ 【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++， 当1x <-时，()()()()11'0x f x x f x ??+++

∴当1x <-时， ()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，

函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，

∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数()1f x -是奇函数，

令()()()11h x g x xf x =-=-，

()h x ∴是R 上的偶函数，且在(),0-∞递增，

由偶函数的性质得：函数()h x 在()0,+∞上递减，

()()10h f = ，∴不等式()()10xf x f ->化为： ()()1h x h >，

，解得11x -<<，

∴不等式解集是()1,1-，故选C.

变式1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()()f x f x '<，且()()12f x f x +=-，

()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________．

【解析】

函数()f x 是偶函数，()()()122f x f x f x ∴+=-=-， ()()3f x f x ∴+=，

即函数()f x 是周期为3的周期函数，

()()()2016367203f f f =?==，