机械能部分典型例题

机械能部分典型例题

★如图所示，把A、B两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉直），则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是

A、绳子OA对A球做正功

B、绳子AB对B球不做功

C、绳子AB对A球做负功

D、绳子AB对B球做正功

解析：由于O点不动，A球绕O点做圆周运动，OA对球A不做功。对于AB段，我们可以想象，当摆角较小时．可以看成两个摆长不等的单摆，由单摆的周期公式就可以看出，A摆将先回到平衡位置．B摆将落后于A摆，AB绳对A球做负功，对B球做正功。答案：CD

★如图1所示，是健身用的“跑步机”示意图. 质量为m的运动员踩在与水平面成α角的皮带上，用力后蹬皮带，使皮带以速度v匀速运动，已知皮带在运动过程中受到的阻力大小恒定为f，则在皮带运动过程中

A. 人对皮带的摩擦力是皮带运动的动力

B. 人对皮带不做功

C. 人对皮带做功的功率为mgv

D. 人对皮带做功的功率为fv

★如图，一轻质弹簧固定于0点，另端系一重物，将重物从悬点0在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下（不计空气阻力），在重物由A点摆向最低点的过

程中

A.重物的重力势能减少

B.重物的重力势能增加

C.重物的机械能不变

D.重物的机械能减少

★在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，除了铁架台夹子，学生电源、纸带和重物外，还需要 A.秒表 B.天平 C.打点计时器 D.刻度尺

★一根内壁光滑的细金属管，形状如图所示，为四分之三圆弧，放置在竖直平面内，一小钢球自A 正上方，距A 高度不同处无初速释放，第一次小钢球落入A 后恰能抵达B ，第二次落入A 后，从B 射出后又恰能进入A ，

那么两次小钢球下落的高度（以A 为参考面） 之比h 1:h 2等于多少？

19、没弯管的半径为R

⑴当小球恰能到达B 点时 V B =0

据机械能守恒定律 mgh 1=mgR ∴h 1=R

⑵当小球恰能到达A 点时，设小球经过B 点的速度为V 0 则：V 0t=R ① 1/2gt 2=R ②

mgh 2=mgR+1/2mv 02 ③ 由①②③式得：h2=5/4R

★物体在离地面高h=0.45米的A 点沿光滑圆弧形槽自静止下滑，并进入水平轨道BC ，如图所示，BC 段的滑动摩擦系数 =0.2，求： （1）物体滑到B 点时速度大小；

（2）物体在水平轨道上滑行的加速度大小；

（3

★如图2—23所示，质量都为m 的两质点系于细线两端，细线跨过同一高度的两个光滑的钉子，两钉间距离为2a ．如果另用一个质量为m ’(m ’< 2m ) 的砝码悬于两钉间线段的中点，问m ’落到什么位置时系统能处于平衡状态?

15.d=2

'2

4m

m ám -

★如图所示，一条质量不计的细线一端拴一个质量为M 的砝码，另一端系一个质量为m 的

圆环，将圆环套在一根光滑的竖直杆上．滑轮与竖直杆相距0.3m ，环与滑轮在同一水平位置，由静止开始释放，环向下滑的最大距离是0.4m ，不计摩擦力．问(1)M ∶m=？(2)圆环下

滑0.3m 时速度多大？

16. M ：m=2：1 0.72m/s

★如图所示，AB 是一个半径为R 的

4

1

圆弧(B 点切线水平且距地面高也为R)，在AB 的圆

弧轨道。上放一个半径也为R 的带钩的 小圆弧片CD ，再在CD 的D 端放一个质量 为m 的小物块(可视为质点)，已知小物块与 CD 弧片间动摩擦因数为3=

μ。现沿圆弧

AB 缓缓向上拉动CD 弧片，直到小物块开始 滑离CD 弧片为止(计算时，可以认为最大静 摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)。则：

(1)此过程中，CD 弧片对小物块的静摩擦力对其所做的功为多少?

(2)若小物块滑离CD 厉沿AB 轨道下滑又从B 端滑出，并做平抛运动，而后落到离E 点水平距离也为R 的水平地面上，则AB 弧对小物块的滑动摩擦力对其所做的功为多少?

如图所示，一轻质杆上有两个质量均为m 的小球a 、b ，轻杆可绕O 点在竖直平面内自由转动，Oa=ab=L ，先将杆拉成水平，再静止释放，当杆转到竖直方向时，试问： ⑴．两小球各获得多少动能？ ⑵．杆对小球b 做了多少功？

⑶．假如轻杆换作轻绳，两个小球仍从水平位置释放，试问哪个小球先到竖直位置？

★如图所示，PQ 是固定在水平桌面上的固定挡板，质量为m 的小木块N 从靠近P 以一定的初速度向Q 运动，已知物块与桌面间的动摩擦因数为μ，P 与Q 相距为s ，物块与Q 板碰撞n 次后，最后静止于 PQ 的中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？（n 为自然数） 解析：物块与Q 板碰撞n 次后，最后停在PQ 中点，会有两种可能，一种可能是与Q 板碰后向P 板运动至中点而停止，设与Q 板碰撞n 次，则物体运动的路程为（2n 一2

1

）s ，摩擦力所做的功为W f1=μmg （2n 一

2

1

）s 第二种可能是物块与Q 板碰后再与P 板碰撞向Q 板运动至中点而停止，在这种情况下，物体运动的路程为（2n ＋2

1

）s ，摩擦力所做的功为 W f2= μmg （2n ＋

2

1

）s ，两种情况下，摩擦力对物体均做负功。

★面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a 。，密度为水密度的?，质量为m,开始时，木块静止，如图所示，现用力F 将木块缓慢

地压到水池底，不计摩擦，求：

(1）从木块刚好完全没人水中到停止在池底的过程中，池水势能的改

变量．

(2)从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F 所做的功． 解析:(1)木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池底到达水面,因木块的密度为水的冗长度的?,故相同体积的水

的质量为2m,,故池水势能的改变量为ΔE P =2mg(H －a );

(2)因水池面积很大,可忽略因木块压入而引起的水深的变化,木块刚好

完全没入水中时,图中原来划线区域的水被排开,相当于这部分水平铺于水面,这部分水的质量为m,其势能的改变量为:

解析：用力F 缓慢下压,据平衡方程2

(2)F mg ga a x ρ+=+水得

232F ga x g a mg ρρ=+-水水

整理得：2

3

2

3

2

22F ga x g a mg ga x ga mg ga x ρρρρρ=+-=+-=水木水木水

a b

即F是位移的线性函数。

___

12

2

F F

W F x x

+

=?=?则：当原来状态开始下压时0

x=所以

10

F=

功率

★随着生活水平的提高，伴随着心血管病也比以前增加了．为了提高生活质量，延长人的寿命，掌握心血管健康活动的常识就显得十分重要，心脏在人的一生之中之所以能够不停地跳动而不疲倦，其原因之一在于它的活动具有节律性，图中是心脏每跳动一次，心房和心室的舒张、收缩情况：

（1）从图分析，心脏在人的一生中不停地跳动，为什么不会疲倦？

（2）如果有人心率为75次／min，则每搏的输出量为70ml，每分钟输出量为，一般情况下，长跑运动员与正常人相比，心率较慢，但较多，所以能满足运动时的供血．

（3）如果有人的心率为 75次／min，则心脏每跳动一次所需的时间是，心房、心室共同处于期，所占的时间约为

（4）若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收

缩压为135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收缩一

次输出血量平均为70ml，那么心脏收缩时的平

均功率有多大？

解析：（1）从图中可以看出，如果心率是75

次／min，其中心房只工作（收缩）了0．1s，休息（舒张）了0．7s，心室工作了0．3s，休息了0．5s，可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长，心脏有充分休息的时间，因此人的一生，心脏不停地跳动而不知疲倦．

（2）5250ml（每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脉输出的血量，每收缩一次输出70ml，每分输出量为70×75=5250ml）

经常参加体育锻炼的人，心肌发达，搏动有力，每搏输出量比一般人要大．

（3）0．8s 舒张0．4s（心脏每分钟跳动的次数叫心率）

（4）心脏收缩一次做功：W=P·ΔV

∵P=135mmHg＝1．8×104Pa ΔV＝70ml＝7×10－5m3

∴W＝1．8×104Pa×7×10－5m3＝1．26J ∴每分钟，心脏做功W/=75×1．26=94．5J ∴心脏收缩时平均功率为P=94．5/60=1．6W

★一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投上后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）。己知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N ，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P 。

【解析】以地面为参考（下同），设传送带的运动速度为v 0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S ，所用时间为t ，加速度为a ，则对小箱有：S ＝?at 2……①

v 0＝at ………②。在这段时间内，传送带运动的路程为：S 0= v 0t ……③，由以上可得S 0＝2S ……④。用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：W 1=fS=?mv 02……⑤；传送带克服小箱对它的摩擦力做功：W 0=Fs 0=2·?mv 02……⑥ 两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：Q=?mv 02……⑦ 可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T 时间内，电动机输出的功为：W=PT ……⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=?Nmv 02十Nmgh ＋NQ ……⑨ 已知相邻两小箱的距离为L ，所以：v 0T ＝NL ……⑩

联立⑦⑧⑨⑩得222

Nm N L P gh T T ??

=+????

。

★质量为m 的飞机以水平v 0飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒

定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L 时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能?

解析(1)飞机水平速度不变,L= v 0t,竖直方向的加速度恒定,h=?at 2,消去t 即得2

02

2h a v l = 由牛顿第二定律得:F=mg ＋ma=20221h mg v gl ?

?+

???

(2)升力做功W=Fh=20221h mgh v gl ?

?+

??

?

在h 处,v t 0

2hv l =, ()222

2002114122k t h E m v v mv l ??

∴=+=+ ???

★质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

A.mgR/4

B. mgR/3

C. mgR/2

D.mgR

解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v 1,则7mg －mg=mv 12/R ……① 设小球恰能过最高点的速度为v 2,则mg=mv 22/R ……②

设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:－mg2R －W=?mv 22－?mv 12……③

由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C

★在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A 和B ，它们相距s ，在B 右侧距B2s 处有一深坑，如图所示，现对A 施以瞬间冲量，使物体A 沿A 、B 连线以速度v 0开始向B 运动．为使A 与B 能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A 、B 与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B 碰撞时间很短，A 、B 碰撞后不再分离．

解析:A 与B 相碰，则22

001,.22v mv mgs gs μμ??

A 和

B 碰前速度v 1，2210112

2

mv mv mgs μ-=-,1v =

A 与

B 碰后共同速度v 2.mv 1=2mv 2,211

2

v v ==

AB 不落入坑中,2

21222,2mv mg s μ?≤ 解得2014v gs μ≥

综上，μ应满足条件22

00142v v gs gs

μ≤≤

★如图所示，两个完全相同的质量为m 的木板A 、B 置于水平地面上它们的间距s =2.88m ．质

量为2m 、大小可忽略的物块C 置于A 板的左端． C 与A 之间的动摩擦因数为μ1=0.22， A 、B 与水平地面的动摩擦因数为μ2=0.10， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C 施加一个水平向右，大小为

mg 5

2

的恒力F ， 假定木板A 、B

碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使C 最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少? 【分析】：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A 、B 碰撞前A 、C 是相对静止的，A 、B 碰撞后A 、B 速度相同，

且作加速运动，而C 的速度比A 、B 大，作减速运动，最终A 、B 、C 达到相同的速度，此过程中当C 恰好从A 的左端运动到B 的右端的时候，两块木板的总长度最短。

【解答】：设l 为A 或B 板的长度，A 、C 之间的滑动摩擦力大小为f 1，A 与水平面的滑动摩擦力大小为f 2

∵μ1=0.22。 μ2=0.10 ∴mg f mg 252F 11μ=<=

……① 且()g m m f mg +=>=25

2

F 22μ…② 一开始A 和C 保持相对静止,在F 的作用下向右加速运动.有

()()21222

1v m m s f F +?=?- …③

A 、

B 两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得

mv 1=(m +m )v 2 …④

碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s 1. 选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则

()()32122v m m m v m m mv ++=++ …⑤

设A 、B 系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f 3。对A 、B 系统，由动能定理

2

2

23132122

1221mv mv s f s f -=

?-? … ⑥ ()g m m m f ++=23.μ…⑦ 对C 物体，由动能定理()()212

311122122122mv mv s l f s l F -=+?-+?……… ⑧

由以上各式，再代人数据可得l =0.3(m)

★如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A 和B ，其质量m A ＝6kg ，m B =3kg ，它们之间用一

根轻细绳相连．开始时绳子完全松弛，两滑块靠在一起，现用了3N 的水平恒力拉A ，使A 先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动B 一起运动，在A 块前进了0．75 m 时，两滑块共同前进的速度v=2/3m ／s ，求连接两滑块的绳长．

解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F ，所以可认为A 、B 组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．

根据题意，设绳长为L ，以绳子绷直前的滑块A 为对象，由动能定理得FL=?m A v 12① 绳绷直的瞬间，可以认为T ＞＞F ，因此系统的动量守恒，m A v 1＝（m A 十m B ）v 2② 对于绳绷直后，A 、B 组成的系统（看成一个整体）的共同运动过程，由动能定理 F （0．75－L ）＝?（m A 十m B ）v 12－?（m A 十m B ）v 22……③ 由式①一③解得L ＝0．25m 答案：0．25 m

★如图,斜面与半径R=2.5m 的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A 点斜向上抛,并在半圆最高点D 水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置. 解析:小球从A 到D 的逆运动为平抛运动,由机械能守恒,平抛初速度v D 为mgh —mg2R=?mv D 2

;

10/D v m s

所以A 到D 的水平距离为

10D s v t m = 由机械能守恒得A 点的速度

v 0为mgh=?

mv 02

;0/v s = 由于平抛运动的水平速度不变,则V D =V

0cos θ,所以,仰角为00arccos

45D v v θ===

★质量为m 的小球，由长为L 的细绳系住，细绳的另一端固定在A 点，AB 是过

A 的竖直

线，E 为AB 上的一点，且/2AE L =，过E 作水平线EF ，在EF 上钉一铁钉D ，如图所示，若细绳能承受的最大拉力为9mg ，现将小球拉至水平，然后由静止释放，若小 球能绕钉子在竖直面内完成圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围。不计细绳与钉子

碰撞时的能量损失。

★如图，长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，另一

端固定在O 点，在O 点的正下方某处P 点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P 点的位置

解析： 设绳碰到钉子后恰能绕P 点做圆周运动的半径为r ，运动到最高点的速率为V ，由机械能守恒定律得：

()2122

mg l r mv -=

在最高点，由向心力公式有：2v mg m r =,25r l =,3

5

OP l =

★如图5—69所示，长为l 不可伸长的细绳一端系于O 点，一端系一质量

为m 的物体，物体自与水平夹角300

（绳拉直）由静止释放，问物体到达O 点正下方处的动能是多少？

分析：小球运动过程是：先由A 点自由下落至B ．自B 点做圆周运动，就在B 处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题．

正确解法： v B =gl 2，其方向竖直向下，将该速度分解如图5一

70所示 v 2＝vcos300=gl 2cos300

由B 至C 的过程中机械能守恒 ?mv 22十mg0.5l=?mv 2

C

由此得?mv 2C =5mgl/4

答案：5mgl/4

★如图5 -4 -5所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A 处固定质量为2m 的小球，B 处固定质量为m 的小球．支架悬挂在0点，可绕过O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB 与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，

下列说法正确的是

A. A球到达最低点时速度为零

B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量

C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度

D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度

解析:因A处小球质量大，所处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，D 选项也正确.A球到达最低点时，若设支架边长是L. A球下落的高度便是L/2，有2mg·（L/2）的重力势能转化为支架的动能，因而此时A球速度不为零，选项A错．当A球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A 球的最高位置要高，C选项也正确．

★图中，容器A、B各有一个可自由移动的轻活塞，活塞下面是水，上面是大气．大气压恒定，A、B的底部由带有阀门K的管道相连，整个装置与外界绝热，原先，A中水面比B中高，打开阀门，使A中的水逐渐向B中流，最后达到平衡，在这个过程中．（）

A．大气压力对水做功，水的内能增加

B．水克服大气压力做功，水的内能减少

C．大气压力对水做功，水的内能不变

D．大气压力对水不做功，水的内能增加

【解析】由题设条件可知，打开阀门k，由于水的重力作用·水从A流向B中，由于水与器壁间的摩擦作用，振动一段时间最后达到平衡状态；A和B中水面静止在同一高度上，水受到重力、器壁压力和两水面上大气压力的作用，器壁压力与水流方向垂直，。不做功，最后A、B中水面等高。相当于A中部分水下移到B中，重力对水做功，设A、B的横截面积分别为S A、S B，两个活塞竖直位移分别为L A、L B，大气压力对容器A中的活塞做的功为W A=P0S A L A，容器B中的活塞克服大气压力做的功W B=P0S B L B，因此大气压力通过活塞对整个水做功为零，即大气压力对水不做功，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于水的内能的增加，所以选项D是正确答案．

★如图半径分别为R 和r 的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD 相连，现有一小球从斜面上高为3R 处的A 点由静止释放，要使小球能滑上乙轨道并避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD 段可取的长度。小球与CD 段间的动摩擦因数为μ，其作各段均光滑。

解析：有两种情况，一种是小球恰过乙轨道 最高点，在乙轨道最高点的mg=mv 2/r ，从开始运

动到乙轨道最高点，由动能定理得 mg （3R-2r ）-μmgCD=?mv 2

-0联立解得

CD=（6R-5r ）/2μ，故应用CD ＜（6R-5r ）/2μ。 另一种是小球在乙轨道上运动?圆周时，速度变为零，由mg （3R-r ）=μmgCD 解出CD=（3R-r ）/μ，故应有CD ＞（3R-r ）/μ

★如图所示，三个质量均为m 的弹性小球用两根长均为L 的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B 一个水平初速度v 0，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长．求：

(1)当小球A 、C 第一次相碰时，小球B 的速度．

(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B 的速度． (3)运动过程中小球A 的最大动能E KA 和此时两根绳的夹角θ.

(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F 的大小． 解析：（1）设小球A 、C 第一次相碰时，小球B 的速度为B v ，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A 、C 沿小球B 初速度方向的速度也为B v ，由动量守恒定律，得03B mv mv = 由此解得01

3

B v v =

（2）当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

02B A mv mv mv =+,222

01112222

B A

mv mv mv =+? 解得013B v v =- 02

3

A v v =（三球再次处于同一直线）0

B v v =，0A v =（初始状态，舍

去）

所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B 的速度为01

3

B v v =-（负号表明与初速度反向）

（3）当小球A 的动能最大时，小球B 的速度为零。设此时小球A 、C 的速度大小为u ，两根绳间的夹角为θ（如图），则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

02sin

2

mv mu θ

=

22011

222

mv mu =? 另外，2

12

KA E mu =

由此可解得，小球A 的最大动能为201

4

KA E mv =

，此时两根绳间夹角为90θ=?

（4）小球A 、C 均以半径L 绕小球B 做圆周运动，当三个小球处在同一直线上时，以小球B 为参考系（小球B 的加速度为0，为惯性参考系），小球A （C ）相对于小球B 的速度均

为0A B v v v v =-=所以，此时绳中拉力大小为22

0v v F m m L L

==