苏教版学高中数学必修五不等式一元二次不等式一元二次不等式的应用讲义

学

习目标

核心素养

１．掌握一元二次不等式的实际应用．（重点）２．理解三个“二次”之间的关系.

３．会解一元二次不等式中的恒成立问题．（难点）１．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.

２．借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.

１．分式不等式的解法

主导思想：化分式不等式为整式不等式

思考１：错误!>0与（x—３）（x＋２）>0等价吗？将错误!>0变形为（x—３）（x＋２）>0，有什么好处？

[提示] 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．

２．（１）不等式的解集为R（或恒成立）的条件

不等式ax２＋bx＋c>0ax２＋bx＋c<0

a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0

a≠0错误!错误!

f（x）≤a恒成立?f（x）max≤a

f（x）≥a恒成立?f（x）min≥a

有什么关系？

[提示] x—１>0在区间[２,３]上恒成立的几何意义是函数y＝x—１在区间[２,３]上的图象恒在x轴上方．区间[２,３]内的元素一定是不等式x—１>0的解，反之不一定成立，故区间[２,３]是不等式x—１>0的解集的子集．

３．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤

（１）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．

（２）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）．

（３）解不等式（或求函数最值）．

（４）回扣实际问题．

思考３：解一元二次不等式应用题的关键是什么？

[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．

１．若集合A＝{x|—１≤２x＋１≤３}，B＝错误!，则A∩B等于（）

Ａ．{x|—１≤x<0} Ｂ．{x|0

Ｃ．{x|0≤x<２} Ｄ．{x|0≤x≤１}

B[∵A＝{x|—１≤x≤１}，B＝{x|0

２．不等式错误!≥５的解集是________．

错误![原不等式?错误!≥错误!?错误!≤0?错误!解得0

３．已知关于x的不等式x２—ax＋２a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

（0,8）[因为x２—ax＋２a>0在R上恒成立，

所以Δ＝a２—４×２a<0，所以0

４．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于３00m２的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是________．

[１0,３0] [设矩形高为y，由三角形相似得：错误!＝错误!，且x>0，y>0，x<４0，y<４0，xy≥３00，整理得y＋x＝４0，将y＝４0—x代入xy≥３00，整理得x２—４0x＋３00≤0，解得１0≤x≤３0．]

分式不等式的解法

【例１】解下列不等式：

（１）错误!<0；

（２）错误!≤１．

[解] （１）错误!<0?（x—３）（x＋２）<0?—２

∴原不等式的解集为{x|—２

（２）∵错误!≤１，

∴错误!—１≤0，

∴错误!≤0，

即错误!≥0．

此不等式等价于（x—４）错误!≥0且x—错误!≠0，

解得x<错误!或x≥４，

∴原不等式的解集为错误!.

１．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

２．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

１．解下列不等式：（１）错误!≥0；（２）错误!<３．

[解] （１）根据商的符号法则，不等式错误!≥0可转化成不等式组错误!

解这个不等式组，可得x≤—１或x>３．

即知原不等式的解集为{x|x≤—１或x>３}．

（２）不等式错误!<３可改写为错误!—３<0，

即错误!<0．

可将这个不等式转化成２（x—１）（x＋１）<0，

解得—１

所以，原不等式的解集为{x|—１

一元二次不等式的应用

【例２】

每收入１00元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加２x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.

思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为（8—x）%；“收购量能增加２x个百分点”，此时总收购量为m（１＋２x%）吨，“原计划的78%”即为２４

00m×8%×78%.

[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．

y＝２４00m（１＋２x%）·（8—x）%

＝—错误!m（x２＋４２x—４00）（0

依题意，得y≥２４00m×8%×78%，

即—错误!m（x２＋４２x—４00）≥２４00m×8%×78%，

整理，得x２＋４２x—88≤0，解得—４４≤x≤２．

根据x的实际意义，知0

解不等式应用题的步骤

２．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m（0

不等式恒成立问题

[探究问题]

１．若函数f（x）＝ax２＋２x＋２对一切x∈R，f（x）>0恒成立，如何求实数a的取值范围？

[提示] 若a＝0，显然f（x）>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数f（x）＝

ax２＋２x＋２的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则错误!解得a>错误!.

２．若函数f（x）＝x２—ax—３对x∈[—３，—１]上恒有f（x）<0成立，如何求a的范围？

[提示] 要使f（x）<0在[—３，—１]上恒成立，则必使函数f（x）＝x２—ax—３在[—３，—１]上的图象在x轴的下方，由f（x）的图象可知，此时a应满足

错误!即错误!

解得a<—２．

故当a∈（—∞，—２）时，有f（x）<0在x∈[—３，—１]时恒成立．

３．若函数y＝x２＋２（a—２）x＋４对任意a∈[—３,１]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？

[提示] 由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f（x）转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令g（a）＝２x·a＋x２—４x＋４．

要使对任意a∈[—３,１]，y<0恒成立，只需满足错误!即错误!

因为x２—２x＋４<0的解集是空集，

所以不存在实数x，使函数y＝x２＋２（a—２）x＋４对任意a∈[—３,１]，y<0恒成立．

【例３】已知f（x）＝x２＋ax＋３—a，若x∈[—２,２]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．

[解] 设函数f（x）＝x２＋ax＋３—a在x∈[—２,２]时的最小值为g（a），则

（１）当对称轴x＝—错误!<—２，即a>４时，g（a）＝f（—２）＝7—３a≥0，解得a≤错误!，与a>４矛盾，不符合题意．

（２）当—错误!∈[—２,２]，即—４≤a≤４时，g（a）＝３—a—错误!≥0，解得—6≤a≤２，此时—４≤a≤２．

（３）当—错误!>２，即a<—４时，g（a）＝f（２）＝7＋a≥0，解得a≥—7，此时—7≤a<—４．综上，a的取值范围为—7≤a≤２．

１．（变结论）本例条件不变，若f（x）≥２恒成立，求a的取值范围．

[解] 若x∈[—２,２]，f（x）≥２恒成立可转化为：当x∈[—２,２]时，f（x）min≥２?错误!

或错误!

或错误!

解得a的取值范围为[—５，—２＋２错误!]．

２．（变条件）将例题中的条件“f（x）＝x２＋ax＋３—a，x∈[—２,２]，f（x）≥0恒成立”变为“不等式x２＋２x＋a２—３>0的解集为R”求a的取值范围．

[解] 法一：∵不等式x２＋２x＋a２—３>0的解集为R，

∴函数f（x）＝x２＋２x＋a２—３的图象应在x轴上方，

∴Δ＝４—４（a２—３）<0，

解得a>２或a<—２．

法二：令f（x）＝x２＋２x＋a２—３，要使x２＋２x＋a２—３>0的解集为R，则a满足f（x）min ＝a２—４>0，解得a>２或a<—２．

法三：由x２＋２x＋a２—３>0，得a２>—x２—２x＋３，

即a２>—（x＋１）２＋４，要使该不等式在R上恒成立，必须使a２大于—（x＋１）２＋４的最大值，即a２>４，故a>２或a<—２．

１．不等式ax２＋bx＋c>0的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；

当a≠0时，错误!

２．不等式ax２＋bx＋c<0的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；

当a≠0时，错误!

３．f（x）≤a恒成立?a≥[f（x）]max，

f（x）≥a恒成立?a≤[f（x）]min.

１．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式（组）求解．当不等式含有分母时，分母不为零．

２．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以

下简单结论

（１）若f（x）有最大值f（x）max，则a>f（x）恒成立?a>f（x）max；（２）若f（x）有最小值f （x）min，则a

１．判断正误

（１）不等式错误!>１的解集为x<１．（）

（２）求解m>f（x）恒成立时，可转化为求解f（x）的最小值，从而求出m的范围．（）[答案] （１）×（２）×

[提示] （１）错误!>１?错误!—１>0?错误!<0?{x|0

（２）m>f（x）恒成立转化为m>f（x）max，（２）错．

２．不等式错误!>0的解集为________．

{x|—４—１} [原式可转化为（x＋１）（x＋２）２（x＋３）（x＋４）>0，

根据数轴穿根法，解集为—４—１．]

３．设x２—２x＋a—8≤0对于任意x∈（１,３）恒成立，则a的取值范围是________．

（—∞，５] [原不等式x２—２x＋a—8≤0转化为a≤—x２＋２x＋8对任意x∈（１,３）恒成立，设f（x）＝—x２＋２x＋8，易知f（x）在[１,３]上的最小值为f（３）＝５．

∴a∈（—∞，５]．]

４．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯１５元的价格销售，每天能卖出３0盏；若售价每提高１元，日销售量将减少２盏．为了使这批台灯每天能获得４00元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？

[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥１５，并且日销售收入为x[３0—２（x—１５）]，由题意知，当x≥１５时，有x[３0—２（x—１５）]>４00，解得：１５≤x<２0．

所以为了使这批台灯每天获得４00元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[１５,２0）．