得sin 0x =或cos 1x =，
[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．
()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.
故选B ．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.
4．【2019年高考天津文数】已知0.2
23log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】A
【解析】∵0.200.30.31c =<=，
22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，
∴c b a <<. 故选A .
【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12
y x = B ．y =2x - C ．12
log y x =
D ．1y x
=
【答案】A
【解析】易知函数12
2,log x
y y x -==，1
y x
=
在区间(0,)+∞上单调递减， 函数12
y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.
【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=
在[,]-ππ的图像大致为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x -+----=
==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．
又22π
1π42π2()1,π2π()
2
f +
+==>2π(π)01πf =>-+， 可知应为D 选项中的图象． 故选D ．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．
7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212
152–lg E m m E =
，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1
B ．10.1
C ．lg10.1
D ．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足1212
5lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222
lg
( 1.4526.7)10.1,55
E m m E =-=⨯-+= 2
sin cos ++x x
x x
从而
10.11
2
10E E =. 故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =
，1(2
log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是
【答案】D
【解析】当01a <<时，函数x
y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭的图象过定点1
(,0)2
且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数x
y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1
x y a
=
的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象过定点1
(,02
）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
A ．f （log 314）＞f （3
2
2-）＞f （2
32-）
B ．f （log 31
4
）＞f （2
32-）＞f （3
22-）
C ．f （32
2
-
）＞f （23
2
-
）＞f （log 3
14） D ．f （23
2-
）＞f （32
2
-
）＞f （log 3
14
） 【答案】C 【解析】
()f x 是定义域为R 的偶函数，331
(log )(log 4)4
f f ∴=．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,1222,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>，
又()f x 在(0，+∞)上单调递减，
∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即2
3323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．
10．【2019年高考天津文数】
已知函数01,
()1,
1.x f x x x
⎧≤≤⎪
=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()
4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．59,44⎛⎤
⎥⎝⎦ C ．59,{1}44⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．59,{1}44
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【答案】D
【解析】作出函数01,()1,1x f x x x
⎧≤≤⎪
=⎨>⎪⎩的图象，
以及直线1
4
y x =-
，如图，
关于x 的方程1
()()4
f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1
()4
y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54
a =， 考虑直线1()4y x a a =-
+∈R 与1y x =在1x >时相切，21
14
ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.
故选D.
【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.
11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是
A ．()ln 1y x =-
B ．()ln 2y x =-
C ．()ln 1y x =+
D ．()ln 2y x =+
【答案】B
【解析】函数ln y x =过定点（1，0），（1，0）关于直线x =1对称的点还是（1，0），只有()ln 2y x =-的图象过此点. 故选项B 正确.
【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数ln y x =过定点（1，0）及其关于直线x =1对称的点，代入选项验证即可.
12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()20
10x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，
，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围
是
A ．(]1-∞-，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
【答案】D
【解析】将函数()f x 的图象画出来，
观察图象可知会有20
21x x x <⎧⎨
<+⎩
，解得0x <，
所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，. 故选D ．
【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.
13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为
【答案】B
【解析】()()()2
e e 0,,x x
x f x f x f x x
--≠-==-∴为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->，∴舍去D ；
()()()
()()24
3
e
e e e 22e 2e ,x
x x x x x x x
x x f x x
x
---+---++=
='2x ∴>时，
()0f x '>，()f x 单调
递增，舍去C.
因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数4
2
2y x x =-++的图像大致为
【答案】D
【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ； 令4
2
()2y f x x x ==-++，
则32
()422(21)f x x x x x '=-+=--，
由()0f x '>得2
2(21)0x x -<，得2x <-
或02
x <<，此时函数单调递增，
由()0f x '<得2
2(21)0x x ->，得2
x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
15．【2018年高考浙江】函数y =2x
sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】令()2sin2x
f x x =，
因为()()(),2
sin22sin2x
x
x f x x x f x -∈-=-=-=-R ，
所以()2sin2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π,π2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．
【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．
16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()
y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =
【答案】D
【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3
f x x x =+，()2
31f x x '=+，
所以()()01,00f f '==，
所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =， 故选D ．
【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()
00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若
()12f =，则()()()123f f f ++()50f +
+=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
【答案】C
【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+， 所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，, 因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤+++
+=+++++⎣⎦，
因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=， 因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==.
故选C ．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 18．【2018年高考天津文数】已知1
3
3
13
711log ,,log 245a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】D
【解析】由题意可知：33
37
log 3log log 92
<<，即12a <<， 1
1
3
1110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即01b <<，
1
333
17
log log 5log 52
=>，即c a >， 综上可得：c a b >>. 故本题选择D 选项.
【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是
A ．(,2)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则2280x x -->，解得：2x <-或4x >，
结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为
()4,+∞.
故选D.
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意知，函数sin 21cos x
y x
=
-为奇函数，故排除B ；
当πx =时，0y =，故排除D ； 当1x =时，sin 2
01cos 2
y =>-，故排除A ．
故选C ．
【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数2
sin 1x
y x x =++
的部分图像大致为
【答案】D
【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C ； 当x →+∞时，1y x →+，故排除B,满足条件的只有D. 故选D.
【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自
变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
22．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
【解析】因为最值在2
(0),(1)1,()24
a a f
b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.
故选B ．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
23．【2017年高考北京文数】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
A ．是偶函数，且在R 上是增函数
B ．是奇函数，且在R 上是增函数
C ．是偶函数，且在R 上是减函数
D ．是奇函数，且在R 上是减函数
【答案】B
【解析】()()113333x
x
x x f x f x --⎛⎫⎛⎫
-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以该函数是奇函数， 并且3x
y =是增函数，13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数. 故选B.
【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.
24．【2017年高考天津文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),
5
a f
b f =-=0.8(2)
c f =，则，，的大小关系为
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C
【解析】由题意可得221(log )(log 5)5
a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，
a b c
所以0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性可得0.8
22(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，
即a b c >>，即c b a <<． 故选C ．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则
A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．()y f x =的图像关于直线x =1对称
D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；
又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误. 故选C ．
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像
有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图像有对称中心(
,0)2
a b
+．
26．【2017年高考山东文数】设()(
)1
21,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,
若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<, 由()(+1)f a f a =
2(11)a =+-,解得14
a =, 则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫
==⨯-=
⎪⎝⎭
. 故选C.
【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
27．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普
通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A ．1033
B ．1053
C ．1073
D ．1093
【答案】D
【解析】设36180310
M x N ==，两边取对数，
361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810
x ==-=⨯-=，
所以93.2810x =，即M
N
最接近9310. 故选D ．
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，
以及指数与对数运算的关系，难点是令361
80310
x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包
含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a
M M N N
-=，log log n
a a M n M =. 28．【2017年高考天津文数】已知函数||2,1,
()2
, 1.x x f x x x x +<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩
设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+
在R 上恒成立，则a 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[2]-
C ．[2,-
D ．[-
【答案】A
【解析】当a =±0x =时，()||2
x
f x a ≥+即2|≥±，即2≥， 显然上式不成立， 由此可排除选项B 、C 、D. 故选A ．
【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．
29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =
A ．12
- B ．
13
C ．
12
D ．1
【答案】C
【解析】由2
1
1()2(e
e )x x
f x x x a --+=-++，得
()221(2)1211
(2)(2)2(2)e e 4442e e x x x x f x x x a x x x a ----+--⎡⎤-=---++=-+-+++=⎣⎦
()2112e e x x x x a --+-++，
所以(2)()f x f x -=， 即1x =为()f x 图象的对称轴.
由题意，()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()
21111(1)121e e 0f a --+=-⨯++=， 解得1
2
a =. 故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点，意在考查考生的运算求解能
力与数形结合能力.
30．【2017年高考山东文数】若函数e ()x
f x （e 2.71828
=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单
调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2x
f x -= B ．2
()f x x = C ．()3x f x -=
D ．()cos f x x =
【答案】A
【解析】对于A ，e e ()e 2()2
x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x
f x -=具有性质； 对于B ，2
e ()e x
x
f x x =⋅，令2
()e x
g x x =⋅，则2
()e 2e e (2)x
x
x
g x x x x x '=⋅+⋅=+， ∴当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，
∴2
e ()e x
x
f x x =⋅在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减， 故2
()f x x =不具有性质；
对于C ，e e ()e 3()3
x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3x
f x -=不具有性质； 对于D ，易知()cos f x x =在定义域内有增有减，故()cos f x x =不具有性质． 故选A.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
31．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32
,0()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0
【答案】C
【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b
1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；
M M M M
当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−1
2（a +1）x 2﹣b ，
2(1)y x a x =+-'，
当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，
y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，
令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：
∴b
1−a ＜0且()32
11(1)1(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−1
6（a +1）3，
则a >–1，b <0. 故选C ．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =1
3x 3−1
2（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .
【答案】[1,7]-
【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()
22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．
【答案】7-
【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=， 所以7a =-. 故答案是7-.
【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
34．【2018年高考江苏】函数()f x =________．
【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥， 解得2x ≥，
即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.
【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数())
ln
1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．
【答案】2-
【解析】由题意得()()))
()
22ln
1ln
1ln 122f x f x x x x x +-=+++=+-+=，
()()2f a f a ∴+-=,
第二章 函数概念与基本初等函数(题)1-3
第二章函数概念与基本初等函数 第一节函数及其表示 最新考纲：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用． 知识梳理 1．函数与映射的概念 提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集． 2．函数的相关概念 (1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系． (2)相等函数 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？ 提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 基础自测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝x 2－2x 与函数f (t )＝t 2 －2t 是同一个函数．( ) (2)函数y ＝1与函数y ＝x 0是相同函数．( ) (3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．( ) (4)函数是特殊的映射．( ) (5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．( ) 2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1 ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 2 3．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3x x －2＋lg(3－x )的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．[2,3) D ．(2，＋∞) 4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2 －x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 5．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式 为 ． 考点一 函数的表示方法 1．表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 2．解析法就是把变量x ，y 之间的关系，用一个关系式y ＝f (x )来表示，通过关系式可以由x 的值求出y 的值．列表法是将变量x ，y 的取值列成表格，由表格直接反映出二者的关系；图象法就是把x ，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x ，y 的值． 提醒:用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系；用图象表示函数的优点是形象直观，能清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质．
高考数学(理)真题专题汇编：函数的概念与基本初等函数
高考数学（理）真题专题汇编：函数的概念与基本初等函数 一、选择题 1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷） 设,a b R ∈，数列{a n }中，2 1,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ） A. 当101 ,102 b a = > B. 当101 ,104 b a = > C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =-> 2.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷） 已知,a b R ∈，函数32 ,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-< 3.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷） 在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??= =+> ??? 且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷） 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 212 1 52–lg E m m E = ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1 5.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷） 已知a R ∈，设函数 222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ?-+≤=? ->?若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e ] D.[1, e ] 6.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷） 已知 5log 2 a =， 0.5og 2 .l 0b =，0.2 0.5 c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 7.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 设函数f (x )的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4 ??-∞ ??? B ．7,3 ??-∞ ?? ? C ．5,2 ?? -∞ ?? ? D ．8,3 ??-∞ ?? ? 8.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3 ?b 3 >0 D ．│a │>│b │ 9.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
专题二 函数概念与基本初等函数 第三讲函数的概念和性质
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第三讲 函数的概念和性质 2019 年 1.（2019 江苏 4）函数 y = 的定义域是 . 2.（2019 全国Ⅱ理 14）已知 f (x ) 是奇函数，且当 x < 0 时， f (x ) = -e ax .若 f (ln 2) = 8 ， 则a = . 3.（2019 全国Ⅲ理 11）设 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，且在 (0, +∞)单调递减，则 A ． f （log 1 ）＞ f （ - 3 ）＞ f （ - 2 ） B ． f （log 3 4 1 ）＞ f （ 2 2 - 2 ）＞ f （ 2 3 - 3 ） 3 4 2 3 2 2 C ． f （ - 3 ）＞ f （ - 2 ）＞ f （log 1 ） 2 2 2 3 3 4 D ． f （ - 2 ）＞ f （ - 3 ）＞ f （log 1 ） 2 3 2 2 3 4 4.（2019 北京理 13）设函数 f (x ) = e x + a e - x (a 为常数)，若 f (x ) 为奇函数,则 a = ； 若 f (x ) 是R 上的增函数，则 a 的取值范围是 . 5.（2019 全国Ⅰ理 11）关于函数 f (x ) = sin | x | + | sin x | 有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ π 2 , π ）单调递增 ③f (x )在[-π, π] 有 4 个零点 ④f (x )的最大值为 2 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 6.（2019 全国Ⅰ理 5）函数 f (x )= sin x + x cos x + x 2 在[-π, π] 的图像大致为 A ． B ． 7 + 6x - x 2
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质 一、函数的概念 （1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． （2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则． 注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑪3 ) 5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑫111-+= x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑬x x f =)(，2)(x x g =； ⑭()f x = ()F x = ⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()6 35 -= x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ， 13 1 >=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大 于零且不等于1。如：() 212 ()log 25f x x x =-+ ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f
专题02 函数的概念与基本初等函数I-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)
专题02 函数的概念与基本初等函数I 1．【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间[−π 2,π 2 ]的图象大致为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 令f(x)=(3x−3−x)cosx,x∈[−π 2,π 2 ]， 则f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除BD； 又当x∈(0,π 2 )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C. 故选：A. 2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（）A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a 【答案】A 【解析】 【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】 由9m =10可得m =log 910= lg10lg9 >1，而lg9lg11<(lg9+lg112 )2=(lg992 )2 <1=(lg10)2，所 以lg10 lg9>lg11 lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0． 又lg8lg10<( lg8+lg102 )2 =( lg802 )2<(lg9)2，所以lg9lg8> lg10lg9 ，即log 89>m ， 所以b =8m −9<8log 89−9=0．综上，a >0>b ． 故选：A. 3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（ ） A ．y = −x 3+3x x 2+1 B ．y = x 3−x x 2+1 C ．y = 2xcosx x 2+1 D ．y = 2sinx x 2+1 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 设f(x)=x 3−x x 2+1 ，则f(1)=0，故排除B; 设ℎ(x)= 2xcosx x 2+1 ，当x ∈(0,π 2)时，00，故排除D. 故选：A. 4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R ，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结 函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。 一、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 20XX 年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 二、知识点总结 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（χχχ cos sin 、、a 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题及答案
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题及答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”； 若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由 跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.
课标版(文理)数学 第一轮专题练习--第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习 第二章函数概念与基本初等函数I 第一讲函数及其表示 夯基础考点练透 1.醐/WV5FT +土，义勸（A.[i l）U（l,+«>） B. [|, 2） C. [j l）U（l,2） D. （0, 2） 2.[2022内蒙古赤峰二中模拟]若函数AAl）的定义域为[-1，1],则Alg W的定义域为（ A.[-1,1] B. [1,2] C. [10, 100] D. [0, lg 2] 3.[2022武汉市第-中学模拟]己知函数Ax）=Vax24-bx + c的定义域与值域均为[0, 4],则（ A.-4 B. -2 C.-l D. 1 4.[2021 南昌市三模]若函数/-a）4^g2X,x^ 则AA-^））= （ （4smx, x < 0, 4 A.-| B. I C. 1 D.| 5.[2021合肥市三检]若函数0 2’满足/•U）=/X2'1），则/（2a）的值等于（ k • X，X 2 Z A. 2 B.O C. -2 D. -4 lnx, x > 1, 6.[2021武汉市5月模拟]己知函数Ax）= 0, 0 < x < 1,若/彡0,则实数a的取值范围是（X, x < 0, A.[宁，+~） B.（-~，-j] U [0,甲] C.[0,宁] 1.若函数: 2(a>0, a^l)的最人值是4,则a的取值范围是 A.(0, 1)U(1，2] B.(0, 1)U(1,V2] C.(0, 1)
D.(0, 1) U (1, V2] 8.[开放题]当2^0吋，函数/满足K/aXe'-l,写出-个满足条件的函数M的解析 式. 1提能力考法实战 9.[2022青岛市质检]将函数厂VU^-2(xe[-3,3])的图象绕点(-3, 0)逆时针旋转a (0彡a彡0)，得到曲 线C,对于每一个旋转角a，曲线(7都是一个函数的图象，则6最大吋的正切值为() A.| B. | C. 1 D. V3 10.[2021洛阳市第三次统考]高斯是徳国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名了“尚斯函数”.设A-eR,用Ld表示不超过A•的最大整数，则尸[x]称为“高斯函数”，例 如：[-2. 1]=-3, [3.1]=3.已知函数则函数尸[/W]的值域为() A.(0, -3( B. (0,-1) C. (0,-1,-2} D. {1,0,-1,-2) 第二讲函数的基本性质 夯基础考点练透 1.[2022青岛市质检]己知双曲正弦函数则() A.f(x)为偶函数 B./*(X)在区间(-OO, +OO)上单凋递减 C./U)没有零点 D./C Y)在区间(-~，+-)上单调递增 2.[2022湖北部分重点中学联考]己知函数f(x)=\x2~(^ + l)x + 2,x 1, 实数a的取值范围为() A.[丢，1) B. [|, |] C. (0，!] D. [i 1) 3.[2022西安复习检测]若定义域为R的奇函数Ax)满足All) =/(1+尤)，且A3) =2,则f(4)+f(2 021) = () A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 4.定义在R上的偶函数/U)在［0, +°°)上单调递减，且/(-2)=0,若彡0的解集为［1，5］,则6F ()
函数概念与基本初等函数
函数概念与基本初等函数 函数是数学名词，代数式中，凡相关的两数X与Y，对于每个X值，都只有一个Y的对应值。这种对应关系就表示Y是X的函数。 函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。 函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量。 基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基 本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。如f ( x )=x6, f ( x )= sinx 都是基本初等函数,而f ( x )=x6-sin(x+1)就是一般初等函数。 不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。 目前有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函。
高中数学专题讲解之函数与基本初等函数
函数概念与基本初等函数 （一）函数 1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。 3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。 4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质. （二）指数函数 1．了解指数函数模型的实际背景。 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。 4．知道指数函数是一类重要的函数模型。 （三）对数函数 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题. 3．知道对数函数是一类重要的函数模型. 4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。 （四）幂函数 1．了解幂函数的概念。 2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。 （五）函数与方程 1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. （六）函数模型及其应用 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案
数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛ ⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】 根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-； 当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 依次类推，作出函数() f x的图像：
对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(] 0,1x ∈时， ()(2)f x x x =--，则（ ） A ．()f x 是周期为2的函数 B ．()()201920201f f +=- C ．()f x 的值域为[]1,1- D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点 【答案】BCD 【分析】 对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是 周期为4的周期函数，可判断A. 对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ． 对于C ，当(] 01 x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[ )10 x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】
专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)
专题02函数的概念与基本初等函数
1．【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【解答】解：由题意，可知： a＝log52＜1， b＝log0.50.2log25＞log24＝2． c＝0.50.2＜1， ∴b最大，a、c都小于1． ∵a＝log52，c＝0.50.2． 而log25＞log24＝2， ∴． ∴a＜c， ∴a＜c＜b． 故选：A． 2．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e] 【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立； 当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立， 令g（x）（1﹣x2） ≤﹣（22）＝0， ∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．
当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立， 令h（x），则h′（x）， 当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增， 当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减， ∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e， ∴a≤h（x）e， 综上a的取值范围是[0，e]． 故选：C． 3．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2） B．f（log3）＞f（2）＞f（2） C．f（2）＞f（2）＞f（log3） D．f（2）＞f（2）＞f（log3） 【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数 ∴， ∵log34＞log33＝1，， ∴0 f（x）在（0，+∞）上单调递减，
【高考】2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)：专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ数学
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（文）：专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ数学 （文）（解析版） 专题02 函数的概念与基本初等函数I 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】B 【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.2 02 21,b =>= 0.3000.20.21,c <=<=即01,c << 则a c b <<． 故选B ． 【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 【答案】D 【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()x f x f x --=-=-， 得()e 1x f x -=-+． 故选D ． 【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =， []0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π． ()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3. 故选B ．
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结函数是数学中一种重要的概念，它描述了一种特定的关系，将一个集 合的元素映射到另一个集合的元素。函数在高中数学中占据了重要的地位，是数学学习的基础。在这篇文章中，我们将总结函数的概念以及一些基本 的初等函数的知识点。 一、函数的概念 函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。通常用字母f表示函数，例如f(x)。其中x是函数的自变量，f(x) 是函数的值或因变量。函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函 数可能取值的集合。函数可以用图像、表格或公式来表示。 函数有一些重要的特点： 1.单值性：对于定义域中的每个自变量值，函数只能有一个对应的值。 2.定义域：函数的自变量可能取值的集合。 3.值域：函数的值可能取值的集合。 4.对称性：函数可能具有一些对称性质，例如奇函数和偶函数。 5.增减性：函数可能随着自变量的增大或减小而增加或减少。 初等函数是一类经过常见运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开 方等）和函数复合（如求和、求积、复合函数等）得到的函数。下面是一 些常见的初等函数及其特点和知识点： 1.幂函数：
幂函数的表达式是y=x^m，其中m是实数。幂函数的图像可能是一条直线、二次曲线、指数曲线等。幂函数的正负性、单调性和奇偶性与指数m的关系密切。 2.指数函数： 指数函数的表达式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的实数。指数函数的图像是一个递增的曲线。指数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。 3.对数函数： 对数函数的表达式是 y = log_a(x)，其中 a 是大于 0 且不等于 1 的实数。对数函数是指数函数的反函数，其图像是对数曲线。对数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。 4.三角函数： 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的图像是周期性的波浪曲线。三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性和求导等。 5.反三角函数： 反三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数的反函数，用 sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x) 表示。反三角函数的性质包括定义域、值域、奇偶性和反函数的关系等。 6.无理函数： 无理函数是指带有根号的函数，例如平方根函数和立方根函数。无理函数的性质包括定义域、值域、单调性和连续性等。
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有 1212()() ( ),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21 ()1 x f x x += - 【答案】ACD 【分析】 根据函数的解析式，求得1212()() ( )22 x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】 对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则12 12( )()12 x x f x x +=-++， 121212()()1 (2121)()122 f x f x x x x x +=-+-+=-++， 可得1212()()( )22x x f x f x f ++=，满足1212()() ()22 ++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235 ,22x x = =，则1222 x x +=， 可得3 51()()22 2f f ==-，所以 12()()1 22f x f x +=-，12()(2)02 x x f f +==， 此时1212()() ( )22 x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3 ()5f x x =+， 由幂函数3 y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3 ()5f x x =+的图象， 如图所示， 取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()() 2 D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()() ( )22 ++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100附解析
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100附解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解 123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ） A ．1230x x x ++> B ．6425s t ⋅= C ． 45 t s = D ．144 25 s t += 【答案】CD 【分析】 设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程 ()=f x s 必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】 设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=， 所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=， ①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号； ②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， () f x s ==， 5 4454 x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒= ， 又 ()f x 在(),t +∞上递增，35 4 x t ∴=，即3564516=,4 2545 x s t t s t === ==， 6454144 , 2516525 t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】 本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题. 2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数 ()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化， 从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案
函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001 12 f x f x =+=- ，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ） A ．0112f x ⎛⎫ + =- ⎪⎝ ⎭ B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ C ．()f x 的最小正周期为3 D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为 1346个 【答案】AC 【分析】 根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得 052,6 x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6 x k k Z π ωϕπ++=- ∈，两式相减可求出ω，进而求得 周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】 解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫ + =- ⎪⎝⎭ ，所以A 正确； 因为()()001 12 f x f x =+=- ， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05 2,6 k k Z ωϕππ+=- ∈， ()012,6 x k k Z π ωϕπ++=-∈， 两式相减得，23 πω=， 所以23T π ω = =，即B 错误，C 正确； 因为3T =， 所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时， ()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误. 故选:AC . 【点睛】
2022高考理数学函数概念与基本初等函数专题精练100题(含答案解
2022高考理数学函数概念与基本初等函数专题精练100 题（含答案解 案解析） 1. 等差数列{an}中，a3，a7是函数f（某）=某﹣4某+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣182. 2某2某a,某0,已知函数f某某恰有两个零点，则实数a的取值范围是2ea某e,某0,2 B．9C．18D．36 （A）0,13. （B）e,（C）0,1e,2（D）0,1e,已知a0.51.5，blog615，clog516，则 （A）bca（B）cba（C）abc（D）acb4. 下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A）f某in某某（B）f某ln某1ln某1 e某e某（C）f某 25. e某1（D）f某某 e1已知正方形ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，
设BM某，平行四边形EMFN的面积为S，设yS2，则y关于某的函数 yf(某)的解析式为（）． 3A．f(某)2某22某,某[0,1]23122某,某0,22C．f(某)2(某1)23,某1,122 31某,某20,2B．f(某) 某1,某1,1223D．f(某)2某22某,某[0,1] 2 6. 已知函数f(某)的零点为某1，g(某)4某2某2的零点为某2，|某1某2|≤0.25，f(某)可以是（）．A．f(某)某217. 已知f(某)是定义在(a2,a)上的奇函数，则f(0)a的值为（）．A．08. 已知f(某)是定义在R上的奇函数，当某0时，f(某)某24某，则不等式某f(某)0的解集为（）． A．(,4)(4,)B．(4,0)(4,)9. 为了得到函数ylgC．(,4)(0,4) D．(4,4) D．2 B．1 C．1 B．f(某)2某4
