矩阵的概念及其线性运算知识讲解
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念及其线性运算
学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念
矩阵是一张简化了的表格,一般地
??????
? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素
用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或()
i j
m n
a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行
列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即
??????
?
?
?=10
0010001Λ
ΛΛΛΛΛΛE n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列
向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算
如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
???? ??--=230321A ， ????
??-=035234B
???? ??-=???? ??+--+++++-=+20555302)3(35023324
1B A
???
? ??----=???? ??---------=-26511502)3(35023324
1B A
三．矩阵的数乘
矩阵A 与数k 相乘记为A k 或A k 。A k 表示将k 乘A 中的所有元素得到的矩阵。例如
????? ??=150342A ，????
? ??=????? ????????=315091261353033343233A
当1-=k 时，我们简记(1)A A -=-，称为A 的负矩阵。
矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。
例 2.1 设????? ??-=864297510213A ，???
?
? ??--=612379154257B ，已知
B X A =+2，求X 。
解 在等式中移项得 A B X -=2，再除以2得 )(2
1
A B X -=。通过心算立得
????
? ??------=12712111222232
X
例2.2 设A 为三阶矩阵。已知2-=A ，求行列式A 3的值。
解 设?????
??=32
1
321
321
c c c b b b a a a A ，则????
?
??=32
1
321
321
3333333333c c c b b b a a a A 。 显然行列式A 3中每行都有公因子3，因此
542733321
3
21
3-===A A c c c b b b a a a 。
§2.2 矩阵的乘法与转置
一．矩阵的乘法
如果矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相同，即A 是s m ?矩阵，B 是n s ?矩阵，那么A 、B 可以相乘，记为AB 或B A ?，称为矩阵A 、B 的乘积。C AB =表示一个n m ?矩阵，矩阵C 的构成规则如下：
B 的第1列元素依次与A 的各行元素相组合，形成
C 的第1列元素；B 的第2列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第2列元素；……以此类推，最后B 的第n 列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第n 列元素。这里
的“组合”表示两两相乘再相加。
若记()
s
m j
i a ?=A ，()
n
s j
i b ?=B ，()
n
m j
i c ?=C ，且AB C =，则乘积矩阵C
的元素可用公式表示为
∑==s
k j k k i j i b a c 1
（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ） （2.1）
例如 ???
?
??-??????
?
??-01232112413013 ??????? ???+??+-??+??+??+-??+??+??+-??+??-+??-+-??-+?=013211)2(22112043114)2(12411033013)2(023100)1(331)1()2(32)1(13??????
?
??--=
63
4329036971 利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设
??????
?=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
22221211
1212111 （2.2） 是含有m 个方程、n 个变量的线性方程组，若记
???
???? ??=mn m m n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ21
22221
11211A ，????
?
?
?
??=n x x x M 21x ，??????? ??=m b b b M 21b 则方程组可表示为矩阵方程
b Ax = （2.3）
这个矩阵方程两端都是1?m 矩阵，因此相当于m 个等式，恰好是（2.2）
式的m 个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A 称为线性方程组的系数矩阵，x 称为变量列，b 称为常数列。
二．矩阵乘法的性质
两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积AB 中，矩阵A 的列数必须等于矩阵B 的行数，因此当AB 有意义时，BA 未必有意义。即使AB 和BA 都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。比如A 是n ?1矩阵（行向量），B 是1?n 矩阵（列向量）时，AB 是11?矩阵而BA 为n n ?矩阵。当A 、B 都是n 阶方阵时，情况又怎样呢？
例2.3 设????
??--=2142A ，???? ??--=6342B ，?
??
?
??-=4088C ，求AB 、BA 、AC 。
解 利用乘积的构成规则容易得到
???? ??--=???? ??--???? ??--=16832166342
2142AB ???? ??=???? ??--???? ??--=000021426342
BA
????
?
?--=???? ??-???? ??--=168321640882142AC 从例2.3可以看到矩阵乘法的两个重要特点：
（1）矩阵乘法不满足交换律。即一般情况下BA AB ≠。
（2）矩阵乘法不满足消去律。即从O A ≠和AC AB =不能推得C B =。特别地，当O BA =时，不能断定O A =或者O B =。
这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幂的记号，比如
3A A A A =??
这里A 是n 阶方阵。方阵的乘幂显然有下列性质
l
k l
k
+=?A A A ， l
k l
k A A =)(
其中k 、l 是自然数。但是因为A 、B 的乘积不能交换顺序，所以
222))(())(()(B A BB AA AB AB AB =≠=
一般情况下，当2≥k 时，k
k k B A AB ≠)(。这与数量的乘幂运算规则大不相同。
例2.4 设?????
??---=241030123A ，求E A A A 432)(2
+-=P 。
解 E A A 432410301232410301232)(+-???
?
? ??---????? ??---=P
???? ?+???? ?----???? ?--=100010001424103012333650905482???? ?--=160130130131429
本例中，)(A P 与多项式432)(2
+-=x x x P 有类似的形式，因此称它为矩阵多项式。一般地，如果一个矩阵式的每一项都是带系数的同一方阵A 的非负整数幂，“常数项”（零次幂项）是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于A 的矩阵多项式。
如果矩阵A 、B 满足BA AB =，那么称A 、B 是可交换的。可交换是个很强的条件，下面介绍两种特殊情况。
一种是对角矩阵。容易验证
1122000000000000n n a b a b a b ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????L L L L L L L L L L L L L L 11
2200000
0n n a b a b a b ?? ?
?= ? ?
??L L L L L L L （2.4） 交换乘积的顺序，结果显然相同。由此可知：两个同阶对角矩阵是可交换的，它们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。
另一种是单位矩阵。设()
n
m j i a ?=A ,m E 、n E 分别为m 阶、n 阶单位矩阵，不难验证A A E m =，A AE n =。特别地，当n m =时
A AE EA == （2.5）
可见单位矩阵E 在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。单位矩阵与任
何同阶矩阵可交换。
矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律（假设运算都是可行
的）：
（1）乘法结合律：)()(BC A C AB =
（2）左、右分配律：BC AC C B A +=+)(，CB CA B A C +=+)( （3）数乘结合律：)()()(B A B A AB k k k == 这些运算律的证明，都可以利用乘法公式（2.1）以及通过和式的乘积展开与
重组来完成，此处从略。这些运算律与数量的运算规律相同，所以在数量运算中
形成的诸如多项乘积展开、系数归并化简、因式分解、连乘重组等运算习惯，在
矩阵的运算中，仍可保留沿用，当然应该特别注意不可随意交换乘法顺序，不可
随意约简非零因子。
三．矩阵的转置
把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记为T
A ，即 ??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211A ，???
??
?
? ??=mn n n m m T
a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111A 矩阵的转置方法与行列式相类似，但是矩阵转置后，行、列数都变了，各元素的位置也变了，所以通常T
A A ≠。 转置矩阵有如下性质（其中A 、
B 是矩阵，k 是数）： （1）A A T T =)( （2）T
T T B A B A +=+)( （3）T T k k A A =)( （4）T
T T A B AB =)( 这里性质（1）~（3）是显然的，性质（4）可利用乘法公式（2.1）证明。
例2.5 设?
??
? ??-=231102A ，计算T AA 和A A T
。 解 ???
? ??=????
?
??-???? ??-=14005213012231102T
AA
????
?
??=???? ?
?-????? ??-=560693035231102213012A A T
若方阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵。比如例2.5所求的两个矩阵都是对称矩阵。
四．方阵行列式的乘积定理
设A 、B 都是n 阶方阵。一般地BA AB ≠，但它们的行列式相等，并且
B A BA AB ?== （2.6）
定理2.1 方阵乘积的行列式等于各因子行列式的乘积。
这个定理的结论简明、自然，但它的证明很复杂，并且需要用到特殊的构造性技巧，此处从略。
§2.3 逆矩阵
一．逆矩阵的概念
设A 是n 阶矩阵（方阵），如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并称B 是A 的逆矩阵。
矩阵A 可逆时，逆矩阵B 必唯一。事实上，若另有一逆矩阵1B ，则由E AB =和E A B =1得到111()==B B E B AB 1()=B A B =
EB =B 。这样，逆矩阵可以有唯一的记号。记A 的逆矩阵为1-A ，即
E A A AA ==--11 （2.7）
比如不难验证
???????
??=1331012100110001A ， ??????
?
??----=-1331012100110001
1
A 逆矩阵相当于矩阵的“倒数”，但是因为矩阵的乘法有左乘、右乘之分，所以
不允许以分数线表示逆矩阵。
如果三个矩阵A 、B 、C 满足AC AB =，且A 可逆，那么在等式两边左
乘逆矩阵1
-A ，可得AC A AB A 1
1
--=，即EC EB =，从而C B =。这说明利用逆矩阵可以实现“约简”，换言之，矩阵的乘法并非没有消去规则，但消去规则
必须通过逆矩阵的乘法来实现，可逆才有消去律。当然，在等式两边乘逆矩阵时应当注意分清左乘还是右乘。
逆矩阵为求解矩阵方程带来了方便。比如线性方程组b Ax =中，若A 可逆，
则b A x 1
-=，事先求出逆矩阵1-A ，只要做一次乘法，即可求得所有变量的值。又如矩阵方程C AXB =中，若A 、B 均可逆，则未知矩阵直接可求：11--=CB A X 。
二．矩阵可逆的条件
设有n 阶方阵
????
??
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
21
22221
112
11A 它的行列式A 有2
n 个代数余子式j i A （j i ,=1，2，…，n ），将它们按转置排列，
得到矩阵
1121112
222*12n n n
n nn A A A A A A A A A ?? ? ?
= ? ???
L L L L L L L
A 称*
A 为矩阵A 的伴随矩阵。利用第一章的定理1.2（代数余子式组合定理）容易验证
E A A A A A A AA =????
??
? ??==ΛΛΛΛΛΛΛ000000**
如果0≠A ，则上式两端除以非零数A ，可得
E A A A A A A =???
?
??=???? ??**11
这说明矩阵A 可逆，并且
*
11A A
A =
- （2.8） 定理2.2 方阵A 可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零：0≠A 。 证 （2.8）式已给出充分性证明，现证必要性。如果矩阵A 可逆，则由
E AA =-1取行列式，根据定理2.1的（2.6）式得111===--E AA A A ，因而必有0≠A 。
行列式非零的方阵又叫做非奇异矩阵。显然，非奇异矩阵和可逆矩阵是等价的概念。行列式等于零的矩阵自然叫做奇异矩阵。奇异矩阵即不可逆矩阵有无数多个，这与数量中唯有数0没有倒数大不相同。
例2.6 设???
? ??=4321A ，求1
-A 。
解 显然
02≠-=A ，A
的代数余子式都是一阶行列式，不需要计算，只
要附上适当的符号，并注意转置排列即可：
??-
-=
=
*-4
2111A A A
公式（2.8）给出了求逆矩阵的方法，但是求伴随矩阵*A 要计算2
n 个
)1(-n 阶行列式，
当n 较大时，计算
量非常大。我们将在下一节介绍更好的方法。
定理 2.3 设
A 、
B 都是n 阶矩
阵，则1
-=A B 的
充分必要条件是
E AB =或者E BA =。
证 必要性显然，只证充分性。若E AB =，取行列式得1=B A ，故0≠A ，则根据定理 2.2，1
-A 存在。等式两端左乘
1-A ，立得
111---===A E A AB A B 。E BA =的情况
相同，证毕。
定理2.3表明，检验或者证明B 是否A 的逆矩阵，只要做一个乘法即可。比如从公式（2.4）很容易求得对角矩阵的逆矩阵。
????
??
?
?
?=??????
?
?
?-n n a a a a a a 10001000100000021
1
21Λ
ΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛ （2.9） 其中021≠n a a a Λ。
三．逆矩阵的性质
（1）若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--1
1)
(。
证 根据定理（2.3），只需做一个乘法：因为E AA =-1，故得证。
（2）若A 可逆，则T A 也可逆，且T
T A A )()(11--=。
证 因为E E A A A A T
T T T ===--)()(11，故得证。
（3）若A 、B 是同阶矩阵且都可逆，则1
11)(---=A B AB 。
证 因为E AA AEA A
BB A A B AB ====------111
1
1
1
)())((，故得证。
§2.4 矩阵的初等变换
一．矩阵的初等行变换
在第一章中，我们已经看到了行（列）变换在行列式计算中的重要作用。对矩阵也有类似的变换。
对矩阵施行下列三种变换，统称为矩阵的初等行变换： （1）换行变换：将矩阵的两行互换位置。
（2）倍缩变换：以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素。
（3）消去变换：把矩阵某一行所有元素乘同一数k 加到另一行对应的元素上去。
例如对下列矩阵作初等行变换：先将第3行乘2-加到第1行，再将第1、3
行互换，得到????? ??521310132→????? ??--52131
0910→???
?
? ??--91031052
1
由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素，因此初等变换前后的矩阵是不相等的，应该用“→”连接而不可用“=”连接。矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行，以便达到简化矩阵的目的。
类似地可引入初等列变换的概念。
二．初等变换的标准程序
例2.7 已知???
?
? ??=421310132A ，求1-A 。
解 将矩阵A 和单位矩阵E 拼成一个63?矩阵()E A 。类似于行列式的
降阶变换（参看§1.2），对()E A
施行一系列初等行变换：
()????? ??=10042]1[010*********E A →???
??
??---1004210103]1[0201710
?→?*
????? ??----12020101031
0211]4[00→????? ??-----22521001234743010214141100 →???
?
? ??-----21414110023474
301022521001 可以验证，最后的矩阵中，右侧的矩阵就是逆矩阵，即
????
? ??-----=-21414123474
322
5211
A 本例的结果不是偶然的。在论证这一方法之前，我们先结合例2.7介绍矩阵
初等变换的标准程序：
（1）变换分步进行，每步选一非零元素，称为主元。利用行倍缩变换把主元变为1，并且通过行消去变换把主元所在列的其它元素全都变为0。
（2）所选的主元必须位于不同的行。逐步重复上述变换，直至选不出新的主元为止。
（3）穿插换行变换，使主元呈左上到右下排列。
简单地说，标准程序就是通过初等行变换（不允许做列变换），变出一个一个不同的基本单位列，直至变不出新的基本单位列为止。基本单位列是指一个元素为1其余元素全都为0的列向量。
比如在例2.7的运算中，带“*”号的第二步是以元素1为主元，将第2行乘1和2-分别加到第1、3行上去；最后一步（第四步）并未选主元，而是作了一个互换第1、3行的换行变换。在所有的行消去变换中，主元都用“[ ]”号作了标记。
标准程序体现了初等变换的目的性和条理性。矩阵的初等变换将贯穿本书的
三．用初等变换法求逆矩阵
设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，对n n 2?矩阵()E A
按标准程序作
初等行变换，主元在左半部分（即前n 列）的范围内选取。当把子块A 变成单位矩阵E 的同时，右半部分必然变成了1-A （参看例2.7）。
例2.8 设???
?
?
??=987654321A ，问1-A 是否存在？
解 运用初等变换法
()????? ??=10098701065400132]1[E A →???
?
? ??------10712600146]3[0001321
→????
? ??----1210000313421003235101 标准程序已执行完毕，但子块A 未变成单位矩阵，即在未选主元的行中没有非零
元素，无法选出新的主元，此时可以断定A 不可逆。其理由如下：
设想对行列式A 施行初等变换。如果将换行变换、倍缩变换或消去变换施加于行列式，则行列式的值仅仅是改变符号、非零倍缩或保持不变，总之初等变换不改变行列式的非零性，因此能通过初等变换检验矩阵的可逆性（参看定理2.2）。
例2.8说明用初等变换法求逆矩阵，不必事先知道矩阵是否可逆。
四．初等矩阵
对单位矩阵E 施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。例如下面三个矩阵
??
?
?
?
??
??1000010000010010
??
?
?
?
??
??1000010000300001
??
?
?
?
?
?
??1000010200100001
都是初等矩阵。与它们相对应的初等行变换分别是“互换第1、第2行”、“以3
乘第2行”、“第1行乘2加到第3行”；相对应的初等列变换分别是“互换第1、第2列”、“以3乘第2列”、“第3列乘2加到第1列”。以下定理不难验证：
定理2.4 对矩阵A 施行初等行（列）变换，相当于左（右）乘一个相应的初等矩阵。
现在对初等变换法求逆矩阵的有效性进行证明：
对n n 2?矩阵()E A
作一系列初等行变换，相当于左乘一系列n 阶初等矩
阵1G ，2G ，…，k G （定理2.4）。最后得到的矩阵是()B E ，即
()()B E E A G G G k =12Λ 需要证明1
-=A B 。令12G G G G k Λ=，G 仍是n 阶矩阵。按矩阵乘法规则，
G GE =给出，因此
()()()B E
G GA E A G ==
由于矩阵相等意味着对应元素相等，所以应有
E GA =，B G = 根据定理2.3知1
-=A G ，从而1-=A B 。证毕。
对矩阵()E A 作初等变换，实际上初等变换的“对象”是左半部分，而右半部分则起到了“记录”这些变换过程的作用，1-A 是所有这些初等变换的总结果。
由此可知，一系列初等变换（初等矩阵的乘积）构成可逆矩阵；反之可逆矩阵能分解为一系列初等变换（初等矩阵的乘积）。
§2.5 分块矩阵
一．分块矩阵的概念
上节中曾把矩阵A 和E 拼成一个大矩阵()E A
，反过来可以看作把矩阵
()E A 划分成两部分，这就是分块矩阵的概念。对于一个矩阵，可以根据需要
用贯穿整个矩阵的横线或竖线把它划分成若干子块（或称子矩阵），便形成了分块矩阵。分块的方式有许多，例如对于矩阵
??
?
?
?
??
?
?-=10000100101030
01
A
可例举出以下三种不同的分块方式：
??
?
?
?
?? ?
?-10000100101030
01
??
?
?
?
?? ?
?-10000100101030
01
??
?
?
?
?? ?
?-10000100101030
01
在第一个分块矩阵中，左上角和右下角子块都是二阶单位矩阵2E ，左下角子块是零矩阵，若记???? ?
?-=10
30
1A ，则???
?
??=212
E O A E A 。 在第二个分块矩阵中，左上角子块和右下角子块分别是三阶单位矩阵3E 和
一阶单位矩阵1E ，左下角子块是零矩阵，若记?
???
? ??-=0132A ，则???
? ??=123
E O
A E A 。 在第三个分块矩阵中，若记?
?
??
??
? ??=00
011e ，??????? ??=00102e ，??????? ??=01003e ，?????
??
??-=1013u ，则
()u e e e A ,,,321=，这里1e ，2e ，3e 都是一个分量为1、其余分量为0的列向量，这种向量称为基本单位向量。
对矩阵A 的分块，当然不止这三种方式。分块矩阵也可以理解为是以若干子块为元素组成的矩阵。
二．分块矩阵的运算
上节得到过简单分块矩阵的乘法规则()()GE GA E A G =，相当于把G 、A 、
E 都当作数量看待。对于一般的分块矩阵有同样的结论：分块矩阵运算时，可以
把子块当作数量元素处理。例如
???
?
??++++=???? ??+???? ??22222121121211
11222112112221
1211
Y X Y X Y X Y X Y Y Y Y X X X X
???
?
??++=???? ?????? ??222121************
1211
Y X Y X Y X Y X Y Y X X X X 不过在把子块当作元素对待时，还须遵循以下规则：
（1）矩阵的分块方式要与运算相配套。
具体而言：两个矩阵相加时，它们的行、列划分方式应完全相同，以保证相加的子块有同样的行、列数；两个矩阵相乘时，左矩阵列的划分与右矩阵行的划分方式应一致，以保证相乘子块的行、列数相匹配。
（2）对子块的乘积要分清左、右顺序，不能随意交换。 比如上面运算中的111Y X 不能写作111X Y 。
（3）分块矩阵转置时，除子块的位置转置外，子块本身也要转置。比如
()
???
?
??=T T T
A A A A 2121
例2.9 设???
? ?
?=321
A O
A A A ，其中1A 、3A 是可逆矩阵。试用1A 、2A 、3A 及其运算式构造出逆矩阵1
-A 。
解 将1
-A 分块，令???
?
??=-43
21
1
X X
X X A ，则应有 ???
?
??=???? ?????? ??E O O E X X X X A O A A 4321
321
等式右端是分块的单位矩阵。矩阵相等意味着所有对应子块都相同，即
E X A X A =+3211，O X A O =+33，
O X A X A =+4221，E X A O =+43
因为1
1-A 、13-A 存在，所以可逐个解得O X =3，134-=A X ，111-=A X ，
1
32112---=A
A A X ，于是
???
? ?
?-=-----113
2111
11A O
A A A A A
知识点汇总和思维导图
第九单元知识点汇总和思维导图【一轮复习】 一、溶液的形成 1、溶液概念：一种或几种物质分散到另一种物质里形成的均一的、稳定的混合物，叫做溶液 溶液的基本特征：均一性、稳定性 注意： a、溶液不一定无色，如CuSO4溶液为蓝色 FeSO4溶液为浅绿色 Fe2(SO4)3溶液为黄色 b、溶质可以是固体、液体或气体；水是最常用的溶剂 c、溶液的质量 = 溶质的质量 + 溶剂的质量溶液的体积≠溶质的体积 + 溶剂的体积 d、溶液的名称：溶质的溶剂溶液（如：碘酒——碘的酒精溶液） 2、溶质和溶剂的判断 3、饱和溶液、不饱和溶液 ⑴概念：（略）； ⑵注意：①条件：“在一定量溶剂里”“在一定温度下”；②甲物质的饱和溶液不是乙物质的饱和溶液，故甲物质的甲物质的饱和溶液还可以溶解乙物质。 ⑶判断方法：继续加入该溶质，看能否溶解； ⑷饱和溶液和不饱和溶液之间的转化 注：①Ca(OH)2和气体等除外，它的溶解度随温度升高而降低；②最可靠的方法是：加溶质、蒸发溶剂 ⑸浓、稀溶液与饱和不饱和溶液之间的关系 ①饱和溶液不一定是浓溶液； ②不饱和溶液不一定是稀溶液，如饱和的石灰水溶液就是稀溶液； ③在一定温度时，同一种溶质的饱和溶液要比它的不饱和溶液浓； ⑹溶解时放热、吸热现象 a.溶解吸热：如NH4NO3溶解； b.溶解放热：如NaOH溶解、浓H2SO4溶解； c.溶解没有明显热现象：如NaCl 二、溶解度 1、固体的溶解度定义：在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量
四要素：①条件：一定温度②标准：100g溶剂③状态：达到饱和④质量：溶解度的单位：克 （1）溶解度的含义：如20℃时NaCl的溶液度为36g含义： a.在20℃时，在100克水中最多能溶解36克NaCl。 b.或在20℃时，NaCl在100克水中达到饱和状态时所溶解的质量为36克。（2）影响固体溶解度的因素：①溶质、溶剂的性质（种类）②温度 a大多数固体物的溶解度随温度升高而升高；如KNO3 b少数固体物质的溶解度受温度的影响很小；如NaCl c极少数物质溶解度随温度升高而降低。如Ca(OH)2 （3）溶解度曲线 例： （a）t3℃时A的溶解度为 80g ； （b）P点的的含义在该温度时，A和C的溶解度相同； （c）N点为 t3℃时A的不饱和溶液，可通过加入A物质、降温、蒸发溶剂的方法使它变为饱和； （d）t1℃时A、B、C、溶解度由大到小的顺序C>B>A； （e）从A溶液中获取A晶体可用降温结晶的方法获取晶体； （f）从B的溶液中获取晶体，适宜采用蒸发结晶的方法获取晶体； （g）t2℃时A、B、C的饱和溶液各W克，降温到t1℃会析出晶体的有A和B 无晶体析出的有 C ，所得溶液中溶质的质量分数由小到大依次为 A 《地球和地球仪》思维导图及知识点解析 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 《地球和地球仪》思维导图及知识点解析 一、思维导图 答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4万（4）5.1亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北（12）0°（13）20°W 和160°E（14）经线（15）纬线 二、知识点解析 知识点梳理（基础知识、基本方法、思维拓展）例题解析基础知识点一、地球的形状和大小 （1）认识过程 人类对地球形状的认识，经历了漫长而艰难的探索过程。 天圆地方我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法 太阳和月亮人们根据太阳、月亮的形状，推测地球也是个球体，于是就有了“地球”的概念 麦哲伦环球航行路线图1519～1522年，葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队，首次实现了人类环绕地球一周的航行，证实了地球是一个球体 地球卫星照片20世纪，人类进入了太空，从太空观察地球，并且从人造卫星上拍摄了地球的照片，确证地球是一个球体 （2）地球的大小 随着科学的发展，人们利用科学仪器，精确地测量出了地球的大小，下面是一组数据。【例1】下列可以说明地球的形状为球体的是（）。 ①人造卫星拍摄的地球照片 ②远航的船舶逐渐消失在地平线以下 ③麦哲伦环球航行 ④环太平洋地带多火山和地震 ⑤流星现象 A．①②③B．②③④ C．③④⑤D．②③⑤ 解析：人造卫星拍摄的地球照片是地球形状的最直观、最有力的证据；远航船舶消失在地平线以下说明地球是一个球体；麦哲伦环球航行也证明了地球是球体。而火山、地震、流星现象与地球的形状无关。 答案：A 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数 矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此 都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA 1 / 13 《地球和地球仪》思维导图及知识点解析 一、思维导图 答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4万（4）5.1亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北（12）0°（13）20°W 和160°E（14）经线（15）纬线 二、知识点解析 知识点梳理（基础知识、基本方法、思维拓展）例题解析基础知识点一、地球的形状和大小 （1）认识过程 人类对地球形状的认识，经历了漫长而艰难的探索过程。 天圆地方我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法 太阳和月亮人们根据太阳、月亮的形状，推测地球也是个球体，于是就有了“地球”的概念 麦哲伦环球航行路线图1519～1522年，葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队，首次实现了人类环绕地球一周的航行，证实了地球是一个球体 地球卫星照片20世纪，人类进入了太空，从太空观察地球，并且从人造卫星上拍摄了地球的照片，确证地球是一个球体 （2）地球的大小 随着科学的发展，人们利用科学仪器，精确地测量出了地球的大小，下面是一组数据。【例1】下列可以说明地球的形状为球体的是（）。 ①人造卫星拍摄的地球照片 ②远航的船舶逐渐消失在地平线以下 ③麦哲伦环球航行 ④环太平洋地带多火山和地震 ⑤流星现象 A．①②③B．②③④ C．③④⑤D．②③⑤ 解析：人造卫星拍摄的地球照片是地球形状的最直观、最有力的证据；远航船舶消失在地平线以下说明地球是一个球体；麦哲伦环球航行也证明了地球是球体。而火山、地震、流星现象与地球的形状无关。 答案：A 2 / 13 谈重点：地球的基本数据可以证明地球的形状 地球的赤道半径比极半径长约21千米，可以证明：地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体。 析规律：歌谣记忆地球的基本数据 3 / 13 第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求： 理解矩阵概念； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点： 矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵 定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵） ，简记为n A 。 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即 ),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是 不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵 . 《地形图的判读》思维导图及知识点解析 一、思维导图 答案：（1）海平面（2）垂直（3）闭和（4）相等（5）密集（6）稀疏（7 ）降低（8）降低（9）海拔低处（10）海拔高处（11） . 重叠相交（12）平原（13）海洋（14）等高线地形图 二、知识点解析 知识点梳理 例题解析 知识点一、等高线地形图 （1）地面高度的计算 ①海拔：地面某个地点高出海平面的垂直距离。 ②相对高度：某个地点高出另一个地点的垂直距离。 辨误区：海拔和相对高度的参照点不同 （2）等高线 ①含义：在地图上，把海拔相同的各点连接成线，叫等高线。 ②特点：除陡崖外，等高线一般不相交；同一条等高线上的各点，海拔相等；等高线有无数条。 析规律：等高距的含义及特点 任意相邻的两条等高线之间的距离，叫等高距。同一幅等高线地形图上，等高距相等。 【例1－1】世界最高峰珠穆朗玛峰海拔约8 844米，我国陆地最低的地方吐鲁番盆地在海平面以下155米，两地相对高度约是（ ）。 A ．8689米 B ．9003米 C ．8999米 D ．9009米 解析：首先确定所求两点的海拔。然后计算二者海拔之差就是相对高度。 答案：C 【例1－2】读图（单位：米），完成下列问题。 （3）等高线地形图 ①含义：用等高线表示地形的地图，叫等高线地形图。 等高线地形图实际上是将不同高度的等高线投影到同一平面上来表示起伏的地形。 ②等高线地形图的判读 在等高线地形图上，可以根据等高线的疏密状况判断地面的高低起伏。坡陡的地方，表示等高线密集；坡缓的地方，表示等高线稀疏。山体的不同部位，等高线形态也不一样。 山体不同部位的等高线分布特点，如下表： 地形部位等高线分布特点 山峰等高线封闭，数值从中间向四周逐渐降低，常用“”表示 山脊等高线的弯曲部分向海拔低处凸出 山谷等高线的弯曲部分向海拔高处凸出 鞍部两个山顶之间相对低洼的部分 陡崖等高线重叠、相交处，常用符号表示 （4）等深线 （1）写出图中字母所代表的地形名称。 A________，B______，C______，D_______，E________。 （2）H点与G点的相对高度是________米。 （3）沿B虚线和C虚线登山，较容易的是________，其原因是_______________。 （4）山峰M与A，较高的是________。 解析：第（1）题，根据图中等高线的分布特点可知，A处等高线封闭，数值从中间向四周逐渐降低，为山峰；B处等高线的弯曲部分向海拔低处凸出，为山脊；C处等高线的弯曲部分向海拔高处凸出，为山谷；D处位于两个山顶之间相对低洼的部分，为鞍部；E处有几条海拔不同的等高线重叠相交，为陡崖。第（2）题，H点所在的等高线是400米，G点处在200米等高线上，二者相对高度是200米。第（3）题，沿B处虚线的等高线稀疏，说明坡度较缓，易攀登。第（4）题，根据等高线地形图中数据变化规律，A、M两点海拔高，是山峰，且M峰多了 . 线性代数矩阵性及应用举例 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日 关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=， 对概念图教学的几点思考 概念图是以综合、分层的形式表示概念之间相互联系的空间网络结构图。它是一种将概念之间关系的图形化表示的技术。概念图是组织和表征知识的工具，它包括众多的概念，以及概念和命题之间的关系。概念、命题、交叉连接和层级结构是概念图的四个图表特征。概念图的图表结构包括节点(又称结点) 、连线和连接词三个部分。学生通过简单的记忆和机械的训练获得的知识是最容易遗忘的，而通过自己亲身经历和体验，将抽象的知识与已有的知识经过思维加工之后联系起来，体验新知识的形成过程才是最有效的学习。概念图就是一种有效学习的工具，因为概念图的形成是教师和学生经历头脑风暴、构建思维景象描绘的过程。教师运用概念图的教学能够让学生脱离单纯的模仿和记忆，使他们能够通过动手实践、自主探索与合作交流来获得知识，这恰恰符合了新课程的教学理念。 1概念图的构建 在刚引入概念图教学策略的班级，应以循序渐进为原则，教师应该利用简单、 富有代表性的、规范的概念图范例进行多次指导示范后，再让学生尝试进行绘制。在具体练习绘制时，教师还应针对学生学习水平和绘图能力的个体差异拟定层次训练计划。如：针对中等水平的学生，教师可以呈现留有部分空格的概念图，学生的水平越高，空格就越多，需要连接的概念就越多。并且在训练过程中要注意我们教师教授的目的，是为了让学生学会这种重要的学习方法，而不是让学生死记硬背教师的概念图，否则概念图的应用就失去促进有意义学习的基本内涵，成为机械记忆的工具。在具体绘制概念图时一般有以下几个步骤： 第一步：列出概念。在确立构建概念图的命题后，应该围绕命题，熟悉构建对象的规律、原理及其内在联系，摸清楚相关知识的脉络，形成一定的背景知识，并把相关概念一一列出。 第二步：确定层次。选定知识领域后，便是确定关键概念，并把他们按一定的逻辑关系进行层级排序，从最一般、最概括的概念到最特殊最具体的概念依次排序。 第三步：建立连接。用连线把相关概念连接起来，然后针对两个概念间的意义关系，选择最能反映规律、原理、环节的关键词或核心词作为连接词，以突出构建对象的显著特征。 第四步：反思完善。对初建的草图进行系统的回顾梳理，及时发现疏漏之处加以完善；或再进一步深刻反思，激发出更好的思路和创意。这里还应注意图示位置的布局，力求合理、协调和美观。 第五步：正式绘制。 2概念图在教学中的应用 概念图作为一种教学策略和帮助学生认知的工具，可以有多种使用方法，适合不同的教学情景。 2.1 在新课讲授中构建概念图 在新课讲授中应用概念图教学策略，可以将教师单纯的“教”转变为“教与学”并举。特别是那些概念和陈述性知识比较多，内容又比较枯燥的章节，更适宜采用构建概念图来组织教学。教师在教的过程中可以根据讲课内容，将概念与概念的内在联系设计成问题。边提问边构建。通过这样的师生互动过程构建概念图，不仅可以充分调动学生学习的自主性和主动性，还可以充分向学生展示概念间的内在联系，实现陈述性知识向程序性知识的转化，从而培养了学生统领概念和自我构建知识的能力。例如在讲授“现代生物进化理论的主要内容”时，如果用教师传统的讲解的教学方式进行平铺直叙地教学，则学生的学习主动性往往得不到充分发挥，而如果在教师的组织引导下，通过小组分工合作，对信息进行加工处理，引导学生构建概念图来组织相关内容的教学，在不断 1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容： 前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性： 1.0 2. D ≠?? ?所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数） 同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念 123123123 23124621x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??+-=? 它的系数行列式 1 232 4601 1 1 D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示： 123124621111A ?-? ?=--- ? ?-?? 这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。 123246111A -?? ?=-- ? ?-?? 这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组： 1. 函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2. 一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3. 一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4. 向量代数与空间解析几何（数一） 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等。该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5. 多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6. 多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7. 无穷级数（数一、数三） 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8. 常微分方程及差分方程 重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。 终极思维工具——思维导图简介 人的大脑常被称为“沉睡的巨人”，因为大部分人终其一生也仅仅使用了4%至6%的大脑潜能。很多教育家致力于开发人的潜能，其中有一种记忆方法可以让人在两分钟内记忆一副打乱的扑克牌顺序、或者复述旁人随口说出的几十个数字，英国的查尔斯王子也曾借助这种方法来提高自己的记忆力。 有一天查尔斯王子看到他的朋友泰德•休斯———一位英国桂冠诗人，在用“思维导图”教一些孩子如何画图，孩子们仿佛是在胡乱涂鸦似的不断去创造。查尔斯王子被“思维导图”迷住了，泰德•休斯告诉他，这是一个叫博赞的人发明的思维方法。 于是博赞就介绍了他的“思维导图”给查尔斯王子。 思维导图简介 思维导图（MindMap）是一种终极的思维工具，由“世界记忆之父”托尼•博赞先生所发明，并在全球得到广泛推广，已成为21世纪风靡全球的思维工具，到目前已 被世界上数亿人所使用。 思维导图由颜色、图象、关键词、曲线等要素构成，充分发挥了大脑思维的“想象”与“联想”的特点，能够充分挖掘大脑的创造力与记忆力潜能。 通俗地说，思维导图是一个简单、有效、美丽的思维工具。它依据全脑的概念，按照大脑自身的规律进行思考，全面调动左脑的逻辑、顺序、条例、文字、数字以及右脑的图像、想象、颜色、空间、整体思维，使大脑潜能得到最充分的开发，从而极大地发掘人的记忆、创造、身体、语言、精神、社交等各方面的潜能。 思维导图注重开发人的左、右脑，运用线条、符号、词汇和图像，把一长串枯燥的信息变成彩色的、容易记忆的、有高度组织性的图，它绘制起来非常简单，而且十分有趣！它可以帮助人们改善思维，提高记忆力和办事效率。 “思维导图的核心思想是联想和想象，人们在联想和想象的环境下对事物的记忆会非常深刻。”托尼•博赞介绍说。 找到一张足够大的纸和颜色尽量多的笔，在纸的中央画出（或写出）你所要记忆的内容的核心部分，从中心画出很多曲线，然后尽情去联想和想象，并将其内容添在曲线的分支处。不要太介意顺序与组织，更不要在意是否整洁，关键是不要让思维停顿下来。大多数情况下，当你完成这张图时，它会自成体系。 就以笔记为例吧，传统意义上的笔记，是指那些按顺序且呈线性的组织方式。而博赞做笔记时喜欢用“思维导图”画满箭头，句子也不成行。 他说：“从表面上看起来整洁的笔记，从信息角度讲，其实是杂乱的。因为在那些整洁的笔记中，关键信息是隐蔽的，并且混杂于一些不相干的词语中。而那些看起来凌乱的笔记从信息角度讲却是整洁的，它们能及时地表明重要的概念及其之间的联系。你可以用不到10分钟的时间在一张白纸上整理完成‘思维导图’。而它所记录的信息量是你用传统的笔记方式一小时内无法完成的。” 研究表明人的头脑都是左右发展不平衡的。博赞发明的“思维导图”的核心思想，就是把形象思维和抽象思维结合起来，让人的左右半脑在思维过程中同时运作。“思维导图”把所有的信息都组织在一个树状的结构图上，每一个分支上写着不同的关键词或短语，而图上又充满着色彩和图像，能够同时刺激人的两个半脑，让人爱思考、记忆、分析、触发灵感的同时发挥潜能。 博赞发明的思维导图这一思维工具，被全球超过2.5亿人应用，查尔斯王子只是无数思维导图运用者弧６兰途攀甏泻娇展纠谩八嘉纪肌鄙杓菩碌幕停诰鸥鲈碌氖奔淅铮谑×?200万美元；另外有一家年销售额在几百万美元的新加坡公司，遭受了火灾，所有的东西都付之一炬，很多人认为这家公司肯定完了，可是他们的总经理不认为这样，他说，我们要用“思维导图”的方式重建公司，最后他们成功了，在10天内恢复了正常工作。 “思维和画图才是人类最基础的语言。”东尼•博赞强调，思维导图这一思维工具虽然看起来非常简单，但它是符合人类大脑思维方式的，不仅可以增强大脑思维能力，提升注意力与记忆力，更重要的是能够启发联想力和创造力。 中国第一位女世界记忆大师王茂华介绍说： “思维导图是一种帮助大脑进行全方位思考的图形技术，被称为打开大脑潜能的万能钥匙。同时，它也是综合了快速记忆两大要素（联想、重点）配合大脑自然思维特性的学习和笔记的方法。 简单来说它是一种帮助你理清思维的图形工具,帮助你养成像天才一样思考习惯的图形工具! -- 《地球和地球仪》思维导图及知识点解析 一、思维导图 答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4万（4）5.1亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北（12）0°（13）20°W 和160°E（14）经线（15）纬线 二、知识点解析 知识点梳理（基础知识、基本方法、思维拓展）例题解析基础知识点一、地球的形状和大小 （1）认识过程 人类对地球形状的认识，经历了漫长而艰难的探索过程。 天圆地方我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法 太阳和月亮人们根据太阳、月亮的形状，推测地球也是个球体，于是就有了“地球”的概念 麦哲伦环球航行路线图1519～1522年，葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队，首次实现了人类环绕地球一周的航行，证实了地球是一个球体 地球卫星照片20世纪，人类进入了太空，从太空观察地球，并且从人造卫星上拍摄了地球的照片，确证地球是一个球体 （2）地球的大小 随着科学的发展，人们利用科学仪器，精确地测量出了地球的大小，下面是一组数据。【例1】下列可以说明地球的形状为球体的是（）。 ①人造卫星拍摄的地球照片 ②远航的船舶逐渐消失在地平线以下 ③麦哲伦环球航行 ④环太平洋地带多火山和地震 ⑤流星现象 A．①②③B．②③④ C．③④⑤D．②③⑤ 解析：人造卫星拍摄的地球照片是地球形状的最直观、最有力的证据；远航船舶消失在地平线以下说明地球是一个球体；麦哲伦环球航行也证明了地球是球体。而火山、地震、流星现象与地球的形状无关。 答案：A -- 谈重点：地球的基本数据可以证明地球的形状 地球的赤道半径比极半径长约21千米，可以证明：地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体。 析规律：歌谣记忆地球的基本数据 -- 查阅相关思维导图的定义和应用案例，讨论概念图和思维导图的区别？ 一、定义： 思维导图，又叫心智图，是表达发射性思维的有效的图形思维工具，它简单却又极其有效，是一种革命性的思维工具。思维导图运用图文并重的技巧，把各级主题的关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，把主题关键词与图像、颜色等建立记忆链接，思维导图充分运用左右脑的机能，利用记忆、阅读、思维的规律，协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展，从而开启人类大脑的无限潜能。思维导图因此具有人类思维的强大功能。 思维导图的绘制要点： 1.图像。既然称为思维导图，再怎么强调其重要性都不为过。中央要用图像，支线要用图像，整个思维导图都要多用图像。因为图像能够帮助我们触发无数联想，加强记忆。这就是为什么孩子甚至成年人喜欢看漫画的原因。看书一小时眼睛会累，而我们每天睁开眼到晚上闭上眼，看到的图像有成千上万个，眼睛难道罢工了吗？另外不要怕画的不好，书中告诉我们不需要特别去提高画画水平，看看我下面这张思维导图，没有比我画的更差的了吧，有效就好。 2.画分支。先画第一层分支。比如写这篇文章的思维导图，我先从右上角写为何画思维导图，右下写如何画，左下写要点，左上写计算机。作为第一层分支，需要画粗些，如同大树的主干是粗的。再画第二层分支，比如左下分支又分为有两个方面个人和工作。然后继续分。 3.多用关键字。有些东西我们无法用图片表达，那么就要使用关键词。关键词需要简短。 4.画图顺序。和阅读方法一样为从右上角开始，顺时针到左上角结束。回顾古代文字都是从右到左，其实这便于记忆。 5.线条。除了线条的粗细要有变化之外，还需要用曲线。粗细变化的曲线能提醒自己内容的重要性，有助于后续回忆。另外线条间隔合理，如同插花般的美感。当然人记忆最深的除了美的东西，还有夸张恐怖的东西。有时画得难忘点也是记忆的好办法。 二、应用案例（思维导图的作用）： 1.写读书笔记（更好地理解书中内涵） 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ???? ?? ? ??=100010001 E n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y …… 表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如 1 / 10 《地图的阅读》思维导图及知识点解析 一、思维导图 答案：（1）图上距离比实地距离缩小的程度（2）线段式、数字式、文字式（3）上北下南，左西右东（4）指向标（5）北方（6）南北（7）东西 二、知识点解析 知识点梳理（基础、提升、拓展）例题解析 基础知识点一、学会阅读地图 地图是运用各种符号，将地理事物按一定的比例缩小以后表示在平面上的图像。 比例尺、方向和图例是地图的“语言”。 辨误区：地图和照片的区别 地图和照片是有区别的，地图是把某一区域的景物进行选择和综合，并且按照一定比例缩小，用“符号”来代替真实的景物；照片是原封不动地展现景物的真实面貌。 （1）比例尺 ①定义：比例尺表示图上距离比实地距离缩小的程度。 ②公式：比例尺＝图上距离/实地距离。 ③表示方式（以图上1厘米表示实地距离1千米为例）： 数字式：1∶100 000或者1/100000 文字式：图上1厘米代表实地距离1千米 线段式： ④大小比较：比较几个比例尺的大小时，可以先把不同的比例尺统一成同一形式的比例尺再进行比较。 比较数字式比例尺大小时，分母越大，比例尺越小；分母越小，比例尺越大。【例1－1】下列关于地图及其构成要素的说法正确的是（）。 A．地图是照片的复制，二者没有区别 B．地图的构成要素包括比例尺、方向和图例 C．地图的构成要素有比例尺、方向和大小 D．地图都是反映在平面上的图形 解析：A地图和照片是不同的，见上面的“辩误区”，B正确，这称为地图的三要素；C地图的大小不是地图的要素；D地图不一定都是在平面上，有时也做成立体地图。 答案：B 【例1－2】李阳是树园中学初三年级学生，家住晶晶小区，每天步行上学。据图完成下列问题。 （1）李阳家所在的晶晶小区位于树园中学的（）。 A．西北方 B．东南方 2 / 10 概念图在教学中的应用 一、关于概念图的概述 建构主义认为，学习的过程是学生主动建构知识的过程，只有当新旧知识密切地联系在一起时，学生才容易记住这些知识。由于概念图能清晰地呈现概念的整合过程和概念之间的相互关系，所以概念图不仅能帮助学生了解知识结构，而且还能帮助学生学会建立知识体系，这在一定程度上帮助学生学会怎样学习。笔者认为，概念图在初中科学教学中应用前景广阔，为教师组织教学提供了一种新的策略。 二、如何制作概念图 概念图的制作没有严格的程序规范，如果要学习制作一个好的概念图，一般可以通过以下几个步骤来实现：（1）选出关键概念，并将其列成清单。（2）把含义最广、最有包容性、最抽象的概念放在图的顶端，把最具体的、最不包容的概念放在最底层，然后，将图中的每个概念用圆圈或方框。（3）寻在概念图不同部分概念之间的联结，并标明连接线。（4）用箭头表示概念间的关系，把说明概念的具体例子写在概念旁。对已经初步完成的概念图进一步的学习和反思。随时调整和充实概念图，完善和重新建构自己的知识结构，从而使概念图成为促进学生学习的有力工具。 三、利用概念图时要注意的几点 1．要明确利用概念图复习的核心目的：设法让学生自主构建“完整”的概念图，形成比较完整的知识网络（使知识系统化）； 2．要利用学生自主构建概念图的过程，加深对已有知识的理解，纠正对一些知识的问题理解（即片面、不正确的理解）； 3．要提升学生横向、纵向联系知识的能力，增强灵活运用知识的能力，进而提升理解、解题的能力，最终形成自己的分析思路和解决问题的策略； 4．要求学生在课内外不断交流概念图，使之不断完善与改进； 5．构建概念图时可以只写出关键词，但必须明确其背后的丰富信息，切忌只写出了关键词而不明确它包含的信息。 四、概念图在科学教学中的应用及作用 1、应用概念图进行实验课堂教学设计，帮助学生建立知识的结构 科学课堂教学中，教师通过概念图把知识整合过程清晰地呈现出来，能改变学生的认知方式，使学生看到概念间的关系。例如在讲解浙教版科学第二册“花的结构”这一内容时，对于初一学生而言，花的结构比较复杂，新概念多且结构名称易混淆，如果采用概念图策略组织这节实验课的教学，更容易帮助学生形成清晰准确的认知。因此，设计了实验观察和建构概念图同步的教学方案。流程如下：展示“花”概念图的大致框架———组织解剖花的实验———学生感性认知花各部位结构的名称、形态特点和作用———多媒体辅助展示一些不易观察的微观结构———学生寻找各个概念、各种结构的从属关系———完成概念图的制作。施教过程中，在学生实验观察的基础上吧，师生共同确定花的相关概念在概念图中的位置，找出各概念之间关联词语，逐步完成了这个概念图。学生掌握了整体的知识框架后，更容易领会新知识，理解知识的效果也必然比机械记忆更好。 2、应用概念图，促进学生高级思维发展、合作学习与问题解决 由于学生要制作出好的概念图，必须搞清楚哪些是已有概念、哪些是不同概念、不同概念之间是什么关系且相关到什么程度等问题，而这实际上是要求学生在概 、思维导图 地球和地球仪》思维导图及知识点解析 答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4 万（4）5.1 亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北12）0°（13）20°W和160°E（14）经线（15）纬线 、知识点解析 （1 例题解析 【例1】下列可以说明地球的形状为球体的是（）。 ①人造卫星拍摄的地球照片 ②远航的船舶逐渐消失在地平线以下 ③麦哲伦环球航行 ④环太平洋地带多火山和地震 ⑤流星现象 A．①②③B．②③④ C．③④⑤D．②③⑤ 解析：人造卫星拍摄的地球照片是地球形状的最直观、最有力的证据；远航船舶消失在地平线以下说明地球是一个球体；麦哲伦环球航行也证明了地球是球体。而火山、地震、流星现象与地球的形状无关。 答案：A （2 谈重点：地球的基本数据可以证明地球的形状地球的赤道半径比极半径长约21 千米，可以证明：地球是一赤道略鼓的不规则球体。 个两极稍扁、析规律：歌谣记忆地球的基本数据地球是个圆球体，这个事实人共 知；探求地球形状史，伟人献身我辈记；六三七一是半径，五点一亿表面积；要知赤道有多长，坐地日行八万里。释疑点：赤道周长的例证“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，出现在地球赤道附近辨误区：地球的平均半径地球的平均半径不是地球的极半径和赤道半径的平均数。 A．地球仪上地轴是一个假想的旋转轴 B．地球仪上的南、北极是地轴与地球表面的交点 C．地球仪是按比例缩小的地球模型 D．所有地球仪都会有表示国家的符号与名称解析：地球仪是按照一定比例缩小的地球的模型，有很多种类，有关于地形的，有关于政区的，在绘有世界政区图的地球仪上，有表示国家的符号和名称。 答案：D《地球和地球仪》思维导图及知识点解析教学内容
矩阵行列式的概念与运算
矩阵的定义及其运算规则
地球和地球仪思维导图及知识点解析
第一讲 矩阵的概念、运算
1.4《地形图的判读》思维导图及知识点解析
线性代数矩阵性及应用举例
对概念图教学的几点思考
矩阵的概念和运算
基于思维导图的知识点
思维导图简介知识讲解
《地球和地球仪》思维导图及知识点解析
思维导图的定义和应用案例-概念图和思维导图的区别讲解学习
矩阵的概念及其线性运算
七年级地理上册地图的阅读思维导图及知识点解析人教版
概念图在教学中的应用
《地球和地球仪》思维导图及知识点解析