第20章数据的整理与初步处理全章教案

第20章数据的整理与初步处理

一. 教学内容：

§21.1 算术平均数与加权平均数

§21.2 平均数、中位数和众数的选用

［学习目标］

⑴理解平均数的概念和意义，会计算一组数据的算术平均数和加权平均数．

⑵能利用计算器计算一组数据的平均数．

⑶在具体情境中理解加权平均数的概念，体会“权”的意义，知道算术平均数与加权平均数的联系与区别．

⑷理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数．

二. 重点、难点：

1. 重点：

⑴加权平均数的计算方法．

⑵掌握中位数、众数等数据代表的概念．

2. 难点：

⑴加权平均的原理．

⑵选择恰当的数据代表对数据做出判断．

三. 知识梳理：

1. 算术平均数的意义

如果有n个数：，，…，那么这组数据的平均数＝，这个平均数叫做算术平均数．

平均数是我们日常生活中经常用到的、比较熟悉的的概念，如平均分、平均身高、平均体重、平均产量等等，由公式可知，平均数与给出的一组数据中的每一个数的大小都有关系，所以平均数是这组数据的“重心”，反映了这组数据的平均状态，是描述一组数据集中趋势的特征数字中最重要的数据，也是衡量一组数据波动大小的基准．

2. 加权平均数

一般地，对于f1个x1，f2个x2，…，f n个x n，共f1＋f2＋…＋f n个数组成的一组数据的平均数为．

这个平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，f n叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即（i＝1，2，…k）越大，表明的个数越多，“权”就越重．

加权平均数的计算公式与算术平均数的计算公式，实际上是一回事．一般情况下，当一组数据中有很多数据多次重复出现时，加权平均数的计算公式是算术平均数计算公式的另一种表现形式，用加权平均数公式计算更简便．

3. 用计算器求平均数．

4. 扇形统计图的制作

⑴扇形统计图：利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的各个部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．

⑵扇形统计图的特点：扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小．根据统计图可以直接看出统计对象所占的比例和每部分相对总体的大小．

⑶制作步骤：

①利用各部分与总体间的百分比关系求出各个扇形的圆心角，计算方法是：圆心角＝360°×百分比；

②画出表示总体的圆，并在圆上画出表示各部分的扇形的区域，加以标注；

③写出所绘制的扇形统计图的名称．

扇形统计图利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，统计图中圆的大小与具体数据无关．各扇形所占的百分比之和为1．

5. 中位数与众数

①中位数：把一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

②中位数的计算：先将数据按从小到大的顺序重新排列，如果有奇数个数据，则处在最中间的那个数就是中位数；如果有偶数个数据，则处在最中间的两个数据的平均数就是中位数．

③众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．

④众数的计算：求众数时只要看在一组数中重复出现次数最多的数据就是众数．如果有两个或两个以上数据重复出现的都最多，那么这几个数据都是这组数据的众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数．通常的“最佳”、“最受欢迎”、“最畅销”等等的评选活动都是用投票的方法取众数得到的．

6. 平均数、中位数和众数的选用

⑴平均数、中位数和众数的特点：平均数、中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势．这三个统计量的各自特点是：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据的排列位置有关，即当一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，因此，某些数据的变动对它的中位数没有影响．平均数、中位数、众数从不同的侧面提供了一组数据的面貌，正因为如此，我们把这三种数作为一组数据的代表．

⑵平均数、中位数、众数分别表示一组数据的一般水平、中等水平、和多数水平，都能反映一组数据的集中趋势．它们互相之间可能相等也可能不相等，没有固定的大小关系，但是三个统计量不总是有实际意义、总是合适的，它们都有各自的适用范围．这就产生了该选用哪一个统计量的问题了．相比之下，平均数是最常用的指标．由于计算平均数时，要用到每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感．有时能获得较多的信息．但当数据中含有极个别特别大或特别小的数据时，它就不能很好地反映一般水平了．这时就要选用其它的统计量或者像歌唱比赛那样去掉一个最高分，去掉一个最低分了．四、典型例题

例1：某班第一小组有12人，一次数学测验成绩如下：85、96、74、100、96、85、79、65、74、85、65、80，试计算这12人的数学平均分．

分析：最简单的方法就是把12个数据全部加起来，再除以12即可．但是面对这样一组数字相对比较大的数组时，可以想办法，把数字的大小先降下来，这里可以以80为基准，每个数都减去80组成一个新数组，计算出平均数后，再加上80就得到原数组的平均数．

解：（解法一）

利用平均数公式得：

平均分＝＝82（分）；

（解法二）每个数都减去80后建立新数组为：5、16、－6、20、16、5、－1、－15、－6、5、－15、0，则新数组的平均数为：

＝2．

所以原数组的平均分＝80＋2＝82（分）．

例2：我校举行文艺演出，由参加演出的10个班各派一名同学担任评委，每个节目演出后的得分取各个评委所给分的平均数，下面是各评委给七年级三班一个节目的分数．

评委编号1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

评分7.20 7.25 7.00 7.10 10.00 7.30 7.20 7.10 6.20 7.15

⑴该节目的得分是多少分?此得分能否反映该节目的水平?

⑵你对5号和9号评委的给分有什么看法?

⑶你认为怎样计算该节目的分数比较合理?为什么?

分析：本题涉及到关于样本的选取要具有代表性的问题，因为有些数据对样本平均数的影响很大（如5号和9号的数据），因此，为了公正、合理应去掉一个最高分和一个最低分，以减少它们对平均数的负面影响，保证评判的公正性．

解：⑴平均分为：

＝7.35（分）．此得分不能反映该节目的水平；

⑵5号评委的给分偏高，9号评委的给分偏低，他们都脱离实际，不能公正地代表节目的实际水平；

⑶去掉一个最高分和一个最低分，这样可以避免某些特殊数据带来的负面影响，保持评判的公正性．

例3：若一组数据的平均数是12，那么另一组数据

的平均数是多少?

分析：平均数是将各个数据的和除以数据的个数求得的，因此，我们可以先求出已知数据的总数，再找出另一组数据与它的联系，从而求解．解：因为＝12．

所以＝60．

所以

＝＝＝15．

例4：某人事部经理按下表所示的五个方面给应聘者记分，每一方面均以10分为满分，如果各方面的权数及四个应征者得分如下（单位：分），问谁受

条件权数张三李四何五白六

学历15 7 9 8 8

经验15 8 7 7 8

社交7 6 8 5 4

效率8 6 5 6 7

外貌 5 5 6 7 8

分析：

均分，比较大小就可以了．

解：张三的平均分＝＝6.8（分）；

李四的平均分＝＝7.32（分）；

何五的平均分＝＝6.86（分）；

白六的平均分＝7.28（分）．

平均分结果显示李四的分数最高，所以李四受聘的可能性最大．

例5

成绩（分）50 60 70 80 90

人数（人） 2 3 x y 2 若

分析：这里有两个未知量，就应得到关于它们的两个等量关系，不难发现，一个是从总人数方面，另一个是从平均数方面得到两个等量关系，从而列方程组进行求解．

解：由题意得：

解得

例6：如图，这是某晚报“百姓热线”一周内接热线电话的统计图，其中有关环境保护问题的电话最多，共70个，请回答下列问题．

⑴本周“百姓热线”共接到热线电话多少个?

⑵根据以上数据绘成扇形统计图．

分析：学会读图获取信息是关键．图中“环境保护问题的电话”达35%，共70个，可求出“百姓热线”电话的总数，再根据各种电话所占的百分比计算出扇形圆心角的度数．

解：⑴70÷35%＝200，即本周“百姓热线”共接到热线电话200个；

⑵分别计算出其他项目在扇形统计图中的圆心角的度数：

奇闻轶事：360O×5%＝18°；其他投拆：360°×15%＝54O；道路交通：360°×20%＝72O；

环境保护：360°×35%＝126°；房产建筑：360°×15%＝54°；表扬建议：360°×10%＝36°．

画扇形统计图，如图所示．

例7：为了培养学生的环境保护意识，某校组织课外小组对该市做空气含尘调查，下面是一天每隔2小时测得的数据如下：

0.03，0.04，0.02，0.03，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03.（单位：克/立方米）

⑴求出这组数据的众数和中位数.

⑵若国家环保局对大气飘尘的要求为平均值不超过每立方米0.025克，问这天该城市的空气是否符合国家环保局的要求?

分析：⑴这组数据的众数就是出现次数最多的数据，是0.03；中位数需按从小到大的顺序排列，然后取中间两个数的平均数即是中位数．

⑵能否符合要求，关键是看平均数与0.025的大小，若平均数小于0.025就符合，否则，就不符合．

解：⑴由众数的定义和题意知这组数据中0.03出现的次数最多，故这组数据的众数是0.03．

将这组数据按从小到大的顺序排列得到：

0.01，0.01，0.02，0.03，0.03，0.03，0.03，0.03，0.04，0.04，0.04，0.05.其中最中间的两个数据都是0.03，所以这组数据的中位数是0.03．

⑵这天测得的数据的平均数为：

＝＝0.03．

也就是说这天城市的空气飘尘的平均值为0.03克/立方米，大于国家环保局的规定0.025克/立方米，所以这天该城市的空气不符合国家环保局要求．例8：某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售

每人销售件数1800 510 250 210 150 120

人数 1 1 3 5 3 2

⑵假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请制定一个比较合理的销售定额，并说明理由．分析：平均数受极个别数据影响，而中位数和众数不受极个别数据影响．根据这些知识对本题进行解答即可．

解：⑴平均数为：＝320（件）；

中位数是210件，众数是210件．

⑵不合理．因为15人中有13人的销售额达不到320件，320件虽然是这组数据的平均数，但它受1800件这个特殊值的影响，使它不能反映营销人员的一般水平．而中位数反映的一组数据的中等水平，众数反映的是一组数据的大多数的水平，所以把每位营销员的月销售额定为210件比较合适．例9：如图，公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，甲群游客的年龄分别是12，12，12，13，14，15，16，16，27；乙群游客的年龄分别为：3，4，4，5，5，6，6，6，55，60．

⑴分别求出两群游客年龄的平均数、众数和中位数．

⑵甲、乙两群游客年龄的平均数能代表他们各自的年龄特征吗?如果不能代表，那么哪个数据能代表?

分析：我们把一组数据中其值过大（或过小）的数据看作异常数（或异常值），如本例中乙群游客的55和60就是异常数，有异常数时，其平均数可能相差较大，这时用中位数或众数来描述这组数据的一般水平比较合适．解：⑴甲群游客：

平均数＝≈15（岁），

众数是12岁，中位数是14岁．

乙群游客：

平均数＝＝15.4 （岁），众数是6岁，中位数是5.5岁．

一.教学内容：

§21.3 极差、方差与标准差

第21章数据的整理与初步处理小结与复习

二. 重点、难点：

1. 重点：

⑴认识算术平均数、加权平均数，并能灵活计算、应用；

⑵认识平均数、中位数和众数，会选择恰当的数据代表对数据进行评价；

⑶会求一组数据的极差、方差与标准差，并会用它们表示一组数据的离散程序；

⑷能借助计算器求平均数、标准差．

2. 难点：

⑴灵活计算算术平均数、加权平均数、极差、方差与标准差；

⑵在理解平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差意义的基础上，对生活中的某些数据发表自己的看法，做出合理的判断和预测，解决一些实际问题，培养统计意识，提高数据处理能力．

三. 知识梳理：

（一）极差、方差与标准差：

⑴极差

用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差．

⑵方差

①定义

一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差．

②方差的意义

方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况．方差越大，数据组的波动就越大．

③方差的计算公式

数据x1，x2，x3，…，x n的方差是

S2＝（x1－）2＋（x2－）2＋（x3－）2＋…＋（x n－）

注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；

②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差：

S2＝[（x12＋x22＋x32＋…＋x n2）－n2]

③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，?也可以采用下面的公式计算方差：

S＝[（x’12＋x’22＋x’32＋…＋x’x n2）－n’2]（其中x1’、x2’、x3’……x n’分别等于x1－a、x2－a、x3－a……x n－a，?’是数据组x1’、x2’、x3’……x n’的平均数）

⑶标准差

方差的算术平方根叫做标准差．

标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大．

（二）本章知识回顾：

1. 平均数、众数与中位数

平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”．

⑴平均数：求个数，，…，的平均数为＝（＋＋…＋），当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化的平均数计算

公式，其中是每个数值与a的差的平均数，a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数．?

当所给个数据中出现次，出现次，…，出现次，且＋

＋…＋＝，则＝（＋＋…＋）这个平均数叫做加权平

均数，其中，，…，叫做权．

加权平均数的权：当一组数据中各数据分布情况（或者说比重大小）不同，分布情况（比重大小）称为各个数据的权．

注意：这三种计算平均数的方法，在具体问题中要灵活使用．

⑵众数：在一组数据中，出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数．众数不唯一，可以有一个，也可以有几个，也可以没有．

⑶中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．

⑷平均数、中位数和众数的区别与联系：

联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数最为重要．

区别：①平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动．②中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．③众数主要研究各数据出现的情况的考查，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数．

注意：在实际问题中，到底选择哪一个去说明一组数据的特征，要视情况而定．

2. 扇形统计图

⑴绘制扇形统计图的基本步骤：

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数＝100%×各部分数据/总体数据；

②根据百分数计算出各部分扇形圆心角的度数＝部分总体的百分数×360°；

③按比例，取适当半径画一个圆；

④按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形圆心角的度数；

⑤在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区别开来；

⑥写上统计图的名称及制作日期等．

（2）扇形统计图的特征：扇形统计图适合相对统计数据，可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比．

3. 极差、方差与标准差

⑴极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值．

⑵方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：

＝[（－）2＋（－）2＋…＋（－）2]．

说明：这一公式可简单记忆为“方差等于差方的平均数”．

⑶标准差：标准差＝

⑷极差、方差与标准差异同点：

共同点：极差、方差与标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．

不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

4. 实际应用

通过计算平均数、方差来判断数据的集中或离散程度，从而对现实生活中的实例进行分析和判断，并做出评价或提出建议．注意评价要客观、合理，建议要符合实际．同时这部分知识还可以与方程、不等式等知识结合，出现一些综合题．解决这类题必须弄清基本概念，掌握一些典型题的解法，灵活运用题中的数据和信息，明确解题目标．

四、典型例题

例1. 小明所在小组的12位学生身高如下（单位：cm）：160，160，l70，158，170，168，158，170，158，160，l60，168．求小明所在小组学生的平均身高（保留整数）．

分析：求平均数有3种方法，可根据实际情况选择．

解：方法一：

＝（160＋160＋l70＋158＋170＋168＋158＋170＋158＋160＋l60＋168）÷12≈163cm；

方法二：

身高/cm 158 160 168 170

相应人数 3 4 2 3

＝（158×3＋160×4＋168×2＋170×3）÷12≈163cm；

方法三：

以160cm为基准，这12个数据为：

0，0，10，－2，10，8，－2，10，－2，0，0，8．

＝（10－2＋10＋8－2＋10－2＋8）÷12≈3.3

＝160＋3.3≈163cm．

例2. 经初赛选拔，我市参加省数学竞赛决赛的200人中，一中58人，二中47人，三中45人，四中30人，五中20人，请你绘制扇形统计图表示参赛学生的分布情况．

分析：画扇形统计图之前要先计算每部分所占百分比，每部分扇形的圆心角度数．

解：各中学人数占参赛总人数的百分比，占扇形圆心角的度数用下面的表格表示：

一中二中三中四中五中

人数58 47 45 30 20 占总数的百分

比

29% 23.5% 22.5% 15% 10%

圆心角104.4

°

84.6°81°54°36°

根据数据画出扇形统计图，如下图所示：

例3. 某校学生报要招聘记者一名，小明、小凯和小萍报名进行了三项素质测

学生采访写作计算机创意设计

小明70 60 86

小凯90 75 51

小萍60 84 78

⑵学校把采访写作、计算机和创意设计成绩按5：2：3的比例来计算三人的测试平均成绩，那么谁将被录取？

分析：注意算术平均数与加权平均数在实际问题中的应用．

解：⑴小明平均分＝（70＋60＋86）÷3＝72（分），

小凯平均分＝（90＋75＋51）÷3＝72（分），

小萍平均分＝（60＋84＋78）÷3＝74（分），

所以，小萍被录取．

⑵按照5：2：3比例，则

小明的平均分＝＝72.8（分）；

小凯的平均分＝＝75.3（分）；

小萍的平均分＝＝70.2（分）

所以，小凯被录取．

例4.用计算器求下列数据的平均数．

91，189，37，98，103，103，107，86，97，99．

分析：按键顺序为：

例5.有甲、乙、丙三种可混合包装的食品，它们的单价分别是：每千克1.80元、2.50元、3.20元．现取甲种食品50千克，乙种食品40千克，丙种食品10千克，把这三种食品混合后，每千克的价格是多少？

分析：混合后的单价不仅与每种食品的单价有关，而且还与每种食品的质量（千克）有关，应选加权平均数公式来计算．本题也可以理解为求混合后的单价．

解：根据加权平均数公式，得＝2.22元．答：混合后每千克的价格是2.22元．

例6.

成绩（分）50 60 70 80 90

人数 2 3 6 7 2

分析：20个数据中，50出现2次，60出现3次，70出现6次，80出现7次，90出现2次，所以由加权平均数公式可得平均数．又因为80出现的次数最多，所以众数是80．将20个数据从小到大排列，最中间的两个数据都是70，所以这组数据的中位数是70．

解答：在这20个数据中，80出现了7次，出现的次数最多，即这组数据的众数是80．

表中的20个数据可看成按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是70，即这组数据的中位数是70．

这组数据的平均数是：（50×2＋60×3＋70×6＋80×7＋90×2）÷20＝72 故20名学生成绩的众数是80分，中位数是70分，平均数是72分．

例其中各种尺码的鞋的销量如下表所示：鞋的尺码/厘米23.5 24 24.5 25 26

销量/双 1 3 4 6 2

过以上计算，如果商场每10天进一次货，对以上尺码的运动鞋应怎样进货？说明理由．

分析：运用所学知识对市场经济中某些问题进行科学预测，从而使其合理决策是十分重要的，对商场的销售情况进行了解，通过对数据的计算、处理，从而对以后的进货情况作出了相对准确地估算．

解答：⑴众数是25，中位数是24.75．

⑵由⑴知，25码的鞋销售量最大，一天销售了6双，其次是24.5码，24码，26码，23.5码．其一天的销售量分别为4双，3双，2双，1双．依此估计商场10天的销售量约为：25码60双，24.5码40双，24码30双，

26码20双，23.5码10双．所以商场可以参照以上数据进货．

例8. 杂交稻专家袁隆平院士为了考察甲、乙两种水稻，从甲、乙两块实验田中，各任意抽取了10株水稻，测得株高（单位：cm）如下：

甲：78、79、89、82、79、9l、89、82、85、86

乙：76、90、86、87、82、83、85、86、81、84

请问：哪种水稻长得比较整齐？

分析：要考察哪种水稻长得比较整齐，显然平均数不能反映，需要考察的应是两组数据的离散程度，故需要求方差．

解答：＝（78＋79＋89＋…＋86）÷10＝84（cm）

＝（76＋90＋86＋…＋84）÷1O＝84（cm）

＝0.1×[（78－84）2＋（79－84）2＋…＋（86－84）2]＝19.8

＝0.1×[（76－84）2＋（90＋84）2＋…＋（84－84）2]＝13.2

因为S2

甲>S2

乙

，所以乙种水稻长得比较整齐．

例9.某校要从A、B两名优秀选手中送一名选手参加全市中学生田径百米比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（单位：秒）如下：

A：12.1、l2.5、l3.0、12.5、12.8、12.2、l2.4、12.5；

B：12.０、12.9、l2.2、13.1、12.2、13.0、12.1、12.9.

⑴他们的平均成绩分别是多少？

⑵他们这8次比赛成绩的方差是多少？

⑶这两名运动员的运动成绩各有什么特点？

分析：方差是反映数据波动大小的特征数，当两组数据的平均数相等或比较接近时，方差越小（即越稳定）越好，这是一种思维定势，其实并不然，在实际应用中需结合具体情况具体分析．

解答：⑴A＝a（12.1＋l2.5＋…＋12.5）÷8＝l2.5（秒），

B

＝（12.0＋12.9＋…＋12.9）÷8＝12.55（秒）．

⑵S2A＝[（12.1－12.5）2＋（12.5－12.5）2＋…＋（12.5－12.5）2] ÷8＝0.075，

S2B＝[（12.0－l2.55）2＋（12.9－12.55）2＋…＋（12.9－12.55）2]÷8＝

0.1875．

⑶可从平均成绩，成绩的稳定性，运动员的潜力等方面去比较．

因为A＜B，故A的平均成绩比B好．

又因为S2A＜S2B，故A的成绩比B更稳定．

又因为B的最好成绩比A的最好成绩要好，故B运动员的潜力较大．五、课堂小结：

请同学们回顾我们这节课学习了什么知识？用自已的语言概括出来。

六、布置作业：练习册

一、复习

1、平均数

2、加权平均数

3、中位数

4、众数

二、新课

1、方差

2、极差

例1 例2 例3