分式的基本性质及其运算
分式的基本性质及其运算
一、
1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且 ，那么，式子 叫做分式，其中 叫分子， 叫分母
2、分数的基本性质：一个分数的分子、分母 ，分数的值不变．
3、当B=0时，分式无意义，当 时，分式的值为0。
课前热身
下列式子中，哪些是分式哪些是整式两类式子的区别是什么
二、 例题
例1 （1）当x= 时，分式
x 32
有意义； （2）当x= 时，分式1-x x
有意义；
（3）当b= 时，分式b
351
-有意义；
（4）当x 、y 满足 关系时，分式
y
x y
x --有意义。 练习 1、当x________时,
1
x x x
-- 有意义 . 2、当x=-3时,在下列各分式中,有意义的有( ) (1)
33(2)(3)(2)(3)
,(2),(3),(4)33(2)(3)(2)(3)
x x x x x x x x x x x x +-+++--+---+ A. 只有(1); B. 只有(4); C.只有(1)、(3); D.只有(2)、(4) 3、下列分式中的x 满足什么条件时，分式的值为零
32214253335,,,,,x a x x b x y -+-22213
21,.()m n x x c
m n a b x x -+++--+，
例2约分(1)3232105a bc a b c -; (2)2432
369x x
x x x --+
.通分:(1)2342527,,2912c a a b a b --; (2)2142
,,
242x x x x
+--
练习 约分
通分：
c
ab bc
a 23
21525-9
6922++-x x x y
x y xy x 3361262
2-+-22
3(1)2a b a b ab c
-与23(2)
55
x x
x x -+与
2211
123x x x x
+-+（）；（）．
例3 分式的加减乘除
（3）1
111-÷
??? ??
--x x x （4）()d cd b a c ab 234322222-?-÷
练习
（2）421
422
---x x
（3）111122----÷-a a a a a a （4）
??
?
??---÷--225262x x x x
（5）??? ??--+?+-y x x y x y x x 2121 （6）()()??? ??--+÷???? ??--+b a b a b a b
a 111122
2
32(2)
2(2)m n
m n m n --
--32
(1)22x x x x +--2222
44(1)224y x y
x y x y y x +++
--
（7）???
?
??
+-+-÷??? ??-+-+-222221b ab a b a b a b a b a b a
（8）计算422311222
--÷+++???
? ??
+-x x x x x x x x x
例4 先化简，再求值：3
4)232(2--?---x x x x x ，其中4=x 。
练习 先化简，再求值：4
12)211(2
2-+-÷-+x x x x ，其中3=x 。
三、 总结
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
四、拓展
例1 已知：.1
25115242
2
的值，求：++=+-a a a a a a
练习 已知：.1
501133
63
2
的值，求：+-=+-x x x x x x
作业
1.下列各式32222211,,,,,2455
x a b m a
x y x x a +-+中,是分式的有( )
个 个 个 个
2.下列分式中最简分式是( )
A.a b b a --;
B.22a b a b ++;
C.222m m a a ++;
D.2
121
a
a a --+- 3.若分式21
1
x x ++ 无意义,则( )
=1 =-1; =1或-1 D.没有这样的实数 4.将
3a
a b
- 中的a 、b 都扩大到3倍,则分式的值( ) A.不变 B.扩大3倍; C.扩大9倍 D.扩大6倍 5.分式
22
,,4448436
a b c
a a a a a -+-+- 的最简公分母是_________. 6、计算 （3） （4）
7、先化简，再求值：
)1(32
1
142---?-x x x ，其中2=x
2222()22x y x y y x y x ?-÷（1）44(2)(2)31
x x -
?
++421422
---x x 211
a a a ---
七年级数学下册-分式的基本性质及其运算
分式的基本性质及其运算 【知识点归纳】 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><0 B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示： C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B -- =--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件 B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
1分式及分式的基本性质练习题.doc
分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1 ．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0?中，是分式的有 ___ __；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2 ．下列分式，当 x 取何值时有意义． （2） 3 x 2 （ 1） 2x 1 ； ． 3x 2 2x 3 3 ．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） 2 C ． 3x 1 A ． 1 B ． x D ． x 1 2x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 4 ．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 5 ．当 x _______时，分式 x 1 的值为零． x 2 x 2 6 ．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1 的条件的应用 7 ．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8 ．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． 2 x 4 9 ．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3 x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______时，分式 4 的值为负． x 5 2 x 1 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） m 2 1 B ． m 2 1 C ． m 1 D ． m 2 1 A ． 2 1 m 1 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x| 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2 ） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3 x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用
分式的基本性质及运算复习讲义
分式的基本性质及运算复习 班级 姓名 一、知识梳理 1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式 A B 叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。 5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。 6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。 7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。 8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。 9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。 二、基础练习 1、下列各式中，2 4 , 2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式 3 1-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； 当x 时，分式3 9 2--x x 的值为零。 3、填空：（1）b a ab b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）2 22)(xy y xy = ； （4）21()a a a c ++= ； （5） ( )n mn m m =+2 ； （6）( )()2 22x y x y x y += ≠-； 4、若分式12 32 -a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。 5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。 6、分式 11 +x 、12x -的最简公分母是 。
分式的基本性质-经典例题及答案
讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.
3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
新苏科版八年级数学下册《分式的基本性质》题及答案解析.docx
（新课标）苏科版八年级下册 10.2 分式的基本性质 一．选择题 1．化简的结果是（） A．﹣1 B．1 C．D． 2．下列分式中，最简分式是（） A．B． C．D． 3．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍 4．下列分式运算中正确的是（） A．B． C．D． 5．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（） A．B．C．D．
二．填空题 6．若，则= ． 7．化简= ． 8．约分= ． 9．分式，﹣，的最简公分母是． 10．若，则的值是． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：==1﹣； 再如：===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为．12．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有个． 三．解答题 13．约分： （1）； （2）； （3）?． 14．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值①等于0？②小于0？
10.2分式的基本性质2教案
教学过程 预设问题： 1. 分式的分子、分母是多项式时，怎样约分？ 2. 约分的步骤是什么？ 3. 应用分式性质进行约分时要注意什么？ 教学过程设计 （一） 创设情境，导入新课（自探、合探） 1.分式的基本性质用字母表示为：__________________________________________． 2．因式分解：m 2 –m= , x 2-9= , a 2-2a-3= 3. 不改变分式的值，将下列分式中分子和分母的各项系数都化为整数： （1）y x y x 2.0203.01.0-+ = （2）n m n m 5.03.035.1--= 4. 21?11x x x -=+-，111?2+-=-x x x 则？处应填上_______ _ _ 5．根据分式的性质进行约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282=_____;c a b b c a 23245125=_______，()()b a b a ++13262=__________， （二）自探、合探 例1：将下列分式进行约分（提示：怎样找到分子分母的公因式呢？可参考书上7页例2）
（1）()22y x xy x ++ （2）2232m m m m -+- （3）22699 x x x ++- （三）学生展示、评价 （2）、（3）两组派学生展示，两组评价。 （四）、教师精讲 通过上面的例题，总结分子分母是多项式时，进行约分的步骤； 1. 先将能分解的分子分母分解因式 2. 找到分子分母的公因式，利用分式的性质进行约分。 3. 检查分式是否是最简分式 注意：当分子、分母中的各项是相乘关系时才能进行约分。 （五）巩固练习： 1、下列分式哪些是可以约分的？对可以约分的分式尝试写出约分的结果。 A 、m m --44 B 、4 4---m m C 、2)2(2m m m -- D 、n m n m +-22 E 、n m n m ++22 F 、21-+x x 2、下列约分正确的是（ ） A 1x y x y -+=-- B 022=--y x y x C b a b x a x =++ D 33=+m m 3、约分：（1）22248ab b a ； （2）()()a ab a b a --1241822； （3）12122+--x x x （六）检测：1、化简分式2b ab b +的结果是： （ ） A 、 b a +1 B 、b a 11+ C 、2 1b a + D 、b ab +1 2、下列分式中是最简分式是（ ） A 2222n m n m +- B 9322-+m m m C 32 2) (y x y x +- D 222)(n m n m -- 3、当m=________时， ()()4 322--+m m m 的值为0. 5、化简求值： （1）22 2448x y x xy --其中4 1,21==y x 。 （2）96922+--a a a 其中5=a （七）小结（1）知识 ；（2）注意： （八）作业 ：书上8页基础2，提升1、2 （九）课后反思： 10.2 分式的性质（第二课时）学案
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质-分式的运算
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零
《分式的基本性质》教案
《分式的基本性质》教案 一、内容和内容解析 1．内容 分式的基本性质． 2．内容解析 本节课是在学生学习了分数的基本性质和分式的概念的基础上进行的．分式的基本性质是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分、约分及四则运算的基础，使学生掌握本节内容是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键，对后续学习有重要影响．分式的基本性质与分数的基本性质非常接近，只是将分数的基本性质中“乘（或除以）一个不等于0的数”替换成“乘（或除以）一个不等于0的整式”．这里的由“数”到“式”是数学中抽象化的表现．所以，本节课的重点是理解并掌握分式的基本性质，及其初步运用． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）理解和掌握分式的基本性质． （2）灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质，使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思维能力． 达成目标（2）的标志是：会用分式的进本性质探求分式变形的符号法则，使学生更好地掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力． 三、教学问题诊断分析 在应用分式的基本性质时，分子和分母都要变形，而且都要乘（或除以）同一个不等于零的整式，避免学生出现只乘分子或只乘分母的错误，也要避免只乘分子和分母中部分项的错误，另外还要避免出现所乘（或除以）的整式不是同一个整式的错误．所以，本节课的难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 四、教学过程设计 （一）情景导入 1．下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？ （1）3 4 和 15 20 ；（2） 9 24 和 3 8 ． 解：（1）33515 44520 ? == ? ；（2） 9933 242438 ÷ == ÷ ． 可以进行变形的依据是分数的基本性质．
分式及分式的基本性质
分式及分式的基本性质 一. 选择题 1. 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数有( ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2. 要使分式 1 (1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足（ ）≠-1 ≠2 ≠±1 ≠-1且x ≠2 3. 下列约分正确的是（ ） A 、3 26x x x =； B 、 0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 4. 化简2 293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 5. 下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 6. 对分式 2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ． B ． Ｃ． Ｄ． 7. 下列式子（1） y x y x y x -=--12 2；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+- 中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 8. 分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 9. 如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤x B.21
分式的运算技巧
分式 概念 形如(A、B就是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式。 注意:判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是的形式,关键要满足:分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。 由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性。 方法:数瞧结果,式瞧形。 分式条件: 1、分式有意义条件:分母不为0。 2、分式值为0条件:分子为0且分母不为0。 3、分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。 4、分式值为1的条件:分子=分母≠0。 5、分式值为-1的条件:分子分母互为相反数,且都不为0。 代数式分类 整式与分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式与有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。用式子表示为:
(A,B,C为整式,且B、C≠0) 运算法则 约分 根据分式基本性质,可以把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。约分的关键就是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤: 1、如果分式的分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积的形式,将它们的公因式 约去。 2、分式的分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。 公因式的提取方法:系数取分子与分母系数的最大公约数,字母取分子与分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。 最简分式:一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。 通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。 分式的乘法法则: (1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为: 分式的加减法法则: 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 用字母表示为:
(精心整理)分式的性质与运算
分式的性质与运算 1.1 分式的基本概念和性质1．分式的基本概念： 知识导航 知识网络
【例1】 ⑴代数式1312,,,, 34 a b m n b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ⑵ 当x = 时，分式 2x x +有意义；当x 时，分式21 1 x +有意义． ⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216 41x x x -+- ④288x x + ⑤() 22 255x x -- ⑷当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式1 21 x x -+的值为1-，则x 的值是 ． ⑸当x 时，分式48x -的值为正数；当 时，分式48x x --的值为负数． 【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11x x - 有意义？ ⑵ 使代数式32 34 x x x x ++÷ --有意义的x 值是 ． ⑶若不论x 为何值，分式 21 2x x c ++总有意义，则c ． 经典例题
1.2 分式的基本运算 注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式． 【例3】 ⑴计算：()222 2 2x xy y x y xy x xy x -+--÷； ⑵计算：2 21 11 x x x - --； ⑶计算： 22 12239a a a a a a -+÷---； 经典例题 知识导航
⑷计算:2233x y x y x y x x y x x ??+-??---÷ ???+??? ?; ⑸计算：()22 221031525965a a a a a a -+÷--+-． 【例4】 ⑴先化简：22211a a a a a a --? ?-÷ ?+? ?，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值． ⑵已知：2 380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-- -++的值． 【例5】 化简：2 22222 2 2112 22a b a ab b ab a b a b ab ??-??+÷+?? ?++-+??????
2011中考数学真题解析15 分式的基本性质,负指数幂的运算(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 分式的基本性质，负指数幂的运算 一、选择题 1. （2011广东珠海，5，3分）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ． 是原来的 101倍 D ．不变 考点：分式的基本性质 专题：分式 分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，故选D ． 解答：D 点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据． （1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点． 2. 计算－22+（－2）2－（－ 12）－1的正确结果是（ ） A 、2 B 、－2 C 、6 D 、10 考点：负整数指数幂；有理数的乘方． 分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可． 解答：解：原式=－4+4+2=2． 故选A ． 点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 3. （2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ） Ａ．b a a 232 B ．a a a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a --
考点：最简分式；分式的基本性质；约分。 专题：计算题。 分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断． 解答：解：A 、ab b a a 32322=，故本选项错误； B 、3132-=-a a a a ，故本选项错误； C 、22 b a b a ++，不能约分，故本选项正确； D 、()()b a b a b a a b a ab a -+-=--)(222=b a a +，故本选项错误；故选C ． 点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分 式的基本性质正确进行约分是解此题的关键． 5.（2011丽江市中考，4,3分）计算10()(12-+-= 3 ． 考点：负整数指数幂；零指数幂。 专题：计算题。 分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算． 解答：解：原式=2+1=3． 故答案为3． 点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂： a －p =（a≠0，p 为正整数）；零指数幂：a 0=1（a≠0）．
分式的基本性质及运算
分式的基本性质及运算 一、知识提要 1. 分式的定义 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子A B 叫做分式. 2. 分式有意义 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0 时，分式A B 才有意义. 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变. 4. 约分利用分式的基本性质，约去分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 5. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 6. 通分 利用分式的基本性质，将不同分母的几个分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 7. 最简公分母 取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 8. 分式的乘除 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 9. 分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 二、精讲讲练
1. 在下列各式 2 3a π ， 2 2x x ，34a b +，(3)(1)x x +÷-，2m -，a m 中是分式的有____个. 2. ①（2011浙江）当x ________时，分式 x -31 有意义； ②若代数式 13 24 x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是 ． 3. ①（2011天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于________. ②若分式 2 (2)(3) a a a --+的值为0，则a =_______. 4. 填空：① ())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1 422= -+a a ③25_________20ab a b =—④22 9 _________69x x x -=-+ 5. 分式:① 223a a ++，②22a b a b --，③412()a a b -，④12 x -中，最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 分式 26x ab ，2 9y a bc 的最简公分母是__________； 分式2121a a a -++，26 1 a -的最简公分母是___________． 7. 分式计算 （1）222536x y y x ? （2）3921243a a b b b a ??÷÷? ??? （3）222441 214a a a a a a -+-?-+- （4）3 2 23322a a c cd d a ????÷ ? ?-????g （5） 2222532x y x x y x y +--- （6）112323p q p q ++-
15.1.2 分式的基本性质2教案
15.1.2 分式的基本性质 一、教学目标 1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形． 2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力． 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、教学重点和难点 1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键． 2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形． 三、教学方法 分组讨论． 四、教学手段 幻灯片． 五、教学过程 (一)复习提问 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ (二)新课 1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： 2．加深对分式基本性质的理解： 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？ 解：∵c≠0， 学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)
解：∵x ≠0， 学生口答． 解：∵z ≠0， 例2 填空： 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据． 练习1： 化简下列分式(约分) （1）2a bc ab （2） （3） 教师给出定义： 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分. 问：分式约分的依据是什么？ 分式的基本性质 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. d b a 24c b a 323223-()()b a 25b a 152 +-+-y x 20xy 5222x 20x 5y x 20xy 5= x 41xy 5x 4xy 5y x 20xy 52=?=
分式的概念及基本性质-分式的运算
分式的概念及基本性质分式的运算一．知识精讲及例题分析 (一）知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、Ｂ是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分式的分子,B叫分式的分 母。 注: (１)分式的分母中必须含有字母 （2）分式的分母的值不能为零,否则分式无意义２. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式，且M≠0) 4. 分式的约分与通分 （1）约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 （2)通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母,即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤： ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 （１）乘除运算 （2)分式的乘方 (3)分式的加减运算 （4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 ab a 2 , 1 x ， a 3 ,- - x x y , x+1 π , 1 4 () x y -， 1 y a b () +, 1 2 a- 例2. 下列分式何时有意义 (1）x x - + 1 2 ??（2) 1 1 ||x- ?（3) 4 1 2 x x- ?（4) x x x 22 +
分式的基本性质教案
10.2 分式的基本性质 七年级（下） 第九章 教学目标 1、认知目标：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分 式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化 简方法。 （知道分式的基本性质，学会简单的约分，知道最简分式） 2、能力目标：使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思 维能力；使学生掌握分式的基本性质，培养正确 进行分式变形的运算能力。 （知道分式的基本性质与分数的基本性质之间非常类似） 3、情感目标：通过与分数的类比，导出分式的基本性质，渗透 事物是联系及变化发展的辨证关系。 即类比— —联系— —归纳— —发展。 （让她感受课堂的快乐以及一起学习的愉悦） 教学重点及难点 重点是理解并掌握分式的基本性质。 难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分 式的化简方法。 （区分最简分式，把分式约分变为最简分式） 教学过程设计 一、 情景引入 1．观察 在括号内填写每一步骤的依据 计算： 解：（由她来完成这个题目） [通过填空和观察，使学生明确分数的计算和化简实质是进行分数 =12=36=16+2613+16
B ≠0,M ≠0,N ≠0 的通分和约分，而通分和约分的依据是分数的基本性质] 2．思考 问题（1）：还记得分数的基本性质吗？ （在其他学生的引导下，让她再次重复一遍） 问题（2）：分式是否也有这样的性质？ [通过提问的方式先使学生回忆复习分数的基本性质，继而引导 学生与分数的基本性质相类比，导出分式的基本性质，并让学生了解 分式的基本性质是今后学习与研究分式变形的依据。] 3．讨论 （1）对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分 式的值不变，即： ， 其中M 、N 为整式，且 （大家朗读完了以后，由她再次朗读一遍，并且在书上帮她自己划好 重点） （2）两者有何区别和联系？ [通过讨论使学生理解从分数到分式是把“数”引伸到“式”. 分数是分式的特殊情形。] 二、学习新课 1．概念辨析 分式中的A ，B ，M ，N 四个字母都表示整式，其中B 必须含有字 母，除A 可等于零外，B ，M ，N 都不能等于零.因为若B=0，分式无意 义；若M=0或N=0，那么不论乘以或除以分式的分母，都将使分式无 意义. （找出重点以后由她再来重复一遍） 2．例题分析 例1：
9.1分式及其基本性质2--约分
课题：9.1 分式及其基本性质（2） 第二课时 分式的约分 主备人：王刚喜 审核人： 杨明 使用时间：2011年 月 日 年级 班 姓名： 学习目标： 1. 强化对分式的基本性质的理解和应用; 2. 能根据分式的基本性质约分 3．能通过分式的约分将分式化为最简分式。 学习重点： 掌握分式的基本性质和分式的约分 学习难点： 分子、分母是多项式的约分 一、学前准备 【回顾】 1．化简： 812 =____； 12545 =____； 2613 =_____．依据是 2.把下列各式分解因式 (1)224b ab -=_________； (2)_________422=-y x (3)___________4422=+-y xy x (4) ___________232=+-x x 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“-”号. a b 56--， y x 3-， 2m n m --+， x y y -+-． 试总结符号变化的一般规律： 4.思考：下列分式是怎样从左边变形到右边的？。 （1）)0(22≠=y xy by x b ； （2） y x xy x 2 3 = ； 二、探究活动
【探究新知】 1．填空：（1） () 2 15() 5xy x y = （2） () _______1 4 22 = -+y y 2．思考：○ 1完成以上两小题填空的依据是什么？ 3．归纳定义：约分---- 4．练一练：给下列各式约分 （1）c ab b a 2 2 63 （2） 5 3 2164xyz yz x - （3） 34 82a b ab 5．约分的目的：把分式化为最简分式或整式。 最简分式: 6．想一想：下列分式如何约分？ （1） 2 2424x x x -- （2） 22 a b a b -+ （3） 1 212 2 +--x x x 7．自我归纳：分式约分的步骤是什么？ 8．练一练：给下列各式约分 （1）x y y x --3 )(2 （2） 2 2 699 x x x ++- （3） 2 2 2 a a b a b +- 【例题分析】 例1.下列最简分式有哪些？
分式的运算(含答案)解读
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则
（n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】 例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知，求 的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 例3：已知：，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 例4：已知a、b、c为实数，且 ，那么 的值是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 例5：化简： 说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。
分式及分式的基本性质习题
分式及分式的基本性质 从分数到分式 知识领航：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应 含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当 ≠B 时，分式 B A 才有意义；当B=0时，分式 B A 无意义.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零． 1、 当x 取什么值时，下列分式有意义．（1） 5 4+x x ， （2） 4 22 +x x . 2、已知分式2 42 +-x x ，当X 为何值时，分式无意义？当X 为何值时，分式有意义？当X 为何值时，分式 的值为零？当X=-3时，分式的值是多少？ 3、式子①x 2 ② 5 y x + ③ a -21 ④ 1 -πx 中，是分式的有（ ）A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 4、分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若3 1- ≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1≠ a 时,分式的值为零 5. 若分式1 -x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 6.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( )A.2 1≤x B.2 1
苏科版八年级下册分式的性质与加减、乘除运算学案(无答案)
授课学案 一、知识讲解 知识点1：归纳出分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于．．．．．．0．的整式．．．，分式的值不变。用式子表示就是 A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M (其中M≠0)。 【例1】.填空： (1)a b ＝ab ( ) ； (2)12 a 2+b 2 (a+b) ＝( )2a+2b ； (3)3a a+6 ＝6ab ( ) (b≠0)； (4)3x －2＝( )3x+2 (x≠－23 )； (5)( )x 2-4y 2 ＝x x+2y ； (6)6a 2-2ab ( ) ＝3a -b.
【例2】不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项的系数化为整数。 （1）0.5x+y 0.2x-4(2) 1 3 m-0.5 1-0.25m 知识点2:加减运算法则 (1)同分母的分式相加减，分母，把分子相加减； (2)异分母的分式相加减，先，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 3.零指数 . 4.3.负整数指数
约分:：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分． 5.通分：根据分式的基本性质，分母的分式可以化为分母的分式，这一过程称为分式的通分． 【例3】计算： （1）a a 31+ ； （2）1 3 212+-- +-a a a a ； （3）252x x -； （4）1 111+---+a a a a ；
例4、计算 4 21 422 ---x x （ 注：分式加减的结果要化为最简分式） 4 4 212-+ -a a ； 112---a a a