矩阵论在机械专业的应用

“矩阵论”课程研究报告

科目：矩阵理论及其应用教师：

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专业：机械设计类别：

上课时间： 2013 年 9 月至2013 年 12 月考生成绩：

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坐标变换在摆线针轮行星传动啮合方程中的应用

摘要：摆线针轮行星传动具有传动比大、结构紧凑、承载能力大和传动效率高等突出的优点，广泛应用于机械、矿山、冶金、化工、纺织、国防工业等领域。近年来在精密传动领域中受到了广泛关注。本报告根据齿轮啮合原理、由圆柱针齿及给定的运动，运用矩阵论中的与坐标变换相关的知识，建立行星轮共轭啮合齿廓的通用方程。从而表示标准摆线针轮行星传动的啮合方程式。

一、 问题描述

如图1所示。件1为针轮，件2为行星轮。在针轮和行星轮的中心分别建立于之相固连的动坐标系11b O x y 以及22g O x y ，在针轮中心建立整体固定坐标系

OXY 。在初始位置，X 轴与1x 轴重合，2x 轴与X 轴平行。针齿中心分布圆半径

为z R ，针齿的半径为z r 。针轮与行星轮的齿数分别为b z 和g z ，两轮中心距，即输入转臂轴承的偏心距为e 。为了简化问题的讨论，采用转臂（曲柄）固定法。将行星轮绕2z 轴逆时针旋转a θ角，根据相对运动关系，针轮也将随行星轮绕1z 轴逆时针旋转b θ角。求出行星轮的齿廓方程。

图1 坐标系的建立

二、 方法简述

问题中要求出行星轮，即摆线轮的齿廓方程。换而言之要求出短幅外摆线的曲线。一般以内摆法形成短幅摆线；而短幅摆线和针齿满足齿廓啮合定律以及连续传动条件。与渐开线等齿轮共轭啮合传动的理论大致相同。在该问题中，可以用方程式表达出针齿齿廓的方程，再根据针齿齿廓与行星轮齿廓共轭的条件，最

后求出行星轮齿廓方程，即与针齿相啮合的曲线方程。

在通过针齿齿廓求解出行星轮齿廓的过程中，由于针轮与行星轮存在偏心距，即两者所处的坐标不同，这样会导致啮合过程中，不能根据齿轮啮合原理直接变换。在此，运用矩阵理论相关知识，完成坐标系之间的转换过程。涉及到的矩阵知识有：坐标变换公式以及坐标的基本变换。

坐标变换公式

设V α∈，α在基1α，2α， n α之下的坐标为()12,,n ξξξ ，在基'1α，'

2α，

'n α之下的坐标为()1

2

''',,n

ξξξ ，即

1

''''

111n

n n n αξαξαξαξα=+=+

采用矩阵形式写法，便有

()()()11''1''111

11''n n n n C ξξξαααααααξξξ????

??

??????===??????????????????

由于α在基1α，2α， n α之下的坐标是唯一的，因此有

11''''n n C ξξξξ????????=???????????? 或者11''1''n n C ξξξξ-????

????=????????????

三、 实验数据和结果

1) 啮合方程

针齿齿廓在坐标11b O x y 中的方程为

()()1

111111cos sin z z z x i y j r i r R j θθ∑=+=++（1）

式中：θ为角参量。

根据齿轮啮合原理的运动学方法，啮合方程为

()()1211,0b n v φθθ=?=（2）

其中，1n 为针齿啮合点处的法线矢量，在坐标轴1x 和1y 山的投影为

11cos x z n dy d r θθ==，11sin y z n dx d r θθ=-=，

()12

1v 为啮合点处针齿与行星轮的相对运动速度矢量，

()

()()()(

)

(

)()()121

2

1

21

2

1

111v v v w w w e =-=-?∑+?

式中

()()()1

1

1

1v w =?∑，()()()()2

2

1

2

11v w e w =?∑+?，()1

11w w k =，()()2

2

122w w w k ==。

以上各式中1i ，1j ，1k 分别为坐标轴1x ，1y ，1z 的单位矢量。

将相关的表达式带人（2）式，计算化简后得到啮合函数

()(),cos cos 0b b φθθλθθθ=+-=（3）

其中λ为系数，且

()/1H H

gb z gb ei R i λ??=-??

2) 行星轮的齿廓方程()2

∑

在坐标系22g a a O x y 中，与针齿齿廓()1∑相共轭的行星轮齿廓()2

∑由下式确实：

()()()2121,0

b M φθθ?∑=∑

??

=??（5） 式中212001M M M =，为从11b b b O x y 到22g a a O x y 的坐标变化矩阵。

由11b b b O x y 到OXY 的变换矩阵为

01cos sin 0sin cos 0001b b b b M θθθθ-????

=??????

（6）

由OXY 到22g a a O x y 的坐标矩阵为

20cos sin sin sin cos cos 001a

a a a

a a e M e θθθθθθ-??

?

?

=--??????

（7）

令'a b b θθ?-=，由//H

gb

a b b g i z z θθ==，可得 ()'/a b b b g z z z θ?=-，()'/b g b b g z z z θ?=-

于是

()()'

''

'

''

21cos sin sin /sin cos cos /001b b b b b g b

b b b b g e z z z M e z z z ????????

--?

?

??=---??

??

?

?

（8）

根据三角函数公式解啮合函数（3），有

sin cos 1/θλθ=±-9）

cos sin /b θλθ=±将（1），（8），（9）式带人（5）式得到行星轮的齿廓方程()2

∑的一般表达式

()()''2''

2

sin sin /cos cos cos /sin z b b b b g z z b b b b g z x R e z z z r y R e z z z r ??β??β?

??=--+??

??

??=---????（10） 其中

(){}

(){}'''

'cos sin /sin /sin cos /cos /

b b b g b b b

b

g

b

z z z z z z βλ??βλ????=±--????=±--+??11）

其中，行星轮齿廓的方程式为式（10）的表达式。

四、 结果分析和说明

根据过程三中得出的结果，针齿齿廓的表达式为式（1）中的()1

∑，该方程的

表达式是在坐标系11b O x y 的表达式；而与之相啮合的摆线轮的表达式为式（10）中的()2

∑，该方程的表达式则是在坐标系22g a a O x y 的表达式。由此可见，与针齿

共轭啮合的曲线获得的行星轮齿廓方程，是短幅摆线的等距曲线。

当式（10）中的针齿半径z r =0时，将得到理论短幅摆线；当针齿齿数b z 大于摆线轮齿数g z 时，式（11）中，等号右边取正，短幅摆线向内等距，获得短幅外摆线的等距线，形成普通的摆线针齿行星传动，见图2；当针齿齿数b z 小于摆线轮齿数g z 时，式（11）中，等号右边取负，短幅摆线向外等距，获得短斧内摆线的等距线，可行成内摆线针轮行星传动，见图3。

图2与图3中的参数为：

z R =90，z r =7，e =4，g z =33，b z =34，λ=1.511

图2 短幅外摆线的等距线

图3 短幅内摆线的等距线

参考资料

[1] 李新,何传江. 矩阵理论及其应用. 重庆大学出版社,2005(8): 2- 11.

[2] 陈兵奎,房婷婷,李朝阳. 摆线针轮行星传动共轭啮合理论. 轴承, 2008,38(1):148-160 .

[3]李特文. 齿轮啮合原理. 第2版. 上海:上海科学技术出版社, 1984. 12.

[4]饶振刚. 行星传动机构设计. 第2版. 北京:国防工业出版社, 1994. 6.

[5]李力行,洪淳赫.摆线针轮行星传动中摆线轮齿形通用方程式的研究.大连铁道学院学报, 1992, 13(1):7-12.