双生素数个数的近似函数Sn.doc
双生素数个数的近似函数S(n)~
∏--a p p p n n 2|2
1
)(ln )(ππ 李联忠
（营山中学 四川营山 637700） 摘 要：引理1： ∏≤∞
→???
?
??-N p k N k p N
11ln lim =2 引理2：(等差数列的素数定理) (p i ,a i )=1时，末项不大于N 的等差数列
a i +np i 中，当N →∞时，其素数个数π(p i )～
N
p N
i ln )(?。()(i p ?是欧拉函数。
)(i p ?=p i -1。
引理3: 当N →∞时,用N ∏-
)1
1(P
来表示在不大于N 的所有正整数中去掉模p （p 为不大于a 的素数，N a N ≤≤）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（
121≤≤λ）
；而用N
N
N ln )(或π来表示则所乘的系数始终是1. 从而证明 类似于素数定理的相差2a 的双生素数个数S(N)~
∏--?a p p p n n 2|2
1
)(ln )(ππ
关键词：数论；孪生素数个数
中国分类号：015 文献标识码： 文章编号：
引理1： ∏≤∞
→???
? ??-N p k N k p N
11ln lim =2 证明：因为Euler （欧拉）曾经推导出了以下结果：
∑∏∞
=∞
==-
11
1
)
1
1(1
n k k
n
p
(n p
k
≤)
即有
∑∏∞
=∞
==???? ?
?-111
111n k k n
p
所以
∏≤∞
→???
? ??-N p k k k p N
11ln lim [][]∑=∞→=n n N 1
n n 1ln lim ］［］［ 。 Euler 还证明了以下结果：
γ=-∑
=∞
→)ln 1
(lim 1
N n N
n N ， 其中
γΛ101532860655772156649.0= 称为 Euler 常数。
所以
∏≤∞
→????
??-N p k k k p N
11ln lim [][]∑=∞→=n n n n N 1
1ln lim ］
［］［[][]
[][]∑=∞→+-=n n n n n n N 1ln )ln 1(ln lim ］［］［ []
[][]
∑=∞
→+-=n n n n N n n 1
ln n ln ln 1)ln 1
(
1
lim
］
［］
［］［
[]
[][]
∑=∞
→+-=n n n n n N n n 1
ln ln ln 1)ln 1
(
1
lim
］
［］
［］［
22
1
01=+
?=
γ 。
∴ ∏≤∞
→???
? ??-N p k N k p N
11ln lim =2 引理2：(等差数列的素数定理) (p i ,a i )=1时，末项不大于N 的等差数列a i +np i 中，当N →∞时，其素数个数π(p i )～N
p N
i ln )(?。()(i p ?是欧拉函数。)(i p ?=p i -1。
引理3: 当N →∞时,用N ∏-
)1
1(P
来表示在不大于N 的所有正整数中去掉模p （p 为不大于a 的素数，N a N ≤≤）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（
121≤≤λ）；而用N N N ln )(或π来表示则所乘的系数始终是1.
证明： 由素数定理可得
N
N
N N N ln )(lim
lim ∞
→∞
→=π
根据引理1
∏≤∞
→???
? ??-N p k N k p N
11ln lim =2 ∴2)1
1(ln ln /)11()(/)11(lim lim lim =-=-=-∏∏∏≤∞
→≤∞
→≤∞
→N
P N N
P N N
P N P N N N P N N P N
π
即
N N P N
N N N
P N N ln )11(2
1
)(lim lim lim ∞
→≤∞
→∞
→=-
=∏
π (1) 如果引理1中的条件
n p
k
≤换成
n p
k
≤.则可得
∏≤∞→????
?
?-N p k N k p N 11ln lim =1 这时则有 1)11(ln ln /)11()(/)11(lim lim lim =-=-=-
∏∏∏≤∞→≤∞→≤∞
→N
P N N P N N
P N P N N N P N N P N π 即
N
N
P N N N N
P N N ln )1
1()(lim
lim lim ∞
→≤∞
→∞
→=-=∏π (2) 而（1），（2）即是说，当N →∞时,用N
∏-
)1
1(P
来表示在不大于N 的所有正整数中去掉模p （p 为不大于a 的素数，N a N ≤≤）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（
121≤≤λ）
；而用N
N
N ln )(或π来表示则所乘的系数始终是1. 引理3得证。
定理：相差2a 的双生素数个数S(n)~
∏--?a p p p n n 2|2
1
)(ln )(ππ
证明： 数组(1,1+2a), (2,2+2a), …, (m,m+2a),…, (n,n+2a) (1≤m ≤n) 若p|m 或p| (m+2a) 则数组（m,m+2a ）不是孪生素数组 （p ≤a n 2+ )
∵p| (m+2a) 即 m ≡p-2a(p)(modp) (2a(p)表示2a 除以p 的余数) ∴去掉模p 余0和（p-2a(p)）的两个同余类
而素数个数是去掉模p 余0的一个同余类，双生素数去两个同余类可以看着先去模p 余0的一个同余类，得不大于n 的连续素数共π(n)个，再去模p 余（p-2a(p)）的一个同余类，由引理2有
在π(N)个素数中再去掉
p i
（p i
≥3）的一个非0 同余类后，余下素数个数约为
π(n))1
1
1(--p
i
而
π(n))1
1
1(--
p
i
≥π(n))1
1(1
p
i --＞π(n))1
1(p
i
-
对π(n)个连续素数编上序号，则得到π(n)个连续正整数 1 2 3 … π(n). π(n))1
1(p
i
-
就是在这π(n)个连续正整数中去掉
p i
的一个同余类。而2a(p)=0时，
只去模p 余0的一个同余类，这时需乘以
2
1
--p p ，由引理3可得 相差2a 的双生素数个数S(N)~∏--?a p p p n n 2|2
1
)(ln )(ππ 定理得证。
根据定理的证明，可得 推论1：S(N)~∏
--?
a
p p p n 2|2
1
))((ππ 推论2：S(N)≥∏
∏+≤
+≤≤--?-?
a
p a n p a n p p p p p n 2|223212
21且λ （λ=4
1
）
希尔伯特数学问题
希尔伯特数学问题：1900年，德国数学家希尔伯特（David Hilert，1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演，揭开了20世纪数学的序幕。 希尔伯特是继克莱因之后哥廷根数学的领头人。他在巴黎讲演中，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出了23个问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域，推动了20世纪数学的发展。以下是希尔伯特数学问题及其进展简况。 一个学科有很多问题说明这个学科还有很强的生命力。 1. 连续统假设。自然数（可数）集基数。与实数集（连续统）基数抟。之间不存在中间基数。1963年，美国数学家科恩（P.Cohen）证明，连续统假设的真伪不可能在策梅洛—弗兰克尔公理系统内加以判别。 产生背景；解决过程；目前状态；历史。 2．算术公理的相容性。1931年，哥德尔（K. G del）证明了希尔伯 特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现。相容性问题至今尚未解决。 3．两等底等高四面体体积之相等。1900年，德恩（M. Dehn）证明了 确实存在着等底等高却不剖分相等，甚至也不拼补相等的四面体。这个问题成为最先获解的希尔伯特数学问题。 4．直线为两点间的最短距离。问题提得过于一般。 5．不要定义群的函数的可微性假设的李群概念。格利森（A. M. Gleason）、蒙哥马利（D. Montgomery）、席平（L. zippin）等在1952年对此问题给出了肯定解答。 6．物理公理的数学处理。在量子力学、热力学等部门，公理化 已取得很大成功。至于概率论公理化，已由科尔莫戈罗夫（A . H . Колмогоров）等建立起来（1933）。 7 ．某些数的无理性与超越性。1 9 3 4 年，盖尔丰德（ A . O.Гельфонд）和施奈德（T. Schneider）各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α（α≠0，1）和任意代数无理数β，证明了αβ的超越性。 8．素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未 解决。 9．任意数域中最一般的互反律之证明。已由高木贞治（Takagi Teiji）
我发现了筛法的计算公式(最后稿)
我发现了筛法的计算公式 孟庆馀［江苏连云港］ 2010年5月 [摘要]： 笔者在探索中，发现了有关素数与合数关系的三条主要规律： １、区段（区域）性的规律。 ２、逐项相除四舍五入的规律。 ３、随从数的规律。 根据这三条规律推导出一个公式, 它可以计算出任一已知素数后边紧跟的那个素数和任意大的一个自然数之前共有多少个素数的问题。 这个公式是： m p = 2N -N [ (211p p +311p p -3211p p p ±…±13211-n p p p p Λ)+ （ )1111132131211-±±++-n p p p p p p p p p ΛΛ（-n p 1）]+（1-n ） [关键词]： 筛法公式、逐项相除、四舍五入、区段、随从数。 [正文]： 笔者在多年的探索中，发现了有关素数与合数关系的一些规律，根据这些规律找到了一个可以对埃拉多斯染尼氏（Eratosthenes ）筛法进行计算的公式，即“筛法计算公式”(它包括计算素数和计算奇合数两个公式)，计算素数的公式也可以称为“素数公式"。给素数找出一个通项表达式，即已知任一素数后边紧跟的那个素数的公式，这是一个缠绕着数学家的世界难题，时至今日都没有解决。笔者的这个公式能较好地解决任一已知素数后边紧跟的那个素数的问题。 一、“筛法计算公式”(用于计算素数) m p = 2N -N [ (211p p +311p p -3211p p p ±…±13211-n p p p p Λ)+ （)1111132131211-±±++-n p p p p p p p p p ΛΛ（-n p 1）]+（1-n ） …（1） 式中m p 为1~N 数列中素数个数；N 为任意大的自然数（2n p ≤N <21+n p ） ；n p p p p ,,,,321K 为素数，其中：1p = 2，2p = 3，3p = 5，…,6p = 13，…；n ≥2 。
北师版五年级数学上册第三单元测试题含答案
北师版五年级数学上册第三单元测试题含答案 （共4套） 第三单元跟踪检测卷 一、填一填。(第9题3分，其余每空1分，共24分) 1．一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是()，它的因数有()，100以内它的倍数有()。 2．聪聪的QQ号码是一个六位数，这个数能同时被2，3，5整除。已知这个 数的前三个数字是469，后三个数字尽量最小，聪聪的QQ号码是()。 3．一个合数至少有()个因数，一个质数只有()个因数。4．同时是2，3，5的倍数的最小数是()，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是()。 5．一个三位数同时是3和5的倍数，且百位上既是奇数又是合数，这个三位数最大是()。 6．36的最大因数是()，28的最小倍数是()。 7．76至少要加上()才是3的倍数；76至少要加上()才是5的倍数。8．按要求在方框里填上合适的数字。 (1)38(2和3的倍数) (2)945(2和5的倍数) (3)7015(3和5的倍数) (4)280(2，3和5的倍数) 9．在括号里填上合适的质数。
30＝()＋()＋()40＝()＋()＋() 10．两个质数的差是14，积是51，这两个数是()和()；两个质数的和是20，积是91，这两个数是()和()。 二、辨一辨。(对的在括号里画“√”，错的画“×”)(每题1分，共5分) 1．自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。() 2．个位是3，6，9的数一定是3的倍数。() 3．在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。() 4．除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。() 5．是6的倍数的数一定既是2的倍数也是3的倍数。() 三、选一选。(把正确答案的字母填在括号里)(每题2分，共10分) 1．2，3，5，7这四个数都是()。 A．奇数B．偶数C．质数D．合数 2．一个数既是8的倍数，又是48的因数，同时它还是2和3的倍数，这个数是()。 A．8 B．16 C．24或48 D．32 3．当a是自然数时，2a＋1一定是()。 A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．不能确定 4．下列关系式中，不一定成立的是()。 A．奇数＋奇数＝偶数B．偶数＋偶数＝偶数 C．奇数×偶数＝偶数D．质数＋质数＝合数 5．下列说法中，有()个是正确的。 ①一个数的最小的倍数是它本身②0是最小的自然数
深圳笋岗中学必修第二册第五单元《概率》检测(含答案解析)
一、选择题 1．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（ ）． A ． 23 B ． 34 C ． 45 D ． 56 2．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ） A ． 581 B ． 1481 C ． 2281 D ． 2581 3．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ） A ． 29 B ． 15 C ． 310 D ． 13 4．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组22 80 40ax by x y +-=??+-=? ，有实数解的概率为（ ） A ． 29 B ． 79 C ． 736 D ． 9 36 5．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．不是互斥事件 6．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有 n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若 21P P ≥，则 n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人
素数普遍公式
素数普遍公式 目录[隐藏] 一、引言 二、素数普遍公式 三、素数的个数 四、公式的用途 五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义 思考题 一、引言 二、素数普遍公式 三、素数的个数 四、公式的用途 五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义 思考题 [编辑本段] 一、引言 2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔 素数普遍公式 ，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。 [编辑本段] 二、素数普遍公式
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 孪生素数个数计算公式 李联忠 （营山中学 四川营山 637700） 摘要：孪生素数个数计算公式 ∑ -∑-∑-? ??? ????++ +??? ? ?? ???++??? ? ? ? ??++ =≠==p p p x p p x p x L i i i i j k j k j k kj i k k k I n n n n 2 112,12 11 )1() 1() 1(、 ＋ｑ-h n 前的素数均是n 的约数时，孪生素数个数计算公式 p p p p p p i i n L 22 12 2 1 1 -? ?-?-? = +q-h 关键词：数论 孪生素数 公式 中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 孪生素数：相差２的素数叫孪生素数。 引理：若 p p n i 21 i 2+≤＜ ， p p p p p i i k 1 2 1 ,, ,, ,3, 2+== 为连续素数，则在1、2、 3…n 中去掉 p k 的倍数，余下的数（1除外）全为素数。 分析下面相差2的数组 （１，３） （２，４）…（ｍ，ｍ＋２）…（ｎ，ｎ＋２） (1≤m ≤n) 若 p p n i 21 i 2+≤＜ p p p p p i i k 1 2 1 ,, ,, ,3, 2+== 为连续素数，在1、2、3…n 中去 掉除以 p k 余0和余（ 2-p k ）的数，则余下的数组（ｍ，ｍ＋２）中，ｍ和（ｍ＋２） 都不是前ｉ个素数的倍数，据引理，余下的数组全为孪生素数（若n 为素数，n+2=p i 21 +， （n,n+2）除外，i=1，（1，3）除外），仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式 ∑ -∑ -∑ ∑ + + ++ + + + + - =≠≠=≠==］ ［］［ ］［ ］［p p p x p p p x p p x p x L i i i i j k l j k l j k l lkj i j k j k j k kj i k k k i n n n n n 2 1 12,1,,3 ,1,1 ) 1() 1( =q-h ) )2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；作为的孪生素数，因为它们 表不大于 +=n n h q p i ()(mod 20,),(mod 20);(mod 02 2 1 1p x p x p x i i 或或≡≡≡ 第二单元跟踪检测卷 一、填一填。(第2、9题每题2分，其余每空1分，共24分) 1.一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是()，它的因 数有()，100以内它的倍数有()。 2．聪聪的QQ号码是一个六位数，这个数能同时被2、3、 5整除。已知这个数的前三个数字是469，后三个数字 尽量最小，聪聪的QQ号码是()。 3.一个合数至少有()个因数，一个质数只有()个因数。 4.同时是2，3，5的倍数的最小数是()，最小三位数是()。 5.一个三位数同时是3和5的倍数，且百位上既是奇数又是合数，这 个三位数最大是()。 6. 36的最大因数是()，28的最小倍数是()。 7. 76至少要加上()才是3的倍数；至少要加上()才是5的 倍数。 8.按要求在方框里填上合适的数字。 (1)38(2和3的倍数) (2)945(2和5的倍数) (3)7015(3和5的倍数) (4)280(2、3和5的倍数) 9.在括号里填上合适的质数。 30＝()＋()＋()40＝()＋()＋() 10.两个质数的差是14，积是51，这两个数是()和()；两个质 数的和是20，积是91，这两个数是()和()。 二、辨一辨。(对的在括号里打“√”，错的打“×”。每题1分，共5分) 1.自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。() 2.个位是3、6、9的数一定是3的倍数。() 3.在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。() 4.除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。() 5.是6的倍数的数一定既是2的倍数也是3的倍数。() 三、选一选。(将正确答案的序号填在括号里。每题2分，共10分) 1.2，3，5，7这四个数都是()。 A．奇数B．偶数C．质数D．合数2.一个数既是8的倍数，又是48的因数，同时它还是2和3的倍数， 这个数是()。 A．8 B．16 C．24或48 D．32 3.当a是自然数时，2a＋1一定是()。 A．奇数B．偶数 C．奇数或偶数D．不能确定 4.下列关系式中，不一定成立的是()。 A．奇数＋奇数＝偶数B．偶数＋偶数＝偶数 C．奇数×偶数＝偶数D．质数＋质数＝合数 5.下列说法中，有()个是正确的。 ①一个数的最小的倍数是它本身②0是最小的自然数 孪生素数猜想初等证明详解 齐宸 孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。 素数对（p, p + 2）称为孪生素数。 孪生素数由两个素数组成，相差为2。为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。 1．孪生素数分类及无个位表示方法 孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是： 1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等； 2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等； 3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。 三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。 自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。无论这一步是一小步，还是一大步。但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。 分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。 为什么一定要去掉个位呢？ 可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。并用非孪生素数证明孪生素数猜想。 自然数分成互补的孪生素数与非孪生素数，这是一种新的观点。恐怕没有人相信这种新奇的想法，但这是可以实现的。而且还可以将自然数分成互补的四胞胎素数与非四胞胎素数等。 筛法求素数 目录 基本思想 C语言实现 pascal实现: 1C++实现: 2python 实现: 基本思想 用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列，1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是： 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 C语言实现 1、算法一：令A为素数，则A*N（N>1;N为自然数）都不是素数。 #define range 2000 bool IsPrime[range+1]; //set函数确定i是否为素数，结果储存在IsPrime[i]中，此函数在DEV C++中测试通过 void set(bool IsPrime[]) { int i,j; for(i=0;i<=range;++i) IsPrime[i]=true; IsPrime[0]=IsPrime[1]=false; for(i=2;i<=range;++i) { if(IsPrime[i]) { for(j=2*i;j<=range;j+=i) IsPrime[j]=false; } } } 2、 说明：解决这个问题的诀窍是如何安排删除的次序，使得每一个非质数都只被删除一次。中学时学过一个因式分解定理，他说任何一个非质（合）数都可以分解成质数的连乘积。例如，16=4^2，18=2 * 3^2，691488=2^5 * 3^2 * 7^4等。如果把因式分解中最小质数写在最左边，有16=4^2，18=2*9,691488=2^5 * 21609,；换句话说，把合数N写成N=p^k * q，此时q当然是大于p的，因为p是因式分解中最小的质数。由于因式分解的唯一性，任何一个合数N，写成N=p^k * q;的方式也是唯一的。由于q>=p的关系，因此在删除非质数时，如果已知p是质数，可以先删除P^2,p^3,p^4,... ，再删除pq,p^2*q,p^3*q,...,（q是比p大而没有被删除的数），一直到pq>N为止。 因为每个非质数都只被删除一次，可想而知，这个程序的速度一定相当快。依据Gries与Misra的文章，线性的时间，也就是与N成正比的时间就足够了（此时要找出2N的质数）。（摘自《C语言名题精选百则（技巧篇）》，冼镜光编著，机械工业出版社，2005年7月第一版第一次印刷）。代码如下： #include 第2单元跟踪检测卷 因数与倍数 一、填一填。(2、9题每题2分，其余每空1分，共24分) 1．一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是( )，它的因数有( )，100以内它的倍数有( )。 2．聪聪的QQ号码是一个六位数，这个数能同时2、3、5 整除。已知这个数的前三个数字是469，后三个 数字尽量最小，聪聪的QQ号码是( )。 3．一个合数至少有( )个因数，一个质数只有( )个因数。4．同时是2，3，5的倍数的最小数是( )，最小三位数是( )。5．一个三位数同时是3和5的倍数，且百位上既是奇数又是合数，这个三位数最大是( )。 6．36的最大因数是( )，28的最小倍数是( )。 7．76至少要加上( )才是3的倍数；至少要加上( )才是5的倍数。 8．按要求在方框里填上合适的数字。 (1)38(2和3的倍数) (2)945(2和5的倍数) (3)7015(3和5的倍数) (4)280(2、3和5的倍数) 9．在括号里填上合适的质数。 30＝( )＋( )＋( ) 40＝( )＋( )＋( ) 10．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是20，积是91，这两个数是( )和( )。 二、辨一辨。(对的画“√”，错的画“×”)(每题1分，共5分) 1．自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。( ) 2．个位是3、6、9的数一定是3的倍数。( ) 3．在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。( ) 4．除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。( ) 5．是6的倍数的数一定既是2的倍数也是3的倍数。( ) 三、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)(每题2分，共10分) 1．2，3，5，7这四个数都是( )。 A．奇数B．偶数C．质数D．合数 2．一个数既是8的倍数，又是48的因数，同时它还是2和3的倍数，这个数是( )。 A．8 B．16 C．24或48 D．32 3．当a是自然数时，2a＋1一定是( )。 A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．不能确定4．下列关系式中，不一定成立的是( )。 A．奇数＋奇数＝偶数B．偶数＋偶数＝偶数 C．奇数×偶数＝偶数D．质数＋质数＝合数 孪生素数猜想证明简述 一：逻辑证明（最简单，但逻辑思维要求高） 根据素数新定义：从祖素数2开始，素数倍数后不连续的数即为素数。 易知素数除了2以外全是奇数，所以在奇数数轴上研究素数会有奇效。 奇数数轴：3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31......，无数对相差为2（相连）的数； 假设只有3为素数，去掉其倍数后数轴变为：3,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31......，只少了一点，但依旧有无穷对素数相差2； 添加5为素数，去掉其倍数后数轴变为3,5,7,11,13,17,19,23,29,31......，少的更少，剩下相差为2的素数对肯定是无穷多；等等； 如此可以无穷下去，但少的越来越少，而且剩余差值为2的素数对肯定是无穷多。 所以孪生素数肯定是无穷多的。一目了然！！！ 当然也很容易看出，P和P+2k的素数对也是无穷多的（波利尼亚克猜想成立）。 （参考文献：奇数轴中素数量与合数宽度的研究） 二：公式证明（难度极大） 在上述的逻辑证明中，我们若将奇数数轴设为单位1； 则3的倍数占比为：1/3 5的倍数占比为：1/5-1/15 7的倍数占比为：1/7-1/21-1/35+1/105 等等，最后可得到孪生素数在奇数中的占比(LiKe级数公式)约为： 1-1/3-(1/5-1/15)-(1/7-1/21-1/35+1/105)-(1/11-1/3*11-1/5*11-...+...)-... =1-1/3-1/5-1/7-......-1/p+1/15+1/21+......+1/pq-1/105-1/165-......-1/pqr+...-... =1-∑1/P+∑1/pq-∑1/pqr+…±∑1/∏P （1） (式中所有素数为奇素数，分母为偶数个素数积时取和，为奇数时取差) 关于该新颖级数的求和不在此演示。不过它是发散的(其值应该不为0)，该级数本身足以说明了孪生素数的无穷多。 （参考文献：奇数轴中素数量与合数宽度的研究） 三：等价证明 针对级数公式求解的复杂性，很多人也许看不出端倪。至此我们可以通过等价的 原理加以诠释： 将整数数轴：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,......中整数个数设为单位1； 根据素数新定义 求孪生素数问题 问题求孪生素数问题。孪生素数是指两个相差为2的素数，例如：3和5，5和7，11和13 等。编程实现输出15对孪生素数。 分析判断是否是循环需要循环，找到15对孪生素数也需要循环，因此该问题是二重循环问题。 数据要求 问题中的常量： 无 问题的输入： 无。 问题的输出： 15对孪生素数。 设计初始算法 1 初始化nCount为零。 2 从2开始判断某个数是否是素数，并且这个数加2是不是素数 3 找到15对孪生素数，结束。 算法细化 我们在循环中引入一个nCount来控制找到15对孪生素数就行。 附加的程序变量 Int nCount=0； 步骤2的细化 2.1 判断某个数是否是素数 2.2 判断这个数加2是不是素数 其中步骤2可以进一步细化，因为求素数是一个简单的问题，我们需要判断比这个 数小的数中，除了它本身和1之外，还有没有别的约数就可以了。 步骤2.1细化 2.1 for(i=2;i<=n-1;i++) 如果(n%i==0) { break; } 流程图 实现 #include "stdio.h" #include "math.h" int isprime(int n) { int nRet=1; int i; if(n<2) nRet=0; for(i=2;i<=n-1;i++) if(n%i==0) { nRet=0; break; } return nRet; } main( ) { int k=2，nCount=0； do { if（isprime（k）&&isprime（k+2）） { nCount+=1； printf（“%d，%d”，k，k+2）； } k=k+1； } while（n<15）； } 测试输出15对孪生素数，略。 100年以来數論重大問題的“证明”全部都是错误的 王曉明 摘要：100年來，對數論中的重大問題的“證明”全部都是錯誤的，最重要的原因就是數論學家普遍不懂邏輯學。整個數論已經崩潰，本文的目的就是指出這些錯誤。(内容基本上发表在中国科学院智慧火花各个栏目上) 目錄： 1，羅素悖論的是與非。 2，孿生素數猜想的是與非。 3，哥德巴赫猜想的是與非。 4，費馬大定理的是與非。 5，黎曼猜想的是與非。 6，3x+1問題的是與非 7，物理学的m理论用四色定理哥德巴赫猜想费马大定理黎曼猜想联合表示 一，羅素悖論的是與非 摘要：羅素悖論定義的“x不屬於x”有著明顯的錯誤：1，不是按照“種加屬差”的正確方法定義x。2，不是按照“不能採用否定判斷的定義”。3，“x不屬於x”的定義違法了同一律。並且兩次定義“一切”違反了同一律。4，語法錯誤，“x不屬於x”，前面x是主語，後面x是謂語，前面主語x是“誰”“什麼”，後面謂語x“是什麼”，“不是什麼”。 關鍵字：悖論，定義。 （一），前言 英國人勃蘭特.羅素（Betrand Russell1872—1970）是二十世紀西方哲學界大師，年輕時曾經用10年時間完成三卷【數學原理】，後由數學進入哲學，到了孔子說的從心所欲而不逾矩的年齡，寫完【西方哲學史】。作為數學家哲學家的羅素在二戰後為什麼獲得諾貝爾獎文學獎？西方人通常按照地緣政治的角度解釋戰爭，拿破崙打過來脾斯麥打過去，戰爭、聯姻...無休止的幹下去。直到二戰結束，人們經過奧斯維辛集中營、達豪之後，飽受蹂躪的歐洲人忽然明白，正是羅素預言的那樣——潛藏在人性中的邪惡才是災難的起因。羅素在他的著作中早有分析和預言，戰後倖存者讀起來無不心悅誠服。羅素的文筆非常漂亮，文風優美，就連一部【西方哲學史】寫得跟聊天似得，於是斯德哥爾摩的文學老爺們找到了理由。羅素的故事永遠談不完，我們就此停筆。而這個瘋子（實際上是個邏輯學白癡）給數學造成的麻煩形成了100年的恐慌，我們今天揭穿這個數學......。 （二），羅素悖論 羅素1903年構造了一個集合R，設R 為一切不屬於自身元素的集合所組成的集合（作者附言：這是第一次定義“一切”）。 羅素問： R是否屬於R？（【中國大百科全書-數學】19頁）。 實際上羅素提出的是兩個命題： 【1】，R是屬於R。 【2】，R不是屬於R。 根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的 孪生素数 要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数这个概念。 素数是除了1 和它本身之外没有其它因子的自然数。素数是数论中最纯粹、最令人着迷的概念。除了 2 之外，所有素数都是奇数(因为否则的话除了 1 和它本身之外还有一个因子2，从而不满足素数的定义)，因此很明显大于2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2。 所谓孪生素数指的就是这种间隔为2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。最小的孪生素数是(3, 5)，在100 以内的孪生素数还有(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和(71, 73)，总计有8 组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？ 我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏，不过幸运的是早在古希腊时代，Euclid 就证明了素数有无穷多个 (否则今天许多数论学家就得另谋生路)。长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与Goldbach 猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想- 孪生素数猜想： 孪生素数猜想：存在无穷多个素数p, 使得p+2 也是素数。 究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过，但是一八四九年法国数学Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数2k, 存在无穷多组以2k 为间隔的素数。对于k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的k 对应的素数对的命名也很有趣， 例6、用筛法求出100以内的全部素数，并按每行五个数显示。 【问题分析】 ⑴把2到100的自然数放入a[2]到a[100]中（所放入的数与下标号相同）； ⑵在数组元素中，以下标为序，按顺序找到未曾找过的最小素数minp,和它的位置p（即下标号）； ⑶从p+1开始，把凡是能被minp整除的各元素值从a数组中划去（筛掉），也就是给该元素值置0； ⑷让p=p+1，重复执行第②、③步骤，直到minp>Trunc(sqrt(N)) 为止； ⑸打印输出a数组中留下来、未被筛掉的各元素值，并按每行五个数显示。 用筛法求素数的过程示意如下（图中用下划线作删去标志）： ① 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 ｛置数｝ ② 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被2整除的数} ③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被3整除的数} …… 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被整除的数} Program Exam53; const N=100; type xx=1 .. N; {自定义子界类型xx（类型名）} Var a: array[xx] of boolean; i,j: integer; Begin Fillchar(a,sizeof(a),true); a[1] := False; for i:=2 to Trunc(sqrt(N)) do if a[I] then for j := 2 to N div I do a[I*j]:= False; t:=0; for i:=2 to N do if a[i] then Begin write(a[ i ]:5); inc(t); if t mod 5=0 then writeln end; End. 【例3】输入十个正整数，把这十个数按由大到小的顺序排列（将数据按一定顺序排列称为排序，排序的算法有很多，其中选择排序中的“简单选择排序”是一种较简单的方法） 分析：要把十个数按从大到小顺序排列，则排完后，第一个数最大，第二个数次大，……；因此，我们第一步可将第一个数与其后的各个数依次比较，若发现，比它大的，则与之交换，比较结束后，则第一个数已是最大的数。同理，第二步，将第二个数与其后各个数再依次比较，又可得出次大的数。如此方法进行比较，最后一次，将第九个数与第十个数比较，以决定次小的数。于是十个数的顺序排列结束。 例如下面对5个进行排序，这个五个数分别为829105。按选择排序方法，过程如 何为线性筛法，顾名思义，就是在线性时间内（也就是O（n））用筛选的方法把素数找出来的一种算法，没用过线性筛素数法的人可能会奇怪，用遍历取余判定素数不是也是线性时间的吗，没错，但是确切的说线性筛法并不是判定素数的，而是在线性时间内求出一个素数表，需要判定是否是素数的时候只要看该数是否在表内就可以瞬间知道是不是素数。 比如想求10000以内的素数，定义表int a[10000]，进行线性筛选后，a[n]的值就代表n是不是素数，a[n]如果是1，就代表n是素数，a[n]如果是0，就代表n不是素数，这就是查表。再判定其他的素数也是一样，不用再做任何计算。 而如果用遍历取余，那么每判定一个数都要从头开始再遍历一遍，而线性筛法只在开始一次性运算完，以后只要查表即可，查表通常只需要1条语句。所以如果你的程序从始至终只需要判定那么几次素数那么用遍历取余即可，但是如果需要多次判定素数，而且这个数还不是很小的话，那么线性筛法就会体现出巨大的优越性来。 线性筛法的核心原理就是一句话：每个合数必有一个最大因子（不包括它本身），用这个因子把合数筛掉，还有另一种说法（每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数，其实都一样，但是我觉得这种方法不太容易说明，这种方法我会在最后给出简略说明）。这个很容易证明：这个小学就知道合数一定有因子，既然是几个数，就一定有最大的一个。最大因子是唯一的，所以合数只会被它自己唯一的因子筛掉一次，把所有合数筛掉后剩下的就全是素数了。 先假设一个数i，一个合数t，i是t最大的因数，t显然可能并不唯一（例如30和45的最大因数都是15）。那么如何通过i知道t呢，t必然等于i乘以一个比i小的素数。先来说这个数为什么一定要比i小，这很显然，如果是i乘上一个比它大的素数，那么i显然不能是t 最大的因子。再来说为什么要是素数，因为如果乘上一个合数，我们知道合数一定可以被分解成几个素数相乘的结果，如果乘上的这个合数x=p1*p2*……，那么 t = i * x = i * p1 * p2……很显然p1* i也是一个因数，而且大于i。所以必须乘上一个素数。 比i小的素数一定有不少，那么该乘哪一个呢，既然t不唯一，那么是不是都乘一遍呢？很显然不行，虽然t不唯一，但全乘一遍很显然筛掉的数的数量远远超过合数的数量。我们先给出结论： 任意一个数i = p1*p2*……*pn，p1、p2、……pn都是素数，p1是其中最小的素数， 设T 为i * M的积（显然T就成了一个合数），也就是T = i * M，（M是素数，并且M<=p1）,那么T的最大的因数就是i。 是的，乘上的数要小于等于i最小的质因数。 2015年浙江省考真题解析之逻辑判断 华图教育 2014-国考- 106.该不该让小孩玩电脑游戏？这让很多家长困扰，因为有太多的报告指责游戏正摧毁下一代，不过一项新的研究显示，玩游戏有益于小孩的阅读能力，甚至可帮助他们克服阅读障碍。 以下哪项如果为真，最不能支持上述结论？ A.研究发现，如果让孩子们玩体感游戏，即依靠肢体动作变化来操作的游戏，累计超过12小时，孩子的阅读速度及认字准确率会显著提升 B.儿童阅读障碍主要与神经发育迟缓或出现障碍有关，游戏只能暂时提高阅读速度，却无法克服阅读障碍 C.长期玩游戏的儿童阅读游戏规则更容易，还会对游戏中出现的画面变得敏感，但却对周围的事物表现冷漠 D.相比玩单机版游戏的儿童，玩网络互动游戏的儿童会更加注重要相互交流，因此他们的阅读能力提高得更快 【答案】B 【所属考试模块】判断推理 【题型】加强型论证 【考点】否论点 【难度系数】较难 【作者】邢丹丹 【解析】题干中的论点是 “玩游戏有益于小孩的阅读能力，甚至可帮助他们克服阅读障碍”。B项“却无法克服阅读障碍”，直接否论点。所以，本题的答案为B。 【纠错】A项 “孩子的阅读速度及认字准确率会显著提升”，加强作用，排除。C项“阅读游戏规则更容易”，“出现的画面变得敏感”，“对周围的事物表现冷漠”，为无关项，对论点既不加强，又不削弱，排除。D项“阅读能力提高得更快”，加强论点。排除。 【拓展】对于“最不能支持”的题目，最常见的正确选项是无关项。但是本题目四个选项，A、D加强，B削弱，C无关项，通过比较四个选项的作用的强弱，选择B，削弱的选项。 【信息源】 -------------------------------------------------------------- 2014-国考- 107.在南极海域冰冷的海水中，有一种独特的鱼类，它们的血液和体液中具有一种防冻蛋白，因为该蛋白它们才得以存活并演化至今。但时至今日，该种鱼类的生存却面临巨大挑战。有人认为这是海水升温导致的。 以下哪项如果为真，最能支持上述观点？ A.防冻蛋白能够防止水分子凝结，从而保证南极鱼类正常的活动，气候变暖使得该蛋白变得可有可无 B.南极鱼类在低温稳定的海水中能够持续地演化，而温暖的海水不利于南极鱼类的多样性 C.南极海水中的含氧量随气温上升而下降，缺氧导致防冻蛋白变性，易沉积于血管，导致供血不足，从而缩短鱼的寿命 D.并非所有南极物种都具有防冻蛋白，某些生活于副极地的物种并没有这种蛋白 【答案】C 【所属考试模块】判断推理 【题型】加强型论证 【考点】加强论据 【难度系数】较易 【作者】邢丹丹 【解析】题干中的论点是 “海水升温导致该种鱼类的生存面临巨大挑战”。C项补充新论据解释海水升温导致鱼类的生存面临巨大挑战的原因。所以，本题的答案为C。 【纠错】A项 “防冻蛋白能够防止水分子凝结，从而保证南极鱼类正常的活动”而题干是 “血液和体液中的防冻蛋白”，主体不一致，无关项，排除。B项“温暖的海水不 https://www.360docs.net/doc/e61365492.html, THE PROOFS OF TWIN PRIME CONJECTURE AND WEAKER POLIGNAC’S CONJECTURE WAN-DONG XU School of Science,Tianjin University,Tianjin,300072,China e-mail:wandongx@https://www.360docs.net/doc/e61365492.html, Abstract:This paper advanced a new method of appointedly cov- ering prime circles with level colors of black degree,and showed twin prime conjecture and weaker Polignac’s conjecture to be true with the proof by contradiction. Keywords:prime;distribution of primes;twin primes;Polignac’s conjecture;Goldbach-type problem. 2000MSC:11A41,11P32,11N05 1.Introduction.After C.Goldbach and L.Euler presented their famous conjecture by a letter in1742which states that every number>2is the sum of two primes[1,2p421],A.de Polignac presented yet his famous conjecture in1849[1,2p424,3p11],One named it the conjecture of twin primes,which states Conjecture1:Even number2is the di?erence of two consecutive primes in an in?nitude of ways. Then he advanced extendedly another famous conjecture also in that pa-per,it states Conjecture2:Every even number is the di?erence of two consecutive primes in an in?nitude of ways. One named it Polignac’s conjecture.Conjecture2is a very stronger con-jecture,one couldn’t now not only show it but decide whether it is true as well.And one have advanced a slightly weaker conjecture which is analogous as the former,we name it a weaker Polignac’s conjecture,it states Conjecture3:Every even number is the di?erence of two primes in an in?nitude of ways. Owing to Conjecture3doesn’t need that two primes are in order,that is, it is allowed that there are some other primes between these two primes,its condition is weaker than Conjecture2and it is possible to show it.Although Conjecture3is weaker,yet it still includes Conjecture1as a special one. In this paper we will advance a method of appointedly covering prime circles with the level colors of black degree,and show Conjectures3and1to be true with the proof by contradiction.Some symbols using in the paper is analogous as those in ref.[4,5,6,7]. 2.Preparative works.Prior to showing this important problem in number theory or in mathematics,we should do some things. 1孪生素数个数公式
2020年五年级数学下册第二单元跟踪检测卷
孪生素数猜想初等证明详解
筛法求素数
人教版小学数学五年级下册2单元测试卷(含答案及周测培优)
孪生素数猜想证明简述
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100年以来对数论重大问题的证明都是错误的
孪生素数
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2019年浙江省考真题解析之逻辑判断
孪生素数猜想与弱波林那克猜想的证明