数值分析总结
数值分析总结
数值分析是一门研究实际问题数值解法和计算方法的学科。它
通过将求解问题的过程数值化，利用计算机进行数值计算，从而
得到问题的近似解。数值分析在自然科学、工程学和经济学等领
域有着广泛的应用。在本文中，我将对数值分析这门学科进行总
结和分析。
首先，数值分析主要包括数值插值、数值积分、数值微分、数
值代数方程组求解和常微分方程数值解等内容。其中，数值插值
是通过已知函数值的一些点来推求未知点的近似值的方法；数值
积分是利用数值方法计算函数在给定区间上的积分；数值微分是
利用近似方法计算函数在某一点的导数。而数值代数方程组求解
和常微分方程数值解则是求解方程组和常微分方程近似解的方法，这两者是数值分析最重要的应用之一。
其次，数值分析方法的选择对于问题的求解有着重要的影响。
对于不同的问题，我们需要选择适合的数值方法来得到较为准确
的解。例如，在求解数值积分问题时，我们可以选择梯形法则、
辛普森法则等方法来近似计算积分值；在求解常微分方程数值解时，我们可以选择显式欧拉法、隐式欧拉法、龙格-库塔法等数值
解法。合理选择数值方法可以提高求解问题的准确性和计算效率。
此外，数值分析中的误差分析是一项重要的工作。由于数值计算的舍入误差和截断误差的存在，我们得到的数值解通常会与真实解有所偏差。因此，在进行数值计算时，我们需要对误差进行分析和控制。误差分析可以帮助我们评估数值方法的可靠性，并调整计算过程来尽量减小误差。在实际问题中，误差分析对于判断结果的合理性至关重要。
最后，数值分析的发展受到计算机技术的支持。随着计算机性能的提升和算法的改进，数值分析的应用范围也在不断扩大。计算机的高速计算和存储能力使得我们能够处理更加复杂的问题，并得到更加精确的数值解。同时，以数值分析为基础的科学计算软件的开发也极大地推进了数值分析的发展。
综上所述，数值分析是一门重要的学科，它为实际问题的求解提供了有效的数值方法和计算工具。在实践中，我们需要选择合适的数值方法来解决具体问题，并进行误差分析以确保结果的可靠性。未来，随着计算机技术的不断进步，数值分析的应用将进一步扩大，为各个领域的科学研究和工程实践提供更加有效的支持。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结 数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。下面是数值分析的一些重要知识点的总结。 1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。 2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。 3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。 4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。 5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。 6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。 8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程 的近似解。常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。 9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。可以通过 理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。 10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算 资源的需求进行评估的方法。通过分析算法的复杂性，可以选择合适的算 法来解决特定的数值计算问题。 总结起来，数值分析是计算数值解的方法和理论，涉及到数值算法、 数值稳定性、误差分析、计算复杂性分析等方面的知识。熟练掌握这些知 识点，可以帮助我们设计高效、准确的数值算法，并对计算结果的准确性 和稳定性进行评估和优化。
数值分析心得体会
数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。
首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结 数值分析知识点总结： 本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。 第1章数值分析与科学计算引论： 绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。其中，相对误差限是绝对误差的上界。有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。 第2章插值法： 插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需
要根据实际情况而定。确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。 第3章函数逼近与快速傅里叶变换： 带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。切比雪夫多项式也有其独特的性质。用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。 第4章数值积分与数值微分： XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。 勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下： 插值型的求导公式有两点公式和三点公式。 第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。 第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下： 第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。 简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。 第8章介绍了矩阵特征值计算，其中幂法是一种常用的方法。利用原点平移方法可以加速幂法的收敛。
数值分析总结
数值分析总结 数值分析是一门应用数学的学科，它的目标是使用数值方法来解决数学问题，尤其是那些难以使用解析方法求解的问题。通过使用计算机来计算近似解，数值分析提供了一种实用而有效的解决方案。在本文中，我将对我在学习数值分析过程中的一些主要收获进行总结。 一、数值方法的重要性 数值方法不仅在科学计算中起着重要作用，而且在工程和实际应用领域也有广泛的应用。无论是模拟天气预报、设计飞机的机翼，还是分析金融市场的波动，数值分析都可以提供快速、准确的结果。因此，掌握数值方法成为了现代科学与工程领域必备的技能之一。 二、数值计算的误差与稳定性 在数值计算中，我们经常会面对误差的问题。舍入误差、截断误差和舍入误差都是我们需要关注的。舍入误差是由于计算机在进行浮点数计算时的有限精度而引入的，而截断误差则是由于将
无限精度的数学问题转化为有限精度计算引起的。为了减小误差，我们可以使用舍入规则，并尽可能减小截断误差。 稳定性是另一个需要考虑的重要因素。在一些计算中，输入数 据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化。这种情况下，我 们说该算法是不稳定的。为了确保计算的稳定性，我们需要选择 合适的算法和数据结构，并且要进行合理的数值分析。 三、插值和拟合 插值和拟合是数值分析的重要应用之一。在实际问题中，我们 往往只能够获得有限个数据点，但是我们需要获得一条曲线或函 数来描述这些数据。插值方法可以通过连接这些数据点来获得平 滑的曲线，而拟合方法则通过选择一个合适的函数来逼近数据点。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值和拟合方法，并进行适当的调整和优化。 四、求解非线性方程
数值分析实验报告5篇
误差分析 实验1.1（问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结 数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算 机算法来解决数学问题。数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、 可靠的数值计算。以下是数值分析的一些重要知识点。 1.数值误差： 数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差 是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中 的传播而产生的误差。 2.插值与外推： 插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点 的值。插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。外推是在已知数据点外 估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。 3.数值积分与微分： 数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。常见的 数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。数值微分是通过 计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。 4.线性方程组的求解： 线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和 迭代法。直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、
LU分解法等。迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭 代法、高斯-赛德尔迭代法等。 5.非线性方程的求解： 非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。常用的非线性 方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。 6.常微分方程的数值解法： 常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。 7.特征值与特征向量的计算： 特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。求解特征值和特 征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。常用的特征值计算方法 有幂法、反幂法等。 8.曲线拟合与回归分析： 曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。常用 的曲线拟合方法有最小二乘法、多项式拟合等。回归分析是用来描述变量 之间关系的统计方法，它通过构建数学模型来预测和分析变量之间的关联性。 9.随机数和蒙特卡洛模拟： 随机数在数值分析中起着重要的作用，它们用来模拟随机事件的结果。蒙特卡洛模拟是一种基于随机数的模拟方法，它通过生成大量的随机样本 来估计模拟对象的性质。
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为 的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记 有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限） 的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4.
1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结 说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。 一、第1章 数值分析与科学计算引论 1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相 对误差有何关系？ 相对误差限：** r r e ε=的一个上界。 有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到* x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1 ≠0，并且* 11 102 m n x x -+-≤ ⨯。其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*2 11102 ε-=⨯。 2. 一个比较好用的公式： f(x)的误差限：() ***()'()()f x f x x εε≈ 例题：
二、第2章插值法 例题：
5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？ 6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？
7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？ 8. 三弯矩法： 为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数： 对于第一种边界条件，可导出两个方程：
，那么写成矩阵形式： 公式 1 对于第二种边界条件，直接得端点方程： ，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。对于第三种边界条件，可得： 也可以写成如下矩阵形式： 公式 2 求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章） 例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7
数值分析考试复习总结
第一章 1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计 )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤-≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 2 1??≤ -+---a x x a =310- 33 104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||,11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- - +x x x x x 对 （3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()122x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □
数值分析学习总结
数值分析学习总结 作为这学期的考试课，在我最初接触这门课时，我感到了很困难，因为无论是高数还是线性代数我都放下了很久，而我感觉数值分析是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，但是在老师不断地引导和讲授下，我逐渐对其产生了兴趣。在老师的反复讲解下，我发现我被它吸引了，因为它不仅是单纯的学科，还教会了我许多做人生活的道理。 首先，数值分析这门课程是一个分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就会有很大的差别，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，
在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析中，“以点带面”的思想也深深影响了我。这里的“点”是根本，是主线。在第二章学习插值法的时候是以拉格朗日插值、牛顿插值为主线，然后逐渐展开介绍艾尔米特插值、分段低次插值和三次样条插值。在学习中只要将研究拉格朗日插值和牛顿插值的基本原理、基本方法理解透彻，其他的插值方法就基本掌握了。第四章处理数值积分和数值微分的基本方法是逼近法，只要将函数逼近的基本思想理解好，掌握起来就会得心应手；第六第七章是以迭代法为主线来求解线性方程组和非线性方程组的。在学习过程组只要将迭代法的相关原理掌握好，便能掌握第六第七章。总的来数，数值分析所涉及到数学中很多学科的知识，内容比较复杂，因此在学习过程中一定要将基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推广。同样在生活中每件事情都有它的主线，只要抓住这条主线再难的事情也会迎刃而解。 还比如“等价转化"的思想，这里的“等价”不是完全意义上的“等价”，是指在转化前后转化的主体主要特征值没有变。插值法的思想就是抓住已知函数或者已知点的几个主要特征，用另一个具备主要特征的简单函数来代替原函数或拟合已知数据点。实际生活中也有很多类似情况，已知事件或者面临的情况往往是复杂的，常常不能直接用数学方法直接研究，我们可以做的就是抓住已经事件的主要特征转化为数学模型来建立。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想 数值分析是一门涉及计算机科学和应用数学的综合学科，通过使用数值方法来解决数学问题。在数值分析课程的学习中，我对数值计算和数据处理有了更深入的了解，也逐渐掌握了一些常用的数值算法和数值计算的技巧。以下是我在学习数值分析课程中的一些感想和总结。 首先，在学习数值分析的过程中，我深刻体会到了数值计算的重要性。实际生活中很多问题都需要通过数值计算来解决，例如计算机图形学、计算机模拟、统计分析等。数值计算可以帮助我们得出更准确和更可靠的结果，因此掌握数值计算的基本方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。 其次，数值分析课程的学习加深了我对数学知识的理解和应用。数值分析中的许多数学算法和数学模型是建立在数学基础知识之上的，例如插值、微分方程数值解、数值积分等。通过学习数值分析，我对这些数学概念和定理有了更深入的理解，并且能够将其应用到实际问题中。 另外，数值分析课程的学习也对我的编程能力有了较大的提升。数值计算通常需要通过计算机编程来实现，因此在学习数值分析的过程中我不仅学会了如何使用一些数值计算的软件工具，还提高了自己的编程技巧。通过编写代码实现数值算法和数学模型，不仅加深了我对算法的理解，还提高了我的问题解决能力。
此外，数值分析还教会了我如何进行数值误差分析和数值算法的收敛性分析。数值计算不可避免地会带来一定的误差，因此了解和分析数值误差是非常重要的。通过课程的学习，我学会了如何估计和控制数值误差，并了解了一些常见的数值稳定性和收敛性分析的方法。这些分析方法不仅能帮助我评估数值算法的可靠性，还能指导我优化算法，提高计算效率和精度。 最后，数值分析课程的学习也让我认识到数值计算是一个不断发展和创新的领域。在实际应用中，总会遇到各种各样的问题和挑战，需要针对具体问题进行优化和改进。因此，不仅要掌握数值计算的基本方法，还需要不断学习和探索最新的数值算法和技术，以不断提高自己在数值分析领域的能力和水平。 综上所述，数值分析的学习不仅加深了我对数值计算和数学知识的理解和应用，还提高了我的编程能力和问题解决能力。通过数值分析的学习，我对数值计算的重要性有了更深入的认识，也对数值算法和技术有了更深入的了解。希望今后能继续深入学习和探索数值分析领域的知识，更好地将数值计算应用于实际问题的解决中。
数值分析总结
数值分析总结 数值分析是一门研究实际问题数值解法和计算方法的学科。它 通过将求解问题的过程数值化，利用计算机进行数值计算，从而 得到问题的近似解。数值分析在自然科学、工程学和经济学等领 域有着广泛的应用。在本文中，我将对数值分析这门学科进行总 结和分析。 首先，数值分析主要包括数值插值、数值积分、数值微分、数 值代数方程组求解和常微分方程数值解等内容。其中，数值插值 是通过已知函数值的一些点来推求未知点的近似值的方法；数值 积分是利用数值方法计算函数在给定区间上的积分；数值微分是 利用近似方法计算函数在某一点的导数。而数值代数方程组求解 和常微分方程数值解则是求解方程组和常微分方程近似解的方法，这两者是数值分析最重要的应用之一。 其次，数值分析方法的选择对于问题的求解有着重要的影响。 对于不同的问题，我们需要选择适合的数值方法来得到较为准确 的解。例如，在求解数值积分问题时，我们可以选择梯形法则、 辛普森法则等方法来近似计算积分值；在求解常微分方程数值解时，我们可以选择显式欧拉法、隐式欧拉法、龙格-库塔法等数值 解法。合理选择数值方法可以提高求解问题的准确性和计算效率。
此外，数值分析中的误差分析是一项重要的工作。由于数值计算的舍入误差和截断误差的存在，我们得到的数值解通常会与真实解有所偏差。因此，在进行数值计算时，我们需要对误差进行分析和控制。误差分析可以帮助我们评估数值方法的可靠性，并调整计算过程来尽量减小误差。在实际问题中，误差分析对于判断结果的合理性至关重要。 最后，数值分析的发展受到计算机技术的支持。随着计算机性能的提升和算法的改进，数值分析的应用范围也在不断扩大。计算机的高速计算和存储能力使得我们能够处理更加复杂的问题，并得到更加精确的数值解。同时，以数值分析为基础的科学计算软件的开发也极大地推进了数值分析的发展。 综上所述，数值分析是一门重要的学科，它为实际问题的求解提供了有效的数值方法和计算工具。在实践中，我们需要选择合适的数值方法来解决具体问题，并进行误差分析以确保结果的可靠性。未来，随着计算机技术的不断进步，数值分析的应用将进一步扩大，为各个领域的科学研究和工程实践提供更加有效的支持。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结 一、绪论 数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。它广泛应用于科学、工程、医学等领域。在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。 二、误差分析 误差分析是数值分析中的一个重要概念。它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。 三、插值与拟合 插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解 线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。 五、微分方程求解 微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。 六、总结 数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。因此，数值分析的学习和应用具有重要意
数值分析知识点总结(一)
准确数与近似数之差，即。 绝对误差限即为绝对误差的上界，即 . 对于的近似值，若误差，则有位有效数字。 例如，的近似值有五位有效数字。 记为的相对误差，相对误差即为相对误差的上限，即 设近似值有位有效数字，则其相对误差限为： 设近似数与的误差限分别为与，则他们的四则运算后的误差限为： 对于，计算时的误差限为： 若误差在计算过程中越来越大，则算法不稳定，即初始误差在计算中传播导致误差增长很快。否则算法是稳定的。例如，要计算： 第一个算法是不稳定的，因为误差，误差随迭代次数而增加；第二个算法是稳定的，因为误差，误差会逐渐减小。 避免除数绝对值远小于被除数绝对值避免相近数相减避免大数吃小数 已知，由Lagrange插值法可得插值多项式： 其中， .显然， 称为插值基函数。 Lagrange插值的截断误差/插值余项为： 其中， k阶差商：
差商有以下性质： 1. k阶差商可表示为的线性组合，即： 2. 差商有对称性。即 3. 计算差商时，可以作差商表： 你乎表格里为什么不能插入公式 Newton插值多项式为： *注：实际上，用Newton插值法和用Lagrange插值法得到的同次插值多项式是完全相同的，因此截断误差也是完全一致的。这是因为插值多项式具有唯一性。下面简单说明一下。 对于Lagrange插值公式： 一点零次插值： 两点一次插值： 三点两次插值： 以此类推，可以得到， 其中， . 显然，有： 因此，二者的插值余项也完全相同，即： 给定的函数关系中含有导数的插值即称为Hermite插值。书上写的很乱，我个人认为有一种方法可以完美解决，因为对$n$次插值的多项式是完全一样的，无所谓用哪一种方法 --- 带重节点的差商表。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =e x = x ∗−x x 为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =e x ∗= x ∗−x x ∗ 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |= |x ∗−x||x ∗| ≤ε |x ∗|=εr 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。 例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。 科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。 由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为 12a 1 ×101−n 由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为 12（a 1+1） ×101−n 则它有n 位有效数字 令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y) 1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和 2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ） 3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x) 4. η(x y )≈ |x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x) |y ∗|2 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从 x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。 2.二分法 设f (x )的有根区间为[a ,b ]= [a 0,b 0], f (a )<0, f (b )>0.将[a 0,b 0]对分，中点x 0= ((a 0+b 0)/2),计算f (x 0)。对于给定精度ε，即 b−a 2k <ε，可得所需步数k ，k > [ln (b−a )−ln (ε) ln2 3.比例法
矩阵与数值分析公式总结
矩阵与数值分析公式总结 绝对误差: a = ±1(/><0.%2 •…"“ |x-«| <^xl(/_/l ,则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值 相对误差: 如果a 有n 位有效数字，则升詁旷；如果喘也諾护旷，则a 至 少有n 位有效数字。 近似绝对误差估计式：|/(x)- f(a)\«|/ («)||x-a\ 近似相对误差界为：喘叽關 向量范数： 1范数侶广刼 r-1 2 范数:||x||2 =乞卜『=A /?7? = yl(x.x) \ f-1 °°范数:Mo =酸闻 (“ \/P P 范数制卩=丈吋 ，l
1、矩阵的LU分解或Doolittle分解 对于〃阶方阵A,如果存在/?阶单位下三角矩阵乙和刀阶上三角矩阵〃，使得A = LU f 则称其为矩阵A的LU分解，也称为.Gauss消去法对应的矩阵形式即为分解, 其中厶 为所有行乘子组成的单位下三角矩阵，〃为Gauss消去法结束后得到的上三Ly = b < 角矩阵.原方程组分解为两个三角形方程组=儿 2、矩阵分解的的存在和唯一性（各阶顺丿子主子式均不为零） 如果〃阶矩阵A的各阶顺序主子式卩伙= 1,2,…均不为零，则必有单位下三角 矩阵£和上三角矩阵〃，使得A = LU f而且乙和卩是唯一存在的. 3、矩阵的Cholesky分解或平方根法（正定矩阵） 对任意"阶对称正定矩阵均存在下三角矩阵L使A = LlI f称其为对称正定矩阵A 的Cholesky分解.进一步地，如果规定工的对角元为正数，则厶是唯一确定的.原方程 组= b分解为两个三角形方程组 ^' = b . L x = y 利用矩阵乘法规则和厶的下三角结构可得
数值分析学习公式总结
第一章 1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a 输入=c + n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1 n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0b Answer P （x ）=0b 该方法用于解决多项式求值问题P （x ） =n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a 2 注：p ˆ 为近似值 绝对误差： |ˆ|p p E p -= 相对误差： |||ˆ|p p p R p -= 有效数字: 210|||ˆ|1d p p p p R -< -= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ); O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章 2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则 ，可得到序
列值｛｝。 设函数g 。如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围 满足y ， 则函数g 在 内有一个不动点; 此外，设 定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使 得 ，则函数g 在 内有唯一的不动点P 。 定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数， （iii ） 。如果对于所有 如果对于所有x 在 这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。. 波尔 查 诺 二 分 法 ( 二 分 法 定理 ) <收敛速度较慢> 试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意 越来越 小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. 牛顿—拉夫森迭代函数：) (') ()(1111----- ==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用
数值分析复习总结
数值分析复习资料 一、重点公式 第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~ 1 2k b a x α+--< 2）迭代法收敛阶：1lim 0i p i i c εε+→∞ =≠，若1p =则要求01c << 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且： 110 1 11i i i i i x x x l l x x x l αα+-≤ ---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且' ()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性； 定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 () ()()0,1,,1,()0j P j P ϕ αϕα==-≠（Taylor 展开证明） 4）Newton 迭代法：1'() () i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理： 设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]' ()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'' ,,f x a b ∈不变号
④：初值[]0,x a b ∈使得'' ()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。 6）多点迭代法：1111111 ()()() ()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=- =+---- 收敛阶：P = 7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1' () () i i i i f x x x r f x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()() ,()()() i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。 8）迭代加速收敛方法： 221 1211212()() i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x ϕϕ++++++++-= -+==当不动点迭代函数()x ϕ在α的某个邻域内具有二阶导数， '()1,0L ϕα=≠平方收敛 9）确定根的重数：当Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根 2211212121 1 2i i i i i i i i i i i x x x x r x x x x x x x +++++++++-≈- -+-- 10）拟Newton 法 1111111 1 1111 ()()()()() (()())()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x A F x A x x F x F x A H A A A A x x H F x H F x F x x x H H H +-++-+++++++⎧=-⎪-=-=⎨⎪=+∆⎩⎧=-⎪-=-⎨⎪=+∆⎩若非奇异，则
数值分析课程学习心得体会
数值分析课程学习心得体会 篇一：数值分析学习总结感想 数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在教师的率领下，让我对这门课程有了深刻的明白得和感悟。这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学试探的模式，在处置问题的时候，能够合理适当的提出方案和假设。他的内容切近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论加倍有实际意义。 数值分析在给咱们的知识上，有专门大一部份都对我有专门大的帮忙，让我的生活和学习有了加倍方便和科学的方式。像第一章就讲的误差，在现实生活中，或许没有太过于注意误差，因此对误差的观点有些轻视，但在学习了这一章以后，在教师的讲解下，了解到这些误差看似小，实那么阻碍专门大，更如后面所讲的余项，那些不同老是让人很容易就犯错，或许在别的地址没有什么，可是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不行的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就能够够将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的阻碍越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上教授了我很多，在思想上也对我有专门大的阻碍，他给了我很多数学思想，很多试探的角度，在看待问题的方面上，多方位的去试探，并从别的例子上举一反 三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其明白得透彻，了解了其中的原理和思想，再学习以后的牛顿插值和三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就明白得了其中所想，他们的中心思想并无多大的转变，可是利用的方式却是不同的，这不仅能够学习到其中心内容，还能够去学习他们的试探方式，每一个不同的试探方式带来的都是不同的算法。而在看待问题上，不同的试探方式老是能够快速的全方位的去看透彻问题，从而明白如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在教师的不懈讲解下，我慢慢的发觉数值分析所涵盖的知识面专门的普遍，而我所需要学习的地址也加倍的多，自己的不足也在不断的表现，我明白这只是我方才接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不断的驱逐我，学习的越多，对尔后的生活才会有更大的帮忙。 计算132 XX014923 张霖 篇二：数值分析学习总结感想 数值分析学习感想 摘要:数值分析要紧介绍现代科学计算中经常使用的数值计算方式及其大体原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与运算机和实际问题的有机结合。随着科学技术迅速进展，运用数学方式解决工程技术领域中的实际问题，已经取得普遍重视。