材料力学：ch10 组合变形
第十章 组合变形
10-2 图a 所示板件，b =20mm ，δ=5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[σ] = 100 MPa ，
试求板边切口的允许深度x 。
题10-2图
解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为
F F =N
(a) )(a b F M ?=显然，
222x
b x b a ?=?=
(b) 将式(b)代入式(a)，得
2
Fx
M =
切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为
2
2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+=+=+=
根据强度要求，在极限情况下，
][4322
σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得
01039.61277.042=×+??x x 由此得切口的允许深度为
mm 20.5=x
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为=1.0×10
a
ε-3
与=0.4×10b ε-3，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。
题10-3图
解：1.求和
a σ
b σ截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有
MPa
84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103
9
39=×××===×××==??b b a a E εσE εσ偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。
图10-3
2．求和
F e 将F 平移至杆轴线，得
Fe M F F ==，N 于是有 a z
a E εW Fe A F σ=+=
E εW Fe A
F σz
b =?=
代入相关数据后，上述方程分别成为
26250240=+Fe F 10500240=?Fe F 经联立求解，于是得
mm 786.1m 10786.1kN 38.18N 183753=×=≈=?e F ，10-6 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷F 作用。试证明：当8
/d e ≤面上不存在拉应力，即截面核心为R = d/8的圆形区域。
时，横截
题10-6图
证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心产生的弯矩为
Fe M =
受拉区的最大拉应力为
A
F W M σ?=
max t, (a)
横截面上不存在拉应力的条件，要求式(a)小于或等于零，即要求
23
π4π32d
F
d F
e ≤ 由此得
8
d e ≤ 10-7 图a 所示杆件，同时承受横向载荷与偏心压力作用。已知许用拉应力[σt
] = 30
MPa ，许用压应力[σc ] = 90 MPa ，h =180mm ，b =60mm ，l =500mm ，试确定F 的许用值。
题10-7图
解：固定端处的横截面A 为危险截面，该截面的内力如图b 所示，弯矩为
Fh Fl h
F Fl h F Fl M y 52102+=+=′+=
Fb b
F b F M z 52
102==′=
而轴力则为
)( 10N 压力F F F =′=
横截面A 的最大拉应力为
???
??+=?++=?+=
h l bh F bh F bh Fh Fl hb Fb A F W M W M y y z z 325210)5(6)5(62
2N max t,σ 最大压应力则为
???
??+=+++=++=
h l bh F bh F bh Fh Fl hb Fb A F W M W M y y z z 335210)5(6)5(62
2N max c,σ 根据强度条件，要求
][3252t max t,σσ≤??
?
??+=
h l bh F
][3352c max c,σσ≤??
?
??+=
h l bh F 将相关数据代入上述二式，分别得
kN 86.4][t =F kN 2.11][c =F
于是得F 的许用值为
kN
86.4][][t ==F F
10-8 在图示立柱的顶部，作用一偏心载荷F = 250kN 。若许用应力[σ]=125MPa ，
试求偏心距a 的许用值。
题10-8图
解：1.确定内力
m
N 10251m N 10250050.0050.0m)(N 1050.2kN 250 4
3
5N ?×=?××==?×===.F M a Fa M F z y ，2．计算I z ，I y 及A
2
32464
334
54
33m 1060.5)m 020.0080.02020.0100.0( m 1039.312
020.0080.0212100.0020.0(m 10099.1)m 12080.0080.012120.0100.0( ???×=×+××=×=×+××=×=×?×=A I I y z
3．求的许用值
a 由正应力强度条件，要求
]
[(Pa) 10]1069.388112[ Pa ]1060.5102501039.3050.0)1050.2(1009910600)10251([ 633
3
6554max
c,σa .a ...A
F I z M I y M σy y z z ≤××+=××+×××+×××=++=???
得偏心距的许用值为
mm 28.3m 1028.3][3=×=?a 10-11 图示曲柄轴，承受载荷F = 10 kN 作用。试问当载荷方位角θ为何值时，对截
面A -A 的强度最为不利，并求相应的相当应力
r3σ。
题10-11图
解：1.分析内力
由于A-A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷无需分解，可直接用以分析内力。根据平衡关系，截面A-A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为 F
θ
Fa T Fl M F F cos m N 700m N 070.01010 kN 103S =?=?××====，
由此可见，F 的方位角θ 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当0=θ时扭矩取
最大值，对截面A-A 的强度最为不利，其值为
m N 1040.2m N 240.0101033max ?×=?××==Fa T 2．计算相当应力
截面A-A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为
MPa
9.117Pa 101791 Pa 060
0π)1040.2(7003283
2
322
max 2r3=×=××+×=+=..W T M σ (a)
由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面A-A 上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为
MPa
3.61 Pa 10)72.46.56( Pa )06003π1010160600π1040.216(3π44π1662
3
332S 3max 21=×+=×××+×××=×+=+=..d F d T τττ 其相当应力为
(b)
MPa 6.122 MPa 3.6122r3=×==τσ比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面A-A 上水平直径的左端点，其相当应力如式(b)所示。
顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求)(?σ与)(?τ，再求)(r3?σ。这里的?
从截面A-A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将)(r3?σ对?求导，寻找其极值位置，找到的极值位置是0=?，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。
10-12 图示某段杆的弯矩M y
与M z
图，它们均为直线，且其延长线分别与x 轴相交于
a 与
b 点。试证明：如果a 与b 点不重合，则该段杆的总弯矩M 图必为凹曲线。
题10-12图 解：1. 总弯矩方程及其二阶导数
在区段（x 1，x 2）内，M y 与M z 图均为直线，因此，可设 x k b M y 11+=
x k b M z 22+=式中，b 1，k 1，b 2与k 2均为常数。于是得总弯矩为 2221122
()(k b x k b M M M z y +++=+=2)x (a)
幷由此得
2
12212
2)(d d b k b k x
M ?= (b) 2. 总弯矩图为凹曲线的证明
M a 与b 点的横坐标分别为
11
k b x a ?
=，2
2k b x b ?= 当a 与b 点不重合时，由上式得
1221k b k b ≠代入式（b ），得
0d d 2
2>x
M
可见，如果某杆段的M y 与M z 图均为直线，且其延长线与坐标轴x 不相交于同一点，则相应总弯矩M 图必为凹曲线。
10-13 图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1上，作用有径向力F y
= 3.64kN 、切向
力F z = 10 kN ；在齿轮2上，作用有切向力F'y = 5 kN 、径向力F 'z = 1.82 kN 。若许用应力[σ]=100 MPa ，试根据第四强度理论确定轴径。
题10-13图
解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图10-13a 所示。内力图（,和z M y M T ）分别示如图b,c 和d。
图10-13
由内力图和题10-12所证明的结论可知，截面B 和都可能为危险面。 ?C 对于截面B ，总弯矩为
m N 1064m N 364100022?=?+=B M
(a)
对于截面，总弯矩为 ?C
m N 612m N 56822722?=?+=－C M
(b)
比较式(a)和(b)可知，截面B 最危险。由第四强度理论的强度条件
][π75.03275.03
2
222r4σd T M W T M σB B ≤+=+=
得该轴的直径为
mm
951m 10195 m
10100π100075.0106432]π[75.032236
2
23
22
..σT M d
B =×=×××+=+≥?
10-16 图示钢质拐轴，承受铅垂载荷F 1
与水平载荷F 2
作用。已知轴AB 的直径为d ，
轴与拐臂的长度分别为l 与a ，许用应力为[σ]，试按第四强度理论建立轴AB 的强度条件。
题10-16图
解：将载荷F 1与F 2平移到截面B 的形心，得轴AB 的受力如图b 所示。
显然，固定端处的横截面A 为危险截面，该截面的轴力、扭矩与弯矩分别为
2N F F = a F T 1=
l F M a F M z y 12 ,==可见，横截面A 处于弯拉扭组合受力状态。
在横截面的危险点处，弯曲与轴向正应力分别为
3
2
2122222
max π32d l F a F W
M M z y
+=
+=
σ (a)
2
2
N N π4d F A F ==
σ (b) 扭转切应力为
31p max π16d
a F W T ==
τ (c)
按照第四强度理论，危险点处的强度条件为
()][32
max 2max N στσσ≤++
将式（a ），（b ）与式（c ）代入上式，于是得
][144324π12
12
22122222
σ≤??? ??+???
? ??
++d a F d l F a F F d
10-17 图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力F
t
= 1.9
kN 、径向力F r = 740 N 以及平行于轴线的外力F = 660 N 。若许用应力[σ]160 MPa ，试根据第
四强度理论校核轴的强度。
=
题10-17图
解：1.外力分析
将载荷F ,与向轴的轴线简化，得该轴的计算简图如图10-17a 所示。图中，
r F t F AD m N 0.66m N 100.0660?=?×==FR M zC
m N 0.190m N 100.0109.13t ?=?××===R F M M C A
图10-17
2．内力分析
根据图a，可画轴力、扭矩及弯矩图分别如图b，c，d 和e 所示。
由内力图可知，截面为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为
?C N 660N ==F F （压）， m N 0.190?=T
m N 3.79m N 2.550.572222
?=?+=+=z y M M M
3．强度校核
危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为
MPa
9.61 Pa 1019.6m 025.0πN 0.19016 MPa 0.53 Pa 1030.5 Pa )025
.0π660
4025.0π3.7932(7
2
3p 72
3N =×=××===×=××+××=+=
W T τA F W M σ（压）
将其代入第四强度理论的强度条件，有
][ MPa 6119 MPa 9.6130.5332222r4σ.τσσ<=×+=+=
可见，该轴满足强度要求。
10-19 图示等截面刚架，承受载荷F 与F' 作用，且F' = 2F 。已知许用应力为[σ]，
截面为正方形，边长为a ，且a = l/10，试根据第三强度理论确定F 的许用值[F ]。
题10-19图
解: 1.寻找危险面
为了寻找危险面，首先需画出内力图。在图10-19a 所示坐标下，由F 产生的内力示如图b
和c；由F ′
产生的内力示如图d，e
和f。
图10-19
从内力图上不难找到可能的危险面有两个：截面和截面。 A +C 2．确定F 的许用值
截面为弯拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件
A ][24146223
max σa
F
a F a Fl σ≤=+×=
得
25232
][1015.4][1015.4241
][l σa σa σF ??×=×=≤
(a)
截面为弯（有,）拉扭组合，可能的危险点为d 和（见图g），点f 处的扭转切应力虽然与点处同大，但其弯曲正应力只是点处的一半，故可将它排除在外。 +C y M z M e d d 对于点，正应力和切应力依次为
d
2
322
232.96208.0212126 a
F a Fl αhb T τa F a F
a Fl σd d ====+×=
由第三强度理论的强度条件 ][2272.96412142
222
2r3σa F a F τσσd d ≤=×+=
+= 得
(b)
2523][1041.4][1041.4l σa σF ??×=×≤对于点，切应力为零，由弯拉组合的强度条件
e ][1816262
233max σa
F
a F a Fl a Fl σ≤=+×+×=
得
(c)
2523][1052.5][1052.5l σa σF ??×=×≤比较式(a),(b)和(c)，最后确定的许用值为 F
25][1015.4][l σF ?×=10-20 图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的反向载荷F 作用。已知圆环轴
线的半径为R ，截面的直径为d ，材料的许用应力为 [σ]，根据第三强度理论确定载荷F 的许用值。
试
题10-20图
解：1.分析内力
本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图10-20。
图10-20
由图可得
??sin )(FR M =， )cos (1)(???=FR T
2．求相当应力
根据第三强度理论，截面?危险点处的相当应力为
W
FR W FR W T M σ?????cos 22 )cos (1sin )()(2222r3?=?+=+=
(a)
3．求的最大值 r3σ由
0d d r3
=?
σ 得极值位置为
(b)
180=?进一步分析可知，该极值位置使取得极大值，即截面为危险截面，危险点处的相当应力为 r3σA
3
max r3,π642d FR
W FR σ==
(c)
4．确定的许用值 F 将式(c)代入强度条件
][max r3,σσ≤得载荷的许用值为 F
R
d R d R σd F 20][4.20][64][π][333σσ≈==
10-21 图示结构，由轴AB 与梁CD 组成，并在截面D 承受集中载荷F 作用。已知载荷
F = 1 kN ，弹性模量E =210 GPa ，切变模量
G = 0.4E 。试：
（1）根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力； （2）计算截面D 的转角与挠度。
题10-21图
解：1. 计算相当应力
此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。
将载荷F 向轴的轴线简化，得力AB F 和矩为的力偶，示如图10-21a 。
e M
图10-21
根据叠加原理，可将F 和分开考虑。仅考虑时，利用对称性，可在截面处解除多余内约束，得相当系统如图(b)所示（图中只画了左边一半）。由变形协调条件 e M F C 022
( 02
=?=EI
a F
EI a
M θC C ， 得
4
Fa
M C =
据此，并利用对称性，可画出M 图（见图c ）。
仅考虑时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于的一半，即
e M e M
2
2e Fa
M M M Bx Ax ==
= 据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画T 图如图d 所示。
由图c 与d 容易判断，和四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值（均指绝对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为
?C A B ,,+C
MPa
7.26 Pa 1067.2 m 0400πN 5300.01018π42132723332222r3=×=×××××=+=+=.d Fa W T M σ 2. 计算转角和挠度
截面D 的转角由轴的扭转变形和梁CD 的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得
AB
rad 10732rad 060.0020.02120400π4325(10
210300.0101 2452233
492
31
2p 212p )
(-F D C D ..EI Fa EI Fa EI Fa GI a
Fa θθ×=××+××××××=+
=+=+=?
截面D 的挠度由轴的弯曲变形、扭转变形和梁的弯曲变形三部分提供，由叠加法可得
AB CD
mm
80.0m 1008 )m 060
.0020.03120400π43250400π2464(10210300.0101 3452443
449331
3
p 33)(=×=××+×××+×××××=++=
++=?...EI Fa EI Fa EI Fa w a w w F D C C D ? 10-22 图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体A 和B 组成。设在该刚体上作用一
对方向相反、其矩均为M 的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条件。杆的长度l 、直径d 、材料的弹性模量E 、切变模量G 以及许用应力[σ]均为已知，且l =20d , G = 0.4E
。
题10-22图
解：1.内力分析
此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图10-22a 所示。
图10-22
静力学方面（见图a）
05
(2 0S =?+= M l
F T M z x ，
(a)
几何方面（见图a 和b）
由于刚体B 只能绕结构水平中轴线相对于刚体A 作刚性转动，故有变形协调条件
)10
(
l Δθz y ?==
(c)
(b)
物理方面
EI
l F EI l M θEI l
M EI l F ΔEI
Tl
I E Tl GI Tl z y y y z z 2 23 25.1)2)(4.0(2
S 2
3S p ?
=?
====
?
(f)
(e)(d)将式(d)～(f)代入式(b)和(c)，得补充方程
(g)
l F M z y S 2=及
(h)
T M l F y z 3128S =?联解方程(g),(h)和(a)，得
M M M T l M F y z 46
15 2310 2315S ===
，， 2．画内力图
上杆的内力图示如图8-22c ～e 。
下杆的T 图与上杆一样，而图及图与上杆仅差符号，最大内力值（绝对值）与上杆相同，故可省画其内力图。
z F S y M 3．建立强度条件
由于，属于细长杆，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三强度理论，杆的强度条件为
d l 20= ]
[54.532
π)2310()4615(332
22
2r3σd M d
M W
T
M σy
≤=+=
+=
材料力学习题组合变形
组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41-
题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．2122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-
材料力学中的组合变形
材料力学中的组合变形 过程转备与控制工程梁艳辉201005050219 摘要：材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。材料力学是所有工科学生必修的学科，是设计工业设施必须掌握的知识。而组合变形在生活中普遍存在，基本上一些简单的单一变形在我们身边很少见，都是以组合变形的的形式出现，所以讨论组合变形具有重要意义。 关键字：组合变形，线弹性，载荷，应力，内力，静力等效原则，强度理论，失效形式通过一个学期的学习，对材料力学有了一个基本的理解。整个材料力学主要讨论了各种变形以及如何对各种变形进行强度校核，刚度校核以及稳定性校核。那么材料力学中主要有哪些变形呢？主要分为单一变形和组合变形，单一变形包括：杆的拉伸和压缩变形，杆的扭转变形，杆的弯曲变形和剪切变形。而组合变形包括：弯扭组合变形，拉扭组合变心，以及拉弯扭组合变形等。下面主要来简单的谈一谈我对组合变形的理解。 一．生活中的实例 在工程实际中，杆件的受力变形的情况种类很多，又不少构件同时发生两种或两种以上的基本变形，生活中常见的机械设备的传动轴：传动轮上作用力的既有扭转变形又有弯曲变形。常见的钻杆：钻杆受扭距的作用，同时钻杆的自重沿钻杆的轴向作用，所以钻杆的变形既有轴向的拉伸变形又有扭转变形。这样的例子在生活中还有很多。 二．如何解决组合变形 在线弹性，小形变的条件下，构件的内力，应力和变形均与外力成线性关系。可以认为载荷的作用是独立的，每一个载荷所引起内力，应力，变形都不受其他载荷的影响。几个载荷的同时作用在杆件上所产生的应力，变形，等于各个载荷单独作用时产生的应力，变形之
《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
材料力学第8章组合变形
第8章 组合变形 。 8.1 组合变形的概念 前面几章我们研究了等直杆的拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲这四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，还会遇到许多上述两种或两种以上的基本变形所组合成的变形，这种变形称为组合变形。例如，如图8-1所示钻床的立柱在P 作用下将发生拉伸和弯曲变形；如图8-2所示的带轮轴，力T 及轴承反力使其弯曲，而力偶矩0m 和1m 使轴扭转，带轮轴的变形是弯曲与扭转的组合变形。 图8-1 图8-2 构件组合变形时的强度计算，在构件变形较小且服从胡克定律的条件下，可运用叠加原理，首先将作用在构件上的外力进行适当的简化，然后通过平移或分解，使每一组外力只产生一种基本变形，分别计算出各种基本变形引起的应力，最后将它们叠加起来，便得到原有载荷作用下截面上的应力，并进行强度计算。 下面介绍工程中最常见的弯拉（压）和弯扭两种组合变形的强度计算。 8.2 弯曲与拉伸（压缩）组合变形时的强度计算 如图8-3(a)为一左端固定而右端自由的矩形截面悬臂梁，在其自由端作用一力P ，力P 的位于梁的纵向对称面内且与梁的轴线成一夹角α（见），力P 沿x 、y 方向可分解为两个分力x P 、y P （见图8-3（b ））, x P 使梁产生轴拉伸变形，y P 使梁产生弯曲变形，因此梁在力P 的作用下的变形为拉伸与弯曲组合变形。下面对其进行强度计算。
图8-3 如图8-3（b ）所示，将力沿杆的轴线和轴线的垂直方向分解为两个分力。 αcos P P x = αsin P P y = 在轴向力x P 的单独作用下，杆件发生拉伸变形，杆上各截面的轴力都相等，αcos P P N x ==,与轴力N 相对应的拉伸正应力N σ呈均匀分布，如图8-3（f ）即 A N N = σ 在横向力y P 的单独作用下，杆发生弯曲变形。杆上固定端截面具有最大弯矩 αsin max Pl l P M y ==，与弯矩max M 相对应的弯曲正应力W σ沿截面高度呈线性分布，在上、下边 缘处绝对值最大，如图8-3（g ）即 z W W M max = σ 由于上述两种应力都是正应力，故可按代数和进行叠加。当N W σσ>时，其应力分布如图8-3（e ） 所示。 危险截面的上、下边缘的正应力分别为 z W M A N max max += σ z W M A N max min -=σ 由上可见，危险截面上边缘各点的拉应力最大，是危险点。对于塑性材料，因许用拉应力和许用压应力相同。故可建立强度条件 []σσ≤+= W M A N max max （8-1） 对于脆性材料，因其许拉应力 []拉 σ和许用压应力[]压 σ不同，故应分别建立强度条件
材料力学组合变形习题概要
L 1AL101ADB （3） 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案： （A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ； （C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL102ADB （3） 三种受压杆件如图。设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案： （A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ； （C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL103ADD （1） 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案： （A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ）
1AL104ADC （2） 一空心立柱，横截面外边界为正方形， 内边界为等边三角形（二图形形心重 合）。当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案： （A ）斜弯曲与中心压缩组合； （B ）平面弯曲与中心压缩组合； （C ）斜弯曲； （D ）平面弯曲。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（B ） 1BL105ADC （2） 铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案： （A ）①点； （B ）②点； （C ）③点； （D ）④点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（D ） 1BL106ADC （2） 图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处 的最大应力的增大倍数有四种答案： （A ）２倍； （B ）４倍； （C ）８倍； （D ）１６倍。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL107ADB （3） 三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：
《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解
《材料力学》第8章组合变形及连接部分的计算习题解第八章组合变形及连接部分的计算习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知，F,2.5kN， l,0.8m1F,1.0kN，试求危险截面上的最大正应力。 2 解:危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力: 33WW,102cmW式中，，由14号工字钢，查型钢表得到，。故 W,16.1cmyzzy 333，2.5，10N，0.8m1.0，10N，0.8m6,,，,79.1，10Pa,79.1MPa max,,63632，102，10m16.1，10m [习题8-2] 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称q 0面间的夹角为，如图所示。已知该梁材料的弹性模量;梁的尺寸 为 ,,30E,10GPa [,],12MPa[w],l/150，，;许用应力;许用挠度。l,4mh,160mmb,120mm 试校核梁的强度和刚度。
1 解:(1)强度校核 0 (正y方向?) q,qcos30,2，0.866,1.732(kN/m)y 0q,qsin30,2，0.5,1(kN/m) (负z方向?) z 1122 出现在跨中截面 M,ql,，1.732，4,3.464(kN,m)zmazy88 1122 出现在跨中截面 M,ql,，1，4,2(kN,m)ymazz88 11223 W,bh,，120，160,512000(mm)z66 11223 W,hb,，160，120,384000(mm)y66 最大拉应力出现在左下角点上: MMymaxzmax ,,，maxWWzy 663.464，10N,mm2，10N,mm,,，,11.974MPa max33512000mm384000mm ,,11.974MPa,,[,]因为，，即: [,],12MPa maxmax 所以满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 (2)刚度校核 = 2
材料力学习题解答(组合变形)
材料力学习题解答(组合变形)
9.3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车 等）为P =40 kN ，横梁AC 由两根No18槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力 [ ]=120MPa 。试校核梁的强度。 解：(1) 受力分析 当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁AC 的受力为 由平衡方程求得 No18×
注：对塑性材料，最大应力超出许用应力在5%以内是允许的。 9.5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图 所示。P =1600 kN ，材料的许用应力[σ]=160 MPa 。试校核立柱的强度。 解：(1) 计算截面几何性 ()()2 12 2212 1.40.86 1.204 1.40.050.0160.8620.016 1.105 0.099 ABCD abcd A A m A A m A A A m ==?===--?-?==-= 截面形心坐标 1122 1.40.050.0161.2040.7 1.1050.0520.51 0.099c c c A y A y y A m +=--???+?+ ???== 截面对形心轴的惯性矩 I 截面I-I
()()()234324 4 10.86 1.40.70.51 1.2040.24 1210.8620.016 1.40.050.01612 1.40.050.0160.050.51 1.1050.211 20.240.2110.029 I zc II zc I II zc zc zc I m I m I I I m = ??+-?==?-??----??++-?= ??? =-=-= (2) 内力分析 截开立柱横截面I-I ，取上半部分 由静力平衡方程可得 ()1600 0.92256c N P kN M P y kNm ===?+= 所以立柱发生压弯变形。 (3) 最大正应力发生在立柱左侧 []33max 2256100.511600100.0290.099 39.6716.1655.83 160C t zc My N I A MPa MPa σσ???=+=+=+==p 力柱满足强度要求。 9.6. 图示钻床的立柱为铸铁制成，P =15 kN ，许 用拉应力为[σt ]=35 MPa 。试确定立柱所需I N P 900 M y
材料力学习题解答(组合变形)
9.3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车等）为P =40 kN ，横梁AC 由两根No18槽 钢组成，材料为Q235钢，许用应力[σ]=120MPa 。试校核梁的强度。 解：(1) 受力分析 当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁AC 的受力为 由平衡方程求得 0 sin 30 3.5 1.750 400 cos300 cos3034.641 0 3.5 1.750 202 o C A A o o C A C A A C C M S P S P kN X X S X S kN M Y P Y P kN =?-?====-====-?+?== =∑∑∑ (2) 作梁的弯矩图和轴力图 此时横梁发生压弯组合变形，D 截面为危险截面， max 34.64 35 .N kN M kN m == (3) 由型钢表查得 No.18工字钢 23299.29 152cm A cm W y == (4) 强度校核 33max max max 4634.6410351022229.299102152105.9115.1121 1.05[] c y M N A W MPa σσσ--??==+=+ ????=+= 故梁AC 满足强度要求。 x
注：对塑性材料，最大应力超出许用应力在5%以内是允许的。 9.5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图所示。P =1600 kN ，材料的许用应力[σ]=160 MPa 。试校核立柱的强度。 解：(1) 计算截面几何性 ()()2 1222 12 1.40.86 1.204 1.40.050.0160.8620.016 1.105 0.099 ABCD abcd A A m A A m A A A m ==?===--?-?==-= 截面形心坐标 1122 1.40.050.0161.2040.7 1.1050.0520.51 0.099 c c c A y A y y A m += --? ??+?+ ? ??= = 截面对形心轴的惯性矩 ()()()2 3432 4 4 10.86 1.40.70.51 1.2040.24 1210.8620.016 1.40.050.01612 1.40.050.0160.050.51 1.1050.211 20.240.2110.029 I zc II zc I II zc zc zc I m I m I I I m =??+-?==?-??----??++-?= ???=-=-= (2) 内力分析 截开立柱横截面I-I ，取上半部分 由静力平衡方程可得 I 截面I-I
材料力学：ch10 组合变形
第十章 组合变形 10-2 图a 所示板件，b =20mm ，δ=5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[σ] = 100 MPa ， 试求板边切口的允许深度x 。 题10-2图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 F F =N (a) )(a b F M ?=显然， 222x b x b a ?=?= (b) 将式(b)代入式(a)，得 2 Fx M = 切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 2 2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+=+=+= 根据强度要求，在极限情况下， ][4322 σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.042=×+??x x 由此得切口的允许深度为 mm 20.5=x 10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为=1.0×10 a ε-3 与=0.4×10b ε-3，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。
题10-3图 解：1.求和 a σ b σ截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 MPa 84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103 9 39=×××===×××==??b b a a E εσE εσ偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。 图10-3 2．求和 F e 将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N 于是有 a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σz b =?= 代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=?Fe F 经联立求解，于是得 mm 786.1m 10786.1kN 38.18N 183753=×=≈=?e F ，10-6 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷F 作用。试证明：当8 /d e ≤面上不存在拉应力，即截面核心为R = d/8的圆形区域。 时，横截 题10-6图 证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心产生的弯矩为 Fe M =
材料力学B试题8组合变形
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) d e =； (B) d e >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1 力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和(A)3max 2max 1max σσσ==； (B)3max 2max 1max σσσ=>； (C)3max 1max 2max σσσ=>； (D)3max 1max σσσ= (D)平面弯曲。 答：B 4. 点的位置有四种答案： (A) A 点； (B) B (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为2 h 的缺口，与不开口 (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C 6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应 力（绝对值）分别为1m ax σ、σ3 (A)max32max 1max σσσ<<； (B)3max 2max max1σσσ=<； (C)2max max3max1σσσ<<； (D)2max 3max 1max σσσ<=。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 作用。当力F 作用点由A 移至B 时，柱内最大压应力的比值 max max B A σσ有四种答案： (A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A) 轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C 9. 矩形截面梁的高度mm 100=h ，跨度m 1=l 。梁中点承受集中力F ,两端受力kN 301=F ，三力均作用在纵向对称面内， mm 40=a 3 5 。试求F 值。 解：偏心距mm 102=-=a h e 跨中截面轴力 1N F F = 跨中截面弯矩e F Fl M 1max 4 -=（正弯矩），或 4 1max Fl e F M -=（负 弯矩） 9.1. 求图示构件在指定截面上的内力分量。 解：(1) 受力分析，求约束力 1 1 2 2 1 1 2 2 0 420 /20 420 /20 0 /20 0 /2 z C C y C C A C A A C A M Y a P a Y Pa M Z a P a Z P a Y Y Y P Y Pa Z Z Z P Z P a =?-?===?-?===+-===+-==∑∑∑∑ (2) 截开I-I 截面，取左面部分 1 1 2 2 1 2 1 0 /2 0 /20 /20 20 2y I A zI A x I A y yI A z zI A Y Q P Y P Z Q P Z P M T Y a P a M M Z a P a M M Y a P a ==-===-===-?=-==?===?=∑∑∑∑∑ (3) 截开II-II 截面，取右面部分 1 2 1 2 1 0 /20 /2 0 /23/40 /20 /2 yII C II C x xII C y yII C z II C Y Q Y P Z N Z P M M M Y a Pa M M Z a P a M T Y a Pa ========-?===?===-?=-∑∑∑∑∑ 9.2. 人字架承受载荷如图所示。试求I-I 截面上的最大正应力及A 点的正应力。 Y I zI M=P 1a 解：(1) 受力分析，求约束力 125 D B Y Y kN == (2) 截开I-I 截面，取左面部分 ) 4 sin 125100 5 3 cos 1250.3202.5 .5I D I D N Y kN M Y DE kN m αα=-=-? =-=?=??= (3) 截面的几何性质 ()26 12525 2225 175 3 333 84 20.10.20.04 20010050100200200 125 0.04102001002517512525200100 3.08310 33 c y A m z mm I z dz z dz mm -=??=??+??= =?=?+?---=?+?=??? (4) 截面上最大拉应力和最大压应力 () () ()1 max 3 34 0.310010202.5100.30.125117.4 3.083100.04 I c c y M z N I A MPa σ--=- + -???-=- +=-? N I I材料力学习题解答(组合变形)