弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计样本

任课教师签字华北电力大学研究生结课作业

学年学期：第—年第—学期

课程名称：线性系统理论

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提交时间:.11.27

目录

目录 (2)

1研究背景及意义 (4)

2弹簧-质量-阻尼模型 (4)

2.1系统的建立 (5)

2.1.1系统传递函数的计算 (7)

2.2系统的能控能观性分析 (9)

2.2.1系统能控性分析 (10)

2.2.2系统能观性分析 (11)

2.3系统的稳定性分析 (12)

2.3.1反馈控制理论中的稳定性分析方法错误!未定义书签。

2.3.2利用Matlab分析系统稳定性 (14)

2.3.3 Simulink 仿真结果 (16)

2.4系统的极点配置 (19)

2.4.1状态反馈法 (19)

242输出反馈法 (21)

242系统极点配置 (21)

2.5系统的状态观测器 (23)

2.6利用离散的方法研究系统的特性 (26)

2.6.1离散化定义和方法 (26)

2.6.2零阶保持器 (29)

2.6.3 —阶保持器 (31)

2.6.4双线性变换法 (34)

3.总结 (36)

4?参考文献 (37)

弹簧?质量?阻尼系统的建模与控制系统设计

1硏究背景及意义

弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会■对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着父会对接的成功。因此, 对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。

2弹簧-质量-阻尼模型

数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表示式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都能够用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。因此，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。—般情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。

弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图

2.1所示,

图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图

其中呵、吒表示小车的质量，q表示缓冲器的粘滞摩擦系数，広表示弹簧的弹性系数，表示小车所受的外力，是系统的输入即

比p =Fi p ,兀⑴表示小车的位移，是系统的输出，BDy iW = , i=l,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中叫"kg, m2 = 2kg , k1 = k3 = 100 N/cm. , k2 = 300N/cm , c x = c3 = 3 N ?s/cm , c2 = 6 N ? s/emo

2.1系统的建立

由图2.1,根据牛顿第二定律，分别分析两个小车的受力情况, 建立系统的动力学模型如下：

对叫有:叫肴 + c禹 + c2(X x -X2) + kpq + kjtXi-X2) = Fi(t)

对叫有:m2X2 + c3X2 + c2(X2 -心)+ k3X2+ k2(X2— XJ = F2(t)

联立得到：

对…：叫肴+ (c】+ - c2X2 + (k】+ k2)X t - k2X2 = F/t)

对叫? m 2 ^2 + C c 2 + C 3)^2 ~ C Z^1 + (% + *3)X2、— k 2X 1 = F 2W 令= Xp x 2 = X 2, x s = x 4 = X 2, u t = F v U 2 = F2；

Yi =

X[, y 2 = X 2

得出状态空间表示式:

因此，状态空间表示式为:

0 1 0 -

0 0 I 0 0 0 1

0 0 k

i+k 2 & c i +c a

C 2

、1 0

m L m 二

nv

m 2 k 2+k

S

C 2 C 2+C 3

0 1 m 2 m

2

rxij

m 2-

1 0 0 0^ 0 10

0-

由此能够得出

心+ &

1

0 1

%

C

l + C z

皂

叫

叫

^2

+ ^3

C2 +W m 2

m 2

m 2

C

2 + C 3

女2

m 2

10 0 0 ■0 10 0.

已知:= 1, m 2 = 2, k t = k 3 = 100, k 2 = 300, c x = c 3 = 3, c 2 = 6

代入数据得:

0 0 1 01 0 0 0

-400 300 9

0 0.5」

10 0 0 .0 10

0.

2丄1系统传递函数的计算

在Matlab 中，函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传 递函数，其一般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu),其中iu 是输入 值。

用Matlab 将状态空间表示式表示为传递函数： 在输入1单独作用的情况下

A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6; 150 -200 3 -4.5]; B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]; C=[l 0 0 0;0 10 0]; D=[0 0;0 0];

[num,den]=ss2tf( A,B,C,D, 1)

运行程序，得到： num =

150 -200

3 —4.5」