数形结合找规律试题集锦
4=1+3 9=3+6 16=6+10
图7 … 数形结合找规律试题集锦
1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。
2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．
从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻
“三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ）
A ．13 = 3+10
B ．25 = 9+16
C ．36 = 15+21
D ．49 = 18+31
3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．
4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90o ，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A ．上
B ．下
C ．左
D ．右
5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形第（4）题 众
志 成 城
图5-1 成 城 众 志 图5-2 志 成 城 众 城 众 志 成 图5-3 成 城 众 志 …
图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个.
6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。
7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形
（1 ）（ 2 ）（ 3 ）
这n个图形共有个三角形。
8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是
块。
9 （2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰
直角三角形ABA
1，再以等腰直角三角形ABA
1
的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角
形A
1BB
1
，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积S
n
＝________。
B1
B2
A1
A
O B
10 如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,?至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( )
A 25
B 66
C 91
D 120
11 ．在数学活动中，小明为了求 2341111122222n ++++
+L
的值（结果用
n
表
示）
，设计如图1所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求2341111122222n
+++++L 的值为 ； （2）请你利用图2，再设计一个能求2341111122222n
+++++L 的值的几何图形．
12 如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是________ ，第n 层中含有正三角形个数是________
13 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖铺地板，按如下第（1）至第（7）个图的方式铺设，则第（30）个图形中黑色的瓷砖有 块.
14 15.如图，每个图形均是由单位1的小正方形组成的，其中第一个图形的面积为2个平方单位，第二个图形的面积为7个平方单位，第三个图形的面积为14个平方单位，…，由此规律第七个图形的面积为___________平方单位.
12
21
2图2图1⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ 第38题图
15 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．
请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→
到12C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，
，，，…，当数时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到
的数是_________；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到
的数是
_____________（用含n 的代数式表示）．
16．请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成__________段．
17．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数
18．(2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
19．（2009年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是
．
【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-
答案
15 B 603 36+n
16
（提示 21n + ） 17
【答案】2008 18
【答案】46 19
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 …
数形结合的思想
数形结合的思想 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意
义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
四年级奥数解析找规律巧填数
四年级奥数解析（一）找规律巧填数（上） 这里讲解的教材是南京大学出版社出版的《数学奥赛天天练》，本书共55讲，是四年级一学年的奥数内容。本册教材大部分内容是同一版本低年级奥数内容的拓展和延伸，对于奥数基础较好的孩子，学习起来比较容易理解，应鼓励孩子熟练掌握、灵活运用。有一小部分内容为新增的题型，重点拓展孩子的解题思路，扩大孩子的见识面，发散孩子的思维，向孩子渗透新的解题思想。在家自学时，可按每周一讲的速度学习，结合教材学习进度，对部分内容的先后顺序可作适当调整。? ? 《奥赛天天练》第1讲《找规律巧填数》。规律填数一般有两大类型：数列和图表。最基本的理论基础还是数列，图表的填空也是以数列知识为基础的。需要阅读《数列的初步认识》，请点击： user3/4092/archives/2009/ 寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手： 一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。 二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。 三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。 以上内容在《三年级奥数解析（一）数列的排列规律》中已举例说明，查阅网址： user3/4092/archives/2008/ 《奥赛天天练》第1讲，模仿训练，练习2 【题目】：
按规律在“？”处填数。 【解析】： 第（1）小题，仔细观察前三幅图，通过计算可找到规律：上格的数字与左下格数字之差的2倍就是右下格数字，如第一幅图中：（8-6）×2=4。 所以第四幅图中“？”处的数字为：（13-6）×2=14；第五幅图中“？”处的数字为：32-（24÷2）=20。 第（2）小题，仔细观察前两幅图，通过计算可找到规律：中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积，如第一幅图中：1×4×5=2 0。 所以第三幅图中“？”处的数字为：3×5×2=30；第四幅图中“？”处的数字为：56÷（7×8）=1。 《奥赛天天练》第1讲，巩固训练，习题2 【题目】： 将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？【解析】： 根据题意列出数列（未知数字用方框代替）： □、□、□、□、□、□、81、131……
中考数形结合题
做家长信任的教育机构【中考冲刺】数形结合的5个常考类型 数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 1用数形结合的思想解题可分两类 (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等； (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 22. 热点内容 在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容. 【典型例题】
类型一、利用数形结合探究数字的变化规律 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是． 【思路点拨】 首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n． 【答案与解析】 第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个； 第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个； 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个； 按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）. 故答案为n（n+2）=n2+2n. 【总结升华】 这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律. 举一反三：
人教版数学四年级上册思维训练1：找规律 巧填数
四年级数学上期思维训练(一) ——找规律巧填数 例1：先找规律，再填数。 （1）1，2，4，7，11，16，（），29，（） （2）2，4，8，16，（），（），（） 练习：（1）1，5，11，19，29，（），55 （2）81，64，49，36，（），16，（），4，1 例2：先找出规律，在括号里填数。 （1）23，4，20，6，17，8，（），（），11，12 （2）1，1，2，3，5，8，13，（），34，55 练习：（1）21，2，19，5，17，8，（），（） （2）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486 （3）1，3，3，9，27，（） （4）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78 例3：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。（100，96）（97，88）（91，75）（79，□） 练习：（1）（2，3），（5，7），（7，10），（10，□） （2）（100，50），（86，43），（64，32），（□，21） 例4：先计算第一题，再找出规律，并根据规律直接写得数。 12345679×9= 12345679×18= 12345679×27= 12345679×81= 练习：（1） 1×1= 11×11= 111×111= 1111×1111= 11111×11111= 111111×111111= 例5：观察下面的一组算式，找出规律，再在方框里填出适当的数。
（1）9×1+2=11 （2）9×12+3=111 （3）9×123+4=1111 （4）9×1234+5= （5）9×12345+6= （6）9×（）+（）=1111111 （7）（）×（）+（）=11111111 （8）（）×（）+（）=111111111 练习：先观察算式，找出规律，再填数。 （1）21×9=189 （2）321×9=2889 （3）4321×9=38889 （4）（）×9=488889 （5）（）×9=5（）9 （6）（）×9=68888889 例6：先观察算式，找出规律，然后填数。 3×4=12 33×34=1122 333×334=111222 3333×3334=（） …… 33…3×33…34=（） 练习： 9×4=36 99×44=4356 999×444=443556 9999×4444=（） 99...9×44...4=44...4355 (56)
找规律 数形结合
计算部分 1.2464850 +++++ L 2.13579111315131197531 ++++++++++++++ 3.123495049321 +++++++++ L L 4.11111 2481632 ++++ 5.1111 248256 ++++ L 6. 1111111111 1 2481632641282565121024 ----------
1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个 小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为______。 …… ①②③ 2.根据图中的规律，照这样画下去，第10个图形有______个圆圈。 …… 3.下列图中有大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅 图中有5个，则第5幅图中有______个，第n幅图中有______个。 …… 123n
4.小明按照如图的方式用黑色和白色正方形摆图形。 ……（1）当中间摆20个黑色正方形时，四周共需要摆______个白色正方形。 （2）如果中间摆n个黑色正方形，四周共需要摆______个白色正方形。 5.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5个图 中所贴剪纸“〇”的个数为______，第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为______。 …… 第1个图第2个图第3个图 6.用黑白两色的正六边形按如图所示的规律拼成若干个图案。 …… 第1个第2个第3个 （1）拼第4个图案需要______个白色的正六边形。 （2）拼第n个图案需要______个白色的正六边形。
四年级数学上期找规律 巧填数思维训练
例1：先找规律，再填数。 （1）1，2，4，7，11，16，（），29，（） （2）2，4，8，16，（），（），（） 练习：（1）1，5，11，19，29，（），55 （2）81，64，49，36，（），16，（），4，1 例2：先找出规律，在括号里填数。 （1）23，4，20，6，17，8，（），（），11，12 （2）1，1，2，3，5，8，13，（），34，55 练习：（1）21，2，19，5，17，8，（），（）（2）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486 （3）1，3，3，9，27，（） （4）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78 例3：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （100，96）（97，88）（91，75）（79，□） 练习：（1）（2，3），（5，7），（7，10），（10，□） （2）（100，50），（86，43），（64，32），（□，21） 例4：先计算第一题，再找出规律，并根据规律直接写得数。
12345679×9=12345679×18= 12345679×27=12345679×81= 练习：（1）1×1=11×11=111×111= 1111×1111=11111×11111=111111×11 1111= 例5：观察下面的一组算式，找出规律，再在方框里填出适当的数。 （1）9×1+2=11（2）9×12+3=111（3）9×123+4=1111（4）9×1234+5=（5）9×12345+6=（6）9×（）+（）=1111111 （7）（）×（）+（）=11111111 （8）（）×（）+（）=111111111 练习：先观察算式，找出规律，再填数。 （1）21×9=189（2）321×9=2889（3）4321×9=38889（4）（）×9=488889（5）（）×9=5（）9 （6）（）×9=68888889 例6：先观察算式，找出规律，然后填数。 3×4=12 33×34=1122
数形结合找规律
数形结合找规律 华南实验学校杭雅琴 课型：思维训练课 教学目标： 1．让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，结合图形从不同的角度观察得出不同的数学规律。 2．应用“数形结合”，训练和培养学生数学直觉思维能力、发散思维能力和创造性思维能力。 3．通过以形助数的直观生动性，体会数形结合，感受数学的趣味性。 教学过程： 一、导入： 同学们有没有学过这样一首诗（出示: 题西林壁：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。）这首诗什么意思？（从不同地角度看庐山，庐山的模样各不相同。） 师：其实在数学学习中也是如此，对待同一个问题，如果从不同地角度去观察、去思考，得出的结论、规律也就会不同。 （设计意图：从学生比较熟悉的古诗导入新课，非常简明；以此迁移到数学学习中也要善于从不同角度观察和思考问题，为后面新知的学习作了伏笔。） 二、新授： 1、依次出示图1、图 2、图3，分别说说是由几个小圆点组成的。想像一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？ 图图图图 图1 图2 图3 图4 2、你是怎么想到图4会有16个小圆点的？仔细观察这组图，你还有什么发现呢？（学生畅谈自己的发现.） 3、同学们不仅能用一个数表示每幅图的圆点数，而且还能用算式来表示这组图的规律，真了不起。根据这个规律，想一想第5个图形是怎样的？一共有多少个圆点？第8幅图呢？第100幅图呢？第N幅图呢？
4、通过刚才的观察，我们发现每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。那刚才我们是怎样观察的？（横着观察的） （设计意图：数形结合方法之一是借助“形”的生动和直观性认识“数”。通过观察前3个图，使得学生从整体上对图形的圆点排列特点；然后，想像一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论，训练了学生数学直觉思维能力。） 5、如果我们换个角度观察，直接出示“”划分的。要求每幅图的圆点总数又可以列成怎样的算式？ 6、这些式子也是表示每幅图圆点的总数，和刚才的算式等不等？（板书） 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 7、仔细观察这些等式，左边的式子有什么特征？右边呢？左右联系起来看你又有什么发现？ 8、汇报，得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。 9、要求连续奇数的和只要知道什么？你会求吗？ （1）1+3+5+7+9+11 （2）1+3+5+7+9+11+13+15+17 （3）3+5+7+9+11+13+15+17+19 10、小结：刚才我们对于同一组图，从不同的角度观察，找到了这么多不同的规律。同学们真了不起。杭老师想告诉大家，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是借助这些小圆点，找到了这些规律。我觉得我们班的同学已经超过了古希腊的数学家，已经具有了未来数学家的风范。 师：我们再回忆一下，刚才我们是怎样找到这些规律的？和什么结合起来找的？（揭题：数形结合找规律）数形结合是一种特别重要的数学思想方法，我国著名的数学家华罗庚曾说过这样一句话：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。什么意思？希望同学们在以后的学习中经常使用数形结合的思想方法，帮助我们解决一些实际问题。
四年级数学上期思维训练(一)找规律 巧填数新版
四年级数学上期思维训练(一)找规律巧填数 ——找规律巧填数 例1：先找规律，再填数. （1）1，2，4，7，11，16，（），29，（） （2）2，4，8，16，（），（），（） 练习：（1）1，5，11，19，29，（），55 （2）81，64，49，36，（），16，（），4，1 例2：先找出规律，在括号里填数. （1）23，4，20，6，17，8，（），（），11，12 （2）1，1，2，3，5，8，13，（），34，55 练习：（1）21，2，19，5，17，8，（），（） （2）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486 （3）1，3，3，9，27，（） （4）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78 例3：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数. （100，96）（97，88）（91，75）（79，□） 练习：（1）（2，3），（5，7），（7，10），（10，□） （2）（100，50），（86，43），（64，32），（□，21） 例4：先计算第一题，再找出规律，并根据规律直接写得数. 12345679×9= 12345679×18= 12345679×27= 12345679×81= 练习：（1） 1×1= 11×11= 111×111= 1111×1111= 11111×11111= 111111×111111=
例5：观察下面的一组算式，找出规律，再在方框里填出适当的数. （1）9×1+2=11 （2）9×12+3=111 （3）9×123+4=1111 （4）9×1234+5= （5）9×12345+6= （6）9×（）+（）=1111111 （7）（）×（）+（）=11111111 （8）（）×（）+（）=111111111 练习：先观察算式，找出规律，再填数. （1）21×9=189 （2）321×9=2889 （3）4321×9=38889 （4）（）×9=488889 （5）（）×9=5（）9 （6）（）×9=68888889 例6：先观察算式，找出规律，然后填数. 3×4=12 33×34=1122 333×334=111222 3333×3334=（） …… 33…3×33…34=（） 练习： 9×4=36 99×44=4356 999×444=443556 9999×4444=（） 99...9×44...4=44...4355 (56)
数形结合找规律试题集锦
4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而 把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四 边形共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） A ．上 B ．下 C ．左 D ．右 第（4）题 图5-1 图5-2 图5-3 …
5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的 圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形 （1 ）（ 2 ）（ 3 ）这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是 块。 9 （2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1 ，再以等腰直角三角形ABA 1 的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形A 1 BB 1 ，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形 的面积S n ＝________。 B1 B2 A1 A O B
三年级奥数第2专题-找规律巧填数(学生版)
奥数第二专题找规律巧填数 专题精析：我们把按某种规律排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，通过观察已知的项找出所给数列的规律，并依据规律填写所缺的数，就是按规律填数。 基础提炼： 例1：找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数： （1）1,5,11,19,29，（），55； （2）6,1,8,3,10,5,12,7，（），（）。 解析：（1）先计算相邻两数的差，5－1=4,11-5=6,19-11=8,29-19=10，由此可以推知这些差依次为4,6,8,10,12,14.这样（）里的数应比29多12，比55少14，也就是说应该填41. （2）仅从相邻的两个数难以看出这列数的排列规律，这时不妨隔着一个数来观察，就会发现原来这列数是由两列数复合而成的，第1列数是6,8,10,12,14，每两个数的差是2,；第二列数是1,3,5,7,9，每两个数的差也是2，所以括号里应依次应填14和9. 例2：根据前2个三角形里3个数的关系，在第3个、第4个三角形的空格里应填几？
解析：先看第1个三角形里的3个数，试着判断它们之间存在着什么样的关系，可能的关系有6×3→18，18—4→14；6＋12→18,6＋8→14，接着，再来看第2个三角形里的三个数之间的关系依然符合5×3→15,15—4→11 ，所以，第3个和第4个三角形可以填出： 模仿训练： 练习1 在下面各数列中填入合适的数 （1）9,11,15,21,29，（ ），51 （2）3,4,5,8,7,16,9,32，（ ），（ ） 练习2：按规律在“？”处填数。 (1） 巩固训练 习题1 按数列的规律在括号内填入合适的数：
四年级数学上期思维训练(一)找规律巧填数
教学资料参考范本 四年级数学上期思维训练(一)找规律巧填数 撰写人：__________________ 部门：__________________ 时间：__________________
——找规律巧填数 例1：先找规律，再填数。 （1） 1，2，4，7，11，16，（），29，（） （2） 2，4，8，16，（），（），（） 练习：（1）1，5，11，19，29，（），55 （2） 81，64，49，36，（），16，（），4，1 例2：先找出规律，在括号里填数。 （1） 23，4，20，6，17，8，（），（），11，12 （2） 1，1，2，3，5，8，13，（），34，55 练习：（1） 21，2，19，5，17，8，（），（） （2） 2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486 （3） 1，3，3，9，27，（） （4） 1，3，6，8，16，18，（），（），76，78 例3：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （100，96）（97，88）（91，75）（79，□） 练习：（1）（2，3），（5，7），（7，10），（10，□）
（2）（100，50），（86，43），（64，32），（□，21） 例4：先计算第一题，再找出规律，并根据规律直接写得数。 12345679×9= 12345679×18= 12345679×27= 12345679×81= 练习：（1） 1×1= 11×11= 111×111= 1111×1111= 11111×11111= 111111×111111= 例5：观察下面的一组算式，找出规律，再在方框里填出适当的数。 （1）9×1+2=11 （2）9×12+3=111 （3）9×123+4=1111 （4）9×1234+5= （5）9×12345+6= （6）9×（）+ （）=1111111 （7）（）×（）+（）=11111111 （8）（）×（）+（）=111111111 练习：先观察算式，找出规律，再填数。 （1）21×9=189 （2）321×9=2889 （3）4321×9=38889 （4）（）×9=488889 （5）（）×9=5（） 9 （6）（）×9=68888889
四年级奥数第1专题找规律巧填数
奥数第一专题找规律巧填数 专题精析：我们把按某种规律排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，通过观察已知的项找出所给数列的规律，并依据规律填写所缺的数，就是按规律填数。 基础提炼： 例1：找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数： （1）1,5,11,19,29，（），55； （2）6,1,8,3,10,5,12,7，（），（）。 解析：（1）先计算相邻两数的差，5－1=4,11-5=6,19-11=8,29-19=10，由此可以推知这些差依次为4,6,8,10,12,14.这样（）里的数应比29多12，比55少14，也就是说应该填41. （2）仅从相邻的两个数难以看出这列数的排列规律，这时不妨隔着一个数来观察，就会发现原来这列数是由两列数复合而成的，第1列数是6,8,10,12,14，每两个数的差是2,；第二列数是1,3,5,7,9，每两个数的差也是2，所以括号里应依次应填14和9. 例2：根据前2个三角形里3个数的关系，在第3个、第4个三角形的空格里应填几？
解析：先看第1个三角形里的3个数，试着判断它们之间存在着什么样的关系，可能的关系有6×3→18，18—4→14；6＋12→18,6＋8→14，接着，再来看第2个三角形里的三个数之间的关系依然符合5×3→15,15—4→11 ，所以，第3个和第4个三角形可以填出： 模仿训练： 练习1 在下面各数列中填入合适的数 （1）9,11,15,21,29，（ ），51 （2）3,4,5,8,7,16,9,32，（ ），（ ） 练习2：按规律在“？”处填数。 (1） 巩固训练 习题1 按数列的规律在括号内填入合适的数：
渗透数形结合思想积累数学活动经验
渗透数形结合思想积累数学活动经验-小学数学论文-教育期 刊网 渗透数形结合思想积累数学活动经验 江苏扬州市汶河小学（２２５００９）崔旭 在平常的数学教学中，我们常常产生这样的困惑：题目也没有少讲一道，但学生总是停留在模仿解题的水平上，只要题目稍微有些变化，就会不知所措。学生很难形成较强的解决问题的能力，就更谈不上创新能力了。其实，细细想来，在平时的教学中，我们经常把教学的着眼点放在了解决难题上，而忽视了隐含在数学知识中的灵魂和精髓——数学思想方法。 在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法对数学学科的后续学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。作为一线教师，该如何渗透好数形结合思想，帮助学生积累数学经验呢？我有以下几点想法。 一、直观形象感受数形结合思想，激活显化数学活动经验 【案例１】最近听了一位教师的“倍数和因数”一课。在设计探寻１２的因数时让人眼前一亮：他首先帮助学生建立模型，引导学生想“（）×（）＝１２”，在学生找到３、４、２、６、１、１２这几个因数后，他并没有直接告诉学生怎样做到不遗漏、不重复地写出这些因数，而是出示了一根数轴，如图１。 在数轴中依次成对出现１、１２；２、６；３、４（每一对均用不同颜色圆点标出），学生便能直观感受到因数的特点，一对对出现，一头一尾去思考、去寻找，而且每一对数会越来越接近。就在此时，教师点拨，以后在写因数时，不必画数轴，可以在心里想。随即让学生去尝试着有序地直接列出１２的因数（１，２，３，４，６，１２）。学生有了这样的直观感受，一下子就找准找全了所有的因数。整个教学环节如行云流水般，让人拍案叫绝！ 我的思考：教师精心设计的这一环节，通过数轴将因数的特点形象地表现了出来，帮助学生积累了找因数的经验。这样使虚化的经验看得见、摸得着，实在别出心裁。数轴的使用，使得找一个数的因数从机械的模仿变成形象化的理解。以往我们常常引导学生在做“（）×（）＝１２”时要进行有序的列举，但学生在练习中却很难做到不遗漏、不重复，但有了数轴，学生却能体会到１２的因数肯定在１~１２之间，从而有了一定的范围，然后体验到逐步逼近的数学思想，这样学生领悟得更加深刻。 二、经历体验数形结合思想，积累丰富数学活动经验 １．经历以“形”助“数”，直观形象体验 【案例２】六年级下册“解决问题的策略——转化”中有这样一道题目 ，常常出现在课堂中的处理是——用通分的方法快速口算完成，至此学生都感觉十分轻松。
(完整版)数形结合思想教学案例
一、数形结合思想方法简述 数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。 在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。 应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。 通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。数学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。 应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓的直觉思维。在数学教学中，教师通过数形结合训练学生的直觉思维，让学生养成整体观察，从整 体上对数学对象（条件、问题）及其结构（数量关系）迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论。如教学行程问题中的相遇与追及问题时，教学中通过画线段图，帮助学生理解、掌握相遇问题与追及问题的数量关系，联系与区别，从而使学生在解决这类问题时，即使不再画图，也能做到直观地判断出解决的问题是相遇问题，还是追及问题，正确的应用相应的数量关系进行解答。 应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。 应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。创造性思维能力是思维的最高境界。当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的不断发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，运用数形结合的思想，引导学生去研、去探讨、去发现，让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析研究，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选中解决问题的方法。如学习了重叠问题后，学生对两两重叠较易理解掌握，能正确解题，但三三重叠学生理解起来就很困难：两两重叠部分要减去，为什么三三重叠部分要加上呢？在这里，教师用单纯的语言文字是不能说清楚的，只有通过让学生画图，理解三三重叠部分在前面的加减中一次也没有计算，还需要加上去。 二、数形结合思想方法在教材中的渗透 1、数形结合帮助学生建立起数学基本概念，形成整个数学知识体系。数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起
一年级数学按规律填数巧填算式运算符号求正确结果
一年级数学按规律填数巧填算式运算符号求正 确结果 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
一年级数学巧填算式，运算符号，按规律填数，求正确结果。 1.巧填算式： 1）将4,5,7,9,12,13这六个数分别填入下面的（）内每个数只能用一次，使两个等式成立。 （）+ （） = （） （） -- （）= （） 2）将6,16,26,36,46,56,66,76，分别填入下面的（）里，使等式成立，每个数只能用一次。 ( )+( )=( )+( )=( )+( )=( )+( ) 2. 在下面的数字与数字之间添上“+”“—”或“( )”使等式成立。 a) 26 25 24 23 8 = 10 b) 13 16 17 22 24 = 0 c) 25 29 17 18 19 = 0 3. 在下面的数字与数字之间添上“+”“—”或“( )”，使等式成立。（相邻位置的数可以看做一个数）
a) 3 5 6 7 9 = 93 b) 5 6 7 8 9 = 48 c) 2 4 7 8 9 = 16 4. 按规律填数 a) ( ) , 5 , 8 ,12 ,14 ,19, 20 ,( ) ,( ) b) 95 , 70 , 50 , 35 , ( ) , ( ) c) 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ( ) , ( ) d) 7 , 28 , 8 , 26 , 9 , 24 , ( ) , ( ) e) 3 , 4 , 7 , 12 , ( ) ,28 , 39 , ( ) f) 12 , 2 , 3,9,2,5,( ),2,7,3,( ),( ) g) 72 , 36 ,( ), 9 h) 27, 6 ,21,8 ,13 ,( ),3
数形结合
“数”和“形”是数学中两个最基本的概念：“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。那么在小学数学教学中如何运用数形结合的思想提高学生解决问题的能力呢？下面我谈一谈自己在教学中的一些做法： 一、数形结合，利于激发学生兴趣。 数与代数是小学数学的主要研究内容，作为数学课程标准中数与代数领域内容一部分的“找规律”是义务教育课程标准实验教材新增的教学内容，在我国把这个内容列为小学数学的一个独立的教学内容尚属首次，其目标是发现给定的事物中包含的简单规律。对于小学生来说，这个知识是比较抽象的，针对这种情况，教师应当引导学生建立起数形结合的思想方法，教会学生利用图形这种直观的辅 察图形的排列规律（如图）： 让学生发现这组图形是依次增加2个圆、3个圆、4个圆、5个圆，得出结论往后就应该依次增加6个圆、7个圆、8个圆……，在学生找到图形的规律后，教师又把图形换成了对应的数字1、3、6、10、15，学生经过图形与数字的对比，发现了这组数字实际和上面的图形一样，也是依次加上2、3、4、5得到后一个数字的，这样借助图形的帮助很快得出了数字排列的规律。数学中这种“数与形”转换演示的过程，使抽象的“规律”变得直观、形象，学生一下就抓住了问题的本质，规律的所在。 二、数形结合，利于发展学生思维。 如果在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。例如，四年级下学期的“植树问题”最大的难点在于理解植树棵数与间隔数的关系，在教学时我让学生先选取20米的一段距离进行研究，用\表示树，——表示两树之间的距离5米，画出植树的三种情况： 两端都栽：\ \ \ \ \ 一端不栽：\ \ \ \ \ \ \ \ 两端不栽： \ \ \ 学生通过观察得出：两端都栽，棵数为5，间隔数为4，棵数比间隔数多1；一端不栽，棵数和间隔数一样，都是4；两端不栽，棵数为3，间隔数为4，棵数比间隔数少1。通过画图，学生理解植树棵数与间隔数之间存在的关系，初步建立起植树问题表象，体会到“数形结合”的数学思想和方法。通过画图的策略，帮助学生将文字信息和思维耦合，使学生思维发展有了凭借，促进学生由形象思维向抽象思维的过渡。
找规律填数
找规律填数 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
找规律填数 小朋友们，在学习和生活中，我们经常会遇到许多按一定顺序排列起来的数。在数学上，我们把这样的一组数叫做“数列”。找规律填数，就是先通过对数列的观察，再经过严密的逻辑推理，然后发现数列中数的排列规律，并依据这个规律把所缺的数填写出来，从而达到解决问题的目的。这一讲，就让我们一起来探讨数列中的奥秘吧！ 例1.找出下面各数的排列规律，在括号里填上合适的数。 〈1〉1，2，3，4，（），（） 〈2〉2，4，6，8，（），（） 〈3〉45，40，35，（），（） 点拨： 〈1〉在这个数列中，通过观察可以发现，这一列数越来越大，而且后一个数都比前一个数多1，也就是说相邻 两个数的差都是1，因此，括号里应按顺序填上5，6. 〈2〉根据上题的方法，依次求出相邻两数的差，可以发现这列数的排列规律是：从第二个数起，后一个数都比 前一个数多2，因此，括号里应按顺序填上10，12. 〈3〉也可以用下面的计算过程来推算 45403530(25)(20) -5-5-5-5-5 例2.找规律填数.
〈1〉1，2，4，7，11，（），（） 〈2〉1，3，7，13．21，（），（） 〈3〉1，2，4，8，16，（），（） 点拨： 〈1〉通过观察和计算我们发现，在这一列数中，数也在逐 渐增加，但每次增加的数并不相同，具体变化如下：第一 个数加1得到第二个数，第二个数加2得到第三个数，第 三个数加3得到第四个数，第四个数加4得到第五个数， 依次推算，第五个数应该加5得到第六个数是16，第六个 数加6得到第七个数是22，也就是说，每次增加的数都比 上次增加的数多1，也可以用下面的计算过程来推算： 124711（16）（22） +1+2+3+4+5+6 〈2〉这一列数每次增加的数都比上次增加的数多2. 1371321(31)(43) +2+4+6+8+10+12 〈3〉这一列数每次增加的数都是它本身，第一个数是1，再加上1得到第二个数，第二个数是2，再加上2得到第三个 数，第三个数是4，再加上4得到第四个数，第四个数是8，再加上8得到第五个数，依次推算，第五数是16，也应该加上16得到第六个数是32，第六个数是32，也应该加上32得到第七个数是64.可以用下面的计算过程来推算： 124816（32）（64）
六下 找规律(数与形)
《数学思考—找规律》 江门市紫茶小学叶小菊 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书?数学》六年级下册第100页例1 【教材分析】 《数学思考》作为一般的数学推理的训练，目的是为了培养学生良好的数学思维能力，在六年级下册最后一单元《整理和复习》中出现，我认为，教材编排的目的不仅仅是让学生学会这几题的解法，更重要的是为了在学生心中渗透“数学思想方法”，同时也积累一些解决问题的策略，让学生树立一种意识，那就是——化难为易，以简驭繁，并掌握其中的规律。 “数学思想方法可以化难为易，帮助我们解决问题。”教材中的这句话体现了数学思考的价值，也为我们的教与学指明了方向。本节教学的例题体现了找规律对解决问题的重要性，整个过程都在逐步地让学生去体会数形结合、化难为易的数学思想。学生将在丰富多彩、充满魅力的学习活动中，探索奇妙的数学世界。而“用数学的魅力和学习的收获激发学生学习的兴趣与内在动机”正是我期望达到的目标之一。 【学情分析】 在《义务教育课程标准实验教科书·数学》整套教材中，从一年级下册开始，每一册都安排了一个单元“找规律”或“数学广角”的内容。其中“找规律”是让学生探索给定图形或数字中的简单的排列规律，“数学广角”中渗透了排列、组合、集合、等量代换、逻辑推理、抽屉原理等方面的数学思想方法。因此，这些规律对于六年级的学生而言，并不陌生，可有部分学生又只会列式而不会总结其规律，因此，我把这节课作为一节找规律的复习课，通过例题进一步巩固、发展学生找规律的能力。 【教学目标】 1．使学生理解点与点之间线段的内在规律，掌握正确计算线段数的方法。 2．使学生通过观察、分析、归纳等过程，进一步发展合理推理能力和问题解决能力。 3．使学生进一步体会化繁为简及数形结合的思想，感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。 【教学重难点】 由最简单的情况入手，找出规律，以简驭繁。 【教学过程】 一、谈话引入，揭示课题
云南省临沧市六年级上册期末复习14：数学广角——数形结合规律
云南省临沧市六年级上册期末复习14：数学广角——数形结合规律 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）加法算式1+2，2+5，3+8，1+11，2+14，3+17…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是（）。 A . 1+120 B . 2+119 C . 1+119 2. （2分）小明用小棒搭房子，他搭的三间房子用了13根小棒．搭10间房子用（）根小棒． A . 40 B . 41 C . 45 D . 50 3. （2分）甜甜按照一定的规律用小棒摆出了下边的4幅图，如果按照这个规律继续摆，第6幅图要用的小棒根数是（） A . 31根 B . 45根
D . 63根 4. （2分） (2019一下·鹿邑月考) 图中有（）个三角形。 A . 3 B . 4 C . 6 5. （2分）下面各图是由棱长为1厘米的正方体拼成的，根据前三个图形表面积的排列规律，第五个图形的表面积是（）平方厘米。 A . 20 B . 22 C . 24 6. （2分） (2020六上·官渡期末) 如图所示：用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个蝴蝶图案，则第7幅蝴蝶图案中白色地砖有（）。 A . 35块 B . 27块 C . 22块
7. （2分）根据规律，中填（）。 A . 22 B . 188 C . 198 8. （2分）按下面点阵中的规律继续画，第11个点阵应该画（）个点． A . 64 B . 81 C . 100 D . 121 二、判断题 (共5题；共10分) 9. （2分） (2020二下·英山期末) 按照“ ”的规律摆图形，第29个是三角形。（） 10. （2分） (2020一上·武宣期末) 左图是按规律摆放的。（） 11. （2分） (2020二下·涧西期末) 按规律往下画，第19个图形是。 （） 12. （2分）…，第五个点阵中点的个数是1+4×5=21． 13. （2分） (2020二下·景县期末) 一个算式，除数是8，商是4，余数最大，被除数是39。（）