2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(1)

2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（1）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]

B ．（﹣1，1）

C ．（0，1）

D ．?

2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1?2i z

=1+i ，则|z |＝（ ） A ．

√5

2

B ．

3√2

2 C ．

√10

2

D ．√3

3．（5分）已知椭圆E ：x 2a 2

+

y 2

b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(√2

2，√3

2)，椭圆E 的离心率为√2

2

，则

椭圆E 的焦距为（ ） A ．1

B ．2

C ．√2

D ．2√2

4．（5分）已知边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足BE →

=12EC →

，则AE →?BD →的

值是（ ） A ．?1

3

B ．?12

C ．?14

D ．?16

5．（5分）如图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（ ）

A ．2017年就业人员数量是最多的

B ．2017年至2018年就业人员数量呈递减状态

C ．2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓

D ．2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人 6．（5分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（5分）甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为（ ） A ．2

3

B ．1

2

C ．1

3

D ．1

4

8．（5分）下列说法正确的是（ ）

A ．若￢（p ∧q ）为真命题，则p ，q 均为假命题

B ．命题“?x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“?x ∈R ，ax +b ≥0”

C ．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若“a 1＞0”则“S 2019＞S 2018”的否命题为真命题

D ．“平面向量a →

与b →

的夹角为钝角”的充要条件是“a →

?b →

＜0”

9．（5分）如图所示，函数f （x ）＝sin （2x +φ）（|φ|＜π）的图象过点(π

6，0)，若将f （x ）的图象上所有点向右平移π

6个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的

函数为g （x ），则g （0）＝（ ）

A ．1+√3

2

B ．1?√3

2

C ．1+√32或1?√3

2

D ．

√3

2

10．（5分）如图，F I ，F 2是双曲线C ：x 2a

2?y 2

3=1(a ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上

位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ |＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．2

B ．

√7

2

C ．

2√3

3

D ．

√19

4

11．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，侧棱P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．3π

B ．4π

C ．6π

D ．10π

12．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足f(x +2)=1

2f(x)，当x ∈[0，2）时，f(x)=

{1

2?2x 2，0≤x ＜1?21?|3

2?x|，1≤x ＜2

．函数g （x ）＝lnx ﹣m ．若任意的x 1∈[﹣4，﹣2），均存在x 2∈[e ?1，e 2]使得不等式f （x 1）﹣g （x 2）≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[10，+∞）

B ．[7，+∞）

C ．[﹣3，+∞）

D ．[0，+∞）

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）（2x ﹣y ）5的展开式中，含x 3y 2项的系数为 ．（用数字作答）． 14．（5分）设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则

a 2+a 5a 8

的值为 ．

15．（5分）直线y ＝3x +√2与圆心为D 的圆（x ﹣1）2+（y ?√3）2＝1交于A ，B 两点，直线AD ，BD 的倾斜角分别为α，β，则tan （α+β）＝ ． 16．（5分）已知函数f （x ）满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）都有

x 2f(x 2)?x 1f(x 1)

x 1?x 2

＜0恒成立，且f （1）＝0，则关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为 ．

三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

17．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，∠DAB =π

2，AP ＝AB ＝BC =1

2AD ，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O ． （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．

18．（12分）已知△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ． （Ⅰ）求角B ；

（Ⅱ）若b ＝12，c ＝8，求sin A 的值．

19．（12分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．

（1）求这个样本数据的中位数和众数；

（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．

20．（12分）已知椭圆E ：x 22+y 2b

2=1(a ＞0，b ＞0)过点(1，3

2)，且其中一个焦点的坐标为F （﹣1，0）．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若经过F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点使得MA →

?MB →

为定值？若存在，求岀点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（x ?1x ）lnx ，g （x ）＝x ?k

x ． （1）证明：函数f （x ）的极小值点为1；

（2）若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）在[1，+∞）有两个零点，证明：1≤k ＜17

8

四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{

x=?2+12t

y=√32t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=√10．

（1）若l与C相交于A，B两点P（﹣2，0），求|P A|?|PB|；

（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f(x)=|x?a2+1

a

|+|x?1|（a＞0），g（x）＝4﹣|x﹣1|．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集包含[0，1]，求a的取值集合．

2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（1）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]

B ．（﹣1，1）

C ．（0，1）

D ．?

【解答】解：∵集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}＝（﹣1，1}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：C ．

2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1?2i z

=1+i ，则|z |＝（ ） A ．

√5

2

B ．

3√2

2

C ．

√10

2

D ．√3

【解答】解：由1?2i z

=1+i ，得z =

1?2i 1+i =(1?2i)(1?i)(1+i)(1?i)=?12?3

2

i ， ∴|z |＝|z |=√(?1

2)2+(?3

2)2=√10

2． 故选：C ．

3．（5分）已知椭圆E ：

x 2a +

y 2b =1(a ＞b ＞0)过点P(

√2

2，√3

2)，椭圆E 的离心率为√2

2

，则

椭圆E 的焦距为（ ） A ．1

B ．2

C ．√2

D ．2√2

【解答】解：由题意可得：12a +

34b =1，c

a

=

√2

2

，a 2＝b 2+c 2，解得c 2＝1， 所以焦距2c ＝2， 故选：B ．

4．（5分）已知边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足BE →

=12

EC →，则AE →?BD →

的值是（ ） A ．?1

3

B ．?12

C ．?14

D ．?16

【解答】解：菱形ABCD 中，AB ＝1，∠BAD ＝60°，点E 满足BE →

=1

2EC →

， 如图所示；

则A （?

√3

2

，0），B （0，?1

2

），C （

√32，0），D （0，12），E （√36

，?1

3），

∴AE →

=（

2√33

，?1

3），

BD →

=（0，1）， ∵AE →

?BD →

=0?13=?13

． 故选：A ．

5．（5分）如图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（ ）

A ．2017年就业人员数量是最多的

B ．2017年至2018年就业人员数量呈递减状态

C ．2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓

D ．2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人 【解答】解：根据该统计图表可得2017年就业人数最多，故A 正确； 2017年就业人员高度必2018年的高，故B 正确；

2014﹣2015，2015﹣2016就业人员增加量大致200，而2016﹣2017增加量100不到，故C 正确；

2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长低于400万人，故D 错 故选：D ．

6．（5分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．

7．（5分）甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为（ ） A ．2

3

B ．1

2

C ．1

3

D ．1

4

【解答】解：甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间， 计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系， 每个人只能选择一个景点， 基本事件总数n ＝23＝8，

甲、乙都到黄果树旅游参观包含的基本事件个数m =C 22C 21

=2，

∴甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为p =m n =28=1

4． 故选：D ．

8．（5分）下列说法正确的是（ ）

A ．若￢（p ∧q ）为真命题，则p ，q 均为假命题

B ．命题“?x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“?x ∈R ，ax +b ≥0”

C ．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若“a 1＞0”则“S 2019＞S 2018”的否命题为真命题

D ．“平面向量a →

与b →

的夹角为钝角”的充要条件是“a →

?b →

＜0”

【解答】解：在A 中：￢（p ∧q ）为真，则p ∧q 为假，即p ，q 至少有一个是假命题，可知A 错误；

在B 中：原命题的否定为：?x ∈R ，ax +b ＞0，可知B 错误；

在C 中：若“a 1＞0”，则“S 2019＞S 2018”的逆命题为：若“S 2019＞S 2018”则“a 1＞0”， S 2019＝S 2018+a 2019＞S 2019，∴a 2019=a 1q 2018＞0， ∵q 2018＞0，∴a 1＞0，∴原命题的逆命题为真命题，

又逆命题与否命题同真假，可知原命题的否命题为真命题，可知C 正确； 在D 中，当a →

?b →

＜0时，a →

与b →

夹角可能为π，不是钝角，可知D 错误． 故选：C ．

9．（5分）如图所示，函数f （x ）＝sin （2x +φ）（|φ|＜π）的图象过点(π

6，0)，若将f （x ）的图象上所有点向右平移π

6个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的

函数为g （x ），则g （0）＝（ ）

A ．1+

√3

2

B ．1?

√3

2

C ．1+

√3

2

或1?

√3

2

D ．

√32

【解答】解：∵函数f （x ）＝sin （2x +φ）（|φ|＜π）的图象过点(π

6

，0)， 由图象利用五点法作图可得，2×

π6+φ＝π，∴φ=2π3，f （x ）＝sin （2x +2π

3）． 若将f （x ）的图象上所有点向右平移π

6个单位长度，可得y ＝sin （2x ?π

3+2π

3）＝sin （2x +π

3）的图象，

然后再向上平移1个单位长度，可得y ＝sin （2x +π

3）+1的图象． 故所得图象对应的函数为g （x ）＝sin （2x +π

3）+1，

则g （0）＝sin （0+π3

）+1＝1+√3

2

，

故选：A ．

10．（5分）如图，F I ，F 2是双曲线C ：x 22?y 2

3=1(a ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上

位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ |＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．2

B ．

√7

2

C ．

2√3

3

D ．

√19

4

【解答】解：PQ ＝PF 1﹣F 1Q ＝PF 1﹣F 1M ＝PF 1﹣NF 2＝PF 1﹣（PF 2+PQ ） ?PQ =1

2(PF 1?PF 2)=a ，∴a ＝4，b =√3，∴c =√19， 所以双曲线的离心率为：e =√19

4

．

故选：D ．

11．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，侧棱P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．3π

B ．4π

C ．6π

D ．10π

【解答】解：在三棱锥P ﹣ABC 中，侧棱P A 、PB 、PC 两两垂直， 以P A 、PB 、PC 为棱构造长方体，

这个长方体的外接球就是三棱锥P ﹣ABC 的外接球， ∵P A ＝PB ＝1，PC ＝2，

∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球半径： R =

√PA 2+PB 2+PC 2

2

=

√1+1+4

2

=√6

2，

∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为： S ＝4π×(√6

2)2=6π． 故选：C ．

12．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足f(x +2)=1

2

f(x)，当x ∈[0，2）时，f(x)=

{12?2x 2

，0≤x ＜1?21?|3

2?x|，1≤x ＜2

．函数g （x ）＝lnx ﹣m ．若任意的x 1∈[﹣4，﹣2），均存在x 2∈[e ?1，e 2]使得不等式f （x 1）﹣g （x 2）≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[10，+∞）

B ．[7，+∞）

C ．[﹣3，+∞）

D ．[0，+∞）

【解答】解：由题意，f （x +4）=1

2f （x +2）=1

4f （x ），

设x ∈[﹣4，﹣2），则x +4∈[0，2），∴f （x ）＝4f （x +4）={2?8(x +4)2，?4≤x ＜?3?23?|?x?5

2|

，?3≤x ＜?2． ﹣4≤x ＜﹣3时，f （x ）∈（﹣6，2]；﹣3≤x ＜﹣2时，f （x ）∈[﹣8，﹣4√2] ∴f （x ）min ＝﹣8，

∵g （x ）＝lnx ﹣m ，x 2∈[e ?1，e 2]， ∴g （x ）min ＝﹣1﹣m ，

∵任意的x 1∈[﹣4，﹣2），均存在x 2∈[e ?1，e 2]使得不等式f （x 1）﹣g （x 2）≥0恒成立， ∴f （x ）min ≥g （x ）min ， ∴﹣8≥﹣1﹣m ， ∴m ≥7． 故选：B ．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）（2x ﹣y ）5的展开式中，含x 3y 2项的系数为 80 ．（用数字作答）． 【解答】解：二项式（2x ﹣y ）5的展开式的通项为T r +1＝25﹣

r （﹣1）r C 5r x 5﹣

r y r ，

令r ＝2，可得含x 3y 2的项的系数是23C 52＝80 故答案为：80．

14．（5分）设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 2+a 5a 8

的值为

2 ．

【解答】解：等比数列{a n }的公比设为q ， S 3，S 9，S 6成等差数列，可得2S 9＝S 3+S 6，

若q ＝1，则18a 1＝3a 1+6a 1，显然不成立，故q ≠1， 则2?

a 1(1?q 9)1?q

=

a 1(1?q 3)1?q

+

a 1(1?q 6)1?q

，

化为2q 6＝1+q 3，解得q 3=?12

，

则a 2+a 5a 8

=a 1q+a 1q 4

a 1q 7

=1+q 3q 6

=1?

12

14=2，

故答案为：2．

15．（5分）直线y ＝3x +√2与圆心为D 的圆（x ﹣1）2+（y ?√3）2＝1交于A ，B 两点，直线AD ，BD 的倾斜角分别为α，β，则tan （α+β）＝ ?3

4 ． 【解答】解：设直线y ＝3x +√2的倾斜角为γ，则tan γ＝3 由图象及三角形的外角与不相邻的内角关系， 可知：∠DAB ＝α﹣γ，∠2＝γ+π﹣β．

由圆的性质可知，直线AD ，BD 过圆心，三角形ABD 是等腰三角形， ∴∠1＝∠2， ∴α﹣γ＝γ+π﹣β， 故α+β＝π+2γ， ∴tan （α+β）＝tan2γ=2×31?9=?3

4

． 故答案为：?3

4

．

16．（5分）已知函数f （x ）满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）都有

x 2f(x 2)?x 1f(x 1)

x 1?x 2

＜0恒成立，且f （1）＝0，则关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为 {x |0＜x ＜1或x ＜﹣

1}． ．

【解答】解：f （x ）满足f （x ）+f （﹣x ）＝0， ∴f （x ）为奇函数，

对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）都有

x 2f(x 2)?x 1f(x 1)

x 1?x 2

＜0恒成立，

令g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝xf （x ）＝g （x ）即g （x ）为偶函数， 因为f （1）＝0，所以g （1）＝0， 由题意可得，

g(x 2)?g(x 1)

x 1?x 2

＜0即g （x ）在（0，+∞）上单调递增，根据偶函数的对称

性可知，g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减， ∴g （﹣1）＝g （1）＝0，

由f （x ）=

g(x)

x ＜0可得，{x ＞0g(x)＜0或{x ＜0g(x)＞0

， 解可得0＜x ＜1或x ＜﹣1， 即解集为 {x |0＜x ＜1或x ＜﹣1}． 故答案为：{x |0＜x ＜1或x ＜﹣1}．

三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

17．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，∠DAB =π

2，AP ＝AB ＝BC =12

AD ，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O ． （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．

【解答】解：（I ）证明：由已知AP ⊥平面PCD ，可得AP ⊥PC ，AP ⊥CD ， 由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，

∵BC ∥=

DE ，∴BCDE 为平行四边形，∴BE ∥CD ，∴AP ⊥BE ．

又∵BE ⊥AC ，且AC ∩AP ＝A ，∴BE ⊥面APC ， ∵PO ?平面APC ，∴BE ⊥PO ， 在直角梯形中，AC =√2AB =√2AP ， ∵AP ⊥面PCD ，∴AP ⊥PC ，

∴△P AC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点， ∴PO ⊥AC ．且AC ∩BE ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD ．

（II ）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系． 不妨设BO ＝1，则A （0，﹣1，0），B （1，0，0），P （0，0，1），D （﹣2，1，0）， PB →

=（1，0，﹣1），AB →

=（1，1，0），BD →

=（﹣3，1，0）， 设n →=（x ，y ，z ）是平面PBD 的法向量．

则{n→?PB

→

=x?z=0

n→?BD

→

=?3x+y=0

，令x＝1，得n

→

=（1，3，1），

设直线AB与平面PBD所成角为θ，

则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为：

sinθ=

|AB

→

?n→|

|AB

→

|?|n→|

=2√22

11．

18．（12分）已知△ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R（sin2A﹣sin2B）＝（a﹣c）sin C．

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）若b＝12，c＝8，求sin A的值．

【解答】解：（I）∵2R（sin2A﹣sin2B）＝（a﹣c）sin C，

∴2R?2R（sin2A﹣sin2B）＝（a﹣c）sin C?2R，

即：a2+c2﹣b2＝ac，

∴cosB=a2+c2?b2

2ac

=12．

因为0＜B＜π，所以∠B=π3，

（II）若b＝12，c＝8，

由正弦定理，

b

sinB

=

c

sinC

，sinC =√3

3， 由b ＞c ，故∠C 为锐角，cosC =√6

3，

∴sinA =sin(B +C)=sin(π

3+C)=√3

2?√6

3+12?√3

3=

3√2+√3

6

． 19．（12分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．

（1）求这个样本数据的中位数和众数；

（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．

【解答】解：（1）中位数为43，众数为47；

（2）被调查的4名工人中优秀员工的数量x ＝0，1，2，3，4， 任取一名优秀员工的概率为13

，故x ～B （4，1

3

），

P （x ＝k ）=C 4k

(13)k (1?1

3)4?k ，k ＝0，1，2，3，4，

x 的分布列如下：

x 0

1

2

3

4

P 1681

3281

2481

8

81

1

81

故E （x ）=

1×32+2×24+3×8+4×181=4

3

．

20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b

2=1(a ＞0，b ＞0)过点(1，3

2)，且其中一个焦点的坐标为

F （﹣1，0）．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若经过F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点使

得MA →?MB →

为定值？若存在，求岀点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ， 由题意可得{c =1

a 2=

b 2+

c 2

1a 2+9

4b 2=1，解得{a =2b =√3c =1， ∴椭圆E 的方程为：

x 24

+

y 23

=1；

（2）由题意可设直线l 的方程为：x ＝my ﹣1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =my ?1x 24

+y 23

=1

得：（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9＝0，

∴y 1+y 2=

6m 3m 2+4，y 1y 2=?9

3m 2+4

， 设M （x 0，0），则MA →

?MB →

=(x 1?x 0)(x 2?x 0)+y 1y 2 ＝（my 1﹣1﹣x 0）（my 2﹣1﹣x 0）+y 1y 2

=(m 2+1)y 1y 2?m(1+x 0)(y 1+y 2)+(x 0+1)2 =?(6x 0+15)m 2+9

3m 2+4

+(x 0+1)2 =

8x 0+11

3m 2+4

+(x 0+1)2?(2x 0+5) ∴8x 0+11＝0， ∴x 0=?

118

， 综上：存在点M (?11

8，0)使得MA →?MB →为定值．

21．（12分）已知函数f （x ）＝（x ?1x ）lnx ，g （x ）＝x ?k x

． （1）证明：函数f （x ）的极小值点为1；

（2）若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）在[1，+∞）有两个零点，证明：1≤k ＜17

8

【解答】证明：（1）∵函数f （x ）＝（x ?1

x ）lnx ， ∴f ′(x)=(1+

1x 2)lnx +(1?1

x 2

)，x ＞0， 当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，1+1x 2＞0，1?1

x

2＜0， f ′（x ）＜0，

∴f （x ）在区间（0，1）递减，

当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，1+1

x2

＞0，1?

1

x2

＞0，

∴f′（x）＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）递增，且f′（1）＝0，∴函数f（x）的极小值点为1．

（2）函数y＝f（x）﹣g（x）在[1，+∞）有两个零点，

即方程（x2﹣1）lnx﹣x2＝﹣k在区间[1，+∞）有两个解，

令h（x）＝（x2﹣1）lnx﹣x2，则?′(x)=2xlnx?x?1 x，

令φ（x）＝h′（x），（x≥1），则φ′（x）＝2lnx+1

x2

+1＞0，

∴h′（x）在[1，+∞）单调递增，

∵h′（1）＝﹣2＜0，?′(2)=4ln2?5

2＞0，

∴存在唯一的m∈（1，2），使得?′(m)=2mlnm?m?1

m

=0，

即lnm=1

2

+1

2m2

，

∴h（x）在（1，m）单调递减，在区间（m，+∞）单调递增，且h（1）＝h（e）﹣1．

∴h（x）min＝h（m）＝（m2﹣1）lnm﹣m2＝（m2﹣1）（1

2

+

1

2m

）﹣m2=?

1

2（m

2+1

m2

），

∵m∈（1，2），∴h（x）min＞?17 8，

关于x的方程（x2﹣1）lnx﹣x2＝﹣k在[1，+∞）有两个零点，

∴?17

8＜?(x)min＜?k≤?(1)=?1，

∴1≤k＜17 8．

四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{

x=?2+12t

y=√32t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=√10．

（1）若l与C相交于A，B两点P（﹣2，0），求|P A|?|PB|；

（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．

【解答】解：（1）由ρ=√10，得x2+y2＝10，

将{x =?2+1

2

t

y =√32t 代入x 2+y 2＝10，得t 2﹣2t ﹣6＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，

则t 1t 2＝﹣6，故|P A ||PB |＝|t t 2|＝6．

（2）直线l 的普通方程为√3x ?y +2√3=0， 设圆M 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2（a ＞0） 圆心（a ，0）到直线l 的距离为d =|√3a+2√3|

2

， 因为

2√a 2

?d 2

=1，所以d 2

＝a 2

?14=3(a+2)

2

4

， 解得a ＝13（a ＝﹣1＜0，舍去）， 则圆M 的半径为13． 五．解答题（共1小题）

23．已知函数f(x)=|x ?a 2+1

a

|+|x ?1|（a ＞0），g （x ）＝4﹣|x ﹣1|．

（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥3的解集；

（2）若关于x 的不等式f （x ）≤g （x ）的解集包含[0，1]，求a 的取值集合． 【解答】解：（1）当a ＝1时，函数f(x)=|x ?a 2+1

a

|+|x ?1|=|x ﹣2|+|x ﹣1|={?2x +3，x ≤11，1＜x ＜22x ?3，x ≥2

，

当x ≤1时，不等式f （x ）≥3化为﹣2x +3≥3，解得x ≤0； 当1＜x ＜2时，不等式f （x ）≥3化为1≥3，无解；

当x ≥2时，不等式f （x ）≥3化为2x ﹣3≥3，解得x ≥0，即x ≥3； 综上知，不等式f （x ）≥3的解集为（﹣∞，0]∪[3，+∞）． （2）关于x 的不等式f （x ）≤g （x ）的解集包含[0，1]， 等价于|x ?a 2+1

a |+|x ?1|≤4﹣|x ﹣1|在[0，1]上恒成立， 由a ＞0，

a 2+1

a

≥2，所以x ∈[0，1]时，

a 2+1a

?x +1﹣x ≤4+x ﹣1恒成立；

即x ∈[0，1]，a +1

a ≤3x +2恒成立，所以a +1

a ≤2， 又a ＞0，则

a 2+1a

≥2恒成立，所以a +1

a =2，解得a ＝1；

所以a 的取值集合是{1}．