2. 二阶系统与高阶系统

实验报告

课程名称： 控制理论（乙） 指导老师： 韦巍老师的助教 成绩：_________________ 实验名称： 典型环节的电路模拟 实验类型： 控制理论实验 同组学生姓名：

第二次课 二阶系统与高阶系统的瞬态响应

一、实验目的

1.1 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响； 1.2 掌握二阶系统动态性能的测试方法。

1.3 通过实验，进一步理解线性系统的稳定性仅取决于系统本身的结构和参数，它与外作用及初始条件均无关的特性；

1.4 研究系统的开环增益K 或其它参数的变化对闭环系统稳定性的影响。 二、实验内容

2.1 观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；

2.2 调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比2

1

=ζ，测量此时系统的超调量p δ、调节时间t s (Δ= ±

0.05)；

2.3 ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。

2.4 观测三阶系统的开环增益K 为不同数值时的阶跃响应曲线。 三、实验原理

3.1对于二阶系统实验 （1）二阶系统的瞬态响应

用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为

2

2

2

2)()

(n n n S S S R S C ωζωω++= (2-1) 闭环特征方程：022

2=++n

n S ωζω，其解 122,1-±-=ζωζωn n S ， 针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况： 1）0<ζ<1（欠阻尼），22,11ζωζω-±-=n n j S

此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图3-1的(a)所示。它的数学表达式为： )(111)(2

βωζ

ζω+--

=-t Sin e

t C d t

n ，式中2

1ζωω-=n d ，ζ

ζβ2

1

1-=-tg

。

2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1

此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图3-1中的(b)所示。 3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S

此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图3-1的(c)所示。

(a) 欠阻尼(0<ζ<1) (b) 临界阻尼(1=ζ) (c) 过阻尼(1>ζ)

图3-1 二阶系统的动态响应曲线

虽然当ζ=1或ζ>1时，系统的阶跃响应无超调产生，但这种响应的动态过程太缓慢，故控制工程上常采用欠阻尼的二阶系统，一般取ζ=0.6~0.7，此时系统的动态响应过程不仅快速，而且超调量也小。 （2）二阶系统的典型结构

典型的二阶系统结构方框图和模拟电路图如3-2、3-3所示。

图3-2 二阶系统的方框图

图3-3 二阶系统的模拟电路图（电路参考单元为：U7、U9、U11、U6）

由图3-3可得其开环传递函数为： )1()(1+=

S T S K

s G ，其中：21T k K =， R

R k X 1= (C R T X 1=，RC T 2=)

其闭环传递函数为： 1

1211)(T K S T S T K S W +

+=，可得 RC T T k n 1211=

=ω，X

R R

T k T 221

112=

=ξ 3.2对于三阶系统实验

三阶系统及三阶以上的系统统称为高阶系统。一个高阶系统的瞬态响应是由一阶和二阶系统的瞬态响应组成。控制系统能投入实际应用必须首先满足稳定的要求。线性系统稳定的充要条件是其特征方程式的根全部位于S 平面的左方。应用劳斯判断就可以判别闭环特征方程式的根在S 平面上的具体分布，从而确定系统是否稳定。

本实验是研究一个三阶系统的稳定性与其参数Ｋ对系统性能的关系。三阶系统的方框图和模拟电路图如图3-4、图3-5所示。

图3-4三阶系统的方框图

图3-5 三阶系统的模拟电路图（电路参考单元为：U7、U8、U9、U11、U6）

系统开环传递函数为：)

15.0)(11.0()1)(1()(2

121++=

++=

S S S K K S T S T S K s G τ 式中τ=1s ，S T 1.01=，S T 5.02=，τ

2

1K K K =

，X

R K K 510

,121=

=，（其中待定电阻R x 的单位为K Ω），改变R x 的阻值，可改变系统的放大系数K 。

由开环传递函数得到系统的特征方程为：020201223=+++K S S S

由劳斯判据得：012，系统不稳定 其三种状态的不同响应曲线如图3-6的a)、b)、c)所示。

a ）不稳定

b ）临界

c ）稳定 图3-6三阶系统在不同放大系数的单位阶跃响应曲线

四、实验设备

THBDC-2型 控制理论·计算机控制技术实验平台；PC 机一台(含“THBDC-2”软件)、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线。

五、实验步骤

5.1对于二阶系统实验（数据记录按顺序请见

6.1.1~6.1.6节）

（1）n ω值一定时，取C=1uF ，R=100K(此时10=n ω)，Rx 阻值可调范围为0～470K 。系统输入一单位阶跃信号，在下列几种情况下，用“THBDC-2”软件观测并记录不同ξ值时的实验曲线。

1）可调电位器R X =250K 时，ζ=0.2，系统处于欠阻尼状态； 2）可调电位器R X =70.7K 时，ζ=0.707，系统处于欠阻尼状态； 3）可调电位器R X =50K 时，ζ=1，系统处于临界阻尼状态； 4）可调电位器R X =25K 时，ζ=2，系统处于过阻尼状态。

（2）ξ值一定时，图2-4中取R=100K ，R X =250K(此时ζ=0.2)。系统输入一单位阶跃信号，在下列几种情况下，用“THBDC-2”软件观测并记录不同n ω值时的实验曲线。

1）取C=10uF 时，1=n ω；2）取C=0.1uF （将U7、U9电路单元改为U10、U13）时，100=n ω。 5.2对于三阶系统实验（数据记录请见6.2.1~6.2.3节）

设计并组建该系统的模拟电路。当系统输入一单位阶跃信号时，在下列几种情况下，用上位软件观测

并记录不同K 值时的实验曲线。

（1）若K=5时，系统稳定，此时电路中的R X 取100K 左右；

（2）若K=12时，系统处于临界状态，此时电路中的R X 取42.5K 左右(实际值为47K 左右)； （3）若K=20时，系统不稳定，此时电路中的R X 取25K 左右。 5.3实验报告要求

（1）画出二阶系统线性定常系统的实验电路，并写出闭环传递函数，表明电路中的各参数； ——实验电路请见图3-3，闭环传递函数请见6.1节开头，其它请见6.1.1~6.1.6节；

（2）根据测得二阶系统的单位阶跃响应曲线，分析开环增益K 和时间常数T 对系统的动态性能 ——请见6.1.7节；

（3）画出三阶系统线性定常系统的实验电路，并写出其闭环传递函数，表明电路中的各参数； ——实验电路请见图3-5，闭环传递函数请见6.2节开头，其它请见6.2.1~6.2.2节；

（4）根据测得三阶系统单位阶跃响应曲线，分析开环增益K 对系统动态特性及稳定性的影响； ——请见6.2.3节。

六、数据分析与处理

6.1 对于二阶系统实验（6.1.1~6.1.6为实验数据，6.1.7为动态性能分析）

实验电路请见图3-3，另外说明：6.1.1~6.1.4为只调节ζ，6.1.4~6.1.5为只调节n

ω。

闭环传递函数： 1

1211)(T K S T S T K

s W ++=，可得 RC T T k n 1211==ω，X R R

T k T 221112=

=ξ ，???==RC T C R T X 21

6.1.1（调节ζ）可调电位器R X =250K 时，ζ=0.2，系统处于欠阻尼状态

图6-1 单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）

实验结果： 此时s 1.0,s 25.0,s 10,2.02,2521122=====

===

-T T R R

C

R R

RT R K n x

x x ωξ， 由光标读数，超调量52.24%，调整时间（±5%）为1.3247s.

6.1.2（调节ζ）可调电位器R X =70.7K 时，ζ=0.707，系统处于欠阻尼状态

图6-2 单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）

实验结果： 此时s 1.0,s 0707.0,s 10,707.02,07.721122=====

===

-T T R R

C

R R

RT R K n x

x x ωξ， 由光标读数，超调量4.35%，调整时间（±5%）为0.4239s.

6.1.3（调节ζ）可调电位器R X =50K 时，ζ=1，系统处于临界阻尼状态

图6-3 单位阶跃响应的稳态与调整时间（5%），超调为零

实验结果： 此时s 1,s 05.0,s 10,12,5.221122=====

===

-T T R R

C

R R

RT R K n x

x x ωξ， 由光标读数，超调量为0，调整时间（±5%）为0.3871s.

6.1.4（调节ζ）可调电位器R X =25K 时，ζ=2，系统处于过阻尼状态

图6-4 单位阶跃响应的稳态与调整时间（5%），超调为零

实验结果：

此时s 1.0,s 025.0,s 10,22,5.221122=====

===

-T T R R

C

R R

RT R K n x

x x ωξ， 由光标读数，超调量为0，调整时间（±5%）为0.1197s.

6.1.5 （ζ一定，调节n ω）可调电位器R X =250K ，取C=10uF 时，1=n ω

图6-5 单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）

实验结果： 此时s 1,s 025.0,s 1,2.02,5.221122=====

===

-T T R R

C

R R

RT R K n x

x x ωξ， 由光标读数，超调量为65.92%，调整时间（±5%）为16.3067s.

6.1.6 （ζ一定，调节n ω）可调电位器R X =250K ，取C=0.1uF 时，100=n ω

图6-6 单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）

实验结果： 此时s 01.0,s 025.0,s 100,2.02,5.221122=====

===

-T T R R

C

R R

RT R K n x

x x ωξ， 由光标读数，超调量为35.01%，调整时间（±5%）为0.1297s.

6.1.7 分析：分析开环增益K 和时间常数T 对系统的动态性能影响

答：增加开环增益K 会增加超调，调整时间不变；增加时间常数T 1会增加超调和调整时间；增加时间常数T 2会减小超调，调整时间不变。

6.2 对于三阶系统实验（6.2.1~6.2.3为实验数据，6.2.4为动态性能分析）

实验电路请见图3-3，另外说明：6.1.1~6.1.4为只调节ζ，6.1.4~6.1.5为只调节n

ω。

闭环传递函数： )(1)()()1(1)()(s G s G s G s G s W -=-+=

，其中开环传递函数)

1)(1()(21++=S T S T S K s G 6.2.1 K=5时，此时电路中的R X =100K ，系统稳定

图6-7 三阶系统，稳定

实验结果：此时K=5，R x =100K ，振幅逐渐衰减，系统趋于稳定

6.2.2 K=12时，此时电路中的R X=4

7.7K，系统处于临界状态

图6-8 三阶系统，临界稳定

实验结果：此时K=12，R x=47.7K，振幅不变，系统临界稳定

6.2.3 K=20时，此时电路中的R X=25K，系统不稳定

图6-9 三阶系统，不稳定

实验结果：此时K=20，R x=25K，振幅发散，系统不稳定

6.2.4分析：根据测得三阶系统单位阶跃响应曲线，分析开环增益K对系统动态特性及稳定性的影响

答：开环增益K较小时，系统稳定；当K临界（本实验中K=12），系统振幅不变，临界稳定；当K较大，振幅发散，系统不稳定。

七、实验思考题

7.1 如果阶跃输入信号的幅值过大，会在实验中产生什么后果？

答：随着阶跃的呼入信号增大，系统动态特性不变，不过若阶跃输入信号幅

值过大，则运放进入非线性区，输出达到饱和，波形在幅值超过运放的最大

线性输出的部分被“削顶”。

7.2 在电路模拟系统中，如何实现负反馈和单位负反馈？

答：实现负反馈——将运放接为负反馈，即将输出信号通过反馈环节接回运

放反相输入端；单位负反馈——如右图7-1所示，令R1=R2即可。图7-1

7.3 为什么本实验中二阶系统对阶跃输入信号的稳态误差为零？

答：首先，由第6.1节的传递函数可知，此二阶系统极点均在复平面的左半平面，因此它是稳定的，稳态误差有意义；进一步，因为存在积分环节，当系统达到稳态时，积分环节前的输入为零，所以K1/(T1s+1)之前的输入为零，因此有R(x)-C(s)=0，稳态误差为零。