2020中考数学专题—图形变换探究

2020中考专题23——图形变换探究

班级姓名.【题型解读】

图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：

1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法．

2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．

3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．【例题分析】

例1.两个三角板ABC,DEF按如图的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).

例2[2019·盐城]如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:

(I)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图②;

(II)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B'处,如图③,两次折痕交于点O; (III)展开纸片,分别连结OB,OE,OC,FD,如图④.

【探究】

(1)证明:△OBC≌△OED;

(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.

例3.[2019·德州](1)如图①,菱形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD∶GC∶EB的结果(不必写计算过程).

(2)将图①中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图②,求HD∶GC∶EB.

(3)把图②中的菱形都换成矩形,如图③,且AD∶AB=AH∶AE=1∶2,此时HD∶GC∶EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.

①②③

【巩固训练】

1.[2019·海南]如图1,在?ABCD 中,将△ADC 沿AC 折叠后,点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处,若∠B=60°,AB=3,则△ADE 的周长为()

A.12

B.15

C.18

D.21

图1图2图3

2.[2019·兰州]如图2,在平面直角坐标系xOy 中,将四边形ABCD 先向下平移,再向右平移得到四边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则B1的坐标为()

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(1,4)

D.(4,1)

3.[2019·重庆A 卷]如图3,在△ABC 中,D 是AC 边上的中点,连结BD ,把△BDC 沿BD 翻折,得到△BDC',DC'与AB 交于点E ,连结AC',若AD=AC'=2,BD=3,则点D 到BC'的距离为()

A .23

3B .721

3C .7D .13

4.[2019·天津]如图4,将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC,使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上,点B 的对应点为E,连结BE,下列结论一定正确的是()

A.AC=AD

B.AB⊥EB

C.BC=DE

D.∠A=∠EBC

图4图5图6

5.[2019·潍坊]如图5,在矩形ABCD 中,AD=2.将∠A 向内翻折,点A 落在BC 上,记为A',折痕为DE.若将∠B 沿EA'向内翻折,点B 恰好落在DE 上,记为B',则AB=.

6.如图Z10-9,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°),得到△A'B'C,设A'C 交AB 边于D,连结AA',若△AA'D 是等腰三角形,则旋转角α的度数为.

7.[2019·天津]如图Z10-10,正方形纸片ABCD 的边长为12,E 是边CD 上一点,连结AE,折叠该纸片,

使点A 落在AE 上的G 点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F 在AD 上.若DE=5,则GE 的长为.

图7图8图9

8.[2019·贺州]如图Z10-11,正方形ABCD 的边长为4,点E 是CD 的中点,AF 平分∠BAE 交BC 于点F,将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG,则CF 的长为.

9.[2019·深圳]如图Z10-12,在正方形ABCD 中,BE=1,将BC 沿CE 翻折,点B 的对应点刚好落在对角线AC 上;将AD 沿AF 翻折,点D 的对应点刚好落在对角线AC 上,连结EF,则EF=.

10.[2019·随州]如图,已知正方形ABCD 的边长为a,E 为CD 边上一点(不与端点重合),将△ADE 沿AE 对折至△AFE,延长EF 交边BC 于点G,连结AG,CF.给出下列判断:

①∠EAG=45°;②若DE=31a,则AG∥CF;③若E 为CD 的中点,则△GFC 的面积为10

1a 2;④若CF=FG,则DE=(2-1)a;⑤BG·DE+AF·GE=a 2.其中正确的是.(写出所有正确判断的序号)

11.如图①,将矩形ABCD 沿DE 折叠使顶点A 落在点A'处,然后将矩形展平,沿EF 折叠使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处,再将矩形ABCD 沿CE 折叠,此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处,如图②.

(1)求证:EG=CH;

(2)已知AF=2,求AD 和AB 的长.

12.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F 分别是AC,AB 边上的点,连结EF.

(1)如图①,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在AB 边上的点D 处,且使S 四边形ECBF=3S △EDF,求AE 的长.

(2)如图②,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在BC 边上的点M 处,且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF 的形状,并证明你的结论;

②求EF 的长.

13.[2018·宿迁]如图,在边长为1的正方形ABCD 中,动点E,F 分别在边AB,CD 上,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A,D 重合),点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P,设BE=x.

(1)当AM=3

1时,求x 的值.(2)随着点M 在边AD 上位置的变化,△PDM 的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.

(3)设四边形BEFC 的面积为S,求S 与x 之间的函数表达式,并求出S 的最小值.

14.[2019·潍坊]如图①,菱形ABCD 的顶点A,D 在直线l 上,∠BAD=60°,以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α(0°<α<30°),得到菱形AB'C'D'.B'C'交对角线AC 于点M,C'D'交直线l 于点N,连结MN.

(1)当MN∥B'D'时,求α的大小.

(2)如图②,对角线B'D'交AC 于点H,交直线l 于点G,延长C'B’交AB 于点E,连结EH.当△HEB’的周长为2时,求菱形ABCD 的周长.

2020中考专题23——图形变换探究参考答案

例2.解:(1)证明:由折叠可知AD=AF=DE,∴CB=DE.

由两次折叠可知∠BCO=∠DCO=∠ODE=45°,

∴△OCD是等腰直角三角形,OC=OD,

∴△OBC≌△OED.

(2)如图,过O向BC作ON⊥BC于N,则△OCN是等腰直角三角形,

由(1)得△OCD是等腰直角三角形,OC=OD,

∵CD=8,∴OC=42,ON=CN=4,

在直角三角形BON中,OB2=BN2+ON2,

∴y=(x-4)2+42=x2-8x+32(4

巩固训练答案

1.[答案]C

[解析]∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,∴AC⊥DE,AD=AE,EC=CD=AB=3,∴ED=6,

在?ABCD中,∵∠B=60°,∴∠D=60°,∴AD=2CD=6,∴AE=6,∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18,故选C.

2.[答案]B[解析]∵A(-3,5),A1(3,3),

∴四边形ABCD向右平移6个单位,向下平移2个单位,得到四边形A1B1C1D1,

∵点B(-4,3),∴点B1(2,1),故选B.

4.[答案]D[解析]由旋转的性质可知,AC=CD,但∠A不一定是60°,所以不能证明AC=AD,

所以选项A错误;由于旋转角度不确定,所以选项B不能确定;因为AB=DE,不确定AB和BC的数量关系,所以BC和DE的数量关系不能确定;由旋转的性质可知∠ACD=∠BCE,AC=DC,BC=EC,所以2∠A=180°-∠ACD,2∠EBC=180°-∠BCE,从而可证选项D是正确的.

11.解:(1)证明:由折叠知AE=AD=EG,BC=CH.∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC,∴EG=CH.