第6章 随机过程通过非线性系统分析
第6章 随机过程通过非线性系统分析
6.1 引言
1． 问题
系统的输入与输出的关系为)]([)(t X L t Y =，其中][?L 是非线性系统。
输入)(t X 已知，如何分析)(t Y ？这是一件较难的事情。到目前为上，没有一个通用的方法来处理、解决非线性系统问题。 2． 目标与目的
对于非线性系统，信号分析的主要目的是掌握系统输出)(t Y 的有关特性：
（1） 系统][?L 的传输特性：能否用一个具体的非线性函数来表达输入)(t X 与输出)(t Y 的
关系？
（2） 求输出)(t Y 的均值、自相关等特性。 （3） 求输出)(t Y 的概率分布。 3． 无记忆的非线性系统
（1） 定义：如果在某一给定的时刻t ，系统输出)(t Y 只取决于同一时刻的输入)(t X ，而
与)(t X 的任何过去或未来值无关。 即，系统的输入与输出可表达成函数关系
)]([)(t X g t Y =
在无记忆系统中，若输入)(t X 已知，可用函数来研究输出)(t Y 的相关特性。
)(x g y =称为系统的传输特性。
（2） 无记忆系统的分解
对于大多数系统而言，系统的记忆性是存在的，因为大多数系统存在贮能元件。
研究表明，有记忆的系统可分解成：
其中，][1?L 、][3?L 是有记忆的线性系统，][2?L 是无记忆的非线性系统
对于线性系统，有完整的理论与方法来研究其输出特性。所以，吸需要对无记忆非线性系统进行充分的研究，便可解决非线性系统的信号处理问题。
6.2 直接法
已知条件：已知系统的传输特性)]([)(t X g t Y =；已知系统输入)(t X 的概率密度
),(t x f X 。
1．)(t Y 的均值与矩 dx t x f x g t Y E X ),()()]([?
+∞
∞
-=
dx t x f x g t Y E X n
n
),()()]([?
+∞
∞
-=
2．)(t Y 的自相关
对于给定的1t 、2t ，
2121212121),,,()()(),(21dx dx t t x x f x g x g t t R X X Y ?
+∞
∞
-=
若)(t X 是平稳随机过程，则有 212121),,()()()(21dx dx x x f x g x g R X X Y ττ?
+∞
∞
-=
3．传输特性)(x g y =为特殊函数时，输出)(t Y 的统计特性 （1）2
)(bx x g =
称2)(bx x g =为全波平方律检波器，简称平方律检波器。这是最简单、最常用的非线性
系统。
)]([)]([)]([2
2
t X bE t bX
E t Y E ==
)]([)]([2t X E b t Y E n
n n
==
][),,()(2
22
12
21212
22121X X E b dx dx x x f bx bx R X X Y =?=
?
+∞
∞
-ττ
（2）k k x b x b x b b x g ++++= 2210)(，即传输特性为多项式。
∑===
k
i i
i
t X
E b t Y E 0
)]([)]([
∑∑===
k
j j
i j
i
k i Y t X t X E b
b t t R 0
210
21)]()([),(
（3） 对于任意的非线性传输特性)(x g y =，可将)(x g 展开成一个幂级数，取幂级数的
前1+k 项，用一个k 次多项式来代替)(x g ，当k 足够大时，是一个精度较高的近似计算。
4．
平稳高斯噪声作用于平方律检波器
当输入是高斯噪声)(t N ，2)(bx x g =为平方律检波器时，
2
2)]([)]([σb t bN E t Y E == )(2][)(2
24
2
2
22
12
τσ
τN Y R b b N N E b R +==
5．
信号与噪声同时作用于平方律检波器 设
)()()(t N t s t X +=
)(t N 是均值为0的高斯噪声，)(t s 是均值为0的平稳随机信号，)(t s 与)(t N 互
不相关。
)(]))()([()]([222
N
s
b t N t s bE t Y E σ
σ
+=+=
]
4[( ]))()(())()([()]()([),(2
22
12
12
22
22
121212
22
12
2
222
1122121N N N s N s N N s s s s E b t N t s t N t s E b t Y t Y E t t R Y ++++=++==
)](2)()(4)([)(2222
2τσ
σττττN N
S N s S Y R R R R b R +++=
6.3 特征函数法
对于传输特性 )(x g y =，对其求付里叶变换
?
∞
∞
--=
dx e
x g u F jux
)()(
称)(u F 为特征函数。
利用特征函数，可使求输出)]([)(t X g t Y =的统计特性（如自相关街等）许多计算变得简易可行。
作业：P207 7.1，7.3，7.4，7.9，7.12,7。13。
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程-习题-第6章
6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ
∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B
非线性系统分析
第八章非线性系统分析 8-1 概述 一、教学目的和要求 了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。 二、重点 非线性概念，常见非线性特性。 三、教学内容： 1 非线性系统概述 非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。 （1）非线性系统特征—不满足迭加原理 1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始 条件及输入有关。 2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。 3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初 始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。 （2）非线性系统研究方法 1)小扰动线性化处理（第二章介绍） 2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式 3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。 2、常见非线性因素对系统运动特性的影响： 1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)
饱和对系统运动特性的影响： 进入饱和后等效K ↓??? ??↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡） （原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ 死区对系统运动特性的影响： ?????↓ ↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误 等效%(e K ss σ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。 2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等) 3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)
间隙对系统影响： 1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓ 2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性 减小间隙的因素的方法： (1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。 5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理 改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)?? ??? 、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性 摩擦对系统运动的影响： 影响系统慢速运动的平稳性 6)继电特性： 对系统运动的影响：
期末随机过程试题及标准答案
《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为 第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 | . 设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ???? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 > ∑== 'n i i jat t j 1 μ ( )()),,,(21 2 232222212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=--=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ . 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|, |,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求的特征函数。 [ 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 1：正态过程或者高斯过程 设{(),}X t t T ∈是随机过程，若对任意正整数n 和1212,,,,((),(),,())n n t t t T X t X t X t ???∈???是n 维正态随机变量，则称{(),}X t t T ∈是正态过程或者高斯过程。 2：维纳过程的定义 3：广义平稳过程=宽平稳过程 若两个随机过程X(t)和Y(t)的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此两个过程为联合严平稳。 4：二维联合分布函数 5：半角公式和全角公式 . cos2α = 2(cos α)^2 ? 1 cos2α = 1 ? 2(sin α)^2 cos2α = (cos α)^2 ? (sin α)^2 6 ： 7：一维概率密度族 (,)X s t ρ= ,0s t > 第三章：泊松过程 1：称计数过程{(),0}X t t ≥为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件： （1）(0)0X =; （2）()X t 是独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0λ>的泊松分布，即对任意 ,0s t ≥，有 ()(()()),0,1,...! n t t P X t s X s n e n n λλ-+-=== [()]E X t t λ= 2：定义3.3说明，在充分小的时间间隔内容，最多有一个时间发生，而不能同时有两个或者两个以上事件同时发生。 3：[()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- s 第三章习题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为 r ，其中 p, q, r 0, p q r 1 ，设每局比赛后，胜者得 1 分，负者得1分，平局不记分，当两个人中有一个人得到 2 分时比赛结束，以X n表示比赛至第n 局时甲获得的分数， 则{ X n , n 1} 是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率 . 解（ 1）{ X n, n0} 的状态空间为 S { 2, 1,0,1,2} （ 2）{ X n, n 0} 的一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q r p 0 0 P 0 q r p 0 0 0 q r p 0 0 0 0 1 （ 3）因为两步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q rq r 2 pq 2 pr p2 0 P(2) P 2 q2 2rq r 2 2 pq 2 pr p2 0 q2 2qr pq r 2 p pr 0 0 0 0 1 所以在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率为 p12(2) p pr p(1 r ) 2．设{ Y i,i 1,2,L } 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{ Y i,i 1,2,L } 是否为Markov链？ n （2）令X n Y i，问 { X i , i 1,2,L } 是否为Markov链？ i 1 解（ 1）由于 P(Y n j Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 P(Y 1 i 1, Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 i ,Y n j ) i) P(Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L , Y n 1 i) P(Y 1 i 1 )P(Y 2 i 2 )L P(Y n 1 i )P(Y n j ) j ) P(Y n j Y n 1 i ) 1 i 2 , L ,Y n 1 i ) P(Y n P(Y i 1 ,Y 2 因此， { Y n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . （ 2）取 f 1 (U 1 ) X 1 U 1 ，当 U 1 i 1 时， X 2 U 1 U 2 是 U 2 的函数，记为 f 2 (U 2 ). 依 次类推， X n 1 U 1 U 2 L U n 1 为 U n 1 的函数，记为 f n 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2 L U n 为 U n 的 函 数 ， 记 为 f n (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L 相 互 独 立 ， 则 其 相 应 的 函 数 f 1 (U 1), f 2 (U 2 ),L , f n (U n ),L 也相互独立，从而 n P( X n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) P( Y i j X 1 i 1, X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) i 1 P( X n 1 Y n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i) P(Y n j i ) P( X n j X n 1 i ) 因此 { X n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . 3 设 X i , i 1,2,L 是相互独立的随机变量，且使得 P( X i j ) a j , j 0,1,L ，如 果 X n max{ X i ,i 1,2,L ,n 1} ，其中 X 0 ，就称在时刻 n 产生了一个记录 .若在时刻 n 产生了一个记录，就称 X n 为记录值，以 R n 表示第 n 个记录值 . （1）证明， { R n , n 1,2,L } 是 Markov 链，并求其转移概率； （2）以 T i 表示第 i 个与第 i 1 记录之间的时间， 问 { T n , n 1,2,L } 是否是 Markov 链，若是， 则计算其转移概率 . 明 ：（ a ） 根 据 意 有 ： R 1 X n 1 , R 2 X n 2 ,....R k X n k ， ? ? 足 X n 1 X n 2 .... X n k .... 且 1 n 1 n 2 .... n k .... 故 P{ R k 1 z | R k i k , R k 1 i k 1 ,...R 1 i 1} P{ R k 1 z | j i k i k 1 ... i 1} P{ R k 1 z | j i k } P{ R k 1 z | R k i k } 故 { R i , i 1} 是一个 可夫 且 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2随机过程试题及答案
第十二章 平稳随机过程
上海大学随机过程第六章习题与答案
学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
随机过程复习试题及答案
随机过程-习题-第6章
随机过程试题及答案
随机过程复习题(含答案)
平稳随机过程及其数字特征
随机过程复习小结
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随机过程复习题(含答案)演示教学