第7章 机械波

第7章 机械波

思考题

7-1 简谐波与简谐振动有何区别和联系?

答：简谐振动在无吸收的弹性介质中传播形成简谐波．介质中在波线方向上的各质元都在做简谐振动．

7-2 关于波长的概念有三种说法，分析它们是否一致： (1) 同一波线上，相位差为２π的两个振动质点之间的距离； (2) 在一个周期内，振动所传播的距离；

(3) 横波的两个相邻波峰（或波谷）之间的距离；纵波的两个相邻密部（或疏部）对应点之间的距离．

答：这三种说法是一致的．第一种说法和第三种说法体现了波动过程在空间上的周期性；第二种说法体现了波动过程在时间上的周期性．

7-3 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波,它们的波长是否可能相等?为什么?如果这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长是否可能相等?为什么?

答：因波速仅与介质有关，而波长ν

λu

uT ==，所以在同一种介质中传播的两列不同

频率的简谐波，波速相等，但波长不会相等．

如果两列波分别在两种介质中传播，那么只要满足

2

2

1

1

ννu u =

，它们的波长就会相等．

7-4平面简谐波的波函数])(c os[),(?ω+-=u x t A t x y 中的u

x 表示什么？?表示什

么？如果把它写成])cos[(),(?ωω+-

=u

x

t A t x y ，那么

u

x

ω又表示什么？

答：

u

x 表示振动由O 点传到波线上距O 点为x 处的某点所需时间．u

x

ω表示波线上距

O 点x 处的某点坐标比坐标原点落后的相位．

7-5 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位落后，这一说法正确吗？ 答：正确．因为振动是从波源传向介质中各质元的．

7-6 在相同温度下氢气和氦气中的声速哪个大？

答：在相同温度下氢气和氦气当作理想气体，理想气体中传播纵波的速度M

RT u γ=

，

温度T 相同，设摩尔数也相同，则摩尔质量M 不同，引起波速u 不同．所以氢气中的声速大于氦气中的声速．

7-7 一平面简谐波沿一拉紧的弦线传播，波速νλ=u ，有人说可以利用提高弦的振动频率来提高波的传播速度，这一说法正确吗？如何才能提高波速呢？

答：不正确．因为波速与介质有关．而与振动的频率无关．增大张力可以提高波速．

7-8 从能量的观点看，谐振子与传播介质中的体积元有何不同？

答：孤立的谐振子势能最大时动能为零，势能为零时动能最大，势能与动能相互转化，但总的机械能守恒，这表明它储存着一定的能量．传播介质中体积元则不相同，势能最大时动能也最大，势能为零时动能也为零，总机械能不守恒，它在零到最大值之间周期性的变化，不断地将来自波源的能量沿波的传播方向传出去．可见，弹性介质本身并不能储存能量，它只起到传播能量的作用．

7-9我们知道机械波可以传送能量，那么机械波能传送动量吗?

答：不能．介质中质元以平衡位置来回移动而没有质元的移动，故不能传送动量． 7-10波从一种介质进入另一种介质，波长、频率、波速、能量等各物理量中，哪些量会变化？哪些量不变化？

答：波长、波速和能量变化，频率不变．原因是：波动的频率与波源相同，与介质无关，所以不会改变．波速与传播介质的性质有关，所以两种介质中波速不同．波长由νλ/u uT ==决定，因此波长也要改变．能量与介质密度有关，所以两种介质中波能量也

不相同．

7-11一平面简谐波在弹性介质中传播，在某一瞬时，介质中某质元正处于平衡位置，此时它的动能和势能如何？若该质元处于位移最大处时，情况又如何？

答： 由平面简谐波任一质元的动能和势能表达式

V u

x t A m E k d )(sin 2

1)d (21d 2

222

-

=

=

ωωρυ

V u

x t A E P d )(sin 2

1d 2

2

2

-

=

ωωρ

可以看出，动能和势能相等，具有完全相同的周期性．当质元处于平衡位置时，形变消失，所以势能为零，则动能也为零．当质元处于最大位移处时，形变最大，势能也最大，则动能最大．

7-12为什么声波的衍射比光波的衍射更显著？

答：因为衍射现象是否显著，与障碍物（如狭缝）的尺寸和波的波长之间关系有关．当

障碍物尺寸一定时，波长越长，衍射现象越明显．与光波相比，声波具有较长的波长，所以衍射效应明显．

7-13两振幅相等的相干波在空间相遇，由加强和减弱的条件可得出相互加强处，合强度是一列波强度的4倍；相互减弱处，合强度为零．试问加强处的能量是哪来的？减弱处的能量去了哪里？

答：振幅相同的两列相干波在同一介质中传播时，由于干涉，使得某些相遇点的振动的合振幅为原来单独一个波时的2倍，一些点的振动的振幅为零，还有更多的点的合振动的振幅介于这两个值之间．而振幅的平方代表能量，因此，从合振动的结果来看，振动的能量在干涉加强处集中，不但是合振动振幅为零的点的能量，其他合振动振幅变小的点的能量都有向干涉加强点集中的趋势．

7-14驻波和行波有什么区别？驻波中各质元的相位有什么关系？为什么说相位没有传播？驻波中各质元的能量如何变化的？为什么说能量没有传播？驻波的波形有何特点？ 答：行波是指扰动的传播，在波线方向上波形随时间做周期性的变化；而驻波是由两列同频率、同振动方向、但传播方向相反的行波合成的，在波线方向上波形不随时间变化．

驻波中两相邻波节间各质元的相位相同，一波节两侧的各质元相位相反．没有相位的传播是因为驻波没有波形的跑动，驻波方程中没有)(u

x t -ω因子．不存在振动状态的传播，

所以没有相位的传播．

7-15当飞机飞行速率与声速相同时，该声速区称为“声障”．飞机必须尽快越过“声障”，进入超音速区，否则会给飞行带来危险，这是为什么？

答：当飞机飞行速率与声速相同即u S =υ时，马赫锥的半顶角2

arcsin

π

υα=

=S

u ，这

时马赫锥展开为平面，即波源在所有时刻发出的波几乎同时到达接受器，因此该冲击波的强度极大，声速区就构成了一个“声障”．机体的任一振动所产生的声波都将尾随在机体附近并引起机身的共振，极易造成机毁人亡．因此在飞机加速飞行时，必须尽快越过“声障”进入超音速区．

习题

7-1 太平洋上有一次形成的洋波速度为740 km/h ，波长为300 km ．这种洋波的频率是多少？横渡太平洋8000 km 的距离需要多长时间？

解： Hz 10

9.6Hz 3600

1030010

7404

3

3

-?=???=

=

λ

νu

h 10.8h 740

8000===

u s t

7-2 一平面简谐波

)]30-π(0.5sin[2.0t x y =

x 、y 的单位为厘米，t 的单位为秒．求波的振幅、波长、频率、波速以及x =1cm 处质元振动的初相位．

解：

]

2π)60-π(30cos[2.0 )]30-π(0.5-2

πcos[

2.0 )]30-π(0.5sin[2.0+

===x t t x t x y

与])(cos[?ω+-=u

x t A y ，νωπ2=相比较，可得

cm 2.0=A ，Hz 15π

2==

ω

ν，cm/s 60=u ，2

π=

?，cm 415

60==

=

ν

λu

x =1cm 处质元振动的初相位为

02π160

30π=+

?-

7-3 一列沿x 轴正向传播的机械波,波速为2 m/s ,原点振动方程为t y πcos 6.0=,试求： (1) 此波的波长； (2) 波函数；

(3) 同一质元在1 s 和2 s 末两个时刻的相位差； (4) m 1=A x ，m 5.1=B x 处两质元在同一时刻的相位差 解：(1)此波的频率为

Hz 5.0Hz π

2ππ

2===

ω

ν

此波的波长为

m 4m 5

.02==

=

ν

λu

(2) 代入波函数方程，得此波的波函数为

)]2

(πcos[6.0x t y -

=

(3)将s t 2=和s t 1=分别代入上述波函数中相位部分)2

(πx t -，可得同一质元在1s 和

2s 末两个时刻的相位差

π12=-=????

(4) 同理将m 1=A x ，m 5.1=B x 代入相位表达式，可得这两点处的质元在同一时刻的相位差 4

π=

??

7-4一横波沿绳传播，其波函数为

m )0.2200(π2sin 02.0x t y -=

(1) 求此横波的波长、频率、波速和传播速度； (2) 求绳上质元振动的最大速度，并与波速比较． 解： 将波函数的标准形式转换成用表达的形式，即

]2

π)(π2[Asin ])(π2cos[+

+-

=+-

=?λ

ν?λ

νx

t x

t A y

将m )0.2200(π2sin 02.0x t y -=与上式比较可以得出

Hz 200=ν，m 50.0=λ，m/s 100==λνu

并可以判定波是沿x 轴正向传播的． 质元振动的速度为

)0.2200(π2cos 200π202.0x t t

y -??=??=

υ

m/s 25m/s 200π202.0max =??=υ

7-5一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和圆频率分别为A 和ω，波速为u ，设t = 0时的波形曲线如图7-22所示．(1) 写出此波的波动方程；(2) 求距O 点分别为λ/8和3λ/8两处质元的振动方程；(3) 求距O 点分别为λ/8和3λ/8两处质元在0=t 时刻的振动速度．

图7-22

解：(1) 以O 点为坐标原点，由图可知，初始条件为

0cos 0==?A y ，0sin 0<-=?ωυA

所以初相 2

π=

?

波动方程为 ]2π)(c o s [+

-

=u x t A y ω

(2) 8

λ

=

x 处质点的振动方程为

)4

πcos(]2

π)π

2/8/(cos[+

=+

-

=t A t A y ωλωλω

8

3λ=

x 处质点的振动方程为

)4πcos(]2

π)π

2/8

/3(cos[-

=+

-

=t A t A y ωλωλω

(3) x 处质点振动速度为

]2π)(sin[+

-

-=??=

u x t A t

y ωωυ

所以0=t 时刻，8

λ

=

x 处质点的振动速度为

ωλλωυ

λA A t x 2

2)2

ππ

2/8/sin(0

,8/-

=+

-

-===

同理可得0=t 时刻，8

3λ=

x 处质点的振动速度为

ωυ

λA t x 2

20

,8/3===

7-6 一脉冲从长弦线的一端行进至另一端，需时0.1秒，弦线跨过一滑轮后悬一质量为弦线质量100倍的重物，求弦线的长度．

解：设重物质量为m ，弦线长度为l ，

l

m l m mg T 100 ,100 ,0=

==ηη

gl l

m mg

T u 1001000

==

=

η

2

2100 ,100glt l t gl ut l ==

=

所以 m 8.9)1.0(8.91001002

2

=??==gt

l

7-7 声波的频率大约在H z 102~204?的范围内．已知声波在0゜C 空气中的波速为331.5 m/s ，在20゜C 水中的波速为1483 m/s ．那么相应温度下声波在空气和水中的波长范围分别是多少？

解：因机械波的波长为ν

λu

=．所以在0゜C 的空气中声波的最长波长和最短波长分别

为

m 16.58m 20

5.331min

max ==

=

νλu

m 101.658m 10

25.3312

4

max

min -?=?=

=

νλu

即在0゜C 的空气中，声波的波长范围大约为17mm 至17 m ． 同理，在水中，

m 15.47m 20

1483min

max ==

=

νλu

m 10415.7m 10

214832

4

max

min -?=?=

=

νλu

即在20゜C 的水中，声波的波长范围大约为74mm 至74 m

7-8 纸盆半径m 1.0=R 的扬声器，辐射出频率Hz 1000=ν，功率 W 40=P 的声波．设空气密度3

kg/m 29.1=ρ，声速m/s 344=u ，不计空气对声波的吸收，求纸盆的振

幅．

解：由于辐射功率

2

222

π2

1πR u A R I P ωρ=

?=

所以得纸盆振幅

m

10

82.3 m

1

.01000π21

π

34429.14021

π24

-?=???

??==

R

u P

A ωρ

7-9两个不同的音叉在完全相同的两段长绳上产生稳定的简谐波，振幅212A A =，波长212

1λλ=

，设绳子除了与音叉交换能量外，不与其他物体交换能量．求音叉给于绳子的平

均功率之比．

解：设绳子的截面积为S ，体密度为ρ，线密度为η，则η=ρs.

u A uS A IS P 2

22

22

12

1ηωρω=

=

=

两绳完全相同意味着η相同，绳子张力T 相同，因而波的传播速度u 相同．

今两音叉产生的两列简谐波，波长不同，而波速相同，可见频率是不同的：

1

22

12

12

1//λλλλννωω=

=

=

u u

1622)()(2

1212

222122122222

12

121

=?===A A u A u

A P P ωωηωηω 7-10如图7-23所示，两相干波源分别在P ，Q 两点，它们发出频率为ν，波长为λ，初相相同的两列相干波，设λ2

3=

PQ ，R 为PQ 连线上的一点．求：

(1) 自P ，Q 发出的两列波在R 处的相位差； (2) 两波在R 处干涉时的合振幅．

图7-23

解：(1) 设两相干波的振幅分别为21A A 和，PR 之间的距离为PR r ，QR 之间的距离为

QR r ，相位差

π3π

2π

2==-=?λ

λ

?PQ

QR

PR r r r

(2) 两相干波在R 点叠加干涉减弱，合振幅

21212

22

1cos 2A A A A A A A -=?++=

?

7-11如图7-24所示，S 1、S 2是两相干波源，相距1/4波长，S 1比S 2比相位超前π/2．设两波在S 1、S 2连线上的强度相同，均为I 0，且不随距离变化，问S 1、S 2连线上在S 1外侧各点处的强度I 1多大？在S 2外侧各点处的强度I 2多大？

图7-24

解：取S 1、S 2连线方向为正向，原点取在S 1处，如图所示．

S 1发出的波的表达式为

0 )](cos[0 )](cos[1???

????

<+>-=x u x t A x u x t A y ωω

S 2发出的波的表达式为

4 ]2π)4/(cos[4

]2π)4/(cos[2???

????

<--+>---=λλωλλωx u x t A x u x t A y

利用关系式π2 ,==

T T

u ωλ

，则2y 的表达式可改写为

4 ]π)(cos[4 )](cos[2???

????

<-+>-=λωλωx u x t A x u x t A y

在S 1外侧，x <0

0 ]π)(cos[ )](cos[21=-+

++

=+=u

x t A u

x t A y y y ωω

所以合成波的强度I 1=0. 在S 2外侧，4

λ

>

x

)](cos[2 )](cos[ )](cos[21u

x t A u

x t A u

x t A y y y -

=-

+-

=+=ωωω

02

2

2

2

242

14)2(2

1I u A u A I =?

==

ρωρω

7-12如图7-25所示是干涉型消声器结构原理图，利用这一原理可以消除噪声．当发动机排气噪声声波经管道到达A 时，分成两路而在B 点相遇，声波因干涉而相消．如果要消除频率为300 Hz 的发动机排气噪声，求图中弯道与直管长度差12r r r -=?至少应为多少（设声波速度为340 m/s ）

图7-25

解：这是干涉的应用问题．根据干涉原理，两波在B 点相遇时的波程差12r r r -=?满足干涉相消条件，即

) ,3 ,2 ,1 ,0( ,2

)

12(???±±±=+=?k k r λ

所以当0=k 时，r ?最小，即为弯道与直管长度差

m 57.0300

234022

min =?=

=

=

?ν

λ

u r ．

7-13主动脉内血液的流速一般为0.32 m/s ．若沿血流方向发射4.0 MHz 的超声波，该红血球反射回的波与原发射波将形成的拍频是多少？已知声波在人体内的传播速度为

m/s 1054.13

?．

解：Hz 1066.1Hz 10

1.5410

4.00.3222)1(3

3

6

?=????=

=

+--

=?u

u u υνυ

υνν

7-14两列相干波(振幅相等)，相向在同一条直线上传播(x 轴)，已知x = 0处为波节，写出波腹点和波节点的坐标．

解： ) ,2 ,1 ,0( ,2

???±±==k k

x λ

波节

) ,2 ,1 ,0( ,4

)

12(2

4

???±±=+=+=

k k k

x λ

λ

λ

波腹

7-15设沿弦线传播的一入射波的表达式为

])(

π2cos[?λ

+-=x

T t A y 入

波在x = L 处发生反射，反射点为固定端如图所示7-26．设波在传播和反射过程中振幅不变，试写出反射波的表达式．

图7-26

解：反射波来自反射点B ，B 点相当于“波源”, 波源B 的振动方程:

]

π2ππ

2cos[]

π)(π2cos[λ

??λ

L

T

t

A L

T t A y B -

±+=±+-

=

反射波的波动方程为:

]

π4π)(

π2cos[]

π2π)(π2cos[λ

?λ

λ

?λ

L

x

T t A L

x

L T t A y -

±++=-

±+--=反

7-16 如图7-27所示，在绳上传播的入射波方程为)2

ππ2cos(1-

+

=λ

ωx

t A y ．入射波

在x = 0处反射，反射端固定．设反射波不衰减，求驻波方程及波节和波腹的位置．

图7-27

解：入射波沿x 轴负方向传播，因此反射波沿x 轴正方向传播．入射波在x = 0处引起的振动：

)2πcos(10-

=t A y ω

由于反射端固定，故反射波在x = 0处与入射波的相位差为π，故反射波在x = 0处引起的振动为

)2πcos()π2

πcos(20+

=+-

=t A t A y ωω

反射波沿x 轴正方向传播，故其方程为

)2

π2π

cos(2+

-

=x t A y λ

ω

合成驻波，其方程为

t

x A t x A x t A x t A y y y ωλ

ωλ

λ

ωλωcos 2π

sin 2cos )2

π2π

cos(

2 )

2π2π

cos()2

π2π

cos(21=-

=+

-

+-

-=+=

当 02π

s i n =x λ

即

???==0,1,2,n π,2π

n x λ

为波节．

故波节位置为 ???==

0,1,2,n ,2

1λn x 当 12π

s i n =x λ

即

???=+=0,1,2,n ,2

ππ2π

n x λ

为波腹． 故波腹的位置为

???=+

=

0,1,2,n ,4

2

1λ

λn x

7-17两波在一根很长的弦线上传播，其传播方程式分别为

m )244(3

πcos

04.01t x y -=，m )244(3

πcos

04.02t x y +=

求：

(1) 两波的频率、波长、波速； (2) 两波叠加后的节点位置；

(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置． 解：(1) 与标准波动方程)π(2cos λ

νx

t A y -

=对比可得

Hz 4=ν m 50.1=λ

m/s 6.00m/s 450.1=?==λνu

(2) 节点位置在

)2ππ(3

π4+

=n x

解得 m 4

)

21

(3+

=

n x ，???±±= ,2 ,1 ,0n

(3) 波腹的位置为

π3π4n x =

解得 m 4

3n x =，???±±= ,2 ,1 ,0n

7-18 一警车以25 m/s 的速度在静止的空气中行使，假设车上的警笛的频率为800 Hz ，求：

(1) 静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；

(2) 如果警车追赶一辆速度为15 m/s 的客车，则客车上人听到的警笛声的频率是多少？

（假设空气中的声速u =330 m/s ）

解：(1) 由多普勒公式，当声源（警车）以速度运动m/s 25=s υ时，静止在路边的观察者所接收到的频率为

s

u u υν

ν ='

警车驶近观察者时，式中s υ前取“－”号．则有

Hz 865.6Hz 25

3303308001=-?

=-='s

u u υν

ν

警车驶离观察者时，式中s υ前取“＋”号．则有

Hz 7.437Hz 25

3303308002

=+?

=+='s

u u υνν

(2) 声源（警车）与客车上的观察者做同向运动时，观察者接收到的频率为

Hz 2.826Hz 25

330153308000=--?

=--=''s

u u υυν

ν

7-19 公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度，所用雷达波的频率为

H z 100.510

?．发出的雷达波被一迎面开来的汽车反射回来，与入射波形成了频率为H z 101.14?的拍频．此汽车是否已超过了限定车速km/h 001．

解：测速仪与汽车的状态如图所示．

S S R u

u ννυυ'=+=

S S S

R

u u u

u u u u u νυ

υνυυ

νυ

υ-+=

+?

-='-='

拍频 S S u u ννυ

υυ--+=

车速 m/s 332=+=

υυ

νυS u

限定车速 m/s 28m/s 3600

101003

max =?=υ

显然，此车速已经超过限定车速．

7-20 如图7-28所示，A 、B 为两个汽笛，其频率均为500 Hz ．A 是静止的，B 以60 m/s 的速率向右运动．在两个汽笛之间有一观察者O ，以30m/s 的速率也向右运动．已知空气中的声速为 330m/s ．求：

(1) 观察者听到来自A 的频率； ( 2) 观察者听到来自B 的频率； ( 3) 观察者听到的拍频．

图7-28

解：已知: v =330m/s, v sA =0, v sB =60m/s, v 0=30m/s, ν=500Hz

ννs

v u v u 0±=

'

(1) 由于观察者远离波源A 运动, v 0应取负号, 观察者听到来自A 的频率为

Hz 5.454500330

30330=?-=

'v

(2) 观察者向着波源B 运动, v 0取正号; 而波源远离观察者运动, v sB 也取正号. 故观察者听到自B 的频率为

Hz 5.46150060

33030330=?++=

''v

(3)两波合成的拍频为

Hz 7=''-'=?v v v

7-21 一固定波源在海水中发射频率为ν的超声波，射在一艘运动的潜艇上反射回来．反射波和发射波的频率差为Δν，潜艇运动速度远小于海水中的声速u ，试证明潜艇运动速度

为 ν

νυ2?=

u

证明：潜艇的速度为υ，潜艇作为观察者接收到发射波的频率为

νυνu

u +=

'

当超声波遇到潜艇反射时，潜艇成为波源，观察者接受反射波的频率

νυ

υνυυνυ

ν-+=

-+=

'-=

''u u u

u u u u u )()(

νυ

υνυ

υνννu

u u u -

=

--+=-''=?12

)1(

因 u <<υ，u

u

υ

υ

+

≈-

-1)

1(1

νυ

νυ

υ

νu

u

u

2

)1(2

≈+

=?

所以潜艇运动速度为

ν

νυ2?=

u

7-22 北京春节播放钟声的设备是一种气流扬声器，它发声的总功率为 W 1024?．这声音传到12 km 远的地方还可以听到．设空气不吸收声波能量并按球面波计算，这声音传到12 km 处的声强级是多大？约相当于哪种声音？

解：声源的功率应等于任一球面的能流，即I r P 2π4=．所以有

2

5

2

4

4

2

W/m

10

11.1)

101.2(π410

2π4-?=???=

=r

P I

dB 70dB )10

1011.1lg(

10lg 1012

5

=?==--I I L

相当于闹市车声．

7-23 距离一声源10 m 处听到的音量为100dB ，则距离声源100 m 处听到的音量约为多少？

解：设距离声源10 m 处声音的强度为I ，则

log

10100I I ==β，从而010

10I I =

声音强度与距离平方成反比，因此距离声源100 m 处声音强度08

10I I ='，音量dB 80=β．