第三章 功和能

第三章 功和能

一、基本要求

1、掌握功的定义及其计算方法；

2、掌握保守力和由之定义的势能的概念；

3、理解动能定理的意义及其应用；

4、掌握功能定理及其应用；

5、掌握机械守恒定律及其应用，并应着重了解其应用条件。

二、基本概念和规律

1、功

1）功的定义

功定义为作用在质点上的力和质点位移的标积称为力在这段位移上所作的功。即 →

→?=r

d F dA

一段路程上的功为

→

→?==

?

?r

d F dA A b a

b

a

关于功的概念应指出：

a 、功是标量，可正，可负，可为零。功是力对空间的累积效应。

b 、功是过程量，只有当物体的运动状态发生变化时，才谈得上功的问题。因此，绝不能设物体在某一状态的功有多少。

c 、功是相对量。由功的定义可知，由于不同参照系中质点的位移不同，因而同一个力，在不同参照系中计算结果也不同。一般说来，若无特别声明，某一个力的功都是指地面参照系的功。

2）保守力的功

按力作功是否与路径无关的特点来分类，有保守力和非保守力。 保守力：作功与路径无关的力称为保守力。用数学语言表示为

∮i o r d F =?→

→

如：重力、弹性力、万有引力，电磁中的静电力均为保守力。 非保守力：作功与路径有关的力称为非保守力。如摩擦力。 2、机械能

物体在机械运动中所具有的动能和势能的统称为物体具有的机械能。即E=E k +E p 。 1）功能

由于物体的机械运动而具有的作功本领。即2

21m V

E K

=称为物体的动能。

质点组的动能∑

=

i

i

i K

V m E 2

2

1

关于动能的要领应指出

a 、动能是标量，且恒为正。

b 、动能是状态量，是物体运动状态的单值函数，具有瞬时性。

c 、动能是相对量。由于物体的速度与参照系选择有关，是相对的，所以物体动能也是相对的。

d 、动是机械运动的一种量度。它是以机械运动转化为一定量的是它形式的运动（如：热、电磁运动等）的能力来量度机械运动的。

2）势能

势能：由物体间（或物体内部各部分间）的保守力作用和物体间（或物体内部各部分间）的相对位置而具有的做功本领称为势能。记为E p 。

关于势能的概念应指出：

a 、只有对于保守力的功，才能引入势能的概念。对于非保守力的功绝不能引入势能。 保守力的功P P P E E E A ?-=--=)(21保 即保守力的功等于势能增量的负值。从而也为计算保守力的功带来方便。

b 、势能是相对的，是标量，可正、可负，或为零。

势能的数值与势能零点选取有关，但任何两点的势能差与其零点选取无关。应注意势能零点的选取。

c 、势能是物体系所具有的

由于保守力是物体系内物体间的相互作用力，而且势能又由其物体间的相对位置所决定，所以势能是物体系所具有的。

d 、势能是状态量，是物体运动状态的单值函数。 3、动能定理

质点组动能定理：作用在质点组上外力的功和内力的功之代数和等于质点组动能的增量，即

12k k E E A A -=+内外

定理表明：外力的功和内力的功之和是质点组动能变化的量度。 4、功能定理

作用在质点组上外力的功和非保守内力的功之代数和等于质点组机械能的增量，即 121122)()(E E E E E E A A P k P k -=+-+=+内非保外

定理表明：外力的功和内部非保守力的功之和是质点组机械能变化的量度。 应该提出：

a 、功能定理和动能定理是有区别的。

a ）功能定理只运用于质点组，而动能定理即适用于质点组，又适用于质点。

b ）当我们取同一质点组为研究对象时，应用功能定理就决不能再将保守内力的功计入，而应用动能定理时就必须将保守力的功计入。

b 、在应用功能定理和动能定理时，根据研究对象，要特别注意区分外力和内力，内力中的保守力和非保守力。在功A 外、A 内非保 或A 内的计算时，决不允许先求其合力，然后求合力所作的功。而分别求出各力所作的功，求出其它们的代数和。

c 、要从功能定理深刻领会功和能这两个十分重要的概念之间的联系和区别。

机械能状态量，是物体运动状的单值函数。功是过程量，只有物体的状态变化时，才谈得上作功。作功是能量传递和转换的一种方式，功是被传递和转换的能量的量度。功和能的要领是研究物质各种运动形式之间的桥梁。

5、机械能守恒定律

作用在质点组上外力和非保守内力都不作功，则质点组的机械能守恒，即 1122P k P k E E E E +=+ 应该指出：

在运用机械能守恒定律时，必须掌握其守恒条件： A 外=0， A 内非保=0

原点组的机械能守恒，并不是说质点组的功能和势能都守恒，由于保守内功作功，质点组的功能和势能相互转移，但质点组的功能和势能之和保持不变。

一般而言，当质点组所受的合外力为零时，其机械能不守恒。

三、解题方法

质点动力学的根本问题是运用牛顿定律列出运动微分方程，然后解运动方程，这是质点动力学的基本方法。但要解其运动方程，除了比较简单的问题外，一般说来是很困难的，甚至是根本不可能的。

功能定理（包括功能定理）及其特例的机械能守恒定律（及以后讲的动量定律及其守恒定律，角动量定理及其守恒定律）为解答质点动力学问题提供了另外的方法，在一定条件下，使问题的解答非常方便，但是在各种各样的问题中，这种方法不一定都适用，因此，它不是一种基本方法。但只要它能应用，就常常带来不少便利，当然功能定理（包括动能定理）及其机械能守恒定律本身还有其深刻的物理意义。

用功和能解答的问题与质点动力学中要解答的问题是一致的，判断能否用功能定理，动能定理和机械能守恒定律求解，总的原则是：条件适合而且已知量及待求定恰好包含在该定理或定律的数学表达式中（有时可能和后面讲的定理或守恒定律联合求解）。具体说来，如果定理中涉及到不同地点的速度，而作用力系随路程变化（或常力）则应用定理的可能性大，对于机械能守恒定律，应加上外力，非保守内力均不作功的条件。

运用功能定理或机械守恒定律解题的步骤是 1、弄清题意，明确问题

根据题意，正确选取研究对象，弄清物理过程的特点。 2、对所选取的研究对象，质点组进行正确的具体分析。

分析每一个物体的受力情况，并注意区分外力和区内力，保守力和非保守力，画受力分析图时，可不画保守力，分析各外力，非保守力的作功情况。

3、根据问题的性质和计算方便，建立坐标，常用自然坐标系，直角坐标系，并选取势能零点，根据功的定义，计算各外力，各非保守内力所作的功，确定质点组初态和未态的机械能。

4、列方程、求解、必要时进行讨论。

四、解题示例

例1，一汽车从匀速V 沿平直路面前进，车中一人以相对于车厢的速度u 向上或向前掷一质量为m 的小球，若将坐标系选在车上，这时小球的功能各是多少？若将坐标系选在地面，这时小球的功能又各是多少？

解：若将坐标系选在车上，无论是向上或向前掷小球，小球相对于汽车速度的大小均为u ，故这时向上或向前掷的小球的功能均为2

21m u

E E k k =

=前上

。

若将坐标系选在地面，根据速度的相对性

C

B B

A C

A V

V

V

对对对→

→→+=

可得小球向上抛时，小球相对地面的速度为

2

21V

u

V +=

如例1图(a)所示，故小球的功能为

)

(2

1212

2

2

1v u

m m V E k

+=

='上

当小球向前抛时，小球相对地面的速度为 v u V +=2

如例1图(b)所示，故小球的功能为

2

2

2)

(2

121v u

m m V E k

+

=

='前

由此可见，功能是相对量，与参照系选取有关。

例2，一弹簧，倔强系数为K ，一端固定在A 点，一端连一质量为m 的物体，靠在光滑的半径为a 的圆柱体表面上，弹簧原长为AB （如图），在圆柱体表面切向变力→

F 所做的功。

解：解法一，根据功的定义求解，取物体m 为研究对象作受力分析图如例2图a 所示，由于沿圆柱体表面的运动极其缓慢，可认为物体在其切线方向上的加速度为零，选取自然坐标系由牛顿第二定律得：

ψ

ψka T T m g F ==--0cos

初始条件：S 0=0时，ψ=0；当S=a o 时，ψ=0； 根据功的定义得

???

+==

=

→

→

o

o

S o

S ad k mg o Fds S d F A ψ

ψψ

)cos cos (cos ·0

∴2

22

1θ

θka mgaSin A

+

=

解法二：根据功能定理求解

取物体、弹簧、地球所组成的质点组为研究对象，物体m 除受外力→F 外，其他的力、重力→m g ，弹簧性力→T ，支承力→

N

均为内力，由于→

N 处处与运动方向垂直不作功，而重力→

m g 、弹性力→

T 为保守力，我们选取B 点为重力势能，弹性势能的势能零点，由功能定理得

2

22

2

122

1)2

121(B

c

F mV MV

ka mgaSin E E A A -

+

+

=-==θ

θ

∵V C ＝V B ∴

2

2

21θ

θka mgaSin A +

=

与解法一结果相同。

由此可见：在本题的条件下，用功能定理求解比根据功的定义用积分方法求解简单。一般说来在解容质点动力学问题中，只要各力仅随物体的位置变化（不显含时间t ）或常力，则应用功能定理求解的可能性较大，进而使求解简单。

另外，根据功的定义，用积分方法求解时，必须依题意和按所选取的坐标系确定初始

条件，因积分为定积分必须有积分上、下限。

例3，质量为m 的小球关于轻绳的一端，绳的另一端固结O 点，绳长为l （如图）。今将小球拉升至水平位置A ，然后放手，求小球经过圆弧上B 、C 、D 点时的(1)速度；(2)法赂加速度、切向加速度；(3)绳中的张力。假定空气阻力不计，绳不伸长，角θ为已知。

解：选取小球为研究对象，并对小球在圆孤上任意一点如B 点时进行受力分析，如图，取自然坐标系，根据牛顿第二定律得

n ma mgSin T =-θ ① l ma mgCos =θ

② 取小球，绳、地球组成的质点组为研究对象，不受外力作用，张力不作功，重力是保守内力，满足机械能守恒条件，取C 点为重力势能零点，设小球在B 点的速度为V ，由机械能守恒定律得。

m al Sin m gl m V

=-+)1(212

θ ③ 而l

V a n

2

=

④ 联立解方程①—④得

θ

glSin V 2=

⑤

θ

gSin a n 2= ⑥

θgCos a l = ⑦ θmgSin T 3= ⑧ 讨论：

1）小球在B 点时，其绳与水平位置的夹角就为θ，所以式⑤、⑥、⑦、⑧分别为小球在B 点的速度，法向加速度切向加速度及绳中的张力的表达式。

2）小球在C 点时，2

∏=

θ，⑤—⑧式分别得小球在C 点的速度，法向加速度切向加

速度及绳中的张力，即

gc

V C 2=

g

a cn 2=

0=cc a

mg

T c 3=

3）小球在D 点时，其绳与水平位置的夹角为

θ

π

+2

，将其代入⑤—⑧式分别可得小

球在D 点的速度，法向加速度，切向加速度及绳中的张力，即

θ

glCos V D 2=

θgCos a Dn 2=

θ

gSin a DC -=

θ

mgCos T D 3=

a DC < 0，表示小球在D 点的切向加速度与其运动方向相反。

本题首先圆弧上任一点，利用牛顿第二定律，机械能守恒定律列出方程，然后求解方程组，对其结果进行讨论，分别得出小球在圆弧上，B 、C 、D 点的速度，法向加速度，切向加速度及绳中的张力。显然这比在圆弧上B 、C 、D 点分别运动牛顿定律，机械守恒定律求解要简单。

另外小球的速度亦可由式⑦求之。事实上

θ

gCos dt

dv = ⑨

说此时小球的角速度为w ，而wl

v dt dv w

==,将其代入方程⑨，整理后得

θ

θd glCos VdV = ⑩

初始条件：当000

,0,0,0V V V ====时设时θθ将方程⑩积分：

??

=

θ

θ

θ0

cos d gl vdv v 得

θ

glSin V 2=

其结果与式⑤相同。显然，用机械能守恒定律比用牛顿第二定律求小球的速度简单。 例4，小车沿图示的光滑弯曲轨道，自A 点无初速地滑下，轨道的圆环部分有一对的缺口BC 。已知圆环的半径为R ，缺口的张角，?=∠2BOC 。问A 点的高度h 应等于多少，方能使小车恰好越过缺口而走完整个圆环，小车所受的摩擦可忽略不计。

解：设小车恰好越过缺口而走完整个圆环。这时小车的运动需经过两个物理过程：由A 点运动到B 点，再由B 点运动到C 点。

小车由A 点运动到B 点，取小车。圆环和地球组成的质点组为研究对象小车只受重力和轨道对小车的压力（变力）作用，重力为保守力，轨道对小车的压力处处与运动方向垂直，不作功。满足机械能守恒条件。

小车到达B 点时的速度B V →

沿圆环轨道的切线方向上如图例4图a 所示。小车在BC 之间作斜抛运动。欲使小车恰好越过缺口而走完整个圆环，就

必须要求B V →

在水平方向的速度分量?

=Cos V V B xB

通过缺口

的距离?=RSin BC 2所需的时间是小车由B 点到达最大高度所需时间t 的2倍。

设D 点为重力势能零点，根据以分析得

2

21)(B

mV RCos R mg mgh +

+=θ ① θ

θCos V

RSin Bt

22=

② gt Sin V B -?=0 ③ 将方程①—③联立求解得

)

cos 211(θ

θ+

+=Cos R h

④

即A 点的高度)

cos 211(θ

θ+

+=Cos R h 方能使小车恰好越过缺口而走完整个圆环。

讨论：

1）当θ一定时；若小车在A 点的高度)

cos 211(θ

θ++>Cos R h 时，小车要越过缺口

BC ；若小车在A 点的高度)

cos 21

1(θ

θ+

+

时，小车到不了C 点。

2）由式④可以看出：θ=0时，亦即缺口BC 封闭时，R

h

25=，这就是小车走完整个

封闭圆环时，A 点的最小高度。此时小车在圆环最高点只受重力作用，而轨道对小车的压力恰好为零。当R

h 2

5>

时，小车无缺口圆环的最高点要受到铅直向下的重力和轨道对小

车压力的作用。

3）当2

π

=

?

时，由式④可知：∞

=h

，此是地小车在B 点作铅直上运动。

例5，如图所示，A 、B 两弹簧的倔强系数分别为K 1和K 2，其质量可忽略不计，弹簧A 的上端固定，在弹簧B 的下端挂一质量为m 的物体，先用于托住，使弹簧不伸长。求：

(1) 如果将物体m 托住慢慢放下达静止（平衡位置）时，A 、B 两弹簧的最大伸长，弹性力，弹性势能；

(2) 如将物体m 突然释放，物体到达最大位置时，A 、B 两弹簧的最大伸长，弹性力，弹性势能。

解：(1) 分别将弹簧A 、B 和物体m 选为研究对象，作受力分析图如例5图(a)所示。物体在平衡位置时，设弹簧A 、B 的最大伸长分别为2010,x x ??。选取铅直向下为正方向。并选取弹簧A 、B 来伸长时为其各自的弹性势能零点，由此可得物体在平衡时有 0

31=-T T 012=-T T

11T T '= 0

2='-T mg

22T T '

=

1011x k T ?= 2022x k T ?= 即A 、B 两弹簧的弹性力mg

T T ==21

；

A 、

B 两弹簧的最大伸长分别是1

10k m g x =

?，2

20

k m g x =

?；

A 、

B 两弹簧的弹性势能分别是

1

2

2

2

10110)

(2

1k g m x k E =

?=

2

2

2

2

20220)

(2

1k g m x k E =

?=

(2) 选取物体m ，弹簧A 、B 和地球组成的质点组为研究对象，将物体突然释放，运动到最大位置的过程中，只受重力，弹性力作用，且均为保守力，满足机械能守恒条件，仍然选取弹簧A 、B 未伸长时为其各自然的弹性势能零点，又选取物体到达最大位置时为重力势能零点，设物体到达最大位置时，弹簧A 、B 的最大伸长分别为21,x x ??，由机械能守恒定律得

2

222

1121)

(2

1)

(2

1)(x K x K x x mg ?+

?=

?+?

又因 2211x k x k ?=? 联立求解得

弹簧A 、B 的弹性力分别为mg x k T 2111=?= mg x k T 2222=?= 弹簧A 、B 的最大伸长分别为112k mg x =? 222k mg x =?

物体到达最大位置时，弹簧A 、B 的弹性势能分别为

12

22

112)

(21k g m x k E A =?= 2

2

2

2222)

(2

1k g

m x k E B =?=

讨论：

1）在(1)间中，能否用mg x k x k =?+?202101求2010,x x ??呢？显然不能，其原因是弹性力是接触力，而弹簧A 根本未和物体m 接触，那未弹簧A 的弹性力101x k ?就不可能作用在物体m 上，这是分析物体m 受力时应注意的。

2）在(1)间中，我们已选取弹簧A 、B 自由伸长时为其各自弹性势能零点，现又选取物体在平衡位时为重力势能零点，那未质点组在物体托住时的机械能)(2010x x mg ?+? 与物体在平衡位置的机械能

2

222

101)

(2

1)

(2

1x k x k ?+

?相等吗？显然不相等，因

)

(2

1)

(2

1)(2

120102

2022

11x x mg x k x k ?+?=

?+

?不等于)(21x x mg ?+?，何故？其原因是；

手托住物体慢慢放下过程中，手作用于物体m 上的力（外力）与物体的位移方向相反，作负功、故使质点组的机械能减少。由此我们可求出物体克服外力（手作用于物体上的）所作的功为

)

(2

1)

(2

1)(2

1)(20102

2022

1012010x x mg x k x k x x mg A ?+?=

?+

?-

?+?=

3）在(2)间中，为何不用mg x k =?22，2211x k x k ?=?来求21,x x ??呢？其原因辊在(1)间中物体在平衡位置时静止，022=?-x k mg ，而在(2)间中，物体到达最大位置时，虽速度为零，但加速度不等于零，故22x k mg ?≠，物体在最大位置时的加速度为m ma x k mg =?-22

g

m

k m g m

x k m g a m -=-=

?-=

2

2

2k 2mg

·

2

因取铅直向下为正方向，0