第三章 功和能习题解答

大物上册第三章习题答案

习题

3-1 在下列几种情况中，机械能守恒的系统是： （1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统。

（2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力）。 （3）子弹水平射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统。 （4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统。

答案：(1)机械能不守恒，因为并没有说忽略空气阻力的作用，而空气阻力为非保守力;

（2）物体匀速上升，一定有合外力克服重力做功，所以机械能不守恒; （3）机械能不守恒，子弹射入木块时，受到的摩擦力为非保守力; （4）机械能守恒.

3-2 质量为2m kg =的物体沿

x

轴做直线运动，所受合外力

2106()F x SI =+。如果在00=x 处时的速度00=v ，试求该物体运动到

04x m =处时速度的大小。

解：根据动能定理可得

22

01122

t A Fdx mv mv ==-?

初始条件为00=x ，00=v ，代入求解得

4

4

23

00

106102168

x dx x x

??+=+=???

（）t v 12.96m/s ∴==

3-3 倔强系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径

R l =，弹簧的另一端从距A 点2l 的B 点沿圆周移动4

1

周长到C 点，如附图所

示。求弹性力在此过程中所做的功。

解：弹簧的弹性力为保守力，整个过程中，只有弹性力做功，所以机械能守恒。

())

()

)

2

2

2

22

A ()12112221

1212

1pB pB pC B E E E E kx k l l k l kl kl =--=-=-=---??

=--+??=

-弹

3-4 在光滑的水平桌面上，平放有如附图所示的固定半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ。证明

当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所做的功为

2201(1)2

A mv e πμ

-=-。

分析：求解摩擦力做功的定理只有动能定理和功能原理，即

21

k k 21A E E A A E E =-+=-外外非保内

对运动过程进行受力分析可知，滑块受重力、桌面对其的支持力，这两个力在运

动中不做功。滑块还受屏障对其支持力N （方向始终指向屏障的圆心）以及与屏障之间的摩擦力（摩擦力方向始终与速度v 方向相反）。

根据功能原理，在滑块和固定的屏障（相当于地球）构成系统中，该系统不受外力，而两者之间的摩擦力为非保守内力，所以

22010()0

2

k p f t A A E E A m v v +=?+?+=-+外力非保守内力

或者根据动能定理可知，对于滑块而言只有摩擦力做功，屏障对其支持力N 不做

功，则22

01122

f t A mv mv =-

即该题就是要求解2v 和1v 。

因为运动轨迹为半圆，考虑用自然坐标系及角量。 摩擦力方向始终与速度方向相反，为

t dv dv ds

f ma m

m dt ds dt

dv ds dv m mv

Rd dt Rd θθ===?=?=

其中θ为滑块在运动过程中的角位移。支持力N 为 2

n v N ma m R

==，所

以

2

v dv f N m mv

R Rd μμθ

=-=-=

滑块刚进入屏障时角位移为0，从另一端滑出屏障时的角位移为π，则计算可知

01t

v v t

t d dv v

v e v v v e π

μπμπ

μθ---===??

在整个过程中，只有摩擦力做功，则

)1(2

12121A 22

0202-=-=

-μπe mv mv mv f f 3-5 设

(76)F i j N

=-合。1)当一质点从原点运动到

(3416)r i j k m =-++时，求F 所做的功。(2)如果质点到r 处时需，试求平均

功率。（3）如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化。

解：

()()

A 763416212445F r i j i j k J

=?=-?-++=--=-合

（2）

45750.6

A P W t ===? （3）45k

E A J ?==-

3-6 （1）试计算月球和地球对质量为m 的物体的引力相抵消的一点P ，距月球表面的距离是多少地球质量×2410kg,地球中心到月球中心的距离×810m,月球质量×2210kg,月球半径×610m 。

（2）如果一个1kg 的物体在距地球和月球均为无限远处的是能为零，那么它在P 点的势能为多少

解：（1）设p 点距离月球表面为x m ，则

()

()

2

2

r

GmM GmM d x x =

-+地球

月球

月球

，解得

m x 7

106757.3?=

(2)

()

()

62

2

1.2810r

p M M E G

G

J

d x x =--=-?-+地球

月球

月球

（本题书后答案少一个负号） 3-7 一物体在介质中按规律3ct x

=做直线运动，c 为一常量.设介质对物体

的阻力正比于速度的平方。试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所做的功（已知阻力系数为k ）。 解：

2

0l

l

f A fdx kv dx =-=?

?;3

2()3dx d ct v ct dt dt

=

== 12427

222233333

00027

(3)(3(()))97

l

l

l f x A k ct dx k c dx kc x dx kc l c =-=-=-=-???3-8 以质量为m 的地球卫星，沿半径为E R 3的圆轨道运动，E R 为地球的半径。 已知地球的质量为E m 。求：

（1）卫星的动能； （2）卫星的引力势能； （3）卫星的机械能。

解：卫星与地球之间的万有引力提供卫星做圆周运动，则

（1）

()

22

G

33E E E m m

v m R R =2126E E Gm m

E mv R ==

（2）取卫星与地球相距无限远时为0势能点，则卫星的引力势能为

E 3E p E Gm m

R =-

（3）卫星的机械能为

E E m G

636R E E k p E E Gm m Gm m m

E E E R R =+=-=-

3-9 质量为002.0=m kg 的弹丸，其出口速率为300m/s ，设弹丸在枪筒中前进

所受到的合力800400/90F x =-。开枪时，子弹在0=x 处，试求枪筒的长

度。

解：设枪筒长为L ，在子弹运动出枪筒的过程中只有合力F 做功。由动能定理可

知：

2201122

t A mv mv =-20

1

F 0.00230002

L

dx ?=??-?

()200220800014008000/9400|92800014000400|40090

929L

L L x dx x x x x L L ?

?-=- ??

??

?=-=-= ??

?? 212400360810

0.45L L L L m

-+===

3-10 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要做的功。

解：万有引力使两物体相互吸引，若两物体之间距离增加，则万有引力做负功，外力做正功。

11

12

2x d

x Gm m A A F dr dx x

+=-=-?=-??

外力万有引力 ()1212

1111

11G d

Gm m m m x d x x x d ??=--= ?++?? 3-11 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2r

k

f =，k 为常数.

若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。 解：排斥力只与两粒子之间的相对位置有关，所以为保守力。

则

2|0P r r

r

k k k k E f dr dr r r r r ∞∞

∞?

?===-=--= ??

???

（本题书后答案错误）

3-12 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成

6

12

)

(

x

b

x

a

x

E

P

-

=，式中a、b为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如附图所示.

（1）x为何值时0

)

(=

x

E

P

x为何值时)

(x

E

P

为极小值

（2）试确定两原子间的作用力.

解：（1）

()

126

p

a b

E x

x x

=-=，解得

1

6

12

a

x x

b

??

==∞

?

??

()

p

E x为极小值时，

()

137

126

p

dE x a b

dx x x

=-+=

解得1x=∞或

1376

22

b b

x x x

a a

--

?=?=

1

6

13766

2

22

22

b b a a

x x x x x

a a

b b

--

??

?=?=?=∴= ?

??

(2) 设两原子之间的作用力为()

f x

()()

()

137

126

p

p

dE x a b

f x E x

dx x x

=-?=-=-

3-13 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如附图所示. 若在

r

r=处释放质子，问：

（1）在离大原子核很远的地方，质子的速率为多大

（2）如果在

2r

r=处释放质子呢

解：（1）由图可见，当0

r→时，p

E→∞，当r→∞时，0

p

E→。将质子

和原子核看作一个系统（忽略二者的重力）。在原子核的引力场中，系统的能量

守恒。即

()()

k p r r k p r

E E E E

→→∞

+=+

(00.4)(0)

r k r

mev E

→→∞

+=+

619

26

27

120.410 1.60210

0.48.7510/

2 1.67310

mev mv v m s

-

-

????

=∴==?

?

（2）:

2

()()

k p r r k p r

E E E E

→→∞

+=+

(00.12)(0)

r k r

mev E

→→∞

+=+

619

6

27

20.1210 1.60210

4.7910/

1.67310

v m s

-

-

????

==?

?