湖北省2021-2022高三数学元月调考试题 理

湖北省荆门市2020高三数学元月调考试题 理

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 1．已知集合}0lg |{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则

A.{|0}A B x x =< B ．A B =R C.{|1}A B x x =< D ．A B =? 2．设i 是虚数单位，则i

2

i 1-

-等于 A ．0 B ．2 C ．2 D ．4 3．下列各式中错误．．

的是 A ．330.80.7> B. lg1.6lg1.4> C. 6.0log 4.0log 5.05.0> D. 0.10.10.750.75-< 4．设双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，双曲线C 的一

条渐近线方程为30x y +=，则双曲线C 的方程为

A ．2213x y -=

B ．22

13y x -= C ．221412x y -= D ．221124

x y -=

5．已知函数()()sin f x A x ω?=+（0A >，0ω>，π

2

?<） 的部分图象如图所示，则ω??= A ．

π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π3

6．已知1tan 4,tan θθ

+

=则2sin ()4π

θ+=

A ．15

B ．14

C ．1

2 D ．34

7．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影

部分可表示为()()()

22

22

22

4

,1111

x y

x y x y x y

x

??

?+≤

??

?

???

Ω=+-≤++≥

???

???

≤

?

??

?

??

或，设点(,)

x y A

∈，则2

z x y

=+的取值范围是

A．15,25

??

--

?? B．25,25

??

-?? C．25,15

??

-+

?? D．4,15

??

-+

??

8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

A．36种 B．42种 C．48种 D．54种

9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

10．函数ln

1

()x

f x e

x

=+的大致图象为

11．已知二面角l

αβ

--为0

60,动点P、Q分别在、内，P到的距离为3,Q到的距离为

3

2

, 则PQ两点之间距离的最小值为

A.3 B．1 C2 D．2

12．设函数()()sin f x x ω?=+，()()

(){}

00,A x f x f x '==，()

22,1322x y B x y ????

=+≤??????

，若存在实数?，使得集合A B 中恰好有7个元素，则()0ωω>的取值范围是

A ．35π,π44??????

B ．3π,π4??????

C ．5π,π4??????

D ．3π,π2??

????

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学

生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为▲ .

14．已知向量,a b 满足3,(3,3)a b ==且()0a a b ?

+=，则,a b 的夹角为▲ .

15．对任意21,,x e ??∈??不等式2ax e

x ≥恒成立（其中e 是自然对数的底数），则实数a 的取

值范围是▲ .

16. 已知三棱锥P-ABC 外接球的表面积为π100，PA ⊥平面ABC ，8=PA ,060=∠BAC ,则三棱锥体积的最大值为▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）已知在等比数列{}n a 中，12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：21

2log n n n

b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥A BCDE -中，平面BCDE ⊥平面ABC ，

,3,23,30BE EC BC AB ABC ⊥==∠=?.

7816 6514 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

（Ⅰ）求证：AC BE ⊥；

（Ⅱ）若二面角B AC E --为45?，求直线AB 与平面ACE

所成的角的正弦值．

19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a 的最低标准定为

多少吨？

（Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区．．．．．．

随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X ，求X 的分布列和均值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三

角形，以椭圆E 的长轴为直径的圆与直线20x y +-=相切． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；

（Ⅱ）,,A B C 为椭圆E 上不同的三点，O 为坐标原点，若0

O A O B O C ++=，试问：A B C 的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数()()2

ln f x x x ax a R =-∈在定义域内有两个不同的极值

点.

（Ⅰ）求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）若()f x 有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，若不等式121x x λ

?>恒成立，求正

实数λ的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为:1cos sin x y θ

θ

=+=???（θ为参数），以坐标原点为

极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:()π

4

θρ=

∈R ． （Ⅰ）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点()0,1P -的直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ?的值．

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设不等式211x -<的解集是M ，a ，b M ∈． （Ⅰ）试比较1ab +与a b +的大小；

（Ⅱ）设max A 表示数集A 中的最大数．22max

h ??=，求h 的最小值．

荆门市2020年高三年级元月调考试卷

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：每小题5分，共60分.

1-5 DBDBC 6-10 DCBAC 11-12 AB

12.的极大值或极小值，一定在直线上，又在集合中．

当时，，得，，，，故选B．

二、填空题：每小题5分，共20分．

13. 43 14. 15. 16.

三、解答题：

17.解：（1）设等比数列的公比为，

∵，，成等差数列，∴，………3分

∴．………………………………………6分（2）∵，……………………………………8分∴………………………10分

．…………………………12分

18.解：（Ⅰ）证明：在中，，

所以, 所以

．…………………………………………2分

因为平面平面,平面平面,,

所以平面．………………………………………………………………4分又因为平面，所以．………………………………………6分（Ⅱ）因为平面，平面，所以．

又,平面平面,

所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．

……………………………………………8分因为,所以平面．

所以是直线与平面所成的角．…………10分

因为在中，，

所以在中，．…………12分

（Ⅱ）另解：因为平面，平面，所

以．

又,平面平面,

所以是平面与平面所成的二面角的

平面角，即．

………………………………

……………………………8分

即为等腰，过E作则O为BC中

点，取AB中点F，连接OF

则如图建系则

设平面EAC的一个法向量为,

,

由

………………………………10分

又,直线AB与平面ACE所成的角为

则…………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）(1)月均用水量

………………………………………………3分（2）由直方图易知：

故月均用水量a的最低标准定为2.7吨…………………………………………………6分（Ⅱ）依题意可知，居民月均用水量不超过2.5吨的概率是，则

……………………………10分

0 1 2 3

X0 1 2 3

P

……………………………………………………………12分

20.解：（Ⅰ）由题意知，， (2)

分

解得则椭圆C的方程是：…………………………4分（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，

……………………………………………………………5分

②设由

设则…………7分

……………………………9分原点O到AB的距离

……………………………………………………………11分故

综上：的面积为定值.……………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两

个不同根；

解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，令, (1)

分

故在处的切线方程为：…………………3分代入点有：

由图象可得：……………………………………………………5分解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点．…………………………………………………………………………………………1分

，故时，时，

……………………3分又

由图象可得：……………………………………………………5分解法3：…………………………………………………………………1分①

最多只有一个实根，不合题意；…………………………………2分②

故

故………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

……………………6分

……………………8分

①

故，不合题意；…………10分②

，即

……………………………………………………………………………12分22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为，………………2分

联立方程，解得或，……………………………4分

所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．……………………………5分（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得．…………………………………7分设对应的参数分别为则……………………………………10分另解：设为的一条切线，由切割线定理：

23.由得，解得，∴．…………………2分（1）由，，得，，

∴，故．………………………………5分（2）由，得，，，…………7分∴，故．………………………………9分当且仅当………………………………10分