(完整版)北师大数学七年级第三章整式的加减(二)—去括号与添括号(提高)

去 括 号

去 括 号

整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用；

2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值． 【要点梳理】

要点一、去括号法则

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

要点诠释：

(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1 与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘．

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．

(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4） 去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 要点二、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．

要点诠释：

(1) 添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．

(2) 去括号和添括号的关系如下：

如： a + b - c 添 括 号 要点三、整式的加减运算法则

a + (

b -

c ) ， a - b + c 添 括 号

a - (

b -

c )

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

要点诠释： （1） 整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2） 两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．

(3) 整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 【典型例题】 类型一、去括号

1．（2015?泰安模拟）化简 m ﹣n ﹣（m+n ）的结果是（ ） A ． 0 B ． 2m C ． ﹣2n D ． 2m ﹣2n 【答案】C 【解析】

解：原式=m ﹣n ﹣m ﹣n=﹣2n ．故选 C ．

【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣． 类型二、添括号

2．按要求把多项式3a - 2b + c -1添上括号：

(1) 把含 a 、b 的项放到前面带有“+”号的括号里，不含 a 、b 的项放到前面带有“-”号的括号里；

(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号 里．

【答案与解析】

解：(1) 3a - 2b + c -1 = (3a - 2b ) - (-c +1) ；

(2) 3a - 2b + c -1 = (3a + c ) - (2b +1) ．

【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号． 举一反三： 【变式】添括号：

（1） (x + y )2 -10x -10 y + 25 = (x + y )2 -10(

) + 25 ．

（2） (a - b + c - d )(a + b - c + d ) = [a - (

)][a + (

)]．

【答案】(1) x + y ； (2) b - c + d , b - c + d ．

类型三、整式的加减

3. 一个多项式加上4得x ，3

-求x 2这+个5 多3项x 4 式- 4x 3 - x 2 + x - 8

．

【答案与解析】

解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．

(3x 4 - 4x 3 - x 2 + x - 8) - (4x 3 - x 2 + 5)

= 3x 4 - 4x 3 - x 2 + x - 8 - 4x 3 + x 2 - 5 = 3x 4 - 8x 3 + x -13.

答：所求多项式为3x 4 - 8x 3 + x -13 ．

【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． 举一反三： 【变式】化简：

(1)15+3(1-x)-(1-x+x 2

)+(1-x+x 2

-x 3

).

(2)3x 2y-[2x 2z-(2xyz-x 2z+4x 2

y)]. (3)-3[(a 2

+1)- 1

1 (2a 2

+a)+ 6

3

(a-5)].

(4)ab-{4a 2b-[3a 2

b-(2ab-a 2

b)+3ab]}. 【答案】

解 ： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x 2)+(1-x+x 2-x 3

)

＝15+3(1-x)-(1-x+x 2)+(1-x+x 2)-x 3

＝18-3x-x 3. .........................

整体合并，巧去括号

(2) 3x 2

y-[2x 2

z-(2xyz-x 2

z+4x 2

y)]

＝3x 2y-2x 2z+(2xy-x 2z+4x 2

y)

……由外向里，巧去括号

＝3x 2y-2x 2z+2xyz-x 2z+4x 2

y

＝7x 2y-3x 2

z+2xyz.

(3)

-3[(a 2

+1) - 1 (2a 2 + a ) + 1 (a - 5)] 6 3 = -3(a 2 +1) + 1

(2a 2 + a ) - (a - 5)

2

= -3a 2 - 3 + a 2 + 1

a - a + 5

2

= -2a 2 - 1

a + 2 .

2

(4)ab-{4a 2

b-[3a 2

b-(2ab-a 2

b)+3ab]}

＝ab-4a 2b+3a 2b-2ab+a 2

b+3ab ……一举多得，括号全脱

＝2ab.

类型四、化简求值

4.（2016 春?盐城校级月考）先化简，再求值：3x 2y ﹣[2x 2﹣（xy 2﹣3x 2y ）﹣4xy 2]，其中 |x|=2，y=，且 xy ＜0．

【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出 x 的值，代入原式计算即可得到结果． 【答案与解析】

解：原式=3x 2y ﹣2x 2+xy 2﹣3x 2y+4xy 2=5xy 2﹣2x 2，

∵|x|=2，y=，且 xy ＜0， ∴x=﹣2，y=， 则原式=﹣﹣8=﹣

．

【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当 x=…时，原式=…. 举一反三：

【变式】（2015 春?万州区期末）先化简，再求值：﹣2x 2﹣[3y 2﹣2（x 2﹣y 2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣． 【答案】

解：原式=﹣2x 2﹣y 2+x 2﹣y 2﹣3=﹣x 2﹣y 2﹣3， 当 x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．

5. 已知 3a 2-4b 2＝5，2a 2+3b 2＝10．求：(1)-15a 2+3b 2 的值；(2)2a 2-14b 2

的值． 【答案与解析】显然，由条件不能求出 a 、b 的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变

形． 解：(1)-15a 2+3b 2＝-3(5a 2-b 2)＝-3[(3a 2+2a 2)+(-4b 2+3b 2

)]

＝-3[(3a 2

-4b 2

)+(2a 2

+3b 2

)]＝-3×(5+10)＝-45；

(2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)]

＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．

【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．

举一反三：

【变式】当m = 2时，多项式am3+b m +1 的值是0，则多项式4a3+b+51

=．2

【答案】∵

即4a3+b=-1

．

2

a(2)3+b 2+1 =0，∴8a3+ 2b+1 = 2(4a3+b) +1 = 0 ，

∴4a3+b+ 5 1

=-

1

+ 5

1

= 5 ．

2 2 2

6. 已知多项式x2+ax -y +b 与bx2- 3x + 6 y - 3 的差的值与字母x 无关，求代数式：

3(a2- 2ab -b2 ) - (4a2+ab +b2 ) 的值．

【答案与解析】

解：x2+ax -y +b - (bx2- 3x + 6 y - 3) = (1-b)x2+ (a + 3)x - 7 y + (b + 3) .

由于多项式x2+ax -y +b 与bx2- 3x + 6 y - 3 的差的值与字母x 无关，可知：

1-b = 0 ，a + 3 = 0 ，即有b = 1, a =-3 .

又 3(a2- 2ab -b2 ) - (4a2+ab +b2 ) =-a2- 7ab - 4b2,

将b =1, a =-3 代入可得：-(-3)2- 7 ?(-3) ?1- 4 ?12= 8 .

【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母 x 无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含

“x”的项，所以合并同类项后，让含 x 的项的系数为 0 即可．

类型五、整式加减运算的应用

7.有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽 60 厘米，

用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10 厘米，

那么n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．

A．60n 厘米B．50n 厘米C．(50n+10)厘米D．(60n-10)厘米

【答案】C.

【解析】观察上图，可知 n 块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则 n 块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1) ＝（50n+10）厘米．

【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为 10 厘米这一已知条件，一不小心就可

能弄错．

举一反三：

【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 9 和 a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为．

【答案】3a-a2

提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积-a2- 9 ，而长方形的长为 3+a，宽为 3，从而使问题获解．

【巩固练习】

一、选择题

1．（2014?新泰市校级模拟）下列各式中去括号正确的是（）.

A. a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a﹣b2+b

B. ﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2

C. 2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+5

D. ﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3+4a2﹣1+3a

2.已知一个多项式与3x2+9x 的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ．

A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1

3．代数式-3x2y -{10x3- (6x3y + 3x2y)} - 6x3y + 7x3- 2 的值( )．

A．与x，y 都无关B．只与x 有关C．只与y 有关D．与x、y 都有关

4.如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）．

A. 6

B.8

C. -6

D. -8

5.化简5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）之后，可得下列哪一个结果（）．

A. 2x﹣27

B. 8x﹣15

C. 12x﹣15

D. 18x﹣27

6.已知有理数a, b, c 在数轴上的位置如图所示，且a =b ，则代数式a -c -a +c -b --b 的值为（）．

A. -2c B . 0 C. 2c D. 2a - 2b + 2c

7.（2016 春?钦州期末）﹣[x﹣（y﹣z）]去括号后应得（）

A．﹣x+y﹣z B．﹣x﹣y+z C．﹣x﹣y﹣z D．﹣x+y+z

8.如果对于某一个特定范围内x 的任意允许值，P = 1- 2x + 1- 3x +... + 1- 9x + 1-10x 的值恒为一

个常数，则此值为（）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题

9．(1) a -b +c -d =a -()；(2) x + 2 y -z =-();

(3) a2-b2+a -b =(a2-b2)+(); (4) a2-b2-a -b =a2-a -()．

10. 如图所示是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 7 个基础图形组成，

…，第n(n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．

11．（2014?阜宁县模拟）计算：2（a﹣b）+3b= ．

12.当x = 2 时，代数式ax3-bx +1 的值等于-17，那么当x =-1时，代数式12ax - 3bx3- 5 的值等于

．

13.有理数a,-b 在数轴上的位置如图所示，化简1 - 3b - 2 2 +b +2 - 3a = ．

a

-1

14.任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被整除.

三、解答题：

15.（2016 春?顺义区期末）计算：（2mn﹣m2+n2）+（m2﹣n2+mn）.

16.已知：ax2+2xy-x 与 2x2-3bxy+3y 的差中不含 2 次项，求 a2-15ab+9b2 的值.

17.（2015?宝应县校级模拟）先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中 x=，y=2012．【答案与解析】一、

选择题1.【答案】

D.

【解析】A、a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a+b2﹣b，故本选项错误；

B、﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项错误；

C、2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+15，故本选项错误；

D、﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3﹣[﹣4a2+1﹣3a]=﹣a3+4a2﹣1+3a，故本选项正

确． 2．【答案】A

【解析】(3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．

3.【答案】B

【解析】合并同类项后的结果为-3x3- 2 ，故它的值只与x 有关．

4.【答案】C

【解析】x2+x = 1 ，x3+ 2x2- 7 =x(x2+x) +x2- 7 =x +x2- 7 = 1- 7 =-6 ．

5.【答案】D

【解析】5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）=5（2x﹣3）+4（2x﹣3）=9（2x﹣3）=18x﹣27．

6.【答案】A

【解析】由图可知：a

所以a -c -a +c -b --b =-a - (c -a) + (b -c) -b =-2c ．

7.【答案】A

【解析】解：﹣[x﹣（y﹣z）]

?

? =﹣（x﹣y+z）

=﹣x+y﹣

z．故选：

A．

8.【答案】B

【解析】P 值恒为一常数，说明原式去绝对值后不含x 项，进而可得下图：

由此得：P = (1- 2x) + (1- 3x) +... + (1- 7x) + (8x -1) + (9x -1) + (10x -1) = 3 ．

二、填空题

9.【答案】b -c +d; -x - 2 y +z; a -b; b2+b

10.【答案】3n+1

【解析】第 1 个图形由3×1+1＝4 个基础图形组成；第 2 个图形由3×2+1＝7 个基础图形组成；第

3 个图形由3×3+1＝10 个基础图形组成，故第 n 个图形由(3n+1)个基础图形组成．

1.【答案】2a+b

【解析】原式=2a﹣2b+3b=2a+b.

12.【答案】 22

【解析】由题意可得：8a - 2b +1 =-17 ，即有4a -b =-9 .

又因为-12a + 3b -5 =-3(4a -b) -5 =-3?(-9) -5 = 22 .

13.【答案】b + 3a - 7

【解析】-b <-3, b > 3 ，所以原式= 3b -1- 2(2 +b) + (3a - 2) =b + 3a - 7 .

14.【答案】9

【解析】设任意一个的三位数为a×102+b×10+c.其中 a 是1～9 的正整数，b,c 分别是 0～9 的自然数.

∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用 m 表示整数 11a+b) .

∴任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被 9 整除.

三、解答题

15.【解析】

解：原式=2mn﹣m2+n2+m2﹣n2+mn

=3mn．

16.【解析】

2 2 2 2 2

解： (ax +2xy-x)-(2x -3bxy+3y)=ax +2xy-x-2x +3bxy-3y=(a-2)x +(2+3b)xy-x-3y.

∵此差中不含二次项，

?a - 2 = 0,

?

2 + 3b = 0.

?a = 2 ,

解得：

?3b =-2.

当 a=2 且 3b= -2 时，

a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28.

17.【解析】

解：原式=﹣x2+x﹣2y+x+2y=﹣x2+x，当x= ，y=2012 时，原式=﹣ + = ．