初中几何反证法专题(75.5K)
初中几何反证法专题
学习要求
了解反证法的意义，懂得什么是反证法。
理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。
知识讲解
对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。
1．反证法的概念：
不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2．反证法的基本思路：
首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从
而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件
矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中
的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相
互矛盾（即自相矛盾）。
3．反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。
（1）
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。
∵OA＝OB，M是AB中点
∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）
同理可得：
OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM
这与已知的定理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。
求证：AD∥BC
（2）
证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。
在△ABD中
∵BM＝MA，BP＝PD
∴MP AD，同理可证PN BC
从而MP＋PN＝（AD＋BC）①
这时，BD的中点不在MN上
若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，
于是M、P、N三点不共线。
从而MP＋PN＞MN②
由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）
相矛盾，
故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。
课堂练习
1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。
已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B
求证：m和n必相交。
3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，
求证：AD 与BE不能被点H互相平分。
4．求证：直线与圆最多只有两个交点。
5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠B、∠C必为锐角。
参考答案：
1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°。
2．证明：假设m和n不相交则
m∥n
∵m⊥l ∴n⊥l
这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。
故m和n必相交。
3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。
∴AE∥BD，即AC∥BC
这与AC、BC相交于C点矛盾，
故假设AD、BE被交点H平分不能成立。
所以AD与BE不能被点H互相平分。
4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA＝OB＝OC
∴在等腰△OAB和△OBC中
OM⊥AB，ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。
因此直线与圆最多只有两个交点。
5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，
则可能有两种情况：
(1)∠B＝∠C＝90°
(2)∠B＝∠C＞90°
若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
所以假设不能成立。
故∠B、∠C必为锐角。
本讲小结
对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则
可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并
运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。
所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得出结论的反面不成立，于是原结论成立。
反证法证题的一般步骤是：
(1)反设：将结论的反面作为假设；
(2)归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知
矛盾的结果；
(3)结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正
确。
运用“反证法”的关键：
反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。
“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”
命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的
命题都可考虑用反证法。
课后作业
1．求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
2．在△ABC中，AB＝AC，P是内部一点且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。
3．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。
4．求证：在△ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E，连结AD、BE，则AD和BE必定不能互相平分。
5．已知△ABC为不等边三角形，AD⊥BC于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等。
参考答案：
1．证明：假设存在凸四边形ABCD，
使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°。
这与四边形ABCD中
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°矛盾。
故假设不能成立，所以原命题成立。
2．证明：假设PB PC，即PB＞PC或PB＝PC
(1)当PB＞PC时（如图）
在△PBC中，可得＜PCB＞∠PBC
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，从而∠ABP＞∠ACP①
在△BAP与△CAP中
∵AB＝AC，AP＝AP，PB＞PC
∴∠BAP＞∠CAP②
由①②和三角形内角和定理，可得∠APB＜∠APC，
这与已知∠APB＞∠APC相矛盾。
(2)当PB＝PC时，在△APB与△APC中
∵AP＝AP，BP＝CP，AB＝AC
∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC
这与已知∠APB＞∠APC相矛盾，
由(1)(2)可知假设PB PC不成立。
故PB＞PC。
3．证明：不妨设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C
假设∠A、∠B、∠C中设有一个大于或等于60°，
则它们都小于60°。
即∠A＜60°、∠B＜60°、∠C＜60°
∴∠A＋∠B＋∠C＜180°这与三角形内角和定理矛盾，
这说明假设不成立。
故∠A、∠B、∠C中至少有一个大于或等于60°。
4．证明：假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。
所以AE∥EB，即AC∥BC
这与AC与BC相交于C点矛盾，
故假设AD与BE互相平分不能成立。
所以AD和BE必定不能互相平分。
5．证明：作BE⊥AB于E，DF⊥AC于F
假设DE＝DF，则∠1＝∠2
∵AD⊥BC
∴ ∠B＝90°－∠1
∠C＝90°－∠2
∴ ∠B＝∠C
∴ AB＝AC这与△ABC为不等边三角形矛盾。
故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。
2016中学考试数学：_几何与函数问题专题复习
2016中考数学专题讲座 几何与函数问题 【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 【典型例题】 【例1】已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点． （1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长． 【思路点拨】（1）取AB 中点H ，联结MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。 【例2】（）已知：如图（1），在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =， 3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？ （2）设AQP △的面积为y （2 cm ），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由； （4）如图（2），连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '， B A D M E C B A D C 备用图
初中几何常用辅助线专题.doc
初中几何常见辅助线做法 一、三角形常见辅助线做法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将 中线加倍 ； 含有中点的题目，常常做 三角形的中位线 ，把结论恰当的转移 例 1、如图 5-1：AD 为△ ABC 的中线，求证： AB ＋AC ＞ 2AD 。 【分析】：要证 AB ＋ AC ＞ 2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋ CD ＞AD ，所以有 AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋ AD ＝ 2AD ，左边比要证结论多 BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E ，使 DE=AD ，连接 BE ，则 AE ＝2AD A ∵AD 为△ ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝ CD （中线定义） 在△ ACD 和△ EBD 中 BD CD (已证 ) B D C ADC EDB ( 对顶角相等 ) AD ED (辅助线的作法 ) E 图5 1 ∴△ ACD ≌△ EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ ABE 中有： AB ＋ BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋ AC ＞2AD 。 例 2、如图 4-1：AD 为△ ABC 的中线，且∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证： BE ＋CF ＞ EF 证明：延长 ED 至 M ，使 DM=DE ，连接 CM ， MF 。在△ BDE 和△ CDM 中， BD 中点的定义 ) A CD( ∵ 1CDM (对顶角相等 ) ED MD ( 辅助线的作法 ) E F ∴△ BDE ≌△ CDM （SAS ） 2 3 4 C 1 又∵∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 （已知） B D ∠1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝ 180°（平角的定义） ∴∠ 3＋∠ 2=90°，即：∠ EDF ＝90° 图 4 1 M
初中几何辅助线技巧秘籍
初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1 O A B D E F C A D E
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三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O
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课程既有理论指导，又有大量的教学实例，同时还有主讲教师间的相互交流，给教师们提供了较为广阔的思考空间。 【学习要求】 1(对“初中数学空间与图形”模块的内容结构和主线有清楚 2 的认识，能够说出这些线索之间的区别与联系; 2(了解图形的性质部分的研究的图形有哪些，认识图形的哪些方面，以及在这部分中是如何认识这些图形的; 3(体会图形的变化是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 4(体会图形与坐标是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 5(能够结合自己的教学实践，举出相应的实例，说明图形的性质、图形的变化和图形与坐标的教学经验和方法; 6(理解核心概念——空间观念、几何直观和推理能力的具体含义，体会它们与知识技能的区别和联系，能够借助具体实例说出培养学生上述能力的途径和方法。 专题讲座 初中数学图形与几何 刘晓玫(首师大数学，教授) 史炳星(北京教育学院，副教授 ) 章巍(河北保定三中分校，高级教师 ) 3 一、图形与几何内容结构分析
初中平面几何辅助线专题复习
初中平面几何辅助线专题复习 目录 第01讲辅助线的初步认识 第02讲截长补短法 第03讲中点模型——倍长中线 第04讲三垂直模型 第05讲角平分线模型（一） 第06讲角平分线模型（二） 第07讲手拉手模型——全等 第08讲最短路径问题 第09讲平面直角坐标系中的几何问题
第01讲辅助线的初步认识 【知识提要】 初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容，同时也是学生学习的难点之所在。当 问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立 已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 辅助线的添加通常有两种情况： 1.按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线 段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往 往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫 做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 本节课我们就以启东作业中的问题为例，来介绍常见的辅助线的画法. 【典型例题】 例1：小春在做数学作业时，遇到一个这样的问题：如图，AB=CD，BC=AD，请说明 ∠A =∠C 的道理. BC=AD，所以只需连接BD，构造全等三角形即可. D
例2. 如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗？ 【思路点拨】要证明线段之间的不等关系，要将线段放在三角形中，利用三边关系来证明。△ABC 和△OBC 中无法解决，所以只需要将OB （OC ）延长交AC （AB ）于点D ，在△ABD （△ACD ）和△OCD （△OBD ）利用三边关系解决即可. 归纳：构造线段时辅助线的写法： 1. 连接**。例如：连接AB 2. 延长**。①例如：延长AB 交CD 于E 点；②延长AB 到E ，使BE = AB . 例题3：已知：如图AB ∥DE . 求证：∠B +∠C +∠D = 360° 【思路点拨】要证明这三个角的和是360°，可以 构造周角，2个180度或四边形的内角和来证明。 通过作平行线就可实现角的位置的转移，将角移动到 适当的位置。 归纳：构造平行线时辅助线的写法： 1. 过*作* ∥ *。例如：过点A 作AB ∥CD. 练习：叙述并证明三角形内角和定理。 例题4：已知：如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P 求证：点P 也在∠BAC 的平分线上。 【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线，要证明P 角平分线上，只需要过P 向AM 、AN 、BC 归纳：构造垂线，中线，角平分心线时辅助线的写法： 1. 垂线：过*作*⊥*于点*。例如：过点A 作AB ⊥CD 于点B . C E A N B
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初中数学平面几何建系专题
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自 己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置 的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置? （2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2 ）在同一
位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
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初中几何辅助线大全-最全 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC 分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方案：△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可 设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD （已知） ???/ CAE=Z DBE = 90 ° （垂直的定义） 在厶DBE与△ CAE中 E E（公共角） DBE CAE（已证） BD AC（已知） ? A DBE^A CAE （AAS ?ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等） ?ED- EA= EC— EB 即：AD= BC （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1 :在Rt△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证：BD= 2CE
分析：要证BD = 2CE，想到要构造线段2CE，同时CE
与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF （已知） ???/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定义） 在厶BEF与厶BEC中， 1 2（已知） BE BE（公共边） BEF BEC（已证） 1 ? △ BEF^A BEC（ASA ?- CE=FE」CF （全等三角形对应边相等） 2 ?// BAC=90 BE 丄CF （已知） ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF （已证） BDA BFC （已证） AB = AC（已知） ? △ ABD^A ACF （AAS ? BD= CF （全等三角形对应边相等）? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB 分析：由AB = DC ,ZA =/D，想到如取AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取BC的中点 M，连接MN，则由SSS公理有△ NBM也A CM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。 证明：取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN
初中几何辅助线大全
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形：
初中数学几何复习专题1
1 图7 O C B A 初中数学几何复习专题 【典型例题】 一、填空题 1、（08）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A +∠B=120°，则∠AN M= °； 2、（07）如图2，AD 是⊙O 的直径，AB ∥CD ，∠AOC=60°，则∠BAD=______度. 3、（08）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧 BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °． 4、（08佛山市）如图4，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点， 且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ． 5、（07广州市）如图5，点D 是AC 的中点，将周长为4㎝的菱形 ABCD 沿对角线AC 方向平移AD 长度得到菱形OB ’C ’D ’,则四边 形OECF 的周长是 ㎝ 6、（08茂名市）如图6，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB = 50°， 则∠OAC 的度数是 ． (1) （08梅州市） 如图7，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD=30米，则AB=______米． (2) （08梅州市） 如图8， 点 P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°，则 ∠AOB=_____度． (3) （09广东省） 已知⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_________cm. 图2O D C B A A M N B C 图1 O B D C A 图3 图4 B C D A P O C B A 图6 图8 图9 图5
中考数学专题初中几何辅助线几种常见添法培优试题.doc
2019-2020 年中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题 一、由角平分线想到的辅助线 1、截取构全等 例1：如图 1， AB∥ CD， BE 平分∠ ABC， CE平分∠ BCD，点 E 在 AD上。求证： BC=AB+CD。例2：已知，如图 2，AB=2AC，∠ BAD=∠ CAD， DA=DB。求证： DC⊥ AC。 例 3：如图 3，在△ ABC中，∠ C=2∠ B， AD平分∠ BAC。求证： AB-AC=CD。 2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等
例1：如图 4，已知 AB>AD，∠ BAC=∠ FAC， CD=BC。求证：∠ ADC+∠ B=180° 例 2：已知，如图5，△ ABC的角平分线BM、 CN相交于点P，求证：∠ BAC的平分线也经过点P。 3、作角平分线的垂线构造等腰三角形 例1：已知，如图 6，∠ BAD=∠ DAC， AB>AC， CD⊥ AD于 D，H 是 BC的中点。 1 求证： DH( AB AC) 例 2：如图 7， AB=AC，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC， CE⊥ BE。求证： BD=2CE。
例 3：已知，如图8，在△ ABC中， AD、 AE分别是△ BAC的内、外角平分线，过顶点B作 BF⊥ AD，交AD的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE于 M。 求证： AM=ME。 例 4：已知，如图9，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，AD=AB，CM⊥ AD交 AD延长线于 M。 求证： AM 1 ( AB AC) 。 2 二、截长补短法 例 1：如图 10，正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF。求∠ EAF的度数。
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初中几何辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线 作辅助线的方法 一、中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二、垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三、边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四、造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五、两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六、两圆相切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。 七、切线连直径，直角与半圆。
初中数学平面几何建系专题讲课讲稿
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?
（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
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初中几何辅助线—克胜秘籍 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线
很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线
高中数学竞赛专题讲座之解析几何
高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足） ，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3 [ D ．)1,2 3( 解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以 λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：????? =-+= y y x x 11)1(3λ λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33 [32132232 2∈-=-λλ λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D) A .212y x =- B .212y x = C .216y x =- D .216y x = 3．（2006年江苏）已知抛物线2 2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△ POF 是直角三角形，则这样的点P 共有 （ B ） ()A 0个 ()B 2个 ()C 4个 ()D 6个 4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122 22=-b y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两 点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ） （A ）22a b ab - （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2 2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程 13 cos 2cos 3 sin 2sin 2 2 =-+ -y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+ 即.3sin 2sin >又 ,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32 ,220>-∴<>∴<<< <ππ π方程表示的曲线是椭圆。 ) ()4 232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π
初中数学动态几何问题
中考数学专题 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． C M B （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥．（根据第一讲我们说梯形辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017 t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC
高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第四节解析几何的综合应用 文
高考数学精英备考专题讲座第六讲解析几何第四节解析几何的综合应用文 解析几何是历年高考的热点，每年高考卷上选择题、填空题、解答题都会出现，基本呈现稳定的态势，而且解答题难度较大，综合性强，且经常以压轴题的形式出现，入手容易但计算量大，又与其他知识综合命题，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍，是解题时的“鸡肋”、复习时如何突破这块知识点，是我们亟待解决的问题、难度值跨度比较大，在0、3～0、8之间、考试要求（1）了解直线、曲线的实际背景；（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其几何性质；（4）了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其几何性质；（5）了解圆锥曲线的简单应用；（6）掌握数形结合、等价转化的思想方法、题型一有关圆知识点的应用例 1、在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论、点拨：根据二次函数图象的特点：开口向上，与轴交点为可以得出b的范围、又由圆是过抛物线与坐标轴三交点的圆和圆的一般方程的特点，可以用来表示圆的一般方
程、再由方程的解和曲线方程的定义可以假设圆要过点且不依赖，将该点坐标代入圆的方程中，整理变形，再观察验证圆是否过定点、解：（1）令，得抛物线与轴交点是，令，由题意且，解得且、（2）设所求圆的一般方程为，令得，它与是同一个方程，故，F=b，令得，此方程有一个根为，代入得所以圆的方程为、（3）圆过定点、证明如下：假设圆过定点(不依赖于)将该点的坐标代入圆的方程,并变形为，为使式对所有满足的都成立，必须有，结合式解得或经检验知点均在圆上，因此圆过定点、、易错：（1）中学生很有可能直接解得而没；（2）中没有意识到令，与是同一个方程没解出，；（3）对方程不知道怎么下手，从而得不出、变式与引申 1、已知以点为圆心的圆与轴交于点、与轴交于点、，其中为原点、（1）证明：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程、题型二 圆锥曲线的定义及应用例2 ：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（）、（A）（B）（C）（D）点拨：利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式，建立方程组再求解、解：连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c、令由直角三角形性质知：，∴、∵ ，∴，∴ 、∵e﹥1，∴取、故选