柯西施瓦兹不等式的应用
柯西施瓦兹不等式的应用
(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的几种证明方法
思路一从代数式角度来考虑，由柯西不等式联想到完全平方公式，利用配方法可证。证明因为
(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=( a2c2+2abcd+b2d2)+( a2d2-2abcd+b2c2)=
(ac+bd)2+(ad-bc)2
而(ad-bc)2≥0。所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。
思路二从不等式的角度考虑，由柯西不等式的特点，可以联想借助均值不等式来证。
证法1要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立，只要证a2c2+2abcd+b2d2≤
a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，即证2 abcd ≤a2d2+b2c2。
由均值不等式可得2abcd≤a2d2+b2c2，因为2abcd≤2abcd,所以
2abcd≤a2d2+b2c2，于是柯西不等式得证。
证法2要证ac+bd≤○1
=B，○2则○1即ac+bd≤AB，○3
当A=0或B=0时，命题显然成立。
如果A≠0且B≠0，则由均值不等式可得
2ac AB ≤
2
2
a
A
+
2
2
c
B
，
2bd
AB
≤
2
2
b
A
+
2
2
d
B
。
两式相加，得
2
AB
（ac+bd）≤
22
2
a b
A
+
+
22
2
c d
B
++
, ○4
由○2，○4两式得ac bd
AB
+
≤1，即ac bd
+≤AB，因为
ac b d
+≤a c+b d，所以ac b d
+≤AB，因此不等式○3成立，于是柯西不等式得证。
思路三从函数与方程的角度考虑，由柯西不等式的特点联想到一元二次方程的判别式，构造二次函数可证。
证明当a，b全为零时，命题显然成立，如果a，b不全为零，考察二次函数f(x)=( a2+b2)x2-2(ac+bd)x+( c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2,因为对于任意实数x
均有f(x) ≥0。所以f(x)=0的判别式
22222
[2()]4()()0
ac bd a b c d
?=-+-++≤，故
22222
()()()
ac bd a b c d
+≤++。
思路四从向量的角度，由ac bd
+联想到向量内积，运用向量的内积易证。
证明 设(,)a a b =，(,)b c d =，则cos ,a b a b a b ?≤<>，且
cos ,1a b <>≤，所以a b a b ?≤
，即ac bd +≤。
因此22222()()()ac bd a b c d +≤++。
思路五 从复数的角度考虑，由柯西不等式可以联想借助复数的乘法与模的
知识来证。 证明 设12,(,,,)z a bi z d ci a b c d R =+=+∈，则
12()()z z a bi d ci =++=()()ad bc ac bd i -++.
因为1212z z z z =，所以()()ad bc ac bd i a bi d ci -++=++
，即
=222222()()()()ad bc ac bd a b c d -++=++。
思路六
从三角函数的角度考虑，观察柯西不等式的变形
1≤，
不难联想到两脚和与差的正余弦公式。 证明
20=
0≠，
要证柯西不等式成立，只要证ac bd +≤
，即证
1≤， ○
1
sin α=
cos α=
cos β=
，
sin β=。
则○
1式左边=sin cos cos sin sin()1αβαβαβ+=+≤。 因此不等式○
1成立，从而柯西不等式获证。 思路七 从解析几何的角度考虑，
的结构与点到直线的距
离公式类似，于是运用解析法可证。
证明 当a ，b 全为零时，命题显然成立。设a ，b 不全为零。建立平
面直角坐标系如右图所示。设点P 的坐标为P （c ，d ），则点P
到直线0ax by +=
的距离PM =
，
而OP =显
然有PM OP ≤
≤
ac bd +≤
，因此2()ac bd +≤。
二维柯西不等式在解析几何中的应用
由二维柯西不等式：设a b c d R ∈，则有22222()()()a b c d ac bd ++≥+。当且仅
当
a b
c d
=时，不等式取等号。可推证几个重要结论。 命题1 椭圆22
221x y a b
+=与直线0A x B y
C ++=有公共点的充要条件是2222
2A a B b C +≥
。
证明 由柯西不等式得
222
22222
22()()()()x y x y Ax By Aa Bb A a B b a b a b
+=?+?≤++。若
00(,)x y 是已知椭圆和直线的公共点，则满足22
00221x y a b
+=、
000Ax By C ++=，则上述不等式左边为2C ，右边为2222A a B b +，充分性得证。
若(,)x y 是直线上任意一点，则上述不等式左边为2C ，不等式可变形为
222222222x y C a b A a B b +≥+。因为22222
A a
B b
C +≥，所以2
2222
C A a B b +1≤。
必存在00(,)x y ，使得22
00221x y a b
+=，即椭圆与直线有公共点，必要
性得证。
命题2 双曲线22
221x y a b
-=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C -≤。
分析 将方程作适当调整，再利用柯西不等式可得
22
2
2
222222222()()(1)()(1)()y y x Ax By C Bb C B b C B b C b b a
=+=+?≤++=+。
命题3 椭圆
22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++
分析 作下列变换，令'0x x x =-，'0y y y =-。椭圆和直线的方程分别化为
'2'2
221x y a b
+=，''00()0Ax By Ax By C ++++=。由命题1即可获证。 命题4 双曲线22
0022
()()1x x y y a b
---=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++。
经坐标平移后，结合命题2即可获证。
说明 以上四命题中，不等式取等号的条件，是相应直线与曲线相切的充要条件，
可直接用于解决相关问题。
命题5 求证：点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =
。
证明 设(,)Q x y 是直线上任意一点，则0A x B y
C ++=，因为2
2200()()PQ x x y y =-+-， 220A B +≠，由柯西不等式得
222222000000200()[()()][()()][()()]()A B x x y y A x x B y y Ax By Ax By Ax By C +-+-≥-+-=+-+=++
所以，PQ ≥
。
000022x x y y Ax By C
A B A B
--++==-+时，取等
号，由垂线段最短得d =
。
值得一提的是，利用三维柯西不等式，可将上述五个命题推广到三维空间，去揭
示空间点与平面、平面与曲线位置关系的实质。
2 求极值
例1 求椭圆22
221x y a b
+=的切线夹在两条直角轴之间的线段的最小值。
解 设00(,)M x y 是椭圆上任一点，则
22
00221x y a b
+=，经过M 点的切线为l ：00221x x y y a b +=。l 与x 、y 轴
分别相交于点20(,0)a P x 、2
(0,)b Q y 。
2
PQ =2222
22220000a b a b x y x y ????????????
+=+ ? ? ? ?????????????
2
22222
00002200()x y x y a b a b a
b x a y b ????+≥?+?=+?? ?????。当且仅当
2200331x y a b a b ==+
，即0x =
0y =于是min PQ a b =+
例2 直线l 经过第一象限内的点(,)M a b ，与x 、y 轴的正半轴相交于
点P 、Q ，求线段PQ 的最小值，及取得最小值时直线的方程。
解 设l 的方程为
1x y m n +=(,0)m n >，则1a b
m n
+=，引进待定系数22()a b αα+ ()R α∈。 由柯西不等式得
22222
()()()m n a b ma nb αααα++≥+2222()1()(
)a b ma nb ma nb m n αααα=+?=++2[()()]a b
ma nb m n
αα=+
+2
2
??
?≥ ??
?
4= 当且仅当
m n a b αα
=时，第一个不等式取等号；当且仅当
=
，即
112
2
m n
a
b
αα--=时，第二个不等式取等号。
因此当且仅当两个等号同时成立时，即12αα-=
，即1
3
α=时2
222
33()()m n a b ++224
33()a b ≥+取等号
所以PQ =223332()a b ≥+，223332
min ()PQ a b =+
；此时
n k m =-
=∴l
：)y b x a -=-。 3 求参数的取值范围
例3 求使直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点的θ的取
值范围(0)θπ≤≤。
解 由柯西不等式
222(cos sin )x y θθ=
+(cos )x θθ=?22221
(3)(cos sin )3
x y θθ≤++226cos 2sin θθ=+。
解得21cos 2θ≥
，即cos θ≥
，或cos θ≤。因为0θπ≤≤，所以04
π
θ≤≤
或
34
π
θπ≤≤。 例4 双曲线222916x y r -= (0)r >与直线2x y +=有公共点，求r 的取值范围。
解 要使直线与曲线有公共点，由柯西不等式
2
2
(2)x y =-2
21()44r y r ??
=?+-? ???
2241()916x r =+?
消去非零x ，整理得 2
2
247
r ≤
由0r >
，那么0r <≤
。 4 求直线与曲线相切状态下的方程
例5 求经过222x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程。
解 由00(,)M x y 在圆上得22200x y r +=，由柯西不等式
4222200()()r x y x y =++200()x x y y ≥+。
所以200x x y y r +=为已知圆的切线方程。因为00(,)M x y 满足
200x x y y r +=，所以200x x y y r +=为要求的切线方程。
例6
求经过点(5,1)P 与椭圆22
(2)(3)194
x y -++=相切的切线方程。 解 设直线方程为0Ax By C ++=，由经过点(5,1)P 得(5)C A B =-+。
于是直线方程可表示为(2)(3)34A x B y A B -++=+。由柯西不等式
得22(34)[(2)(3)]A B A x B y +=-++2
(2)(3)3232x y A B -+?
?=?+? ???
222
2
(2)(3)(94)94x y A B ??-+≤++ ???
22
94A B =+。
直线与椭圆相切时不等式取等号，即222(34)94A B A B +=+，解得0B =，或2B A =-。所以， 要求的切线方程为50x -=和230x y --=。
例7
已知直线(1)y x tg θ=-与双曲线22cos 1x y θ-+=相切()2
2
π
π
θ-
<<
，
求切线方程和切点坐标。
解 由柯西不等式
222(1)y x tg θ=-22[11(1)]x tg θ=?+- 222(1)x tg θ≤+2222cos y tg θθ=222sin y θ=
?21sin 2θ≥
当且仅当111x =-。即1x =-时，21sin 2θ=，此时，由22
ππ
θ-<<得
4
π
θ=±
。所以1y x =-和1y x =-；切点为(1,2)-±。
研究直线与圆锥曲线的常规方法是，采用代入消元，化为一元二次方程，然后利用根的判别式求解，因这类问题常含有待定字母。导致解题过程冗长，计算繁琐。从以上诸例可以看出，引用柯西不等式解决直线与有心圆锥曲线的位置关系问题，可以减少计算、增强直观。一些题目通过观察、简单拼凑。即可达到目的，并且解题后易于复查。所以，适当引用柯西不等式解决几何含参问题，确实是一
个十分有效的好方法。
概率方法在不等式证明中的应用
一 Cauchy-Schwarz 不等式变形讨论
Cauchy-Schwarz(柯西-施瓦兹)不等式在不同的空间对应着不同的形式，这些不同形式的不等式广泛用于函数论、概率论、初等数学等方面，下面便是它不同空间上的几种常用变形。
母不等式：设ν是欧式空间，若ζ、ην∈，则2()()()ζηζζηη?≤?? （1）
上式等号成立的充要条件是ζ、η线性相关。
变形一：取n R ν=，令12(,,,)n a a a ζ= ，12(,,,)n b b b η= 则有
211()n n a b a b ++ 22212()n a a a ≤+++ 22212()n b b b +++ （2） 等号成立的充要条件是i i b ca =(1,2,)i n = ，C 为常数
由不等式（2）可得出下面变形分布图，运用它来证明不等式是没有固定模式可
循的，常常要通过分析、组合、凑配、放缩等技巧性变形，它在近年来国内外数学竞赛中有着广泛的应用。
11()()n n
k k k k k k
a a
b b ==?∑∑2
1()n k k a =≥∑ 11()()n n k k k k a b ==?∑
∑1n
k =≥
(0,0)k k a b >> (0,0)k k a b >>
↑ ↑ 2
2
1
1
(
)()n
n
k k k k a b ==∑∑21
()n
k k k a b =≥∑
↓
2
11()()n n
k k k k k
x a a ==∑∑21()n
k k x =≥∑
↓
2
1()n
k k k
x a =∑2
11
()()n
n
k k k k x a ==≥∑∑
↓
21()n
k k k k
x y z =+∑2
11()[()]n n
k k k k k x y z ==≥+∑∑
(0,0)k k y z >>
变形二：取ν是定义在[,]a b 上一切连续实函数所构成的实线性空间，设()f x 、
()g x ∈[,]a b ，则有2[()()]b
a
f x
g x dx ?2(())b
a
f x dx ≤?2(())b
a
g x dx ??。
推论：若()f x ，()g x 在[,]a b 上可积，则有明可夫斯基（Minkowski ）不等式，即
1
2
2
[(()())]b
a
f x
g x dx +?2(())b a f x dx ≤?2(())b
a
g x dx +?。 （3）
变形三：取ν为概率空间，对任意属于ν的ζ与η都有2
E ζη22E E ζη≤?，等号成立的
充要条件是0()P t ηζ=1=，0t 是某一常数。
推论：若e ζη是随机变量ζ与η的相关系数，则有e ζη1≤。
二 、应用举例
了解了Cauchy-Schwarz 不等式的几种变形后，对于不等式（2）、（3）的应用在数学领域的一些教科书及杂志上已有广泛的介绍，下面主要讲概率空间所对应不等式（4）在一些常用不等式证明中的应用，用于显示概率论思想在解决某些数学问题时所具的独特而简洁的功效。 例1，（平方——算术平均值不等式）
设0i a ≥，1,2,i n = ，则2
1
211
11()n n
i i i i a a n n ==≤∑∑且等号成立的充要条件是
12n a a a === 。
证明 设二维离散型随机变量ζ、η的联合概率分布为
(,)i i P x y ζη==1n
=
(,)i i P x y ζη==0= ()i j ≠
1,2,i n = ，1,2,j n =
则ζ、η的边际概率分别为1()i P x n ζζ==
，1
()i P y n
ηη== 令0i i x a =≥，1i y = 有E ζη11n
i i a n ==?∑11n
i i a n ==∑
2
E ζ21
1n
i i a n ==?∑2
11n i i a n ==?∑
2
E η1
1n
i i y n ==?∑111n
i n ==?∑1=
由不等式（4）有2
11()n i i a n =∑21
1n i i a n =≤∑且等号成立的充要条件是12111n a a a === 开方得
11n i i a n =∑1
221
1()n i i a n =≤∑且等号成立的充要条件是12n a a a === 。
柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴
(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
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柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc ≥ =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
柯西不等式的应用技巧修订稿
柯西不等式的应用技巧 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设12 12,,,R n n a a a b b b ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中 作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代 换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中 每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因 此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设 ,,R x y z ∈ ，求证：22 -≤≤． 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到 时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子 的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=
柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证
柯西不等式各种形式的证明及其应用培训资料
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈L L ，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===L 或120n b b b ====L 时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b L L 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈ ，求证：≤≤ 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 例７ 设,1 21+>>>>n n a a a a K 求证：
练习题 1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++= (1) 求t 的最小值； (2) 当21 =t 时，求z 的取值范围 2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。 (1) 求()222149a b c +++的最小值； (2) 2≥ 3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足：1=++ca bc ab ，求 的最大值． 4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数，且12 1,x y += 求221 2 2x x y y +++的最小值； 5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, ， 求证：1222≥+++++b a c a c b c b a 6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=． 证明：222 2()()()4 ()3a c b a c b a c a b c ---++≥-，并求等号成立时,,a b c 的值． 7 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++= ≥ 8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ，y ，z 满足1543=++z y x 求x z z y y x +++++1 1 1 值．
柯西不等式的应用及推广
浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方 面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract 】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words 】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 ()n i n i i n i i n i i i b a b a , ..., 2,11 2 1 2 2 1====∑ ∑ ∑≤?? ? ?? 当且仅当 n n b a b a b a = == ...2 21 1时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当021====n a a a 或021===n b b b 时，不等式显然成立 令∑ == n i i a A 1 2 ∑ == n i i i b a B 1 ∑ == n i i b C 1 2 ， 当n a a a ,,,21 中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数()C Bx Ax x f ++=2 2 2，展开得：
柯西不等式各种形式的证明及其应用之欧阳光明创编
柯西不等式各种形式的证明及其应 用 欧阳光明（2021.03.07） 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到 的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()22222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑
向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数， n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++ ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
专题三 柯西不等式的应用
专题三 不等式的证明 （柯西不等式） 1．下列不等式的证明明过程： ①若a ，b ∈R ，则 ②若x ，y ∈R ，则 ； ③若x ∈R ，则 ； ④若a ，b ∈R ，ab ＜0，则． 其中正确的序号是 ． 2．设a ，b ∈R + ，a+b=1，则+的最小值为（ ） A.2+ B.2 C.3 D. 3．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则与 的大小关系为 ． 4．已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=0，abc ＞0，则++的值（ ） A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正负不能确定 5．若不等式（﹣1）n a ＜2+ 对任意n ∈N * 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.[﹣2，） B.（﹣2，） C.[﹣3，） D.（﹣3，） 6．设a ，b ，c ∈（﹣∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是 ①都不大于﹣2 ②都不小于﹣2 ③至少有一个不小于﹣2 ④至少有一个不大于﹣2． 7．定义在R 上的函数f （x ）=mx 2 +2x+n 的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m ，n 都有不等式 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A.2013 B.1 C. D. 8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，A=，B=，则（ ） A.A ＞B B.A ＜B C.A≥B D.A≤B 9．设正实数x y z 、、满足0432 2 =-+-z y xy x ，则当 取得最小值时，2x y z +-的最大值为（ ）
10．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x , ） A ．0 B ．1 C D ．3 11．（2012?湖北）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2 +b 2 +c 2 =10，x 2 +y 2 +z 2 =40，ax+by+cz=20，则=（ ） A. B. C. D. 12．用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ） A. B.3 C.4 D.5 13．若23529x y z ++=，则函数 ） 14．对任意正数x ，y 不等式（k ﹣）x+ky≥ 恒成立，则实数k 的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 15．已知x 2+4y 2+kz 2 =36，且x+y+z 的最大值为7，则正数k 等于（ ） A.1 B.4 C.8 D.9 16．设x 、y 、z 是正数，且x 2+4y 2+9z 2 =4，2x+4y+3z=6，则x+y+z 等于（ ） A. B. C. D. 17．已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ） A.2 B.2 C.2 D. 3 18．实数a i （i=1，2，3，4，5，6）满足（a 2﹣a 1）2+（a 3﹣a 2）2+（a 4﹣a 3）2+（a 5﹣a 4）2+（a 6﹣a 5）2 =1则（a 5+a 6）﹣（a 1+a 4）的最大值为（ ） A.3 B.2 C. D.1 19．设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝10，x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a b c x y z ＋＋＋＋等于( )． A.14 B.13 C. 12 D.34
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的 方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用 【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出 了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++
其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设a 1,a 2L a n ,bi,b 2L b R ，则 其结构对称， 用极大.应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等, 方法灵活，技巧性强. 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每 一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构 造两组数：a i ,a 2L a n 和bRzL b ，便是应用柯西不等式的一个主要技巧. 例 1 已知 x,y,z R 且x 2y 2z 5,求(x 5f (y i f (z 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数, 常常需要变形，拆项就是一个变形技巧. 例3 设a 、 2 求证： a b 三、巧添项 根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也 是运用柯西不等式的解题技巧. 例4 a,b,c R 求证：-^ b c c a a b 四、巧变结构 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 认清其内在的结构特征， 就可达到运用柯西不等式的目的. b 为非负数，a +b=1，x i ,X 2 R 求证: (ax i bx 2)(bx i ax 2) X 1X 2 (a i 2 2 a 2 a n 2 )(bi 2 b 22 L b n 2) (aQ a 2b 2 L aQ)2 当且仅当 a i b i a 2 b 2 a —或bl b 2 L b n 0时等号成立. b n 形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作 3）2的最小值. 例2 设x,y, z R ，求证：迈 2 2 2x y z_ ~~2 z 722 2 当这两组数不太容易找到时, b 、 c 为正数且各不相等, 2 2 9 b c c a a b c 形式结构, 例6 a 、 但是只要我们改变一下式子的
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设12 12,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设 ,,R x y z ∈ ，求证：22 -≤≤． 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 例７ 设,1 21+>>>>n n a a a a 求证： 练习题
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧 Prepared on 22 November 2020
柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设12 12,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设, ,R x y z ∈ ，求证：22 -≤≤． 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 例７ 设,1 21+>>>>n n a a a a 求证： 练习题
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设 a 1,a 2L a n ,b 1,b 2L b n R ，则 当且仅当L 色或b b> L b n 0时等号成立. bi b 2 b n 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大. 应 用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧 性强. 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因 式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数： a i ,a 2L a n 和b^b z L b ，便是应用柯西不等式的一个主要技巧. 例 1 已知 x,y,z R,且x 2y 2z 5求(x 5)2 (y 1)(z 3)2的最小值. 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需 要变形，拆项就是一个变形技巧. 例3 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求 证： 2 2 2 9 a b b c c a a b c 三、巧添项 根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也是运用 柯西不等式的解题技巧. a, b,c R 求证: 四、巧变结构 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结 构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的. 例 6 a 、b 为非负数，a + b=1， x 1, x 2 R 1 例5.若 a>b>c ，求证： a b 练习题 例2 设x, y,z R ，求证: 22 2 2x y z ,x 2 2y 2 z 2 .22 2 求证：(a% bx 2)(bx 1 ax 2) x 1 x 2 例7 设a 1 a 2 a n a n 1 , 求证:
柯西不等式的应用篇
柯西不等式的应用篇 The following text is amended on 12 November 2020.
柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 =()()()22221221122 22 212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22 12 0n n a a a +++≥ 即()()() 2 2221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2 2 22 222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()222 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立 设A=2 2221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =++ + 则()()2 12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A 当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立
柯西不等式各种形式的证明及其应用
2 .2 2 a b c d 2 ac bd 等号成立条件: ad bc a/b c/d 扩展：a ： a ；a f a 〔b i a ? b ? a s b s a n b n 等号成立条件：ai : b| a 2 :b 2 a n ：b 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西 (Cauchy)在研究数学分 n 2 2n 析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 a k 2 S 2 k 1 k 1 k 1 式应当称为Cauchy-Bu niakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地 步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中， 令n 2,a 1a, a 2b,D c,b 2d ,得二维形式 当a 0或b 0时，a i 和b 都等于0, 不考虑 a i : b,i 1,2,3, ,n 二维形式的证明: 2 2 2 2 a b c d a,b,c,d R 2 2 a c .2.2 b d 2 . 2 . 2 2 a d b c 2 2 a c 2abcd b 2d 2 a 2d 2 2abcd b 2c 2 2 2 ac bd ad bc ac 2 bd 等号在且仅在ad bc 0 即ad 二be 时成立 三角形式
■- a2 b2. c2 d2 a c $ b d 等号成立条件：ad bc 三角形式的证明：