高三上学期期中联考数学(理)试题

高三上学期期中联考

数学（理）试题

审题学校：考试时间：120分钟试卷总分：150分

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合{1,2,3,4,5}

A=,{(,),,}

B x y x A y A x y A

=∈∈-∈；,则B中所含元素的个数为（）

()A3()B6()C8()D10

2、已知ln

xπ

=，

5

log2

y=，

1

2

z e-

=，则（）

()A x y z

<<()B z x y

<<()C z y x

<<()D y z x

<<

3、任意的实数k，直线1

+

=kx

y与圆2

2

2=

+y

x的位置关系一定是（）

()A相离()B相切()

C相交但直线不过圆心()

D相交且直线过圆心

4、函数()sin cos()6

f x x x

π

=-+的值域为 ( )

()A[]

2,2

-()B3,3

??

-??()

C[]1,1

-()D

33

,

22

??

-??

??

5、函数

1

(0,1)

x

y a a a

a

=->≠的图象可能是（）

6、设,x y∈R，向量(,1),(1,),(2,4)

a x

b y c

===-且//

,

⊥，则a b

+=

r r

（）

()A5()B10()

C25()

D10

7、已知等差数列{}n a的前n项和为n S，55

a=，

5

15

S=，则数列

1

1

n n

a a

+

??

??

??

的前100项和为

（ ）

()

A 100101 ()

B 99

101

()C 99100 ()D 101100 8、设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a x =上一点，12PF F ?是底

角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为 （ ）

()

A 12 ()

B 23 ()

C 34 ()

D 4

5

9、设点P 在曲线1

2

x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为 （ ）

()A 1ln2- ()B

2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+

10、过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ?的面积为 （ ）

()

A 2

2

()B 2 ()C

32

2

()D 22 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共计28分。） 11、曲线3

3y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ．

12、已知集合},32|{<+∈=x R x A 集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -=I 则

m =__________，n =__________.

13、设α为锐角，若4cos 65απ?

?+= ??

?，则)122sin(π+a 的值为 ．

14、在ABC ?中，2AB =，3AC =，1AB BC ?=u u u r u u u r

，则BC = .

15、已知函数1

12--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是

_________.

16、椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是____________。

17、数列{}n a 满足1(1)21n

n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为

三、解答题：（本大题共5小题，共计72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

18．（本题12分）已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，

cos 3sin 0a C a C b c +--=，（1）求A ； （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c .

19．（本题14分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且

27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .

（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；

（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=-Λ，*N n ∈，求n T （*

N n ∈）.

20．（本题14分）已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ，(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ，设函数

()f x λ=?+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1

(,1)2

ω∈.

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π

(,0)4

，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.

21．（本题16分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为

3

4

. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M 的横坐标为2，直线1

:4

l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当

122

k ≤≤时，22

AB DE +的最小值. 22．（本题16分）已知函数()f x 满足满足12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2

1()2

f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.

金兰合作组织2012学年第一学期高三数学（理）期中答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中。）

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

20．（本题满分14分）

21．（本题满分16分）

225'()828f t t t =--

，当554t ≤≤时，5'()'()64f t f ≥=，()f t 在5,54??

????

递增，故当54t =，即12k =时，有最小值

13

2