卫星通信第2章 卫星轨道、星座和系统概念

第二章 卫星轨道、星座和系统概念

本书的这一部分讲述卫星轨道机制这一主题，讨论卫星与地面终端之间的一些几何关系。同时介绍几种用于建立起区域或全球卫星系统的不同卫星星座。

§2.1卫星轨道

在17世纪早期，Johannes Kepler 发现一些重要的行星运动特性，这些特性被总称为Kepler 定律。

—第一定律（1602）：行星在一个平面内运动；轨道为环绕太阳的椭圆，且太阳在该椭圆的一个焦点上；

—第二定律（1605）：太阳与行星之间的线在相同的时间间隔内扫出相同的面积。

—第三定律(1618)：轨道周期T 的平方和轨道椭圆主半轴a 的立方之比值，对所有行星而言，是相等的。

这些定律适应于受引力作用的任意二体系统，因此也能够用来描述卫星环绕地球的运行。轨道力学机制的广泛处理详见教材书[BMW71，MB93，Dav85]。

2.1.1 椭圆和圆周轨道

图2.1表示了遵循Kepler 第一定律的椭圆卫星轨道的几何体制。卫星轨道呈椭圆形，其中地球位于它的一个焦点上。这个椭圆由两个参数确定：长半轴a 和短半轴b 。椭圆的形状也可以由数字离心率来描述 a

apogee ——远地点

perigee ——近地点

由这一参数：焦点到椭圆中心的距离可以被表示为e ·a 。卫星到地球中心的距离定义为半径r 。轨道的半径最小点定义为近地点p r r =。轨道的半径最大点定义为远地点a r r =。

由Kepler 第二定律可以推理出卫星在近地点附近运行快，在远地点附近运行慢。由图

2.1以及公式（2.1）我们可以建立起下面的关系式：

2

a p

r r a += a p a p

r r e r r -=+ (1)a r a e =+

(1)p r a e =- （2.2）

卫星与地球中心和近地点的连线所成夹角θ通常被称为“真近点角”。这一夹角能够被用来确定卫星沿椭圆轨道的半径r ：

2(1)1cos a e r e θ

-=+ （2.3） 卫星与椭圆中心和近地点的连线所成夹角E 定义为“偏近点角”，其与θ的关系式可以如下表示：

cos cos (cos )1cos a E e E e r e E

θ-=

-=- （2.4） 时刻t 与过近地点的时刻p t 之间的时间间隔和偏近点角E 的关系式可以如下表示： 2()sin p t t E e E T

π-=- （2.5） 其中T 是卫星的轨道周期，2()/p t t T π-称为平近点角。用公式（2.4）和（2.5）时间可以导出为角度θ的函数()t θ。但是，由于公式（2.5）的反函数不能够解出，()t θ随时间的变换必须由数字确定。

卫星距地球表面的高度h 如下式所示

e h r R =- （2.6） 其中e R 为地球的半径。因此，在远地点的轨道高度为a a e h r R =-；在近地点的轨道高度为p p e h r R =-。事实上，地球并非一个理想的球体，而是在两极存在一定的扁率。在本书的以下章节中，我们将用6378e R =km 来表示平均赤道半径1。（两极处的地球半径为6357km ，而地球表面的平均半径为6371km 。）

圆形卫星轨道 圆形卫星轨道是椭圆轨道在离心率为0的一种特殊情形，即0e =。因此，a p a b r r r ====。此时，地球位于圆形轨道的中心，卫星高度e h r R =-为常数。而且，时间t 与真近点角遵循如下的关系式

2()t t T

πθ= （2.7） 2.1.2卫星速度与轨道周期

Isaac Newton 拓展了Kepler 的研究并于1667年发现了万有引力定律。这一定律规定具有质量m 和M 的两个物体在距离为r 时，相互之间具有如下的万有引力

2

g mM F G

r = （2.8） 此处，11226.673210/G Nm kg -= ，为万有引力常数。 对于环绕地球的卫星轨道而言，m 表示卫星质量，245.973310e M M kg == 为地球本身的质量。由势能和动能组成的整个机械能为恒量：

222m m m r a

υμμ-=- （2.9）

其中32398600.5/e GM km s μ==。因此，可以推导出椭圆轨道上的卫星速度υ如下式：

υ= （2.10）

圆轨道()r a ≡情形上式可以简化为

υ= （2.11）

公式（2.11）表明在圆形轨道上卫星的速度为常数，这一结论与Kepler 第二定律一致。由此可以得出轨道周期如下

22r

T πυ== （2.12） 根据Kepler 第三定律，椭圆轨道上的卫星轨道周期可以推广为

2T π= （2.13） 至此为止我们所讨论的卫星轨道力学机制都是基于这样的假设：地球是一个质量密度分布均匀的理想球体；整个机制中除了地球与卫星外没有其他质点为空空间，除了地球与卫星外不存在任何其他产生万有引力的星体。在这种理想情况下，卫星轨道在所有的时间内将保持为常量。

2.1.3轨道平面的定位

这一部分我们讲轨道平面在空间中的定位。在上面所提到的理想情况下，轨道是恒星定位的（也就是根据恒星来定位），并且不受地球旋转的影响。图2.2表示了描述轨道定位的参数。

倾斜角i ——定义卫星轨道平面和赤道平面的夹角。正方向为沿轨道平面向上。两平面的交线称为节点线。当卫星进入北半球时就会经过节点线。

上升节点的右上升角Ω——定义参考方向和节点线之间的夹角。参考方向指的是春分时由地球中心指向太阳的方向。同样，这一方向也对应于赤道平面与黄道平面的交线。参考方向在太空中是固定的。（这些平面的交线会随着地球旋转的摇动而发生一定的变化。详见参考文献[MB93]）

近地点变量0ω——定义节点线和椭球主半轴之间的角度。这一参数只与椭圆轨道有关。 因此卫星的位置完全由这六个轨道参数确定：椭圆的主半轴a ，离心率e ，倾斜角i ，上升节点的右上升角Ω，近地点变量0ω，真近点角θ。这些参数通常被称为Kepler 要素。Kepler 要素在卫星的寿命周期中会随着轨道的扰动而发生变化。官方数据（例如北美航空航天国防部（NORAD ））会定期对所有的在轨卫星进行更新和发布。

2.1.4典型的圆形轨道

除了椭圆轨道和圆形轨道的区别，卫星的高度h 和倾斜角i 是最重要的轨道参数。对圆形轨道，轨道周期T 和高度h 的关系式可以由公式（2.12）推导出，如下

e h R = （2.14） 从上式看来，卫星的轨道周期T 应优先选择为一天的整约数(1,2,4,6,12,24)T h =，因为在这种情况下，卫星会逐日重复性地周期出现在同一位置。然而，某些轨道周期是不能选择的，因为选择这些周期会导致相应的卫星高度掉入范艾伦辐射带中，这是一些具有高度集中离子的电离层，因此必然会导致卫星寿命的减少。图2.3表示了由公式（2.14）得出的卫星周期和其高度的关系。

由此，可以定义三个卫星布轨区域：

近地轨道（LEO ）——卫星高度为地球上空500-1500km ，周期大约为2h 。

中地轨道（MEO ，它的另外一个同义词为ICO ：中圆形轨道）——卫星高度为地球上空5000-10000km ，周期大约为4-6h ，

对地相对静止轨道（GEO ）——卫星高度为地球上空35786km ，周期为24h （GEO 的准确轨道周期为2356min 4.1e T T h s ==）。

因为GEO 卫星与地球一样以相同的旋转周期东向旋转，在地球上的观察者看来，卫星似乎是静止在赤道的上空。必须注意的是GEO 卫星的倾斜角0i ?=。如果35786h km =但是0i ?≠，则卫星不再“静止”，但是，它仍然会具有与地球相同的旋转周期。此时的轨道被称作对地相对静止轨道。与此相对的是，周期24T h <的LEO 和MEO 轨道都被称作非对地相对静止轨道。

另外一种轨道分类方法遵循倾斜角特性：

近赤轨道——卫星没有倾斜，即倾斜角0i ?

=。

倾斜轨道——通常倾斜角4080i ??=-。

两极轨道——通常倾斜角大约90?，有时倾斜角超过90?，比较2.1.5部分。 2.1.5轨道摄动

地球并非一个理想的球体，且地球的质量密度分布不均匀，因此必然会导致额外的高阶万有引力作用于卫星。这些力导致椭圆在轨道平面内缓慢旋转以及轨道平面绕地球的南北轴线旋转。

RAAN （上升节点的右上升角）的漂移由[MB93]可以看出RAAN Ω的漂移总计为

3.5229.964()cos (1)e R i e a ?Ω=--

（2.15） 单位为度每太阳日。对90i ?<上升节点漂移到西边（0Ω< ），对90i ?>上升节点漂移到东边（0Ω> ）。对两极轨道（90i ?

=），上升节点的朝向根据恒星的位置保持固定不变。 太阳同步轨道地球以每天0.9856?的角速度绕太阳旋转。在倾斜角90i ?>情况下，我们可以找到这样的角度i 使得按公式（2.15）的上升节点的东向漂移能够补偿地球扰太阳的旋转。 因此，根据地球和太阳的连线而确定的轨道平面的朝向保持固定且有利于卫星的照明。 近地点变量的漂移地球的扁平导致近地点在椭圆轨道平面内以如下的速率移动

3.52022

4.982()(5cos 1)(1)e R i e a

ω?=-- （2.16） 单位为度每太阳日[PSN93]。当63.4i ?=和116.6i ?=时，主半轴的朝向保持为常量。

因此这些情况下的倾斜角对于卫星轨道布局具有重要意义。例如：Molnija （12T h =）卫星

和Tundra 卫星（24T h =）的轨道倾斜角为63.4i ?=。Ellipso 系统使用太阳同步椭圆轨道，

其倾斜角为116.6i ?

=。

其他一些引起卫星轨道摄动的原因是：太阳和月球的引力，太阳辐射压力，大气层阻力（750km ≤高度的卫星会受到影响[Ric99]），由于卫星推进力所引起的轨道变形。 2.1.6地面轨迹

这一部分导出了卫星位置的时变坐标系。首先，我们想引进这样的坐标系统：使得能够把卫星位置与球形的或笛卡尔以地球为中心的坐标系统联系起来，比较图2.5。在一个以地球为中心原点的球形惯性坐标系中，地球表面的任意一点由两个角度坐标确定，纬度?和经度λ，以及一个从原点的距离r （为了简化，地球表面的距离r 可以假设为常数，为平均赤道半径6378e R km =。）。经度λ（0360λ??

≤<）的正方向为从最初的“格林威治”子午线向东。

纬度?（9090???

-≤≤）确定在每一个经过南北极的经度大圈上的位置。纬度的正方向为从赤道（0??

=）向北。

同样，惯性系统可由极坐标系统来进行描述。假设x e ，y e 和z e 为地球为中心原点的笛卡尔坐标系的正交归一化基向量。z 轴指向地理的北极，x 轴指向最初的子午线。由于地球的自转这一坐标系统就成为惯性系统，也就是说，地球上的某一固定点P 在地球转动的过程中不改变它的几何坐标(,,)p p p x y z 或者(,,)r λ?。

笛卡尔坐标和极坐标可由下面的公式进行相互转换

弧切角在四个象限的定义如下

现在的目标是计算卫星的轨迹((),())s s t t λ?，也就是卫星相对于旋转的地球的坐标。计算步骤如图2.6所示。由球形三角法可以把卫星在t 时刻的纬度()s t ?表示为从上升节点至卫星的角度延长()t ω的函数

sin ()sin sin ()s t i t ?ω= （2.19）

延长ω与真近点角θ的关系式为

0()()t t θωω=- （2.20） （比较2.1.1部分）而且，由球形三角法可以得到下式

0cos ()cos(())cos ()s t t t ?λλω-= （2.21） 此处，()t λ卫星对非旋转地球的经度，0λ表示上升节点的经度。0t 表示卫星经过上升节点的时刻。为了包含地球的旋转e Ω ，我们不得不考虑在时刻t 参考子午线已经改变了它的恒星朝向，变动为0()e e t t λ?=Ω- ，其中2/e e T πΩ= 为地球的角频率。所以，我们得到的地理卫星经度s λ为

通常，由于地球的转动卫星的轨迹在经过一周旋转后并不相近。相近的轨迹在轨道周期e m T T n

=?，（其中,m n 为整数）时获得。如果m 和n 不是彼此的约数，则轨迹在经过n 圈旋转后相近。图2.7示出了卫星地面轨迹的典型例子。轨迹上的高纬度点称为顶点并对应于倾斜角i 。

§2.2卫星——地球几何学

本部分讲述卫星与用户终端之间的基本几何关系。其他一些几何关系如卫星点波束的激发和观察绘图详见附录A。

2.2.1卫星和地球终端的几何关系

卫星与地球上的用户终端之间的几何关系如图2.8所示。

卫星在地球上的投影称为“亚星点”（SSP）或者“天底”。重要的参数如下：

仰角ε——用户在地平线以上的这个角度上能够看到卫星；

天底角?——从卫星上看用户对天底的偏差；

地球中心角ψ——亚星点和用户所成的夹角；

倾斜范围d——用户终端与卫星之间的距离。

三角形STN和OTS的sin和cos规律给出了地球中心角ψ，仰角ε和天底角?之间的关系式：

倾斜范围d可以由下式计算

天底，仰角和地球控制角对地理坐标系的从属关系假设,t t λ?表示预订户终端的经度和纬度。从球形本身来考虑，用户和天底之间的地球中心角服从下面的关系式

对GEO 卫星纬度是近赤道的（0s ?≡），则公式（2.27）简化为

仰角ε值，卫星天底角?和距离d 可以由用户终端与卫星位置之间的函数用式（2.27）和（2.23）－（2.26）计算出来。

对时间的从属关系因为非对地相对静止卫星相对地球上固定的地面站是运动的，所以几何关系随时间变化。用卫星轨迹公式（2.19）和（2.22）可以得出从属于时间的距离和仰角。图2.9示出了过头顶的MEO 和LEO 卫星的随时间变化的仰角以及70?和40?的一段仰角变化。

2.2.2覆盖面积

卫星的覆盖面积或足迹被定义为地球表面的一个区域，在此区域上可用大于给定的最小仰角min ε看到卫星，见图2.10。阈值min ε定义了覆盖面积的边界。对某一既定的轨道高度，覆盖

角max ψ对应于确定的最小仰角min ε。最小仰角min ε是一个重要的系统参数，因为对一个全球覆盖系统而言，它直接对需要的卫星数目和轨道产生影响。读者应该注意到最小仰角受卫星天线和链接预算导出（比较3.1.1部分），因为覆盖面积从通信的角度也可以看作是卫星能够提供足够的信号强度用于信息交换的区域。

由几何学定义的卫星覆盖面积是一个覆盖在地球表面的球形帽。它的轮廓线有下面的参数之一确定，这些参数在2.2.1部分的等式中相互关联：最小仰角min ε，最大天底角max υ，最大倾斜范围max d ，或覆盖角max ψ。由图2.10可以看出，卫星高度h 越大，最小仰角min ε越小，覆盖面积越大。覆盖面积的程度（弧长）由下式给出

max ψ以弧度表示。

卫星在不同类型的轨道上的几个最小仰角下的覆盖面积如图2.11所示。卫星在一次经过头顶飞行所经历的可视持续时间.,max vis T 为

此处忽略了地球的转动。

球形帽的面积可以如下计算

覆盖面积对整个地球表面面积24e e A R π=的比例可以由下式获得

§2.3卫星星座

单颗卫星只能为有限区域提供服务。为了扩大覆盖面积，一个卫星系统可以使用很多颗卫星。所有的卫星在这个系统中的集成称为星座。一个星座中的卫星通常具有相同的轨道类型，但有些系统（如Ellipso ，Orbcomm ）用不同轨道类型的混合。

当考虑一个拥有几颗卫星的星座时，整个的覆盖面积为所有卫星覆盖面积的并集。由于覆盖面积会发生重叠，通常星座的覆盖面积小于所有卫星的覆盖面积之和。而且，当卫星们不再相对地球静止时，星座的覆盖面积可能会随时间发生变化。从而，覆盖面积可以用即时覆盖面积来刻画，即由星座卫星们当前所处的位置来确定。星座的担保覆盖面积定义为地球上的这些区域：在这些区域中此时至少有一颗卫星是100%可见。担保覆盖面积是经度和纬度函数，并依赖于轨道和星座的类型。典型地，卫星在对地相对静止轨道和高椭圆轨道（HEOs ）提供的覆盖区域用几颗卫星就可以拓展到多区域服务。用GEO 卫星不可能达到全球覆盖，因为从GEO 位置信号不能到达两极地区。而且，GEO 卫星的仰角随其高度增加而减小。这时，倾斜地或极化的MEOs ，LEOs 和HEOs 能够以适度的高仰角提供服务。

多重覆盖如果卫星轨迹重叠，就会出现多重覆盖。例如，假如用户在一考虑到的同时看到了多颗卫星。这一多重可视性可通过卫星多样性概念用来提高服务有效性及质量，比较

3.4部分。

全球覆盖的卫星数目和轨道平面为提供全球覆盖，几颗卫星必须被布置在不同的轨道上。理论上，覆盖一次所需要的最少卫星数目可以用不重叠的球六边形进行估计。这样的一个六边形的面积为[WJLB95]。

α为六边形中的六个三角形的其中一个边缘角。在地球表面面积24e e A R π=和h A ，则最少要求的卫星数目为

值得注意的是，公式（2.35）假定一个“静止”的卫星星座，而没有考虑轨道随时间变化的特性。x ????表示向上取整。

另外一种近似由球帽的表面积2max 2(1cos )e R πψ-并考虑21%的重叠。因此

由公式（2.35）和公式（2.23）可以推导出卫星数目为高度及最小仰角的函数。图2.12表示了这种近似以及实际商业卫星星座应用的卫星数目。图中，单次和双重叠覆盖的范围由阴影给出。可以看出Iridium （铱星）和全球星都位于阴影范围的上界。但是，我们将会看到（比较图2.24）铱星星座由于其极轨特性仅提供单次全球覆盖，而倾斜的全球星系统在广大的地域内提供双次覆盖（比较图2.21）。这说明就要求的卫星数目而言，极轨星座不如倾斜星座效率高。

另外简单的考虑出全球星座覆盖系统所需要的轨道平面。研究位于赤道的情形。

理想状态下，六边形组成一沿赤道的连续线。每个轨道平面分布两颗卫星于赤道并覆盖max 3e R 的弧线。因此，一个星座中最少要求的轨道平面数P 为

2.3.1倾斜Walker星座

J．G．Walker[Wal77]研发了能够覆盖全球的具有同等轨道周期的位于一倾斜圆形轨道LEOs的N颗卫星星座系统。

2.3.2极星座

2.3.2异步极星座

§2.4 GEO系统概念