2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题

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2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题

试卷副标题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题

1．tan570°=（ ） A ．

3

B ．-

3

C D ．

2

2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

3．下列选项中，说法正确的是（ ）

A ．“20000x R x x ?∈-≤，”的否定是“2

000x R x x ?∈->，”

B ．若向量a b ，满足0a b ?< ，则a 与b 的夹角为钝角

C ．若22am bm ≤，则a b ≤

D ．“()x A

B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件

4．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11

a b a b

β+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

……外……………………装……………………○………………○……※请※※不※※要※※在※※装※※答※※题※※

……内……………………装……………………○………………○……

A ．8

B ．

83

C ．4

D ．

43

6．函数tan 4

2y x π

π??=-

??? 的部分图象如图所示，则 ()

OA OB AB +?=（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A ．

1

5

B ．

625

C ．

825

D ．

25

8．已知双曲线的两条渐近线与抛物线2

2,(0)y px p =>的

准线分别交于点

、

，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积

为3，则p=（ ）． A ．1

B ．

3

2

C ．2

D ．3

9．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一

……○…………______班级：________……○…………条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1 B

C D ．0

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

10．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．

11．在5

212x x ??- ??

?的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答）

12．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．

13．已知0x >，0y >，且211x y

+=，若2

22x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值

范围是______. 三、解答题

14．已知如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示。

…………○………………○……

（Ⅰ）求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若a ，b *N ∈，且b-a =6，求()P a X b ≤

≤最大值；

（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）

17．已知点()12P ，到抛物线C ：y 2=2px ()0p >准线的距离为2．

（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；

（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线P A ，PB ，分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ?的值． 18．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1e

e x

x -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g （x ）＞0；

（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）内恒成立. 19．如图，设A 是由n n ?个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij (i ，j =1，2，3，…，n )表示位于第i 行第j 列的实数，且a ij ∈{1，-1}.记S (n ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于()A n n ∈

，，记r i (A )为A 的第i 行各数之积，c j (A )为A 的第j 列各数之积．令

()()()1

1

n n

i j i j l A r A c A ===+∑∑

（Ⅰ）请写出一个A ∈S (4，4)，使得l (A )=0；

（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A S(n，n)，求l(A)的取值集合．

参考答案

1．A 【解析】 【分析】

直接利用诱导公式化简求解即可． 【详解】

tan 570°=tan （360°+210°）=tan 210°=tan （180°+30°）=tan 30° 故选：A ． 【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 2．B 【解析】

由a 1+a 3+a 5=21得24242

1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=

2135()22142q a a a ++=?=，选B.

3．D 【解析】 【分析】

对于A 根据命题的否定可得：“?x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“?x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b ，满足0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角或平角；对于C 当m =0时，满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】

选项A 根据命题的否定可得：“?x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“?x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；

选项B 若向量a b ，满足0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m =0时,满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立，因此不正确； 选项D 若“()x A

B ∈”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈”，因此

“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件，故正确.

故选：D . 【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题. 4．C 【解析】 【分析】

根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】

∵a >0，b >0，a +b =1，

∴

211111152a b a b

ab a b αβ+=+++=+

≥+=+??

???

， 当且仅当1

2

a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】

本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】

根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【详解】

根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：

结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为P A =2，

∴四棱锥的体积为2124

2323

V =??=.

故选：D . 【点睛】

本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】

根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果． 【详解】

由图象得,令tan 4

2y x π

π??=- ???=0,即42x ππ-=kπ，k Z ∈

k =0时解得x =2，

令tan 4

2y x π

π??=- ???=1,即424x πππ-=，解得x =3，

∴A (2,0),B (3,1)，

∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===， ∴()

()()5,11,1516OA OB AB +?=?=+=. 故选：A . 【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题. 7．A 【解析】 【分析】

阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】

因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：

5525?=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51

255

P =

=. 故选：A. 【点睛】

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：

P =

目标事件的个数

基本本事件的总个数

.

8．C 【解析】

试题分析：抛物线2

2,(0)y px p =>的准线为x =-

ｐ

２

，双曲线的离心率为2，则22

2

221=4c b e a a

==+，

b a =y =，求出交点(2p A -，(,2p B -，1

2

AOB S ?=?

22p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 9．B 【解析】 【分析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【详解】

由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA ， 即过6段后又回到起点， 可以看作以6为周期， 由20206336

4÷=，

白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；

同理,黑蚂蚁爬行路线为AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D →DA ， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，

. 故选B . 【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

10．3- 【解析】 【分析】

根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】

根据茎叶图中的数据，得：

甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815

x ?+++++=， 解得0x =；

又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；

033x y -=-=-.

故答案为：3-. 【点睛】

本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题. 11．-40 【解析】 【分析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项()51031521r

r r

r r T C x --+=-，

再令10-3r =1，得r =3即可得出x 项的系数 【详解】

5

212x x ??- ?

?

?的二项展开式的通项公式为

()

()5251031551221r

r

r r r r r r T C x C x x ---+??

=?-=- ???

， r =0，1，2，3，4，5， 令1031,3r r -==，

所以5

212x x ??- ??

?的二项展开式中x 项的系数为()332

5=4210C ?--.

故答案为：-40. 【点睛】

本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.

12．π30,,π44π

?

???

?????

????

【解析】

因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，

所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是

π30,,π44π?????????????． 答案：π30,,π44π

?

???

?????

????

13．()4,2- 【解析】 【分析】

用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得2x y +最小值后可得结论． 【详解】

因为()2142244228y x

x y x y x y x y ??+=++=++≥+?=

???

，要使222x y m m +>+恒成

立，所以228m m +<，解得42m -<<. 故答案为：(4,2)-． 【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．

14．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）1:5 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，AE ⊥BD 于E ，能证明AE ⊥平面BCD ; （Ⅱ）以E 为坐标原点，分别以EF 、ED 、EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E -xyz ，利用向量法求出二面角A -DC -B 的余弦值;

（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．

【详解】

（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，

又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，

∴AE⊥平面BCD．

（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，

由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，

如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系E-xyz，

设AB=BD=DC=AD=2，

则BE=ED=1，∴AE，BC BF

则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，

F0，0），C2，0），

()

AD=，

3,1,0

DC=，(

EA=，

由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为(

设平面ADC的一个法向量(,,)

=，

n x y z

则3030n DC x y n AD y z ??=+=???=-=?

?，取x =1，得1),(,31n =--， ∴5

,=5

n EA cos n EA

n EA

?=-

?＜＞， ∴二面角A -DC -B ． （Ⅲ）三棱锥B-AEF 与四棱锥A-FEDC 的体积的比为：1:5. 【点睛】

本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题. 15．（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π?

?

=+ ??

?

；

（Ⅱ）1,12??

????

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03

x π

≤≤得到

526

6

6

x π

π

π

≤+

≤

，得到函数值域. 【详解】 （Ⅰ）由①可得，22π

πωω

=?=；由②得：

6

2

2

6

k k πω

π

π

πω

?π?π+=+

?=+

-

，k Z ∈；

由③得，

4

4

m m πω

πω

?π?π+=?=-

，m Z ∈，

220322633

T πππππ

ωω≥-=?≥?<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=?，()sin 26f x x π?

?=+ ??

?，

若①③成立，则4

2m m πω

π

?ππ=-=-，m Z ∈，不合题意，

若②③成立，则2

6

4

k m π

πω

πω

ππ+

-

=-

12()66m k ω?=--≥，,m k Z ∈，

与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立， 所以只有①②成立，()sin 26f x x π?

?

=+ ??

?

. （Ⅱ）由题意得，51

02()13

6

6

62

x x f x π

π

π

π≤≤

?

≤+

≤

?≤≤，

所以函数()f x 的值域为1,12??

????

. 【点睛】

本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

16．（Ⅰ）分布列见解析，()15E X =；(Ⅱ)3

4

；(Ⅲ)至少增加2人. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）求出X 的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可．

（Ⅱ）当P （a ≤X ≤b ）取到最大值时，求出a ，b 的可能值，然后求解P （a ≤X ≤b ）的最大值即可．

（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人． 【详解】

(Ⅰ)X 的取值为：9，12，15，18，24；

()3920P X ==

,()51220P X ==,()71520P X ==, ()21820P X ==,()32420P X ==， X 的分布列为：

故X 的数学期望()35723912151824152020202020

E X =?

+?+?+?+?=； (Ⅱ)当P (a ≤X ≤b )取到最大值时, a ,b 的值可能为：915a b =??

=?,或1218a b =??=?,或1824

a b =??=?.

经计算159150(2)P X ≤≤=

,14121()820P X ≤≤=,5182()420

P X ≤≤=，

所以P (a ≤X ≤b )的最大值为153204

=. (Ⅲ)至少增加2人. 【点睛】

本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题. 17．(Ⅰ)C 的方程为24y x =,焦点F 的坐标为(1,0)；（Ⅱ）2 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据抛物线定义求出p ，即可求C 的方程及焦点F 的坐标；

（Ⅱ）设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由已知得Q (?1,?2)，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k (x +1)?2(k ≠0)，与抛物线联立可得ky 2-4y +4k -8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF |?|NF |的值． 【详解】

(Ⅰ)由已知得122

p

+

=，所以p =2. 所以抛物线C 的方程为2

4y x =,焦点F 的坐标为(1,0)； (II )设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由已知得Q (?1,?2)， 由题意直线AB 斜率存在且不为0. 设直线AB 的方程为y =k (x +1)?2(k ≠0).

由()2412

y x y k x ?=??=+-??得24480ky y k -+-=， 则124

y y k

+=

,1284y y k =-.

因为点A ,B 在抛物线C 上,所以22

11224,4,y x y x ==

112111224

1214

PA y y k y x y --=

==

-+-,222

2412PB

y k x y -==-+. 因为PF ⊥x 轴， 所以()()12224

4

PA

PB

PA PB y y PF PF MF NF k k k k ++?=

?

==? ()12128844

24

2

4

4

y y y y k k

-+++++=

=

=， 所以|MF |?|NF |的值为2. 【点睛】

本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.

18．（Ⅰ）当x

∈

（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x

∈+)∞时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）a ∈1

[+)2

∞，

. 【解析】

试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对()f x 求导，再对a 进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数()h x =()f x -()g x （1x ≥），利用导数判断函数()h x 的单调性，从而求解a 的值.

试题解析：（Ⅰ）2121

()2(0).ax f x ax x x x --=>'=

0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+（，）

∞内单调递减.

0a >当时，

由()f x '=0有

x =当x ∈

（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x ∈

+)

∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增. （Ⅱ）令()s x =1e x x --，则()s x '=1e 1x --. 当1x >时，()s x '＞0，所以1e x x ->，从而()g x =111

e

x x --＞0. （Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.

当0a ≤，1x >时，()f x =2

(1)ln 0a x x --<.

故当()f x ＞()g x 在区间

1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当1

2

a <<

＞1.

由（Ⅰ）有(1)0

f f <=,而0

g >， 所以此时()f x ＞()g x 在区间

1+)∞（，内不恒成立. 当1

2

a ≥

时，令()h x =()f x -()g x （1x ≥）. 当1x >时，()h x '=122111112e x

ax x x x x x x --+->-+-=3222

21210x x x x x x -+-+>>. 因此，()h x 在区间

1+)∞（，单调递增. 又因为()h 1=0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.

综上，a ∈1

[+)2

∞，

. 【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题

【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程

'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明不等式()()f x g x >，一般证

明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．

19．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=? 【解析】 【分析】

（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意； （Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；

（Ⅲ）通过分析正确得出l (A )的表达式，以及从A 0如何得到A 1，A 2……，以此类推可得到A k ． 【详解】

（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.

（Ⅱ）不存在A ∈S (9，9)，使得l (A )=0，证明如下: 假如存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =.

因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}129)3(j c A i j ∈-=?，,

,,,， 所以1()r A ，2()r A ，...，9()r A ，1()c A ，2()c A ，...，9()c A 这18个数中有9个1，9个-1. 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =?????.

一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而9

(1)1M =-=-①，

另一方面，129()()()r A r A r A ??表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；

129()()()c A c A c A ??也表示m ，从而21M m ==②，

①，②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =.