小波相关性和相干性

前言

时域指标参数 1. 均值

当观测时间T 趋于无穷时，信号在观测时间T 内取值的时间平均值就是信号()x t 的均值。均值定义为

()dt

t x T

T

T x ?∞

→=0

1lim

μ （1）

式中：T 是信号的观测区间。实际T 不可能为无穷，算出的x μ必然包含统计误差，只能作为真值的一种估计。 2. 均方值和方差

当观测时间T 趋于无穷时，信号在观测时间T 内取值平方的时间平均值就是信号()x t 的均方值，定义为：

()dt t x T

T

T x

?

∞

→=0

2

21lim

φ

（2）

如果仅对有限长的信号进行计算，则结果仅是对其均方值的估计。均方值的正平方根，为均方根值（或有效值）max x 。 方差定义为

()[]dt t x T

T

x T x

?-=∞

→0

2

21lim

μσ

（3）

方差反应了信号()x t 中的动态部分。方差的正平方根x σ称为标准差。若信号()x t 的均值为零，则均方值等于方差。若信号()x t 的均值不为零时，则有下列成立 2

22

x x x

μφσ-= （4）

3. 概率密度函数

随机信号()x t 的取值落在区间内的概率可用下式表示 ()[]T

T x x t x x P T p r b ?=?+≤<=∞

→lim

（5）

式中：T ?为信号()x t 取值落在区间(]x x x ?+,内的总时间；T 为总观察时间。

当0→?x 时，概率密度函数定义为 ()??

?

?????=∞→∞

→?T T x x p T x lim 1lim

（6） 随机信号()x t 的取值小于或等于某一定值δ的概率，称为信号的概率分布函数。常用()x P 来

表示。概率分布函数的定义为

()()[]T

T t x P x P T p r b δδ?=≤==∞

→lim

（7）

式中：δT ?为信号()x t 取值满足()δ≤t x 的总时间；T 为总的观察时间。

1 相关分析

1.1 相关的概念

在信号分析中相关是一个非常重要的概念。所谓相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。经典的互相关用于量化两个信号()x t 和()y t 的相关程度。两个随机信号的互相关XY R 定义为：

YY

XX XY XY C C C R =

(1)

式中，[])()(t y t x E C XY =，[]2)(t x E C XX =，[]2)(t y E C YY =。

在信号平稳的假设下

?∞→=

=dt

t y t x T

T t y t x E C XY )()(1lim

)]()([

若两个信号间的延迟为τ，则定义两个信号的互相关为

YY

XX XY XY C C C R )()(ττ=

(2)

式中，()?-∞→=

dt t y t x T

T C XY )()(1lim

ττ，T

为信号()x t 和()y t 的观测时间。互相关函数

()τXY R 是τ的函数，它完整的描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。

式(2)说明互相关分析提供了两个信号在时域内平移时的相关度的量化方法，也提供了两信号延迟时产生的信号分量的识别方法。这种经典互相关性适用于平稳信号分析。 1.2 小波相关性

小波互相关类似于经典的信号互相关，有效地提供了两个信号相关性对尺度的依赖程度。设两个互相关信号()x t 和()y t ，在给定尺度a 和时延u 下，x 、y 的小波互相关性定义为：

()()[]u a W a W E u a WC

YY XX XY

+=ττ,,),( (3)

式中，),(τa W XX 和),(u a W YY +τ分别为()x t 和()y t 的小波变换系数。

若分离小波变换系数的实部),(τa RW XX 和虚部),(u a IW YY +τ，只讨论用实部量化给定尺度a 下两个信号的相关程度，则小波互相关定义为：

()

()()

0,0,,),(a RWC a RWC

u a RWC u a WR

YY

XX

XY

XY

=

(4)

Sello 和Bellazzini 建议只考虑小波变换的实部，用小波交叉谱()()()u a W u a W u a W YY XX XY ,,,=定义小波局部相关系数为：

()()()()

u a W u a W u a RW u a WLCC

YY XX XY ,,,,=

(5)

该小波局部相关系数定义的理论基础是经典互相关和交叉小波频谱间的关系：

()ττψ

dad a RW C dt t y t x XY ??

?

+∞+∞

∞

-+∞

∞

-=

,1)()(。

若考虑小波变换的实部和虚部提供的信息具有一定的联系。则小波互相关定义为：

()()()()()

0,0,,,,2

2

a WC a WC

a IWC

a RWC

a WR

YY XX

XY

XY

XY

τττ+=

(6)

式中XY

RWC

和XY

IWC

分别是式(3)定义的交叉小波相关性函数的实部和虚部。

从经典互相关和小波互相关定义可以看出，小波互相关相比经典互相关引入了参数a ，而正是这一参数的引入，使得将经典相关性只在时域内分析两个信号在不同延迟时的相关性，引入到

在时频两域内分析信号的相似程度。也就是说小波互相关随尺度的变化而变化，是两个信号在不同延迟时的相关性，因而能够反映出信号互相关最大时，在该频率处两个信号的延迟(相差)等信息，为探测两个信号的相似程度提供更丰富的信息，对分析两个信号的某一频率成分的相似程度有着重要的作用，实现了在时频两域内同时分析两个信号的相关性。 1.3 小波谱

为了探测信号内涵的特征信息及尺度，引入小波谱概念。小波谱首次由Hudgins 和Brunet 、Colloneau 提出，它是基于时域和时间尺度域间的能量守恒定义的：

???+∞

∞

-+∞+∞

∞

-=

2

2

2

)

,(1

)(a a C K x

dad X dt t τ

τψ

(7)

对于连续信号()t x ，其小波谱()τ,a W x 可用小波系数的模确定：

),(2

*),(),(),(ττττa C C

C

W

X a a a X

X

X

=

=

（8）

对于离散信号()t x ，设其二进离散小波变换为()j C x ，则有

∑∈≤

z

j j C x

X )

(2

2

2

（9）

说明原始信号的二范数等于小波变换各层细节信号绝对值的平方和。第j 层细节的能量

()()2

j C j W x x = 称之为小波能量时谱。其相应的Fourier 域的二进离散小波能量

()()()∑-

=

N j j W W x

x ωωexp ，

称之为小波能量频谱。考虑到相移问题及工程实际应用中原始信号的实数性，可取实部进行计算，即()()()∑=

N t

j W W x

x ωωcos 。

由以上分析可知，小波谱是小波局部谱对平移因子τ的积分，是尺度a （离散化表示为k ）

的参数，即把Fourier 谱的连续频谱划分为离散的频带分量，每个频带代表特定尺度a 下信号的频

谱信息。小波谱将小波变换和Fourier 谱分析结合起来，可在时域中记录信号的突变时间，又可在频域中提取信号突变的频段，通过信号在小波变换的各分解层上的小波谱探测信号内涵的特征。

2. 时间序列信号小波相干性分析

相干函数是计算两个随机过程频谱相关性的直接方法。如果过程是平稳的，即假设它们的频谱不随时间变化，Fourier 分析能够实现频谱的精确估计，同样也能给出相干性的精确估计。但它的前提是假设信号是平稳的，而且无法辨别信号的振幅和相位成分。由于实际大地测量时间序列信号受多种因素的影响，其变化过程中产生的信号是非平稳的、动态的，其内涵的特征信息的频率可能随时间而变化，表现出频率分布不均匀。因而，相干性需要作为时间函数研究，这样限制了Fourier 分析的应用。为此，引入小波相干性。

引入基于小波相干性的时间过程，是借鉴近来物理学中估计非平稳信号互相作用的研究。与基于Fourier 的一致性相比，小波相干性能够以时间函数方式进行相干性分析，因而成为研究动态信号相互作用的有效替代方法。 2.1 相干性函数

对两个连续有限能量信号 ()x t 和()y t ，经典的相关性是指两个信号的时间相干性。将这两个信号进行Fourier 变换，设其频率为f ，则x 和y 相干性定义为：

)

()

()

()(f f f f S

S

S YY

XX

XY

=

ρ (10)

式中)(f S

XY

是两个信号()x t 和()y t 的交叉频谱密度。在信号平稳的假设下，)(f S

XY

定义为：

ττπτd f i f R

S

XY

XY

?+∞

∞

--=

)2exp()()( (11)

其中，))()(()(ττ-=t y t x E R XY ，E 为数学期望。由Schwartz 不等式，能够保证ρ(f)值介于0和1之间。

估计两个信号的相干性值要求已知x 和y 频谱及它们的交叉频谱，可用有限时间段内观测的

信号求得。实际情况下，有限时间段数据的频谱和交叉频谱可由整个过程的某一段观测信号来估计。两个有限长度时间序列的交叉频谱的估计：

)(~)(~*

f y f x S

xy

?= (12)

式中()x f 是时间序列()x t 在频率为f 时的离散Fourier 系数，*()y f 是()y f 的复共轭。该估计是

不稳定估计，为提高估计的可靠性，又提出了平滑频谱估计。 2.2 小波相干性

平滑技术仅仅当各分段具有同一频谱估计时才有意义。这种情形下，要求x 和y 是平稳的，

即它们的频谱特征不随着时间变化而变化，也意味着x (和y )能分解为幅值和相位都不变的正弦波的叠加。Fourier 分析适用于分析对此类信号。当x 和y 是非平稳时，Fourier 分析和以上的相干性估计就不适用了。

为解决上述非平稳信号分析中存在的问题，近年来又提出应用小波分析估计非平稳信号相干性的方法。与Fourier 分析相比，小波分析能够分析具有时变频谱的信号。它能够实现信号的时频分析，即将信号的频谱特征估计为一个时间函数。在一定意义上，小波分析接近于加窗短时Fourier 变换。但是，短时Fourier 分析的窗的大小是不变的，而小波分析窗能够适用于信号的频率。

Van Milligen et al. and Santoso et al.应用Morlet 小波分解信号(也可以选择其它的小波)。Morlet 小波的优点在于它具有良好的时间聚集性、较高的频率分辨率、包含相位信息及其与常规信号非常相似等特点，因而用于识别两个非平稳时间序列的关联程度，进行信号的频谱估计。在频率f 和时刻τ时，Morlet 小波定义如下：

)exp())(2exp()(2

2

,)

(σ

τψ

τπτ--

?-?=u u f i f u f

(13)

)(,u f

ψ

τ是频率为f 的正弦波与以时刻τ为中心的高斯函数的乘积，高斯函数的的标准差σ与f

的倒数成正比例。

1．小波相干性

信号()x u 的小波变换是由信号与小波卷积得到的关于频率f 和时刻τ的函数：

?

+∞

∞

-?=

du

u u x f f

XX

W

)()(),(*

,ψ

ττ (14)

Torrence 和 Webster 建议通过小波频谱的光滑估计来确定小波相干性。在频率f 和时刻t 时，定义

信号的光滑小波谱),(f t SW

XX 和交叉小波谱)

,(f t SW

XY

为：

τττδδd f f f t t t XX

XX

XX

W

W

SW

?

+-=

2

/2

/*),(),(),( (15)

τττδδd f f f t t t YY

XX

XY

W

W

SW

?

+-=

2

/2

/*),(),(),( (16)

式中*表示复共轭，δ是依赖于频率的一个标量。在小波相干性中，δ是个很重要的参数，它定义了小波相干性的时间分辨率，δ值越小，适应的信号频率越高，因而能够满足相干性的时间变化。与基于Fourier 的相干性类似，频率f 和时刻t 的小波相干性),(f t WC 定义为

|

),(||

),()

,(),(|f t f t f t f t WC SW

SW

SW YY

XX

XY

=

(17)

),(f t SW XY 是由式(16)定义的信号x y 和的一个标量，Schwartz 不等式能够保证),(f t WC 的

值介于0和1之间。当δ等于0时，在任意频率f 和时刻t ，两信号的小波相干性),(f t WC 等于1。

2．小波平方相干性

平方相干性用于识别两个时间序列共变过程中的频带。交叉小波能量是一般意义上的能量度量，而小波平方相干性是两个时间序列在时频空间中的协方差强度的度量。Torrence 和 Webster 用平滑交叉小波谱的绝对值的平方定义小波平方相干性),(2

f t R n ，并用平滑小波能量谱对其进行标准化

)

,()

,(),(2

1

2

1

2

2

),(f t W s f t W s f t W

R

Y X XY

f t --=

(18)

<*>表示在时间和尺度上均进行平滑。因子S -1用于将其转换为能量密度，0≤),(2

f t R n ≤1。

3. 小波包能量

采用离散小波包变换正交基分解信号的优点是，信号总能量可以分割成各种时频单元。每个单元能量贡献率的数学表达是一个小波函数，其伸缩系数如下：

()()()∑∑?

?

==∞

∞

-∞

∞

-=

=

j

j

m n n

j m

j f

dt t f t f dt

t f

E

2

12

1

2

（3）

当小波基正交时，公式（3）就变为

()

∑?

∑=∞

∞

-==

=

j

j

i i j

i f i

f

dt t f

E

E

2

1

2

2

1

（4）

()t f i

j 是离散小波变换系数或信号[公式（2）中的()()t k s k j j ,ψ或()()t k w k

j j ,?

]，f i E 是信号能量。