八年级二次根式(教师讲义带答案)

第五章二次根式

【知识网络】

知识点一：二次根式的概念

形如()的式子叫做二次根式。

注:在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意:因为负数没有平方根，

所以是为二次根式的前提条件，如,,等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二:取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式，所以要使二次根式有

意义,只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当ａ﹤0时，没有意义。

知识点三:二次根式(）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（)是一个非负数，即０(）。

注:因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数(）的算术平方根是非负数,即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方

类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若

，则a=０,ｂ=0;若

，则ａ=0,ｂ=0;若

，则a=0,b=0。

知识点四:二次根式(）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若

,

则，如：,.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简

时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或０，则等于a 本身,即

；若ａ是负数,则等于a 的相反数-a ，即

;

2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，

一定有意义；

3、化简

时，先将它化成

，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：

与的异同点

１、不同点:

与

表示的意义是不同的，

表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根;在

中

,而

中a 可以是正实数,0，负实数。但

与

都是非负数,即

，。因而它的运算的结果是有差别的,

，而

2、相同点：当被开方数都是非负数,即

时，

=

;

时,

无意义,而

．

知识点七：二次根式的运算

1.二次根式的乘除运算

（1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (２)注意知道每一步运算的算理; （3)乘法公式的推广：

123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ?=????≥≥≥≥，，，，

2．二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3.二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号,应先算括号里面的；

(2）二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释:

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算．

1.明确运算顺序,先算乘方，再算乘除,最后算加减，有括号先算括号里面的;

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用;

３.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

(１)加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算，使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除，进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.

例如没有必要先对进行化简，使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算，

4

3

+=+=+ （２)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用．

如:

2

2

1+=

-=,利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式,会使运算简化． 4．分母有理化

把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式:

（

（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-

(３++-. 专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 二次根式的最值问题

【专题解读】涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.

例1 当ｘ3的值最小？最小值是多少?

分析 00，因为33的最小值为3．

0，

33≥，

∴当9x +１＝0，即1

9

x =-

时3有最小值,最小值为3.

【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,0(a ≥０). 专题2 二次根式的化简及混合运算

【专题解读】对于二次根式的化简问题,||a =这一性质,但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.

例２ 下列计算正确的是 （ )

2712

82 2 B. 94162

C. (2+5)(2-5)3 2 2

-===-==

分析 根据具体选项,应先进行化简，再计算． 82222==2，

B 选若可化为

3333

33

-=，C 选项逆用平方差公式可求得

255+（）（2-）=4-5=-1，而Ｄ选项应将2622

322

=.故选A. 例3 计算20062007

21)21)的结果是 ( )

2 1 D. 21

分析 本题可逆用公式(ab ）m

=a m b m

及平方差公式，将原式化为

200621)(21)]21)2 1.=故选D.

例4 书知22

2

8

442142x x y x x x y y x x

++=--+，求的值． 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定ｘ的值,但要注意所得ｘ的值应使分式有意义.

解：由二次根式的定义及分式性质，得22

40,4,2,20,x x x x ?-?-∴=??+?

≥≥0≠

22

2

2287

2442,

22277

2142221422

77

142214214.

22

y x y y x ++∴=--=+∴===

【解题策略】 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例５ 223

541294-202522

a a a a a -++-（≤≤）.

22353252-302-5022

23)(25)|23||25|(23)(25)48.

a a a a a a a a a a a ∴∴∴=--=---=-+-=-解：

≤≤，≤≤，≥，≤,原式（ 【解题策略】 2

(0)||-(0).a a a a a a ?==??

≥，＜

例 6 已知实数,a ，b ，c 在数轴上的位置如图2１－8所示,化简

222||()().a a c c a b -+-

解：由a ,b ，c 在数轴上的位置可知：

图21-8

0,00,0,

||||||||()().

c a b a c c a a a c c a b a a c c a b a a c c a b a b ∴+-∴=-++--=-++---=-++-+-=-＜＜＞＜＜原式

【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简

.

127 |1||1||1||2|.10,201,2,

-112,2x x x x x x x x x x x +=+=+--+=-==-=-例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，

-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)2 1.x x x x x x x x x x x +∴=++=+∴=++-=-①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.

原式

210,20,x x x +-③当≥时，＞≥ 1)(2) 3.3(1)21(12)3(2).x x x x x x ∴=+--=--??

∴=--???

原式（＜，

原式≤＜，

≥ 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”.

例8

已知3,12,.a b ab +=-=求 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ,ｂ的符号,本题中没明确告诉，ａ,b

的符号，但可从ａ+b =-３,ａb =1２中分析得到．

解：∵a +b =-3，ａb =12，∴a ＜0，ｂ＜

0.

··b a b a

∴=+=-=-=--- 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a ,b 的符号,把所求的式子化简，直接代入. 专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简 例9

的运算结果应在 ( ) A. ６到7之间? ? B. ７到8之间

Ｃ. 8到９之间

? D. 9到1０之间

分析 本题应计算出所给算式的结果，原

式4==+，由

于,

即

2 2.5849+，所以＜. 故选C.

例10已知m

,ｎ

m n

m n

-

+

的值.

解:∵9<1３＜16,

即３

4

,即m=３，

3

，即，

∴

13

.

13

m n

m n

-

===

+

）

二、规律方法专题

专题4 配方法

【专题解读】

a|化简.

例1１

==

===

规律·方法

一般地，对于a±,可采用观察法进行配方,即找出x,y（x>y>０)，使得xy＝ｂ，ｘ+y=a,

则2

a±=,

==

,

.

?例１2 若a,b为实数，且b

15,

.

分析本题中根据b

15可以求出a,ｂ,

.

解：由二次根式的性质得

3503

350..

5305

a

a a

a

-

?

∴-=∴=

?

-

?

≥，

≥，

150,0.

b a b a b

∴=∴+-

，＞＜

a b b a

ab ab

=

=

+-

?

=-

?

=

当

32

15.

55

a b

====

，时，原式

【解题策略】对于形如22

b a b a

a b a b

++-

+或形式的代数式都要变为

2

()

a b

ab

+

或

2

()

a b

ab

-

的形式,当它们作为被开方式进行化简时,要注意.

a b a b ab

+-

和以及的符号

专题5 换元法

【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.

例13

解:令x

两边同时平方得

:

22

x=，

∴x2＝

(3

3+）＋

x x

∴==

＞，

专题6 代入法

【专题解读】通过代入求代数式的值.

例14

已知22

2400,5760,.

a b ab

==

22

23

3

2400,5760 2.4

2400, 2.42400,

1000,10, 2.41024,

26.

a b ab b a

a b a

a a b

===

=∴=

∴=∴=∴=?=

===

解：由，两式相除得，

专题７约分法

【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.

例15

2323

261015223523)23 2325)25

525252 .

5252)

++=

+++++++==+---===+-解：（）（（）(++（）(

例1６ 化简

().2x y y x x y x xy y

+++≠

2

()().()()()

xy x y xy xy x y x y y x

x y x y

x y x y +--=

===

+++-解：原式

三、思想方法专题

专题8 类比思想

【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式．我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.

例17 计算.

13+232182122 3.

-++（）；

（）

解：(１)原式＝(1＋2）3=３3.

(2)原式=３2-2＋23+23=22+43.

【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.

专题9 转化思想

【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想,化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.

例18 函数y ＝24x -中，自变量x 的取值范围是 .

分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中24x -是二次根式,所以被开方数2x -４≥0，所以x ≥2．故填x ≥2．

例1９ 如图２1-9所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x 的值为3,则输出的数值为 .

图21-9

分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为2

1x -,

3)2

－1＝２.故填2.

专题１0 分类讨论思想

【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.2||a a =进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论.

例２0 若化简2|1|816x x x ---+25x -，则x 的取值范围是 （ ) Ａ． x 为任意实数 Ｂ. 1≤x ≤4 C ． ｘ≥1 D ． x ≤4

分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-,由此可知|1|1x x -=-，且|4|4x x -=-，由绝对值的意义可知

10x -≥，且40x -≥,所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤．故选Ｂ.

【解题策略】 2

a |a |形式的式子的化简都应分类讨论．

例2１ 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点Ａ处,沿着长方体的表面爬到和顶点Ａ相对的顶点B 处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少？

分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案.

解：沿前、右两个面爬,22(57)3153++=（cm). 22(37)5125++=ｍ)． 沿左、上两个面爬,22(35)7113++=ｃm)． 113m.

规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.

二次根式单元测试题

（一)判断题：(每小题1分，共5分)

1.ab 2

)2(-＝－２ab ．…………………( )

2．3-２的倒数是3+2.（ ）

３．2

)1(-x ＝2)1(-x .…（ )

4.ab 、3

1b a 3、b

a

x 2-

是同类二次根式.…（ ) 5.x 8，

3

1,2

9x +都不是最简二次根式.（ ) （二）填空题：(每小题２分,共20分) 6.当ｘ＿＿_＿_＿___＿时，式子3

1

-x 有意义． 7.化简-

8

1527102

÷31225a

＝ ． ８．a -12

-a 的有理化因式是___＿_______＿． 9．当1<ｘ＜4时,|ｘ-4|+

122+-x x ＝___＿_＿＿_＿_＿__＿__.

10．方程2（x -1）=x ＋1的解是__＿__＿_＿＿___．

图21-10

11．已知a 、ｂ、c 为正数,d 为负数，化简2

2

22d

c ab

d c ab +-＝_＿＿___．

12.比较大小：－

7

21＿____＿__＿－

3

41.

１3．化简：(7－52）2000·(-7-52）２0０１

＝___＿_＿_＿＿＿____.

1４.若1+x ＋

3-y ＝0,则(x -1)2+(ｙ＋3）2＝___＿_＿_＿____.

15.x ，y 分别为8-11的整数部分和小数部分，则2ｘｙ-y 2=_____＿____＿_. (三）选择题:(每小题3分，共15分)

16．已知233x x +=-x 3+x ，则………………( ) （A ）x ≤0 (B ）x ≤-3 (C ）x ≥-3 （D)-3≤x ≤０

１7.若x

1８.若0

x 等于………………………( ） (A ）

x 2 (B)－x

2

（C ）－2ｘ (Ｄ)2ｘ 1９．化简a

a 3

-(ａ＜0)得………………………………………………………………( ) （A ）a - (B)-a (C ）－a - （Ｄ)a

2０．当a <０，ｂ＜０时,-a ＋2ab -b 可变形为………………………………………( )

（A ）2)(b a + (B ）-2)(b a - （C ）2)(b a -+- (Ｄ)2

)(b a ---

(四)计算题：(每小题6分,共24分） 21．(235+-)（235--)；

22．11

45--

7114

--7

32+;

23．(ａ2

m

n －m ab mn +

m n

n m )÷ａ2ｂ２

m

n ；