广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)含答案

高二理科数学期未考试题

一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.设集合P ={3，log 2a }，Q ={a ，b }，若{}1P

Q =，则P Q =（ ）

A ．{3，1}

B ．{3，2，1}

C ．{3， 2}

D ．{3，0，1，2}

2.定义运算??????a b

c d

＝ad －bc ，若复数满足????

??i z －1z ＝－2，则z =（ ） A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋i D ．－1－i 3.在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（ ）

A ．-1 B. 1 C. 0 D. 6 4.右图是计算111

13531

+

++?+值的程序框图，则图中①②处应填的 语句分别是（ ）

A. 2n n =+, 16i >

B. 2n n =+, 16i ≥

C. 1n n =+, 16i >

D. 1n n =+, 16i ≥

5.已知函数()f x 与()x

g x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =

对称，则“()f x 是增函数”的一个充分不必要条件是( )

.A 1

02

a << .B 01a << .C 23a << .D 1a >

6.等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则( )

A ．A

B

C += B ．2B AC = C ．3A B C B +-=

D ．2

2

()A B A B C +=+

7．设实数x ，y 满足约束条件??

?

??-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=||的取值范围是（ ）

A ．]3,2

3

[-

B ．]3,1[-

C ．]0,2

3[-

D ．]0,1[-

8.将3本相同的小说，2本相同的诗集全分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）

A ．24种

B ．28种

C ．32种

D ．36种

9.设(){},|0,01A x y x m y =

<<<<， s 为()

e 1n

+的展开式的第一项（e 为自然对数的底

（第10题图）

数）

，m =

若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ）

A ．2e

B ．1e

C ．e 1e -

D ．e 2

e -

10.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为（ ） A.

169π

B. 169π

C. 89π+

D. 163

π+11.已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若3A F B F

=,||3AC =，则抛物线的方程为（ ）

A ．2

y x = B ．2

2y x = C ．2

3y x = D ．2

4y x =

12.已知0ω>，函数()cos24cos 3f x a x x a ωω=-+，若对任意给定的[1,1]a ∈-，总存在1212,[0,

]()2

x x x x π

∈≠，使得12()()0f x f x ==，则ω的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解

集为 ;

14.已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB

AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为 ；

15.已知A B C ?中角C B A ,,满足2

s i n

s i n s i n B A C =且

2

sin cos cos 1242

C C

π+=,则A sin = ；

16．已知1a b ==，向量c 满足()

c a b a b -+=-，则c 的最大值为 ．

三．解答题（必做每题12分，选做10分）

17.已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .

18.某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了 高度在[50,60),[90,100]的数据).

1）求样本容量n 和频率分布直方图中的y x ,

2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变 量X 表示所抽取的3株高度在 [80,90) 内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望.

19.已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥CD,AC ⊥BD, 垂足为H, PH 是四棱锥的高,E 为AD 中点,设.1=AH

1)证明：PE ⊥BC ；

2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成 角的正弦值．

20.已知过点(1,3)-，(1,1)且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ 上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为3

4

-．

Ⅰ）求曲线Γ的方程；

Ⅱ）过原点O 作射线OM ，ON ，分别平行于PA ，PB ，交曲线Γ于M ，N 两点， 求OM ON ?的取值范围．

21.已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2

()2 4.g x x bx =-+当1

4

a =

时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈， 使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α

α

=+??

=+?（t 为参数），在极坐标系（与

直角坐标系x y O 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）若点()1,2P ，设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求PA +PB 的最小值． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数0a >，设函数()1

f x x x a a

=++-． （1）证明：()2f x ≥；

（2）若()35f ≤，求a 的取值范围．

答案：BDCA CDAB DBCD 13.(,2)

(4,)-∞+∞

16.17．解：（Ⅰ）因为11a =，12n n a a +-=，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列， 所以()112n a n =+-?21n =- ----------2分 又当1n =时，1112b S b ==-，所以11b =， 当2n ≥时，2n n S b =-…① 112n n S b --=-…② 由①-②得1n n n b b b -=-+，即

11

2

n n b b -=， ----------4分 所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故1

12n n b -??

= ?

??

.----------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

21

2n n n n n c a b --==

，则 ----------6分 011322n T =

++21

521

22n n --++

L ①

12n T =121322+++L 12321

22

n n n n ---+ ②----------8分 ①-②得011

12222n T =

++222++L 1221

22n n

n ---

1112=+++212122n n n --+-=L 11

121211212

n n n --

-+--2332n n +=- --------10分 所以1

23

62n n n T -+=- --------12分

18. 解：(1)由题意可知，样本容量

004.010

502

,5010016.08=?==?=

y n ，

030.0040.0016.0010.0004.0100.0=----=x . （4分）

(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2， 共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数X 的可能取值为1,2,3，（5分）

则 71355)1(372215====C C C X P , 74

3520)2(3

71

225====C C C X P , 7

2

3510)3(370235====C C C X P . （8分）

故7

737271)(=?+?+?=X E . （12分）

19.解：以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为，y ，轴，建立空间直角 坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)． -----------------1分

(1)证明：设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m

2，0)．

可得PE ＝(12，m 2，－n )，BC ＝(m ，－1,0)． 因为PE ·BC ＝m 2－m

2＋0＝0，

所以PE ⊥BC . ---------------6分

（10分）

(2)由已知条件可得m ＝－3

3，n ＝1， ---------------8分

故C (－

33，0,0)，D (0，－33，0)，E (12，－3

6

，0)， P (0，0,1)．设n ＝(，y ，)为平面PEH 的法向量，

则?????

n ·HE ＝0，

n ·HP ＝0，即???

12

x －3

6y ＝0，z ＝0.

因此可以取n ＝(1，3，0)．

由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|＝

2

4

， 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为2

4. ---------------12分

20. 解法一：（Ⅰ）∵圆C 过点(1,3)-，(1,1)，

∴圆心在直线1y =-上，……………………………………………………1分 又圆心在直线1y x =-上，

∴当1y =-时，0x =，即圆心为(0,1)-.……………………………………2分 又(0,1)-与(1,1)

，

∴圆C 的方程为22(1)5x y ++=.………………………………………………3分 令0y =，得2x =±. ……………………………………………………………4分 不妨设(2,0)A -，(2,0)B ， 由题意可得2AP y k x =+，2

BP y

k x =-， ∴3224

AP BP y y k k x x ?=

?=-+-, ∴曲线Γ的方程为：22

143

x y +=(2x ≠±)．………………………………6分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，射线OM 的斜率为(0)k k ≠，则射线ON 的斜率为3

4k

-

. 22,1,43y kx x y =???+

=??解得2

12221212,3412.34x k

k y k ?=??+??=?+?

………………………7分

∴OM==8分

同理，ON===9分

∴OM ON

?．………………………………10分

设2

34(3)

k t t

+=>，则2

3

4

t

k

-

=，

∴OM ON

?=

又∵11

(0,)

3

t

∈，

∴7]

2

OM ON

?∈.………………………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）设

11

(,)

M x y，射线OM的斜率为(0)

k k≠，则射线ON的斜率为

3

4k

-.

22

,

1,

43

y kx

x y

=

?

?

?

+=

??

解得

2

12

2

2

12

12

,

34

12

.

34

x

k

k

y

k

?

=

??+

?

?=

?+

?

………………………………………………7分

∴OM==8分

同理ON===9分

∴OM ON

?

……………………………10分

48

1

9

24

16

1

2

2

≤

+

+

<

k

k

………………………………………………………11分

2

732≤

?<∴ON OM

即7

]2

OM ON ?∈．………………………………………………………12分

21.解(Ⅰ)定义域为（0，+∞），因为 '

211()-x a f x a x

-=-=22-ax +x+a-1

x ，---1分

所以当0a =时，'2x-1()f x x =

，令'

2x-1()>0f x x

=得x>1，所以 此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数； ---2分

当12a =时，'()f x =22

11

-x +x+-122x

?=22-x +2x-12x =2

2-x-102x ≤（），所以 此时函数f(x)在（0，+∞）是减函数； ----------------------------3分

当<0a 时，令'

()f x =22

-ax +x+a-1>0x 得2

-ax +x-1+a>0，解得1x>1x<-1a

或（舍去）， 此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数； -------------4分

当10<<2a 时，令'()f x =22

-ax +x+a-1>0x 得2

-ax +x-1+a>0，解得11

-1a

（，

+∞）上是减函数；-----------6分 （Ⅱ）当1

4a =

时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2

≥，---------7分

又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21

()2

g x -

≥，---------8分 []21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即29

22

bx x ≥+，---10分

即9

22b x x ≥+∈??

?

???211,417，所以4172≥b ，---------11分

解得817≥

b ，即实数b 取值范围是.,817??

?

???+∞---------12分 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（1）由6sin ρθ=得2

6sin ρρθ=，得2

2

6x y y +=，即()2

239x y +-= ---4分

（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()2

2cos sin 70t t αα+--=．

由()2

2cos 2sin 470αα?=-+?>，故可设1t ，2t 是上述方程的两根，

所以()1212

2cos sin 7t t t t αα?+=--???=-??，又直线l 过点()1,2，故结合t 的几何意义得

1212t t t t PA +PB =-=-=

=

=≥=，所以PA

+PB 的最小值为---10分

23.（1）证明：()()11112f x x x a x x a a a a a a a ?

?=+

+-≥+--=+=+≥ ??

?---4分 （2）

()35f ≤，1

335

a a

+

+-≤ 0a >，∴1335a a ++-≤?132a a -≤-?1

32a a

-≤-

∴132132

a a a a ?

-≤-????

-≥-??

，

0a >，∴2

2

510

10

a a a a ?-+≤??--≥??

a ≤≤ ---10分