二次根式复习讲义

二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如11的式子叫二次根式，其中」叫被幵方数，只有当-是一个非负数时，

■/-:才有意义.

【典型例题】

【例1 】下列各式（1）, 1,2）、,=,3）「X1 2 32,4）.,4,5）、（-；）2。仁,7） a2-

2a 1 ,

其中是二次根式的是 _________ （填序号）.

1、下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、、. a

B、，:T O

C、. a 1

D、丁

2、在苗、疏、声1、后7、胎中是二次根式的个数有 ________________ 个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是

J x - 3

举一反三：

2使代数式有意义的x的取值范围是（）

x -4

A、x>3

B、x^3

C、x>4

D、x^3 且x 羽

3使代数式、.-x2,2x-1有意义的x的取值范围是 _________________

3、如果代数式..1有意义，那么，直角坐标系中点P （m，n）的位

*mn

置在（）

举一反三：

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限【例3】若y=、x 一5 +- x +2009，贝U x+y=

x「5 _ 0

解题思路：式子苗(a 为),i ~ , x = 5 , y=2009，贝U x+y=2014

5-xKO

举一反三：

1、若— .1 —X =(x y)2，则x —y 的值为( )

A1 B . 1 C . 2 D . 3

2、若x、y都是实数，且y= ?-2x -3二3 -2x ? 4，求xy的值

3、当a取什么值时，代数式''2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。

4、已知a是.5整数部分，b是.5的小数部分，求—的值。

b + 2

5、若.3的整数部分是a，小数部分是b，贝V .、3a-b二_______ 。

2 +丄

6、若17的整数部分为x，小数部分为y，求X ~的值?

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】7

1.非负性：?. a(a_0)是一个非负数.

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.

2.( .a)2-0).

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a = (?? a)2(a _0)

$ —嘗0)

注意：(1)字母不一定是正数.

(2)能幵得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.

(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把 负号留在根号外. 4.

公式a 2

=|a| 与( ..a)2

=aa 0)的区别与联系

l-a(acO)

(1) ,a 2

表示求一个数的平方的算术根，

a 的范围是一切实数.

(2)

C.a)2表示一个数的算术平方根的平方，

a 的范围是非负数.

(3) -,a 2

和C..a)2

的运算结果都是非负的.

【典型例题】

［例 4】若

a

-2

1 "b —3

+(c-4

) =0,则 a-b + c=

.

举一反三：

1、若.m -3 ? (n 1)2

=0，贝卩m n 的值为 _______________ 2、已知x,y 为实数，且、x-1，3y-22 = 0，则x-y 的值为(

)

A . 3

B . - 3

C . 1

D . - 1

3、 已知直角三角形两边 x 、y 的长满足| x 2

— 4 | + y 2

「5y ? 6 = 0，贝U 第三

边长为 ___________ .

____________ 2005

4、 若

a_b 1

与'-a

2b 4

互为相反数，则

a

_b

二 ---------------------- 。

【例5】 化简： ^^b^3)2

的结果为(

)

举一反三：

■at 二:二次舉武曲性*2 (公式(-.a)2

二a(a —0)的运用)

A 、4—2a

B 、0

C 、2a — 4

D 、4

1、 在实数范围内分解因式:x

2

—3二 _____________ ； m ^4m 2

4 =

2、 化简：\3 - . 3 1 - . 3

3、已知直角三角形的两直角边分别为 .2和..5，则斜边长为

(公式

F=；a =抄3

0)

的应用)

— a(a <0)

［例 6】已知x ：：：2 ,则化简.x 2 -4x 4的结果是

A x -2

B 、x 2

C 、—x —2

D 2 —x

举一反三：

1、 根式U-3)2的值是( )

A . -3

B . 3 或-3

C . 3

D . 9

2、 已知a<0,那么丨『一2a 丨可化简为() A . — a B . a C . — 3a D . 3a

3、 若 2VaY ：3，则2-a 2

—、，a-32

等于( )

A. 5-2a

B. 1 -2a

C. 2a-5

D. 2a-1

4、 若a -3 v 0，则化简“2

-6a

+9+4

-a

的结果是( )

(A) — 1

(B) 1 (C) 2a — 7

5、化简、4x 2

-4x ? 1 - 2x-3 得( )

(A )

2

( B ) -4x 4

( C )— 2 ( D ) 4x-4

、a 2

-2a 1

2 6、 当a v l 且a 老时，化简

a _a

= ____________

J 4 _(a + 丄r _ j 4 + (a 一丄 J

7、 已知

a ; 0

，化简求值：* a

，

a

【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，

1+ Ja b)2的结果等于(

)

SB :

(D) 7 — 2a

那么化简丨a — b

A. —2b B . 2b C. —2a D . 2a

【例9】如果a 「a 2

-2a 1 =1，那么a 的取值范围是( )

A. a=0

B. a=1

C. a=0 或 a=1

D. a W 1

举一反三：

1、 如果a ?、、a 2-6a 9=3成立，那么实数a 的取值范围是( )

2、 若、(x -3)2

? x -3 = 0 ,则x 的取值范围是( )

(A ) x 3

( B ) x 3

(C ) x_3

(D ) x^3

【例10】化简二次根式a -a

22

的结果是

V a

(A )、-a_2

(B)-二a_2

(C) . a - 2 (D)_、a_2

1、把二次根式a --化简，正确的结果是(

) \ a

A. ；「a

B. a

C. - a

D. . a

2、把根号外的因式移到根号内：当

b > 0时，°以= ____________ ; (aT)J^1"

x M- a

举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所 示：化简:

a_[ +J(a_2)2 = _______ .

【例8】化简1 —x —J X -8x +1 6的结果是

取值范围是( )

2x -5， x 的

(A )x 为任意实数

举一反三：若代数式

( )

A. a >4 B

(B ) 1$《

(C ) x >1

,(T^y

x

丽好 的值是常数

a w 2 C. 2 w a w 4

(D ) x W

2，贝9 a 的取值范围

是

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式:

(1)最简二次根式的定义：①被幵方数是整数，因式是整式；②被幵方

2、同类二次根式(可合并根式)

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被幵方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例11】在根式1) J a2 +b2;2) Jf;3) J x2—xy;4)』27abc，最简二次根式是( 数中不含能幵得尽方的数或因式; 分母中不含根号.

A. 1) 2)

B. 3)4)

C. 1) 3)

D. 1) 4)

解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三:

745a,術」2 丄，\40b2,廂，对17(a2

+b2)

的最简二次根式

2、下列根式中，不是最简一次根式的是(

A. .7

3、下列根式不是最简二次根式的是(

A.a2 1

B. 2x 1

2b C.■

4

5、把下列各式化为最简二次根式:

(2)45a 2

b

【例12】下列根式中能与..3是合并的是（）

举一反三:

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ A 、-、3和18

B 、-、3和

C 、 、0E 和ab 2

2、在二次根式：①-12 :②..23

:③：④27中，能与3合并的二次

根式是

。

3、如果最简二次根式

■. 3a -8与"7 - 2a 能够合并为一个二次根式

，

则

a= __________ .

知识点四：二次根式计算一一分母有理化

【知识要点】

1. 分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两 个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

3ab (2) ‘ 2

(3) ‘x? y? (4) a _b(a . b)

(5) 5

(1) 12

A. 8

B. 27

C.2 5

D.

① 单项二次根式：利用、、a 、a 二a 来确定，如口：、、a 与. a , . a b 与, a b , a —b

与,a -b 等分别互为有理化因式。

② 两项二次根式：利用平方差公式来确定。 如a ? .6与a —，-, 与、、a - . b ，

a 、..x - b. y 与a., x-b. y 分别互为有理化因式。

3. 分母有理化的方法与步骤：

① 先将分子、分母化成最简二次根式；

② 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分

母中不含根式；

③ 最后结果必须化成最简二次根式或有理式

【典型例题】

【例13】 把下列各式分母有理化

【例14】把下列各式分母有理化

【例15】把下列各式分母有理化:

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类:

(1)

-4 3

3 7

(1)

2X 8x 3

y

(1)

2 2 -

(2)

5、3 、5

3 3 3.2-2 3

举一反三：

1、已知x = 2「3，y = 2 3

，求下列各式的值:

2+>/3 2_丁3

(1) 3 (2) xf y 2

x — y

2、把下列各式分母有理化:

(1)

a -b

.a ;b

.a 2 - “ a

「2

b- a 2 b

2

b 、 a 2 b 2

?.4

a 2

b 2

①二与,丄; ?????????????② J.：' I Ji 与'」-：；

③■■ '/'■ 与一■:■, .' ；?????? ④丿:与:；L J

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1.积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的

\/ab V b

（ a 为,b 为）

2.二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算

术平方根。

4a ?b = Vab . （a 为,b 为）

3?商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式

的算术平方根

&卷（a沁,b>0）

4.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术

平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至

等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.

【典型例题】

【例16】化简

(1) .9 16(2) 16 81 (3) 、5 2一15 ⑷ 9x2y2( x 一0, y 一0 )

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被幵方数相同的二次根式 （即同类二次根式） 的系数相加减，被幵方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式， 通常是先化成最简 二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被幵方 数应不含分母，不含能幵得尽的因数 .

(5) … ； X. 6 2.,3

【例17】计算（1） ?????? ( 3) 4 ?? (4)

(5) -二?????? ?? 2^^

(7) _ G ?????????

【例18】化简: (1)

(x_O,y 0)

⑷总

2

(x -0,y 0)

I 例19】计算：⑴］ ［例 20】能使等式'*2

?、二 成立的的

64

⑷為

x 的取值范围是（

B 、x —0

沁岂

2

D 、无解

(a 0,b _0) 64b 2

9a 2

1 4

【典型例题】

【例

20

】计算（1） -，2

；

75 2

、0.5

.；；

(5) J81a 4 —5aVa + 3(4a 5

a

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、 确定运算顺序；

2、 灵活运用运算定律；

3、 正确使用乘法公式；

4、 大多数分母有理化要及时；

5、 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;

【典型习题】

2

4 48 )

5 （3）恐打［?贰

5/245 ；

(4) 2后-〉27

2后一［五7而

【例21 】(i)3、R =

4

-，：2

—y 2

”x _y ^4x +4y

(3) 1

、. 27a 3

-a 2

3

° +3a J a

_a

Jl08a ( 4) (2)_a=b_ . a - 一 b

va +vb

a-b

1

忑-泡-

a

2

(6)

x

X

■(-3 Ja 3b)

壬

b

3、3阳「4拦)存

5、(2,3 3 .2 - ..6)(2、3 -3..2 '.6 ) 7、(2、6 -5)10

(2..6 5)11

8

、3m ”（伽加卅鳥

（m 0）

- 4a + 4 * -勿 +1

【例21】1.已知：1 —〕，求"二

一；： 的值.

F+x + 1

，求一 的值

（&-何+4临

3. 已知:一「，匸，求 一； L 的值.

4.

求 的值.

屛候7-2

5.

已知八：'是实数，且“ I : ，求mJ 的值.

知识点八：根式比较大小

【知识要点】

1、 根式变形法 当a 0,b 0时，①如果a b ，贝-,b ;②如果a ：：： b ，则 ：：o

2、 平方法 当a 0,b 0时，①如果a 2

b 2

，则a b ；②如果a 2

：： b 2

，则a ：：： b 。

3、 分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、 分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

4、( 72 ) .3-7.6

2 + ^3

6、(3 2,5)2 _(4

5)(4 - ?.一 5)

6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① a_b .0= a b；

8、求商比较法它运用如下性质：当a>0b>o时，贝y：①b

【典型例题】

［例22】比较3、、5与5、語的大小。(用两种方法解答)

【例23】比较:与丄的大小

［例24】比较门5 - 14与门4 - 13的大小。

【例25】比较■-7一'6与' 6一'' 5的大小

［例26】比较“ 5与-87-3的大小

二次根式典型习题集

一、概念

(一)二次根式

下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：近、逅、丄、仮(x>0 )、頁、

x

42、■ 、- 2 > -^―、、. x y (x> 0，y? >0).

x + y

(二)最简二次根式

1 ?把二次根式* x(y>0)化为最简二次根式结果是( ).

A . x(y>0)

B .、xy (y>0)

C ?旦(y>0)

D .以上J y y

都不对

2. 化简J x4+x2y2= _________ . (x > 0)

5 . a J—畔化简二次根式号后的结果是 __________ .

4. ________________________________________________ 已知xy ）O ，化简二次根式x j 孚的正确结果为 ___________________________________ .

（三）同类二次根式

1. 以下二次根式：①,12 ;②、,22

:③2

；④.27中，与,3是同类二次根式 的是

（）.

A .①和②

B .②和③

C .①和④

D .③和④ 2. 在,8、6

,75a 、2

.9a 、.125、〈37、3、.0.2、-2 1

中，与、.丽 是同类

二

3

3

a

V8

次根式的有 ______

3. 若最简根式3a

f 4a 3b 与根式 2ab^ b 3

6b 2

是同类二次根式，求 a 、b 的值. 4. 若最简二次根式2

』3m 2 —2与F4m 2 -10是同类二次根式，求 m n 的值.

3

（四）“分母有理化”与“有理化因式”

1. Q +75的有理化因式是 __________ ; x- J 7的有理化因式是 ___________ . - 后T -

的有理化因式是 _________ .

2. 把下列各式的分母有理化

6

-1 ； 虧-1

a 、 2） 1

-

（3） 2

- ⑺ 123 ；

（3）

—6千；